==@== Phßng GD&§T hun Yªn Thµnh Tr– êng THCS M· Thµnh ==@== Tr phßng GD & §T hun yªn thµnh trêng THCS M· Thµnh Một số phương pháp chứng minh Bất Đẳng Thức THCS Gi¸o viªn biªn so¹n: Ngun B¸ Phóc ===@@@=== Gi¸o viªn: Ngun B¸ Phóc ===@@@=== 1 ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@== Caực phửụng phaựp chửựng minh Baỏt ủaỳng thửực THCS Bất đẳng thức là một trong những kiến thức trọng yếu của chơng trình Toán TH. Đối với ch- ơng trình Toán THCS các em học sinh thờng gặp dạng Toán này trong các kì thi lớn nh HSG hoặc vào các trờng chuyên. Song trong quá trình giãng dạy của mình, Tôi nhận thấy rằng, đa số học sinh thờng rất yếu về dạng Toán này. Chính vì thế mà bài viết này Tôi muốn gửi tới toàn thể các em Học Sinh những gì mà Tôi nghĩ là gần gũi với các em nhất, với mong muốn phần nào đó giúp các em nắm vững hơn các kiến thức, rồi từ đó giải thành thạo giạng Toán này. Phần I : các kiến thức cần nhớ. 1) Đinhnghĩa 0 0 BABA BABA 2) Tính chất +) A > B B < A +) A > B và B > C A > C +) A > B A + C > B + C +) A > B và C > D A + C > B + D +) A > B và C > 0 A.C > B.C +) A > B và C < 0 A.C < B.C +) 0 < A < B và 0 < C < D 0 < A.C < B.D +) A > B > 0 A n > B n Với mọi giá trị n. +) A > B A n > B n với n lẻ. +) BA > A n > B n với n chẵn. +) m > n > 0 và A > 1 A m > A n +) m > n > 0 và 0 < A < 1 A m < A n +) A < B và A.B > 0 BA 11 > 3) Một số bất đẳng thức cơ bản. +) 2 A 0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0) +) n A 2 0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0) +) A 0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0) +) AAA +) BABA ++ (dấu = xảy ra khi A.B > 0) +) BABA (dấu = xảy ra khi A.B < 0) Phần II : một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức Ph ơng pháp 1 : Dùng định nghĩa ===@@@=== Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc ===@@@=== 2 ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@== Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta chứng minh A B > 0 Lu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2 0 luôn đúng với mọi M Ví dụ 1 Với mọi số thực x, y, z chứng minh rằng : a) x 2 + y 2 + z 2 xy+ yz + zx b) x 2 + y 2 + z 2 2xy 2xz + 2yz c) x 2 + y 2 + z 2 +3 2(x + y + z) Giải: a) Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 xy yz zx = 2 1 .(2x 2 + 2y 2 + 2z 2 2xy 2yz 2zx) = ( ) [ ] 0)()( 2 1 22 2 ++ xzzyyx (*) Vì (x y) 2 0 với mọi x ; y Dấu bằng xảy ra khi x = y (y z) 2 0 với mọi y ; z Dấu bằng xảy ra khi y = z (z x) 2 0 với mọi z; x Dấu bằng xảy ra khi z = x Bất đẳng thức (*) luôn đúng với mọi x; y; z R Vậy x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + zx Dấu bằng xảy ra khi x = y = z b)Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 ( 2xy 2xz + 2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 2xy + 2xz 2yz = (x y + z) 2 0 luôn đúng với mọi x; y; z R Vậy x 2 + y 2 + z 2 2xy 2xz + 2yz đúng với mọi x; y; z R. Dấu bằng xảy ra khi x = y = z. c) Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 + 3 2( x + y + z ) = x 2 2x + 1 + y 2 2y + 1 + z 2 2z +1 = (x 1) 2 + (y 1) 2 +(z 1) 2 0 Dấu (=) xảy ra khi x = y = z = 1 Ví dụ 2: Chứng minh rằng : a) 2 22 22 + + baba b) 2 222 33 ++ ++ cbacba c) Hãy tổng quát bài toán giải a) Ta xét hiệu: 4 2 4 )(2 22 2222 2 22 bababababa ++ + = + + = ( ) 2222 222 4 1 bababa + = ( ) 0 4 1 2 ba với mọi a; b. Vậy 2 22 22 + + baba Dấu bằng xảy ra khi a = b. b)Ta xét hiệu: [ ] 0)()()( 9 1 33 222 2 222 ++= ++ ++ accbba cbacba với mọi a; b. Vậy 2 222 33 ++ ++ cbacba Dấu bằng xảy ra khi a = b =c c)Tổng quát ===@@@=== Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc ===@@@=== 3 ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@== 2 21 22 2 2 1 +++ +++ n aaa n aaa nn Tóm lại các bớc để chứng minh A B theo định nghĩa Bớc 1: Ta xét hiệu H = A B Bớc 2: Biến đổi H = (C D) 2 hoặc H =(C D) 2 + .+ (E F) 2 Bớc 3: Tìm ĐK để dấu = xãy ra. Bớc 4: Kết luận A B Ví dụ: Chứng minh rằng Với mọi số thực m, n, p, q ta đều có m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m.(n + p + q + 1) (Chuyên Nga- Pháp 98-99) Giải: Xét hiệu: H = )1.(1 2222 +++++++ qpnmqpnm = mqmpmnmqpn m +++ . 4 .4 222 2 = ++ ++ ++ + 1 4 . 4 . 4 . 4 2 2 2 2 2 2 2 m m qqm m ppm m nnm m = 01 2222 2222 + + + m q m p m n m Với mọi số thực m, n, p, q. Dấu bằng xảy ra khi: === = = = = = = = = = 1 2 2 2 2 2 01 2 0 2 0 2 0 2 qpn m Hay m m q m p m n m q m p m n m Ph ơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi tơng đơng. Lu ý: Nguyên tắc để chứng minh Bất đẳng thức A B ta phải biến đổi bất đẳng thức đã cho tơng đơng với một bất đẳng thức đúng hoặc một bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng. Chú ý: Các hằng đẳng thức sau: ( ) 22 2 2 BABABA ++=+ ===@@@=== Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc ===@@@=== 4 ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@== ( ) BCACABCBACBA 222 222 2 +++++=++ ( ) 3223 3 33 BABBAABA +++=+ Ví dụ 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực chứng minh rằng: a) ab b a + 4 2 2 b) baabba ++++ 1 22 c) )( 22222 edcbaedcba +++++++ Giải: a) Ta có: abbaab b a 44 4 22 2 2 ++ 044 22 + abba 0)2( 2 ba (bất đẳng thức này luôn đúng với mọi số thực a; b) Vậy ab b a + 4 2 2 . Dấu bằng xảy ra khi 2a = b b) Ta có: ).(2)1.(21 2222 baabbabaabba ++++++++ 0222222 22 ++ baabba 0)12()12()2( 2222 +++++ bbaababa 0)1()1()( 222 ++ baba (Bất đẳng này luôn đúng). Vậy baabba ++++ 1 22 . Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1 c) Ta có: )( 22222 edcbaedcba +++++++ )(.4.(4 22222 edcbaedcba +++++++ aeadacabedcba 4444)44444 22222 +++++++ 0444444444 22222 ++++ aeadacabedcba 0)44()44()44()44( 22222222 +++++++ eaeadadacacababa 0)2()2()2()2( 2222 +++ eadacaba (Bất đẳng thức này luôn đúng) Vậy )( 22222 edcbaedcba +++++++ Ví dụ 2: Chứng minh rằng: )).(()).(( 4488221010 babababa ++++ Giải: Ta có: 1284481212102210124488221010 )).(()).(( bbabaabbabaababababa ++++++++++ 0)()(. 22822228 + abbababa 0))(( 662222 bababa [ ] 0)()()( 32322222 bababa [ ] 0.)( 422422222 ++ bbaababa (*) Bất đẳng thức (*) luôn đúng vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 3: Cho x.y =1 và x > y. Chứng minh rằng 22 22 + yx yx Giải: Ta có: 22 22 + yx yx Vì: x > y nên x y > 0 ).(2222 22 22 yxyx yx yx + + 0.22.22 22 ++ yxyx 02.22.222 22 +++ yxyx 02.22.22)2( 222 +++ xyyxyx (vì x.y =1 nên 2 = 2xy) 0)2( 2 yx (*) BĐT (*) luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: ===@@@=== Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc ===@@@=== 5 ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@== a) Chứng minh: P(x,y) = 01269 222 ++ yxyyyx Ryx ; b) Chứng minh: cbacba ++++ 222 (Gợi ý: Bình phơng 2 vế) c) Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn điều kiện: ++<++ = zyx zyx zyx 111 1 Chứng minh rằng: Có đúng một trong ba số x, y, z lớn hơn 1. (Đề thi vào lớp 10 PTTH Chuyên Lam Sơn Thanh Hoá năm học 96 - 97) Giải: c) Xét 1)()1)(1)(1( ++++++= zyxzxyzxyxyzzyx +++++= zyx xyzzyxxyz 111 )()1( 0 111 )( > ++++= zyx zyx (vì zyx zyx ++<++ 111 theo gt) 2 trong 3 số (x 1), (y 1), (z 1) âm, hoặc cả 3 số(x 1), (y 1), (z 1) đều dơng. Nếu cả 3 số(x 1), (y 1), (z 1) đều dơng thì x, y, z >1 x.y.z > 1 (trái với giả thiết x.y.z =1). Vì thế, bắt buộc phải xảy ra trờng hợp 2 trong 3 số (x 1), (y 1), (z 1) âm, tức là có đúng 1 trong ba số x, y, z là số lớn hơn 1 (đpcm). Ph ơng pháp 3 : Dùng bất đẳng thức quen thuộc (Bất đẳng thức phụ) A. Một số bất đẳng thức hay sử dụng. 1) Các bất đẳng thức cơ bản. a) xyxyyx 22 22 + . Dấu = xãy ra khi x = y. b) xyyx + 22 . Dấu = xãy ra khi x = y = 0. c) xyyx 4)( 2 + . Dấu = xãy ra khi x = y. d) Nếu a.b > 0 thì 2 + a b b a . Dấu = xãy ra khi x = y. 2) Bất đẳng thức Cô sy: n n n aaaa n aaaa . . 321 321 ++++ (Trong đó 0, .,,, 321 > n aaaa ) Dấu = xãy ra khi: n aaaa ==== . 321 3) Bất đẳng thức Bunhiacopski ( ) ( ) ( ) 2 2211 22 2 2 1 22 2 2 2 . nnnn xaxaxaxxaaa +++++++++ 4) Bất đẳng thức Trê - b - sép: a) Nếu CBA cba thì 3 . 33 . CBAcbaCcBbAa ++++ ++ . Dấu = xãy ra khi == == CBA cba b) Nếu CBA cba thì 3 . 33 . CBAcbaCcBbAa ++++ ++ . Dấu = xãy ra khi == == CBA cba B. Các ví dụ Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng ===@@@=== Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc ===@@@=== 6 ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@== (a + b)(b + c)(c + a) 8abc Giải: Cách 1: (Dùng bất đẳng thức phụ: xyyx 4)( 2 + ) Tacó: abba 4)( 2 + ; bccb 4)( 2 + ; caac 4)( 2 + 2222 )8(4.4.4).().()( abccabcabaccbba =+++ (a + b)(b + c)(c + a) 8abc. Dấu = xảy ra khi a = b = c Ví dụ 2 1) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 CMR: 9 111 ++ cba 2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 CMR: )1)(1)(1(42 zyxzyx ++ 3) Cho a > 0, b > 0, c > 0. CMR: 2 3 + + + + + ba c ac b cb a 4) Cho x 0,y 0 và thỏa mãn điều kiện: 12 = yx . CMR: 5 1 + yx Ví dụ 3: Cho a > b > c > 0 và 1 222 =++ cba . Chứng minh rằng: 2 1 333 + + + + + ba c ac b cb a Giải: Do a, b, c đối xứng, giả sử a b c + + + ba c ac b cb a cba 222 áp dụng BĐT Trê- b-sép ta có: + + + + + = + + + + + ++ + + + + + ba c ac b cb a ba c ac b cb a cba ba c c ac b b cb a a 9 1 3 . 33 . 222 222 (Vì 1 222 =++ cba theo giả thiết) 2 1 2 3 . 3 1 333 = + + + + + ba c ac b cb a (đpcm) (Vì theo Ví dụ 2 ta đã chứng minh đợc 2 3 + + + + + ba c ac b cb a ) Vậy 2 1 333 + + + + + ba c ac b cb a . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 3 1 . Ví dụ 4: Cho a, b, c, d > 0 và a.b.c.d = 1. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 10 2222 +++++++++ acddcbcbadcba Giải: Ta có: abba 2 22 + và cddc 2 22 + ).(222 2222 cdabcdabdcba +=++++ Vì: a.b.c.d =1 nên ab cd 1 = 4) 1 .(2 2222 ++++ ab abdcba (1) (áp dụng BĐT: 2 1 + x x ) Mặt khác ta lại có: )()()()()()( adbcbdaccdabacddcbcba +++++=+++++ 6222 111 =++ ++ ++ += bc bc ac ac ab ab (2) Từ (1) và (2) 10)()()( 2222 +++++++++ acddcbcbadcba ===@@@=== Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc ===@@@=== 7 ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@== Ví dụ 5: Cho 4 số a, b, c, d bất kỳ. Chứng minh rằng: 222222 )()( dcbadbca ++++++ Giải: Ta có: 222222 )(2)()( dcbdacbadbca +++++=+++ áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopski ta đợc: 2222 . dcbadbca +++ 22 )()( dbca +++ )(.2)( 22222222 dcdcbaba ++++++ Hay 2222222 )()()( dcbadbca ++++++ 222222 )()( dcbadbca ++++++ Ví dụ 6: Chứng minh rằng: cabcabcba ++++ 222 Giải: áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 cặp số (1, 1, 1) và (a, b, c) ta có: ( ) ( ) 2 222222 .1.1.1)(111 cbacba ++++++ )(2)(3 222222 cabcabcbacba +++++++ )(2)(2 222 cabcabcba ++++ cabcabcba ++++ 222 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi a = b = c Ph ơng pháp 4 : Sử dụng tính chất bắc cầu 1. L u ý : A > B và B > C thì A > C 0 < x < 1 thì x 2 < x Ví dụ 1: Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn a > c + d, b > c + d Chứng minh rằng ab > ad + bc Giải: Tacó >> >> +> +> 0 0 cdb dca dcb dca (a c)(b d) > cd ab ad bc + cd > cd ab > ad + bc (điều phải chứng minh) Ví dụ 2: Cho a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện 3 5 222 =++ cba . Chứng minh rằng: abccba 1111 <+ Giải: Ta có : (a + b c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab ac bc) 0 ac + bc ab 2 1 (a 2 + b 2 + c 2 ) ac + bc ab 6 5 < 1 Chia hai vế cho abc > 0 ta đợc abccba 1111 <+ (đpcm) Ví dụ 3. Cho 0 < a, b, c, d < 1. Chứng minh rằng (1 a).(1 b).(1 c).(1 d) > 1 a b c d Giải: Ta có: (1 a).(1 b) = 1 a b + ab ===@@@=== Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc ===@@@=== 8 ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@== Do a > 0, b > 0 nên ab > 0 (1 a).(1 b) > 1 a b (1) Mặt khác: Vì c < 1 nên 1 c > 0 (1 a).(1 b).(1 c) > 1 a b c (1 a).(1 b).(1 c).(1 d) > (1 a b c).(1 d) = 1 a b c d + ad + bd + cd (1 a).(1 b).(1 c).(1 d) > 1 a b c d (Điều phải chứng minh) Ví dụ 4 a) Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng: accbbacba 222333 3222 +++<++ b) Chứng minh rằng : Nếu 1998 2222 =+=+ dcba thì 1998 + bdac (Chuyên Anh năm học 1998 1999) a) Giải: Do 0111 22 ><< aaa và 011 >< bb Từ đó suy ra: 010)1)(1( 222 >+> bababa baba +>+ 22 1 (*) Mặt khác: 3232 ;1;0 bbbaaba >>><< (**) Từ (*) và (**) 332 1 baba +>+ Hay baba 233 1 +<+ (1) Tơng tự : cbcb 233 1 +<+ (2) Và acac 233 1 +<+ (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta có : accbbacba 222333 3222 +++++ b) Giải: Ta có: abcdcbdaabcddbcabcadbdac 22)()( 2222222222 ++++=++ )()( 222222 dcbdca +++= )).(( 2222 dcba ++= 2 1998 = Mặt khác: 2222 1998)()()( =++<+ bcadbdacbdac 1998 + bdac 2) Bài tập: a) Cho các số thực: a 1 ; a 2 ; a 3 ; ; a 2003 thỏa mãn: a 1 + a 2 + a 3 + . + a 2003 =1. Chứng minh rằng: 2003 1 . 2 2003 2 3 2 2 2 1 ++++ aaaa (Đề thi vào lớp 10 PTTH Chuyên Nga Pháp 2003- 2004 Thanh Hóa) b) Cho a; b; c 0 thỏa mãn: a + b + c = 1 Chứng minh rằng: 81 1 .1 1 .1 1 cba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phơng pháp 5: Dùng tính chất của tỷ số Kiến thức 1) Cho a, b, c là các số dơng thì a) Nếu 1 > b a thì cb ca b a + + > b) Nếu 1 < b a thì cb ca b a + + < ===@@@=== Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc ===@@@=== 9 ==@== Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành Tr ờng THCS Mã Thành ==@== 2) Nếu b, d > 0 và d c b a < thì d c db ca b a + + < Ví dụ 1: Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng: 21 < ++ + ++ + ++ + ++ < bad d adc c dcb b cba a Giải : Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có dcba da cba a cba a +++ + < ++ < ++ 1 (1) Mặt khác: dcba a cba a +++ > ++ (2) Từ (1) và (2) ta có: dcba da cba a dcba a +++ + < ++ < +++ (3) Tơng tự ta có: dcba ab dcb b dcba b +++ + < ++ < +++ (4) dcba cb adc c dcba c +++ + < ++ < +++ (5) dcba cd bad d dcba d +++ + < ++ < +++ (6) Cộng vế theo vế của (3); (4); (5); (6) ta có: 21 < ++ + ++ + ++ + ++ < bad d adc c dcb b cba a (điều phải chứng minh) Ví dụ 2: Cho d c b a < và b, d > 0. Chứng minh rằng d c db cdab b a < + + < 22 Giải: Từ 22 d cd b ab d c b a << d c d cd db cdab b ab b a =< + + <= 2222 Vậy d c db cdab b a < + + < 22 (điều phải chứng minh) Ví dụ 3: Cho a; b; c;d là các số nguyên dơng thỏa mãn : a + b = c + d = 1000. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = d b c a + Giải : Không mất tính tổng quát ta giả sử: d b c a . áp dụng tính chất Nếu n m b a thì n m nb ma b a + + ta có: d b dc ba c a + + 1 c a (vì a + b = c + d) a) Nếu: b 998 thì 998 d b 999 + d b c a b) Nếu: b = 998 thì a = 1 dcd b c a 9991 +=+ Đạt giá trị lớn nhất khi d = 1; c = 999 Vậy giá trị lớn nhất của P = 999 1 999 +=+ d b c a khi a = d = 1; c = b = 999 Phơng pháp 6: Phơng pháp làm trội L u ý: Dùng các tính bất đẳng thức để đa một vế của bất đẳng thức về dạng tính đợc tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn. (*) Phơng pháp chung để tính tổng hữu hạn: n uuuuS ++++= . 321 Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau: ===@@@=== Giáo viên: Nguyễn Bá Phúc ===@@@=== 10 [...]... =============================================================== Phơng pháp 11: Chứng minh phản chứng Lu ý: 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng, ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả thiết để suy ra điều vô lý , điều vô lý có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái ngợc nhau Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng 2) Giả sử ta phải chứng minh luận đề G K phép toán mệnh đề cho... 2004) 2 có giá trị lớn nhất Bài 18 Cho các số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện: x2 1 x2 + Bài 19 Cho x, y là hai số thực thoả mãn y2 1 y2 + x3 + y3 + z3 = 1 z2 1 z2 x2 + 4y 2 =1 Chứng minh: 2 Chứng minh rằng: x y 5 2 Bài 20 1 1 < 2 (k + 1) k k +1 k 1 1 1 1 + + + n0 ta thực hiện các bớc sau : 1) Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = n0 2) Giả sử BĐT đúng với n = k (thay n = k vào BĐT cần chứng minh đợc gọi là giả thiết quy nạp) 3) Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 (thay n = k + 1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết... 1 Vậy ta có điều phải chứng minh Iii dùng bất đẳng thức phụ 1) Cho a, b, c là các số thực và a + b + c =1 Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 1 3 Giải : áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1, 1, 1) và (a, b, c) Ta có: (1.a + 1.b + 1.c) 2 (1 + 1 + 1)(a 2 + b 2 + c 2 ) (a + b + c) 2 3.(a 2 + b 2 + c 2 ) 1 a2 + b2 + c2 (vì a + b + 3 c =1 ) (đpcm) 2) Cho a, b, c là các số dơng Chứng minh rằng: 1 1 1 (a +... a b Bài 3 Chứng minh bất đẳng thức: (b + c)a 2003 (c + a)b 2003 ( a + b)c 2003 + + (với a, b, c 2 2 2 a b c + + nhỏ nhất của biểu thức: P = a+b b+c c+a a+b+c Bài 4 Tìm giá trị là các số dơng) trong đó a, b, c là các số thực thoả mãn điều kiện a b c > 0 Bài 5 Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng: 3 a+bc +3 b+ca +3 c+ab 3 a +3 b +3 c Bài 6 Cho 3 số dơng a, b, c Chứng minh rằng:... minh rằng: a3 b3 c3 + + a ac + b ba + c cb b c a Bài 7 Cho các số không âm a, b, x, y thoả mãn các điều kiện: 2005 + y 2005 1 Chứng minh rằng: a 1975 x 30 + b 1975 y 30 1 a 2005 + b 2005 1 và x Bài 8 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và a + b + c = 9; x, y, z lần lợt là độ dài các dờng phân giác trong của các góc A, B, C Chứng minh rằng: Bài 9 Cho 1 1 1 + + >1 x y z Tìm giá trị lớn nhất... c thoả mãn điều kiện ab > c và a3 + b3 = c3 + 1 Chứng minh rằng: a + b > c + 1 (Đề thi vào lớp 10 PTTH Chuyên tỉnh Hải Dơng năm học 2004 2005) Bài 15 Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b Gọi I b , I c theo thứ tự là độ dài các đờng phân giác của góc B và góc C Chứng minh rằng nếu b > c thì I b < I c Bài 16 Cho các số nguyên dơng x, y, z Chứng minh rằng: 1< Bài 17 Tìm x để hàm số y = x y z +... ta có điều phải chứng minh c) Vế trái có thể viết H = (a b +1) 2 + (b 1) 2 a H 0 ( , b, c) Từ đó, ta có điều phải chứng minh Ii Dùng biến đổi tơng đơng 1) Cho x > y và x.y = 1 Chứng minh rằng: Giải : Ta có: (x2 + y 2 )2 8 ( x y) 2 x 2 + y 2 = ( x y ) 2 + 2 xy = ( x y ) 2 + 2 [ ( x 2 + y 2 ) 2 = ( x y) 2 + 2 ] (vì x.y = 1) 2 = ( x y ) + 4.( x y ) 2 + 4 4 Do đó BĐT cần chứng minh tơng đơng... đa thức f(x) và x1 > x2) Ví dụ 1: Chứng minh rằng : f(x, y) = x 2 + 5 y 2 4 xy + 2 x 6 y + 3 > 0 Giải: Ta có: (1) x 2 2(2 y 1).x + 5 y 2 6 y + 3 > 0 (1) = ( 2 y 1) 5 y 2 + 6 y 3 = 4 y2 4 y +1 5y2 + 6 y 3 2 = ( y 1) 1 < 0 2 Vậy f(x, y) > 0 với mọi x, y Ví dụ 2: Chứng minh rằng: f(x, y) = x 2 y 4 + 2( x 2 + 2) y 2 + 4 xy + x 2 Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với > 4 xy 3 x 2... 0 ) Điều phải chứng minh 2) Chứng minh rằng a) x 4 + y 4 + z 2 + 1 2 x.( xy 2 x + z + 1) b) a 2 + 5b 2 4ab + 2a 6b + 3 > 0 (Với mọi số thực a, b, c) c) a 2 + 2b 2 2ab + 2a 4b + 2 0 (Với mọi số thực a, b, c) Giải : a) Xét hiệu H = x 4 + y 4 + z 2 + 1 2 x 2 y 2 + 2 x 2 2 xz 2 x =( x 2 y 2 ) 2 +( x z ) 2 +( x ) 2 0 1 ( , y , z ) x x H 0 ( , y, z ) Từ đó ta có điều phải chứng minh b) Vế trái . Yªn Thµnh Tr– êng THCS M· Thµnh ==@== Tr phßng GD & §T hun yªn thµnh trêng THCS M· Thµnh Một số phương pháp chứng minh Bất Đẳng Thức THCS Gi¸o viªn biªn. ơng pháp 11: Chứng minh phản chứng L u ý : 1) Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng, ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với các giả