ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ Năm học 2002-2003. Bài1:(4điểm). Cho phương trình : 012)12( 2 =+−− mxxm . a/ Đònh m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1; 0). b/ Đònh m để phương trình có hai nghiệm 21 ; xx thõa 1 2 2 2 1 =− xx . Bài 2: (5điểm). Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây; a/ 381257 2 +−=−+− xxxx ; b/      =++ =+++ 7 8 22 22 xyyx yxyx ; c/      =++ =++ 11 11 yx yx Bài 3: (3điểm). a/ Cho a > c, b > c , c > 0 . chứng minh : abcbccac ≤−+− )()( . b/ Cho 1,1 ≥≥ yx . Chứng minh xyyx + ≥ + + + 1 1 1 1 1 1 22 Bài 4: (3điểm). Từ điểm a ở ngoài đường tròn ( o), kẻ tiếp tuyến AB , AC với đưòng tròn (B,C là các tiếp điểm ) . Trên tia đối của tia BC lấy điểm D .Gọi E là giao điểm của DO và AC .Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O)Tiếp tuyến này cắt AB ở K .Chứng minh D,B,O,K cùng nằm trên một đường tròn . Bài 5: (2điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC . Có hai đường thẳng lưu động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt ở D và E . Xác đònh vò trí của D và E để diện tích tam giác DME đạt giá trò nhỏ nhất . Bài 6: (3điểm). Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Qua A vẽ hai đường thẳng (d) và (d’) đường thẳng (d) cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D , đường thẳng (d’) cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N sao cho AB là phân giác của góc MAD. Chứng minh rằng CD = MN. ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT TỈNH THÁI BÌNH Năm học 2002-2003.Thời gian : 150 phút Bài 1: (2điểm). Cho biểu thức x x x xx x x x x K 2003 ) 1 14 1 1 1 1 ( 2 2 + − −− + + − − − + = . a/ Tìm điều kiện đối với x để biểu thức K xác đònh . b/ Rút gọn biểu thức K. c/Với những giá trò nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trò nguyên . Bài 2: (2điểm). Cho hàm số : y= x + m (D ).Tìm các giá trò của m để đường thẳng (D) : a/ Đi qua điểm A( 1; 2003). b/Song song với đường thẳng x- y +3 = 0; c/ Tiếp xúc với parabol .2 4 1 xy −= . Bài 3: (3điểm). a/ Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13 m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m . Tính diện tích hình chữ nhật đó. b/ chứng minh bất đẳng thức : 20032002 2002 2003 2003 2002 +>+ . Bài 4: (3điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A .Nửa đường tròn đường kính AB căùt BC tại D . Trên cung AD lấy một điểm E . Nối BE và kéo dài cắt AC tại F. a/ Chứng minh CDEFlà một tứ giác nội tiếp . b/ Kéo dài DE cắt AC ở K . Tia phân giác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q .Tứ giác MPNQ là hình gì ? Tại sao? c/ Gọi 21 ,, rrr theo thứ tự là bán kính đường trònnoij tiếp các tam giác ABC, ADB, ADC. Chứng minh rằng 2 2 2 1 2 rrr += ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 QUẬN 1 -TP HỒ CHÍ MINH Năm học 2002-2003. Bài 1: (3điểm). Giải phương trình : .4241 222 +−=−+− xxxx Bài 2: (3điểm).Chứng minh đẳng thức a b a ba b a b ab − − = − − , với a,b trái dấu . Bài 3: (3điểm). Rút gọn 3242)4321(23 3814 3 )3612( +++−−− − − . Bài 4: (3điểm). Trong các hình chữ nhật có diện tích là p , hình chữ nhật nào có diện tích lớn nhất ? Tìm diện tích đó. Bài 5: (4điểm). Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngoài đường tròn (O) .Kẻ tiếp tuyến AM,AN ;đường thẳng chứa đường kính song song với MN cắt AM, AN lầ lượt tại B ,C . Chứng minh : a/ Tứ giác MNCB là hình thang cân . b/ 2 . RMBMA = . c/K thuộc cung nhỏ MN .Kẻ tiếp tuyến tại K cắt AM, AN lần lựot tại P, Q .Chứng minh : 4 . 2 BC CQBP = Bài 6: (4điểm). Cho đường tròn (O)và đường kính AB .Kẻ tiếp tuyến (d) tại B của đường tròn (O ). Gọi N là điểm di động trên (d),kẻ tiếp tuyến NM ( M thuộc (O). a/ Tìm quỹ tích tâm P của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB. b/ Tìm quỹ tích tâm Q của đường tròn nội tiếp tam giác MNB. ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN –TỈNH HÀ TÂY Năm học 2003-2004. Bài 1: (2điểm). Cho biểu thức ) 1 2 1(:) 1 2 1 1 ( + − −−+ − − = x x xxxx x x P .Với 1,0 ≠≥ xx . 1/ Rút gọn P ; 2/ Tìm x sao cho P< 0 ; Bài 2: (1,5điểm). Cho phươngtrình : 02)12( 2 =−+−+ mxmmx . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thõa mãn : 2003 2 2 2 1 =+ xx . Bài 3: (2điểm ). Một bè nứa trôi tự do (với vận tốc bằng vận tốc dòng nước )và một ca nô cùng rời bến A để xuôi dòng sông .Ca nô xuôi dòng được 144km thì quay về bến A ngay , cả đi lẫn về hết 21 giờ .Trên đường ca nô trở về bến A , khi còn cách bến A 36 kmthì gặp bè nứa trôi nói ở trên .Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước . Bài 4: (3,5điểm ). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R .C là trung điểm của đoạn thẳng AO , Đường thẳng Cx vuông góc với đường thẳng AB , Cx cắt nửa đường tròn trên tại I . K là một điểm bất kì nằm trên đoạn thẳng CI (K khác I ; K khác C), tia AK cắt nửa đường tròn đã cho tại M .Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O tại điểm M cắt Cx tại điểm N tia BM cắt Cx tại D. 1/ Chứng minh bốn điểm A,C,M,D cùng nằm trên một đường tròn . 2/ Chứng minh tam giác MNK cân . 3/Tính diện tích tam giác ABD khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI. 4/Chứng minh rằng khi K di động trên CI thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AKD nằm trên một đường thẳng cố đònh . Bài 5: (1 điểm ). Cho a,b,c là ba số bất kì đều khác không và thõa mãn : 03 ≤++ abbcac . Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm : .0))()(( 222 =++++++ baxcxacxbxcbxax ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN –LÊ HỒNG PHONG -TỈNH NAM ĐỊNH Năm học 2003-2004. Bài 1 : (1,5 điểm). Cho phương trình : .01 2 =−+ xx Chứng minh trằng phương trình có hai nghiệm trái dấu . Gọi 1 x là nghiệm âm của phương trình . Hãy tính giá trò của biểu thức : .1310 11 8 1 xxxP +++= Bài 2( 2 điểm). Cho biểu thức : .2)3(5 xxxxP +−+−= Tìm giá trò nhỏ nhất , lớn nhất của P khi 30 ≤≤ x . Bài 3: ( 2 điểm ). a/Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên a,b,c sao cho : 2007 222 =++ cba . b/ Chứng minh rằng không tồn tại các số hữu tỉ x,y, z sao cho : .0753 222 =++++++ zyxzyx Bài 4 :( 2,5điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A .Vẽ đường cao AH .Gọi (O) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC .Trên cung nhỏ AH của đường tròn (O) lấy điểm M bất kì khác A .Trên tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) lấy hai điểm Dvà E sao cho BD = BE = BA . Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N . a/ chứng minh rằng tứ giác BDNE nôò tiếp . b/ chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và đường tròn (O) tiếp xúc với nhau . Bài 5 ( 2 điểm) . Có n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng .Hai điểm bất kì được nối với nhau một đoạn thẳng ,mỗi đoạn thẳng được tô một màu xanh đỏ hoặc vàng . Biết rằng có ít nhất một đoạn màu xanh ,một đoạn màu đỏ , một đoạn màu vàng ;không có điểm nào mà các đoạn thẳng xuất phát từ đó có đủ cả ba màu và không có tam giác nào tạo bỡi các đoạn thẳng đã nối có ba cạnh cùng màu . a/ Chứng minh rằng không tồn tại ba đoạn thẳng cùng màu xuất phát từ cùng một điểm . b/ Hãy cho biết có nhiều nhất có bao nhiêu điểm thõa mãn đề bài . ĐỀ THI VÀO 10 NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA- T P HỒ CHÍ MINH Năm học 2003-2004. Bài 1: 1/ Chứng minh rằng : phương trình 0)(2)( 4433222 =−+−+− baxbaxba .luôn có nghiệm với mọi a, b. 2/ Giải hệ phương trình    =+++ =++ 35)1()1( 5 33 yx xyyx Bài 2 : 1/ Với mỗi số nguyên dương n, đặt { ;122;122 112112 ++=+−= ++++ nn n nn n ba Chứng minh rằng với mọi n , nn ba . chia hết cho 5 va ø nn ba . + không chia hết cho 5. 2/tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao tích của chúng bằng tổng của chúng Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao ., 11 ACKAABHA ⊥⊥ Đặt ., 11 yCAxBA == 1/ Gọi r và r’ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC và AHK Hãy tính tỉ số r r' theo x, y .tìm giá trò lớn nhất của tỉ số đó. 2/Chứng minh rằng Tứ giác BHKC nội tiếp trong một đường tròn . Tính bán kính của đường tròn đó theo x,y. Bài 4: 1/Cho đường tròn (C) tâm O và điểm A khác O nắm trong đường tròn một đường thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (C) tại M, N .Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố đònh khác O . 2/ Cho đường tròn (C) tâm O và đường thẳng (D) nằm ngoài đường tròn . I là một điểm di động trên (D) Đường tròn đường kính IO căÉt (C) tại M,N. Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố đònh . Bài 5: 1/ Cho một bảng vuông 4x 4 ô.Trên các ô của hình vuông này ,ban đầu người ta ghi 9số 1và 7 số 0 một cách tùy ý (mỗi ô một số ) .Với mỗi phép biến đổi bảng cho phép chọn một hàng hay một cột bất kì và trên hàng hay trên cột đã chọn ,đổi đồng thời các số 0 thành số1, các số 1 thành số 0 . Chứng minh rằng sau một số phép biến đổi hữu hạn như vậy , ta thể đưa bảng ban đầu về bảng toàn bộ số 0. 2/Ở vương quốc “sắc màu kỉ ảo “ Có 45 hiệp só : 13 hiệp só tóc đỏ , 15 hiệp só tóc vàng và, 17 hiệp só tóc xanh . Khi hai hiệp só có màu tóc khác nhau mà gặp nhau thì tóc của họ lập tức đổi sang màu tóc thứ ba (ví dụ : khi hiệp só tóc đỏ gặp hiệp só tóc vàng Thì cả hai đổi sang tóc xanh ).Hỏi có thể xảy ra trường hợp sau một số hữu hạn lần gặp nhau như vậy ở vương quốc “sắc màu kì ảo “ Tất cả các hiệp só có cùng mùa tóc được không? ĐỀ THI VÀO 10 CHUYÊN NGUYỄN TRÃI – HẢI DƯƠNG Năm học 2003-2004. Bài 1: Cho hai số dương a và b .Xét tập hợp T bao gồm các số có dạng : }.1;0,0,{ =+>>+= yxyxbyaxT Chứng minh các số : abva ba ab + 2 đều thuộc tập T . Bài 2: Ch o tam giác ABC ,D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AB, AC . Chứng minh đường phân giác trong của góc B , đường trung bình song song với AB của tam giác ABC và đường thẳng DE đồng qui. Bài 3; 1/ Giải hệ phương trình      =+− =−+ 85))(( 45))(( 22 22 yxyx yxyx 2/ Tìm các số hữu tỉ a,b,c sao cho các số : a c c b b a 1 , 1 , 1 +++ là các số nguyên dương . Bài 4 : Tìm đa thức f(x) và g(x) với hệ số nguyên sao cho : 2 )72( )72( = + + g f . Bài 5 Tìm số nguyên tố p để 14 2 + p và 16 2 + p là các số nguyên tố . Bài 6 : Cho phương trình : .0 2 =++ baxx có hai nghiệm 21 xx ≠ . Đặt 21 21 xx xx u nn n − − = (n là số tự nhiên ). Tìm giá trò của a,b sao cho đẳng thức : n nnnn uuuu )1( 321 −=− +++ . Với mọi số tự nhiên n từ đó suy ra 21 ++ =+ nnn uuu ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 -TỈNH NAM ĐỊNH KHÓA THI: 2002-2003. Bài 1: Rút gọn biểu thức : 5310 53 5310 53 −+ − − ++ + = A . Bài 2: Gọi avà b là hai nghiệm của phương trình bậc hai : .01 2 =−− xx Chứng minh rằng các biểu thức ,20032003200120014422,33 babavaRbabaQbabaP +++=+++=+++= là những số nguyên và chia hết cho 5 . Bài 3: 1/ Cho hệ phương trình )1( .44 12 22 2      =−+ =− myxyx xyx a/ Giải hệ phương trình khi m=7 . b/ Tìm m sao cho hệ phương trình (1) cónghiệm . Bài 4 : Cho hai đường tròn )();( 21 CC tiếp xúc ngoài với nhau tại T hai đường tròn này nằm trong đường tròn )( 3 C và tiếp xúc vơí )( 3 C tương ứng tại Mvà N . tiếp tuyến chung tại T của )();( 21 CC cắt )( 3 C tại P . PM cắt )( 1 C tại điểm thứ hai là Avà MN cắt )( 1 C tại điểm thứ hai là B . PN cắt )( 2 C tại điểm thứ hai là D và MNø cắt )( 2 C tại điểm thứ hai là C. Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp . Chứng minh rằng các đường thẳng AB , CD và PT đồng qui . Bài 5 :Một ngũ giác có tính chất : tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của một ngũ giác đều có diện tích bằng 1. tính diện tích của ngũ giác đó . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 -TỈNH BẮC NINH KHÓA THI: 2002-2003. BÀI 1:1/ Tìm các số tự nhiên x,y thõa mãn : 30263 2 =+ y x . 2/ Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 1989 =+ yx . Bài 2: 1/ Tìm các giá trò của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn m : .0 2 =++ mxx 2/ Tìm các giá trò của a để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt : 01)7(4 =+−+ xaxx . 3/Tìm x thõa mãn : xxxxx 21081087 22 =+−−++ . Bài 3 : Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây cung AB cố đònh trương cung 0 120 .Lấy C thay đổi trên cung lớn AB (C không trùng A và B ); M trên cung nhỏ AB ( M không trùng Avà B) . Hạ ME , MF thứ tự vuông góc với AC và BC . 1/ Cho M cố đònh hãy chứng minh EF luôn đi qua điểm cố đònh khi C thay đổi . 2/ Cho M cố đònh hãy chứng minh giá trò MF BC ME AC + không thay đổi khi C thay đổi . 3/ Khi M thay đổi hạ MK vuông góc với AB .Hãy xác đònh vò trí của M sao cho MK AB MF BC ME AC ++ đạt giá trò nhỏ nhất . Bài 4 : Cho tam giác đều ABC .Lấy điểm M ngoài Tam giác sao cho 2 = MA ;MB=2 (cùng đơn vò đo độ dài vớicạnh tam giác ); góc 15 = MAC độ ( tia CM nằm giữa hai tia CAvà CB ).Tính độ dài CM và số đo góc BMC. . này ,ban đầu người ta ghi 9số 1và 7 số 0 một cách tùy ý (mỗi ô một số ) .Với mỗi phép biến đổi bảng cho phép chọn một hàng hay một cột bất kì và trên hàng. thời các số 0 thành số1 , các số 1 thành số 0 . Chứng minh rằng sau một số phép biến đổi hữu hạn như vậy , ta thể đưa bảng ban đầu về bảng toàn bộ số 0. 2/Ở