Giáo án tự chọn nâng cao 11 CHỦ ĐỀ 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phương trình sinx = a • Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm • Nếu |a| ≤ 1 : Phương trình có nghiệm là x = α + k2π và x = π - α + k2π, k ∈ , với sin α = a. 2. Phương trình cosx = a • Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm • Nếu |a| ≤ 1 : Phương trình có nghiệm là x = ± α + k2π, k ∈ , với cosα = a. 3. Phương trình tanx = a Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ 2 π +kπ, k ∈ . Nghiệm của phương trình x = α + kπ, k ∈ , với tanα = a 4. Phương trình cotx = a Điều kiện: sinx ≠ 0 hay x ≠ kπ, k ∈ . Nghiệm của phương trình là x= α + kπ, k ∈  với cotα = a. B. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP: 1. Phương trình asinx + bcosx = c • asinx + bsinx = c ⇔ sin(x + α) = 2 2 c a b+ trong đó: sinα = 2 2 b a b+ ; cosα = 2 2 a a b+ • asinx + bsinx = c ⇔ cos(x – β) = 2 2 c a b+ trong đó: sin β = 2 2 a a b+ ; cos β = 2 2 b a b+ Chú ý: Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi c 2 ≤ a 2 + b 2 . 2. Phương trình a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c Đặt t = sinx + cosx, |t| ≤ 2 Phương trình trở thành bt 2 + 2at – (b + 2c) = 0 Trang 1 (Loại do điều kiện) Giáo án tự chọn nâng cao 11 II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN: 1. Phương trình đưa về phương trình tích: Bài 1: Giải phương trình: 3tan2x.cot3x + 3 (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0 Giải Điều kiện của phương trình là cos2x ≠ 0 và sin3x ≠ 0 Ta biến đổi 3tan2xcot3x + 3 (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0 ⇒ 3tan2xcot3x + 3 tan2x – 3 3 cot3x – 3 = 0 ⇒ tan2x (3cot3x + 3 ) - 3 (3cot3x + 3 ) = 0 ⇒ (3cot3x + 3 ) (tan2x - 3 ) = 0 ⇒ 2 3 3 cot 3 3 3 3 tan 2 3 3 x k x x k x π π π π   = +  = −  ⇒    = + =    (k ∈ ) ⇒ 2 9 3 6 2 x k x k π π π π  = +    = +   (k ∈ ) Caá giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: x = 2 9 3 k π π + và x = 6 2 k π π + , k ∈  Bài 2: Giải phương trình: 1 tan 2 sin 1 cot x x x + = + Giải: Điều kiện của phương trình đã cho là: cosx ≠ 0, sinx ≠ 0 và cot x ≠ -1. Ta biến đổi phương trình đã cho: 1 tan cos sin sin 2 sin . 2 sin 1 cot cos sin cos x x x x x x x x x x + + = ⇒ = + + ⇒ sin 2 sin cos x x x = ⇒ sinx 1 2 0 cos x   − =  ÷   ⇒ sin 0 2 cos 2 x x =    =   ⇒ x = ± 2 4 k π π + , k∈  Trang 2 Giáo án tự chọn nâng cao 11 Giá trị x = - 2 4 k π π + , k∈  bị loại do điều kiện cot x ≠ -1. Vậy nghiệm của của phương trình đã cho là x = 2 4 k π π + , k∈ . Bài 3: Giải phương trình tan3x – 2tan4x + tan5x = 0 với x ∈ (0,2π) Giải: Điều kiện của phương trình đã cho: cos3x ≠ 0, cos4x ≠ 0 và cos5x ≠ 0. Ta có: tan3x -2tan4x + tan5x = 0 ⇒ sin8 2sin 4 0 cos3 cos5 cos4 x x x x x − = ⇒ 2sin 4 cos4 2sin 4 0 cos3 cos5 cos4 x x x x x x − = ⇒ 2sin4x 2 cos 4 cos3 cos5 0 cos3 cos4 cos5 x x x x x x   − =  ÷   ⇒ 2sin4xsin 2 x = 0 ⇒ sin 4 0 sin 0 x x =   =  ⇒ 4 4 4 x k x k x k x k x k π π π π π  = =   ⇒ ⇒ =   =  =  (k ∈ ) Từ giả thiết và điều kiện, nghiệm của phương trình là: 1 2 3 4 5 3 5 7 ; ; ; ; 4 4 4 4 x x x x x π π π π π = = = = = 2. Phương trình đưa về phương trình bậc hai của các hàm số lượng giác. Bài 4: Giải phương trình: 1+sin2x = 2(cos 4 x + sin 4 x) Giải: Ta có: 1 + sin2x = 2(cos 4 x + sin 4 x) = 2[(cos 2 x + sin 2 x) 2 – 2sin 2 xcos 2 x] = 2 2 1 1 sin 2 2 x   −  ÷   = 2 – sin 2 2x Vậy ta được phương trình sin 2 2x + sin2x -1 = 0 Đặt t = sin2x với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 ta được phương trình: t 2 + t – 1 = 0 ⇒ t = 1 5 2 − ± . Giá trị 1 5 2 − − < -1 nên bị loại. Với t = 1 5 2 − + ta có phương trình sin2x = 1 5 2 − + Phương trình này có nghiệm: x= 1 1 5 arcsin 2 2 k π   − + +  ÷  ÷   , k ∈  Và x = 1 1 5 arcsin 2 2 2 k π π   − + − +  ÷  ÷   , k ∈  Đó cũng là các nghiệm của phương trình đã cho. Trang 3 Giáo án tự chọn nâng cao 11 Bài 5: Giải phương trình sin 2 x(tanx – 1) = cosx(5sinx – cosx) – 2. Giải: Điều kiện của phương trình là cosx ≠ 0 Chia hai vế của phương trình cho cos 2 x ta được: tan 2 x (tanx – 1) = 5tanx – 1 – 2(1+tan 2 x) ⇒ tan 3 x – tan 2 x = 5tanx – 3 – 2 tan 2 x ⇒ tan 3 x + tan 2 x – 5tanx + 3 = 0 Đặt t = tanx ta được phương trình. t 3 + t 2 – 5t +3 = 0 ⇔ (t – 1)(t 2 + 2t – 3) = 0 ⇔ 1 3 t t =   = −  Với t = 1, phương trình tanx = 1 có nghiệm 4 x k π π = + , k ∈  Với t = -3, phương trình tanx = -3 có nghiệm x = arctan(-3) + kπ, k ∈  Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình đã cho. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x = 4 k π π + , x = arctan(-3) + kπ, k ∈  Bài 6: Giải phương trình: 3 3 2 3 1 3 1 sin cos sin 2 sin cos 3 2 2 3 x x x x x     − + = + −    ÷  ÷       Giải Ta biến đổi phương trình đã cho: 3 3 2 3 1 3 3 2 sin cos 2sin cos sin cos 3 2 6 x x x x x x   − − + − +     =0 ⇔ 3 2 2 3 2 2 2 2 sin 3 sin cos sin cos cos sin cos 3 sin cos 0 3 3 x x x x x x x x x x     − + + + − =  ÷  ÷     ⇔ 2 2 2 sin 3 sin cos cos (sin cos ) 0 3 x x x x x x   − + + =  ÷   ⇔ 2 2 sin cos 0 (1) 2 sin 3sin cos cos 0 (2) 3 x x x x x x + =    − + =  • Giải phương trình (1) ta được: x = 3 4 π +kπ, k ∈  • Giải phương trình (2): sin 2 x - 3 sinxcosx + 2 3 cos 2 x = 0 Nếu cosx = 0 thì vế trái bằng 1 nên cosx = 0 không thoả mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos 2 x, ta được: tan 2 x - 2 3 tan 0 3 x + = Trang 4 Giáo án tự chọn nâng cao 11 Giải phương trình, ta được: x = 6 k π π + và x = arctan 2 3 3 + kπ, k ∈  Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x = 3 , 4 6 k x k π π π π + = + và x = arctan 2 3 3 + kπ, k ∈  3. Phương trình asinx + bcosx = c Bài 7: Giải phương trình 4cosx + 2 3 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0 Giải: Ta có: 4cosx + 2 3 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0 ⇔ 4cosx + 2 3 sinx + 2cos 2 x – 1 + 2 3 sinxcosx + 3 = 0 ⇔ 2 3 sinx(cosx+1) + 2(cosx +1) 2 = 0 ⇔ 2(cox +1)( 3 sinx + cosx + 1) = 0 ⇔ cos 1 0 3 sin cos 1 0 x x x + =   + + =  ⇔ (2 1) 2 3 x k x k π π π = +    = − +  (k ∈ ) Bài 8: Giải phương trình: 2cos 3 x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + 2 ) - 2 (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0 Giải: Ta biến đổi phương trình đã cho: 2cos 3 x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + 2 ) - 2 (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0 ⇔ 2 (cos2x – sin2x – 1) + sinx(cos2x – sin2x – 1) + 2cos 3 x – sin2xcosx – 2cosx = 0 ⇔ (cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(2cos 2 x – sin2x – 2) = 0 ⇔ (cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(cos2x + 1 – sin2x – 2) = 0 ⇔ (cos2x – sin2x – 1)(cosx + sinx + 2 ) =0 ⇔ cos 2 sin 2 1 0 cos sin 2 0 x x x x − − =   + + =  ⇔ 2 cos 2 4 2 cos 1 4 x x π π    + =   ÷       − = −   ÷    Trang 5 Giáo án tự chọn nâng cao 11 ⇔ 2 2 4 4 2 4 x k x k π π π π π π  + = ± +    − = +   (k ∈ ) ⇔ 4 5 2 4 x k x k x k π π π π π   =   = − +    = +  (k ∈ ) 4. Phương trình a(sinx + cosx) + bsinx + cosx = c Bài 9: Giải phương trình cos2x + cos 2 x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0 Giải: Ta có: cos2x + cos 2 x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0 ⇔ 5(sinx + cosx) – 3cosxsinx = 3 Đặt t = sinx + cosx (- 2 ≤ t ≤ 2 ), phương trình trở thành: 3t 2 – 10t + 30 = 0 ⇒ 3( ) 1 3 t loai t =    =  ⇒ sinx + cosx = 1 3 ⇒ sin 2 4 6 x π   + =  ÷   Giải ra ta được: 2 arcsin 2 4 6 3 2 arcsin 2 4 6 x k x k π π π π  = − + +    = − +   (k ∈ ) Bài 10: Giải phương trình 2sin 3 x + cos2x – 3cosx + 2 =0 Giải: Biến đổi phương trình đã cho, ta được: 2sin 3 x + cos2x – 3cosx + 2 = 0 ⇔ 2sinx (1-cos 2 x) + 2cos 2 x – 3cosx +1=0 ⇔ (1 – cosx)[2sinxcosx + 2(sinx – cosx) + 1} = 0 ⇔ cos 1 (1) 2sin cos 2(sin cos ) 1 0 (2) x x x x x =   + − + =  Phương trình (1)cho ta nghiệm x = k2π, k ∈  Giải phương trình (2), đặt t = sinx – cosx (- 2 ≤ t ≤ 2 ). Phương trình (2) trở thành: t 2 – 2t – 2 = 0 ⇒ 1 3( ) 1 3 t loai t  = +  = −   Trang 6 Giáo án tự chọn nâng cao 11 Với t = 1 - 3 , giải ra ta được: 2 6 arcsin 2 4 2 5 2 6 arcsin 2 4 2 x k x k π π π π    − = + +   ÷  ÷       −  = − +  ÷  ÷     (k ∈ ) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 2 2 6 arcsin 2 4 2 5 2 6 arcsin 2 4 2 x k x k x k π π π π π   =     −  = + +  ÷  ÷        − = − +   ÷  ÷     (k ∈ ) III. BÀI TẬP: Giải các phương trình sau: 1. 3 cot2xtan3x-(cot2x + 3 tan 3x) + 1 =0 2. 4cos 2 2xsinx + 2cosxsin4x + 2 3 cos2x + 2sin3x + 3 = 0 3. 1 cos2 sin 4 1 tan 2 x x x − = − 4. 3sin 2 x - 3 3 sinxcosx + sin2x - 3 cos2x = 3 5. sin4x 2 1 3 sin 4 sin 2 3 5sin 2 4sin 2 9 cos2 (9 sin 4 ) 0 4 2 x x x x x x   − + + − − + − =  ÷   6. cos3x(3tanx + 6 + 2 3 ) – 3tanx + (3 - 2 3 ) sin2x = 2 3 . 7. sin2x – 2sin 2 x + 3sinx – cosx = 1 8. ( 2 - 1)sinx - 2 cosx-cos3x = 0 9. (sinx + cosx)(3cosx + 2) = cos2x + cos 2 x + 3 CHỦ ĐỀ 2: Trang 7 Giáo án tự chọn nâng cao 11 TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. QUY TẮC CỘNG VÀ NHÂN, HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP: 1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động, hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách (không trùng với hành động thứ nhất). khi đó có m + n cách hoàn thành công việc. 2. Quy tắc nhân Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp, có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai. Khi đó m.n cách hoàn thành công việc. 3. Hoán vị: • Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là hoán vị của n phần tử đó. • Số các hoán vị của n phần tử được kí hiệu là P n . Ta có: P n = n(n – 1) … 2.1 = n! 4. Chỉnh hợp: • Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k phần tử của tập hợp A và xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. • Kí hiệu k n A là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử. Ta có: k n A = n(n -1) … (n – k + 1). Với quy ước 0! = 1, ta có: ! ( )! k n n A n k = − 5. Tổ hợp: • Cho tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của tậm A gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. • Kí hiệu k n C là số các tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có: ! ! !( )! k k n n A n C k k n k = = − 6. Nhị thức Niu – tơn: 0 1 1 0 ( ) . . n n n n k n k k n n k n k k n n n n n k a b C a C a b C a b C b C a b − − − = + = + + + + + = ∑ B. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ: 7. Giải sử Ω là không gian mẫu, A và B là các biến cố. • Ω\A = A được gọi là biến cố đối của biến cố A. • A ∪ B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra. Trang 8 Giáo án tự chọn nâng cao 11 • A ∩ B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A và B cùng xảy ra. A ∩ B còn được viết là AB. • Nếu AB = ∅, ta nói A và B cung khắc. C. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 8. Kí hiệu P(A) là xác suất của biến cố A, ta có: P(A) = ( ) ( ) n A n Ω Từ đó: • 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(∅) = 0, P(Ω)=1 • P(A ∪B) = P(A) + P(B) nếu A ∩ B = ∅. 9.Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B. A và B độc lập khi và chỉ khi P(AB) = P(A).P(B) A và B độc lập ⇒ A và B độc lập. 10. Công thức cộng mở rộng: Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đó: P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB) D. BIẾN NGẪU NHIÊN: 11. Biến ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên là một quy tắc cho ứng mỗi kết quả của phép thử với một số thực: Giả sử X là một biến ngẫu nhiên và a là một giá trị của nó. biến cố “X nhận giá trị a” được kí hiệu là [X = a] hay (X = a) Giải sử X có tập các giá trị là {x 1 , x 2 ,…,x n } Đặt: p 1 = P[X = x 1 ], … , p n = P[X = x n ]. Ta có bảng sau đây gọi là bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X. X x 1 x 2 … … x n P p 1 p 2 … … P n 12. Kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối (1). Kì vọng của X, kí hiệu E (X), là một số được cho bởi công thức: E(X) = x 1 p 1 + … + x n p n (2) Phương sai của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu V(X), là một số được cho bởi công thức: 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 ( ) . ( . ) n n n n V X x p x p x p x p x p= + + + − + + Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu: σ (X), là một số được cho bởi công thức: σ (X) = ( )V X Kì vọng của X là số đặc trưng cho giá trị trung bình của X. Phương sai là độ lệch chuẩn là số đặc trung cho độ phân tán của X so với kì vọng của X. II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN: Bài 1: Hỏi có bao nhiêu đa thức bậc ba P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d mà các hệ số a, b, c, d thuộc tập {-3, -2, 0, 2, 3}. Biết rằng: Trang 9 Giáo án tự chọn nâng cao 11 a. Các hệ số tùy ý? b. Các hệ số đều khác nhau? Giải: a. Có 4 cách chọn hệ số a vì a ≠ 0. Có 5 cách chọn hệ số b, 5 cách chọn hệ số c, 5 cách chọn hệ số d. Vậy có 4 x 5 x 5 x 5 = 500 đa thức. b. Có 4 cách chọn hệ số a (a≠ 0) - Khi đã chọn a, có 4 cách chọn b - Khi đã chọn a và b, có 3 cách chọn c. - Khi đã chọn a, b và c, có 2 cách chọn d. Theo quy tắc nhân có: 4 x 4 x 3 x 2 = 96 đa thức. Bài 2: Để tạo những tín hiệu, người ta dùng 2 lá cờ màu khác nhau cắm thành hàng ngang. Mỗi tín hiệu được xác định bở số lá cờ và thứ tự sắp xếp. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu tín hiệu nếu: a. Cả năm lá cờ đều được dùng? b. Ít nhất một lá cờ được dùng? Giải: a. Nếu dùng cả 5 lá cờ thì mỗi tín hiệu chính là một hoán vị của 5 lá cờ. Vậy có 5!=120 tín hiệu được tạo ra. b.Mỗi tín hiệu tạo bởi k lá cờ là một chỉnh hợp chập k của 5 phần tử. Theo quy tắc cộng, có tất cả 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 325A A A A A+ + + + = tín hiệu. Bài 3: Từ một tổ gồm 6 bạn nam và 5 bạn nữ, chọn ngẫu nhiên 5 bạn xếp vào bànd 9ầu theo những thứ tự khác nhau. Tính xác suất sao cho trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam. Giải Mỗi một sự sắp xếp chỗ ngồi cho 5 bạn là một chỉnh hợp chập 5 của 11 bạn. Vậy không gian mẫu Ω gồm 5 11 A (phần tử) Kí hiệu A là biến cố: “Trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam” Để tính n(A) ta lí luận như nhau: - Chọn 3 nam từ 6 nam, có 3 6 C cách. - Chọn 2 nữ từ 5 nữ, có 2 5 C cách. - Xếp 5 bạn đã chọn vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau, có 5! Cách. Từ đó theo quy tắc nhân ta có: n(A) = 3 6 C . 2 5 C .5! Vì sự lựa chọn và sự sắp xếp là ngẫu nhiên nên các kết quả đồng khả năng. Do đó: 3 2 6 5 5 11 . .5! ( ) 0,433 C C P A A = ≈ . Bài 4: Một tổ chuyên môn gồm 7 thầy và 5 cô giáo, trong đó thấy P và cô Q là vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 5 người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp. Tính xác suất để sao cho hội đồng có 3 thầy, 2 cô và nhất thiết phải có thầy P hoặc cô Q nhưng không có cả hai. Giải: Kết quả của sự lựa chọn là một nhóm 5 người tức là một tổ hợp chập 5 của 12. Vì vậy không gian mẫu Ω gồm 5 12 792C = phần tử. Gọi A là biến cố cần tìm xác suất. B là biến cố chọn được hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có thầy P nhưng không có cô Q. Trang 10 [...]... 1 Các xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: * - Cách 1: Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng - Cách 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và tìm phương của giao tuyến Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD và AB > CD) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: a) (SAC) và (SBD) S b) (SAD) và (SBC) c) (SAB) và (SCD) Giải Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là A giao điểm của AD... điểm đó Trang 29 Giáo án tự chọn nâng cao 11 - Hai đường thẳng cắt nhau - Hai đường thẳng song song B ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 5 Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung 6 Nếu d’ nằm trong mặt phẳng (α) và d song song d’ thì d // (α) hoặc d chứa trong (α) 7 Cho d song song với (α) Nếu (β) chứa d và cắt (α) theo giao tuyến d’ thì giao tuyến của... (SAC)∩(SBD)=SO B Trang 30 Hình 5.3 Giáo án tự chọn nâng cao 11 b Tương tự, (SAD)∩(SBC)=SI C S là điểm chung của (SAB) và (SCD), hơn nữa (SAB) và (SCD) lần lượt chứa AB và CD song song với nhau nên giao tuyến là đường thẳng ∆ đi qua S và song song với AB và CD 2 Tìm tập hợp giao điểm: Bài 2: Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là tứ giác sao cho AD cắt BC tại E, M là điểm thuộc đoạn SC a Tìm giao điểm N của... trị của m 3 Bài 7: a Tìm giao điểm của đồ thị các hàm số y = (H) và y = x – 2(d) x b Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại các giao điểm đó * Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) của hàm số y=f(x) tại M0(x0;y0) là y-y0=f’(x0)(x–x0) Giải: a Hoành độ giao điểm của (H) và (d) là nghiệm của phương trình:  x2 − 2x − 3 = 0  x = −1 3 = x−2⇔  ⇔ x x = 3 x ≠ 0 Vậy có hai giao điểm của (H) và (d) là... 2 người từ tổ I, có C13 cách 2 Chọn 2 người từ tổ II, có C12 cách 2 2 Từ đó không gian mẫu gồm: C13 C12 = 5148 (phần tử) Trang 11 Giáo án tự chọn nâng cao 11 2 2 n(B) = C6 C8 = 420 2 2 n(C) = C7 C4 = 126 420 126 546 + + ≈ 0,106 Vậy P(A) = 5148 5148 5148 Bài 7: Xét phép thử gieo một đồng tiền 3 lần a Xác định không gian mẫu b Gọi X là số lần xuất hiện mặt gấp S, hãy liệt kê các giá trị mà X có thể nhận... 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành a Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) và giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) b Một mặt phẳng (α) thay đổi qua BC cắt cạnh SA tại A’ (A’ không trùng với S và A) và cắt cạnh SD tại D’ Tứ giác BCD’A’ là hình gì? c Gọi I là giao điểm của BA’ và CD’, J là giao điểm của CA’ và BD’ Với (α) như câu b thì I và J chạy trên các... song với mặt phẳng (BDC1) 5 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau a AA’ và BD b BD và A’C’ Trang 33 Giáo án tự chọn nâng cao 11 CHỦ ĐỀ 6: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN I TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN: 1 Các quy tắc cần nhớ: a Quy tắc ba điểm uu uu uu ur ur ur u u u u uu ur ur u r Với ba điểm A, B, C bất kỳ ta có AB + BC = AC... ta có bảng phân phối sau: Y 0 1 2 3 15 60 45 6 P 126 126 126 126 b Kí hiệu [Y ≥ a] là biến cố “Y nhận giá trị lớn hơn hoặc bằng a” Trang 12 Giáo án tự chọn nâng cao 11 Ta tính P[Y ≥ 1] Vì [Y ≥ 1] là biến cố đối của biến cố [Y = 0] nên: P[Y ≥ 1] = 1 – P [Y = 0] = 1 - 5 111 = ≈ 0,881 126 126 c Vì số bi đỏ được lấy là 4 – Y và 4 – Y ≤ 2 ⇔ Y ≥ 2 nên P[Y ≥ 2] = P[Y = 2] + P[Y = 3] = 45 + 6 51 = ≈ 0, 405... sau: a lim+ x−7 x−7 và lim− x →−2 x + 2 x+2 b lim− 2 x 3 + 11 2 x 3 + 11 và lim+ x →−1 x +1 x +1 x →−2 x →−1 3  1 − 3  4 Cho hàm số f(x) =  x − 1 x − 1  mx + 2  Với giá trị nào của m, hàm số f(x) có giới hạn khi x → 0.Tìm giới hạn đó 5 Tìm các khoảng liên tục của các hàm số sau: a f(x) = x2 + x − 6 ; Trang 22 ) Giáo án tự chọn nâng cao 11 π  2 x + 1 nếu x≤  6  π π  . ta được: tan 2 x (tanx – 1) = 5tanx – 1 – 2(1+tan 2 x) ⇒ tan 3 x – tan 2 x = 5tanx – 3 – 2 tan 2 x ⇒ tan 3 x + tan 2 x – 5tanx + 3 = 0 Đặt t = tanx ta được. trình tan3x – 2tan4x + tan5x = 0 với x ∈ (0,2π) Giải: Điều kiện của phương trình đã cho: cos3x ≠ 0, cos4x ≠ 0 và cos5x ≠ 0. Ta có: tan3x -2tan4x + tan5x