Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: Nguyễn Minh Triết Vấn đề: GTLN-GTNN 1 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A) LÝ THUYẾT: I)Cho hàm số y=f(x) xác đònh trên tập D . 1) Số M gọi là GTLN của hàm số f(x) trên D nếu :    =∈∃ ≤∈∀ MxfDx MxfDx )(/ )(; 00 .Kí hiệu )(xMaxf D =M 2) Số m gọi là GTNN của hàm số f(x) trên D nếu :    =∈∃ ≥∈∀ mxfDx mxfDx )(/ )(; 00 .Kí hiệu )(min xf D = m II)Cách tìm GTLN-GTNN của hàm số y = f(x) : 1) Dùng phương pháp đạo hàm : a) Trường hợp hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng hoặc nửa khoảng : Cách giải : +Tìm các điểm tới hạn trên khoảng hoặc nửa khoảng cho trước . + Lập bảng biến thiên rồi từ đố suy ra kết quả. Đặc biệt : Khi trên bảng biến thiên có duy nhất một cực trò : -Nếu cực trò của hàm số là y cđ thì y cđ = max y trên D. -Nếu cực trò của hàm số là y ct thì y ct = min y trên D. b) Trường hợp hàm số liên tục trên đoạn [a;b]: Cách giải : +Tìm các điểm tơi hạn của hàm số trên đoạn [a;b]. +Tính f(a);f(b);f(x i ) với x i là các điểm tới hạn thuộc [a;b].Khi đó : { } )();();(max )(max ];[ i xfbfaf xf ba = & { } )();();(min )(min ];[ i xfbfaf xf ba = . 2) Dựa vào điều kiện phương trình có nghiệm (hay còn gọi là Miền giá trò của hàm số) Cách giải: +Ta xem y là hằng số ,ta cần tìm y để phương trình f(x) = y có nghiệm x thuộc D. +Từ đó ta tìm ra miền giá trò của y và suy ra được GTLN-GTNN của hàm số. *Chú ý: 1) Cách giải này không cần chỉ ra giá trò của biến ứng với các GTLN-GTNN. 2) Một số phương trình ta cần lưu ý đến điều kiện có nghiệm của nó như sau: a) ax+ b = 0 có nghiệm x 00 ==∨≠⇔∈ baaR b) ax 2 +bx +c = 0 có nghiệm x R    ≥∆∧≠ ===∨≠∧= ⇔ 00 000 a cbaba Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: Nguyễn Minh Triết Ví dụ 1: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau: a) 1 12 2 ++ + = xx x y ; b) 1 1 2 2 + − = x x y ; c) y = 255 345 ++− xxx với x [ ] 2;1 −∈ d) 4sincos2 3sin2cos +− ++ = xx xx y ; e) xx xx y 24 24 cos2sin3 sin4cos3 + + = . Ví dụ 2: Tìm GTLN-GTNN (nếu có) của các hàm số sau : a) x x xy sin 9 4 2 ++= π trên khoảng (0 ; + ∞ ) ; b) xxxxy sincoscossin += c) 1212 −++−−= xxxxy ; d) 13 −+−= xxy Ví dụ 3:Tìm GTLN-GTNN (nếu có) của các biểu thức sau : a) xyx yxy M 221 )(2 2 2 ++ + = ; với 1 22 =+ yx ; b) 52 +−= xyM ; biết 11636 22 =+ yx c) 22 2yxyxM +−= ; với 1 22 =++ xyyx ; d) 2244 yxyxM −+= ; biết 1 22 =−+ xyyx . VD 1a): Cách 1) Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên khoảng. Cách 2) Dùng điều kiện phương trình có nghiệm x R ∈ . VD 1b): Cách 1) Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên R. Hoặc đặt ẩn Phụ t = x 2 với điều kiện t ≥ 0 rồi dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên nửa khoảng. Cách 2) Dùng điều kiện phương trình có nghiệm . VD 1c): Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên đoạn . VD 1d): Cách 1) +Xét x= ππ k2 + ;tính y . + Xét x ππ k2 +≠ .Khi đó )(; 22 Zkk x ∉+≠ π π R x tg ∉⇒ 2 .Đặt t = 2 x tg → Biểu diễn sinx ; cosx theo t với công thức : Sinx = 2 1 2 t t + ; cosx = 2 2 1 1 t t + − . + Thu được hàm số f(t) với t R ∈ ; có thể giải bằng phương pháp đạo hàm . Cách 2) Dựa vào điều kiện phương trình : asinx + bcosx =c có nghiệm x R ∈ . VD 1e): + Dùng ẩn phụ t =sin 2 x hoặc t = cos 2 x ;với 0 1 ≤≤ t ; (hoặc có thể dùng ẩn phụ t = cos2x ; với -1 1 ≤≤ t ) + Sau đó dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số f(t) liên tục trên đoạn. Vấn đề: GTLN-GTNN 2 C) HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ : B) CÁC VÍ DỤ ( có hướng dẫn) Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: Nguyễn Minh Triết VD 2):a)+Dùng Côsi đối với 2 số hạng đầu không âm và đánh giá sinx 1 −≥ .Từ đó suy ra được GTNN (không tồn tại GTLN). b)+Lấy điều kiện sinx ;cosx 0 ≥ .Sau đó dùng bất đẳng thức BNC (BuNhia-Côpxki). c)+Lấy điều kiện →+−+−−=→ 1111 xxy Dùng BĐT trò tuyệt đối. d)Cách 1):Lấy điều kiện → Dùng đạo hàm đối với hàm số liên tục trên đoạn . Cách 2):Lấy điều kiện → Dùng BĐT Côsi. VD 3):a)Cách 1):Thay số 1 ở mẫu bỡi x 2 +y 2 → Xét trường hợp y =0 .Tính M → y →≠ 0 chia Cả tử và mẫu cho y 2 rồi đặt ẩn phụ t = y x ;với t R ∈ .Khi đó thu được hàm số f(t) là hàm phân thức có tử và mẫu đều là bậc 2 → Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên khoảng. Cách 2):Do gt : x 2 +y 2 =1 → đặt x = cos α và y = sin α → Dùng điều kiện phương trình có nghiệm . b)Cách 1):Xem M là hằng số ta cần tìm M để hệ phương trình sau có nghiệm:    =+ =+− 91636 52 22 yx Mxy → phương trình bậc hai một ẩn x (hoặc y) với M là tham số .Từ điều kiện phương trình một ẩn có nghiệm (để hệ có nghiệm) ⇒ miền giá trò của M ⇒ GTLN-GTNN. Cách 2):Dùng BĐT BNC ;(Lưu ý :Biến đổi M = 5)6( 3 1 )4( 4 1 +−+ xy để sử dụng Gt : 36x 2 ++16y 2 = 9 ). Cách 3):Trước hết biến đổi gt về 1 3 4 )2( 2 2 =       + y x → đặt →      = = α α sin 3 4 cos2 y x M = 5cossin 4 3 +− αα Dựa vào điều kiện PT có nghiệm hoặc BĐT BNC hoặc dựa vào miền giá trò y = asinx +bcosx = )sin( 22 β ++ xba . c) Từ gt xyyx yxyx M ++ +− =⇒ 22 22 2 → Xét y = 0 thì M =1 R y x t tt tt My ∈= ++ +− =⇒≠→ ; 1 2 0 2 2 . → Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên khoảng . d) + gt      −≥⇒−≥−+= ≤⇒=−≥−+= ⇒ 3 1 33)(1 121 2 22 xyxyxyyx xyxyxyxyxyyx Vấn đề: GTLN-GTNN 3 Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: Nguyễn Minh Triết 1 3 1 ≤=≤−⇒ txy +gt       − ∈++−=→++−=→+=+⇒ 1; 3 1 ;122)(1)(2)(21 2222 ttttfxyxyMxyyx +Dùng phương pháp đạo hàm đối với hàm số liên tục trên đoạn. Bài 1: Tìm a và b để cho hàm số : a) 2 1 x bax y + + = đạt GTLN bằng 4 và GTNN bằng (-1). b) 1 2 2 + ++ = x baxx y đạt GTLN bằng 5 và GTNN bằng (-1). Bài 2:Tìm GTLN-GTNN của: a) 22 4 )1( 1 x x y + + = ; b) 32 ++−= xxy ; c) 2 4 xxy −+= d) 1sinsin 1sin 2 ++ + = xx x y ; e) xxy 2 sin2sin −+= ; f) 1 1 2 + + = x x y trên đoạn [-1;2] g) 32 24 +−= xxy trên [-3;2] ; h) x x y cos2 sin + = ;với x ∈ [ ] π ;0 i) xxxy 1232 23 −+= trên đoạn [-3;3] ; k) )sin1(cos xxy += với x ∈ [ ] π 2;0 Bài 3:Tìm giá trò lớn nhất của : a) 4 2 1 x x y + = ; b) xyyxM +++= 11 ; với điều kiện : 1 22 =+ yx Bài 4:Tìm GTNN của : a) 22 2 43 yx xyy M + − = ; b) 1 1 3 1 2 + + +         + = x x x x y . c) f(x)= 5cossin4sin2 2 ++ xxx . ; d) 1 cos 1 cos cos 1 cos 2 2 ++++= x x x xy . e) x xy 2 2 lg2 1 lg + += ; g) xx xxy 22 3 sincos 1 )sin(cos ++= e) 1083 2 2 2 2 +         +−         += x y y x x y y x M ; với xy 0 ≠ f) a b b a a b b a a b b a M ++         +−+= 2 2 2 2 4 4 4 4 ; với ab 0 ≠ Bài 5: Tìm GTLN-GTNN của các biểu thức sau : a) )1)(1( )1)(( 22 yx xyyx M ++ −+ = ; b) 22 −−= yxA ; biết 3649 22 =+ yx c) 2222 2222 )1()1( )1)(( yx yxyx M ++ −− = ; d) yxA 32 −= ; biết 4 22 =+ yx Bài 6: Giả sử x và y liên hệ với nhau bỡi hệ thức : 0102)(72 22 =+++++ yyxxyx . Vấn đề: GTLN-GTNN 4 D) BÀI TẬP ÁP DỤNG: Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: Nguyễn Minh Triết Hãy tìm GTLN-GTNN của biểu thức S = x + y +1 . Bài 7: Tìm m để x xm y cos2 sin1 + + = có GTNN nhỏ hơn (-1) . Bài 8: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau : a) )sin6)(sin2( 15 1 xxy −+= ; b) xxxxy cossincossin 66 ++= c) xxy 64 cossin = ; d) xxy cossin 4 −= . e) 2cossin cos2 −+ + = xx x y ; f) xxy 5coscos5 −= trên đoạn       − 4 ; 4 ππ h) xx y 2 cos 4 2 sin 4 += ; i) xxy 2cossin2 48 += k) xxxy 22 sincos32sin −+= ; l) x x y 2 cos2 2sin2 + + = Bài 9: Biết x,y thay đổi và    =+ ≥≥ 1 0;0 yx yx Tìm GTLN-GTNN của a) P = 11 + + + x y y x ; b) Q = y x − + 1 93 Bài 10: Cho x,y thay đổi thoả mãn x >0 ;y> 0 và x + y = 1 .Hãy tìm GTNN của biểu thức : P = y y x x − + − 11 Bài 11: Cho tam giác nhọn ABC ,tìm GTNN của biểu thức P = tgA.tgB.tgC Bài 12: Cho ABC ∆ có 0 90 ≤≤≤ ABC .Tìm GTNN của biểu thức : M = 2 sin. 2 sin. 2 cos BABA − Bài 13: Cho A,B,C là ba góc của một tam giác .Tìm GTLN của biểu thức : M = 3cosA + 2(cosB + cosC) . Bài 14: Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ phương trình :    −+=+ −=+ 32 12 222 aayx ayx .Xác đònh a để tích xy là nhỏ nhất . Bài 15:a) Cho x,y thay đổi thoả mãn điều kiện 40;30 ≤≤≤≤ yx .Tìm GTLN của biểu thức : A= (3-x)(4-y)(2x+3y) . b) Cho a 3 ≥ ; b ≥ 4 ; c 2≥ .Tìm GTLN của )432( 1 −+−+−= bcaabccab abc F c) Cho x;y;z biến thiên và thoả mãn điều kiện : xy+yz+zx = 4 .Tìm GTNN của biểu thức F = 444 zyx ++ . Bài 16: Cho x,y,z > 0 và x+y+z = 1.Tìm GTLN của biểu thức : P = 111 + + + + + z z y y x x Bài 17: Cho cos2x + cos2y =1 (x,y R ∈ ) .Tìm GTNN của A = tg 2 x + tg 2 y . Bài 18: a) Cho ABC ∆ ,tìm GTLN của P = )cos(cos3cos3 CAB ++ Vấn đề: GTLN-GTNN 5 Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: Nguyễn Minh Triết b) Cho ABC ∆ ,tìm GTNN của P = CBA 2cos2 1 2cos2 1 2cos2 1 − + + + + . c) Cho ABC ∆ , tìm GTLN của P = 3(cosB +2sinC)+4(sinB+2cosC) . Bài 19: Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x 2 −2x+3. Kq: R Min f(x) = f(1) = 2 Bài 20: Tìm giá trò lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x 2 −2x+3 trên [0;3]. Kq: ]3;0[ Min f(x)=f(1)=2 và ]3;0[ Max f(x)=f(3)=6. Bài 21: Tìm giá trò lớùn nhất của hàm số y = f(x) = 1x 4x4x 2 − +− với x<1. Kết quả : )1;( Max −∞ f(x) = f(0) = −4 Bài 22 Muốn xây hồ nước có thể tích V = 36 m 3 , có dạng hình hộp chữ nhật (không nắp) mà các kích thước của đáy tỉ lệ 1:2. Hỏi: Các kích thước của hồ như thế nào để khi xây ít tốn vật liệu nhất? Kết quả : Các kích thước cần tìm của hồ nước là: a=3 m; b=6 m và c=2 m Bài 23: Tìm giá trò lớn nhất của hàm số y = 1xx x 24 2 ++ . Kết quả : R Max y = f(±1) = 3 1 Bài 24: Đònh m để hàm số y = f(x) = x 3 −3(m+1)x 2 +3(m+1)x+1 nghòch biến trên khoảng( −1;0). Kết quả : m ≤ 3 4 − Bài 25: Tìm trên (C): y = 2x 3x 2 − − điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất. Kết quả :M(0; 2 3 ) Bài 26: Tìm giá trò nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx. Bài 27: Tìm GTLN: y=−x 2 +2x+3. Kết quả: R Max y=f(1)= 4 Bài 28: Tìm GTNN y = x – 5 + x 1 với x > 0. Kết quả: );0( Min ±∞ y=f(1)= −3 Bài 29: Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 + 2 x4 − . Kết quả: 522)2(fyMax ]2;2[ −== − ; 7)2(fyMin ]2;2[ −=−= − Bài 30: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x 3 +3x 2 −1 trên đoạn       − 1; 2 1 Kết quả: 4)1(fyMax ]1; 2 1 [ == − ; 1)0(fyMin ]1; 2 1 [ −== − Bài 31: Tìm GTLN, GTNN của: a) y = x 4 -2x 2 +3. Kết quả: R Min y=f(±1)=2; Không có R Max y b) y = x 4 +4x 2 +5. Kết quả: R Min y=f(0)=5; Không có R Max y c) 2xcos 1xsin22 y + − = . Kết quả: R Min y= 3 7 − ; R Max y=1 Vấn đề: GTLN-GTNN 6 Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: Nguyễn Minh Triết d) 1xx 3x3x y 2 2 ++ ++ = . Kết quả: R Min y= 3 1 ; R Max y=3 Bài 32: Cho hàm số 2xx 1x3 y 2 ++ + = . Chứng minh rằng : 1y 7 9 ≤≤− Bài 33: Cho hàm số ( ) π∈α +α− α+−α = ;0 1cosx2x cosx2cosx y 2 2 . Chứng minh rằng : −1≤ y ≤ 1 Hướng dẫn:y’=0 ⇔ 2sin 2 α . x 2 −2sin 2 α =0 ⇔ x=−1 V x=1. Tiệm cận ngang: y=1 Dựa vào bảng biến thiên kết luận −1≤ y ≤ 1. Bài 34: Đònh x để hàm số sau đạt giá trò nhỏ nhất và tính giá trò nhỏ nhất : y =f(x)= lg 2 x + 2xlg 1 2 + Hướng dẫn và kết quả : Txđ: (0; +∞ ) . Đặt t= lg 2 x, t≥0, ⇒ hàm số y=g(t)=t+ 2t 1 + xác đònh trên [0; +∞), dùng đạo hàm đưa đến y’=0 ⇔ t=−3 ∉[0; +∞ ) V t=−1 ∉[0; +∞ ) ⇒ hàm số y=g(t) đồng biến trên [0;+∞ ) ⇒ );0[ Min +∞ g(t) = g(0) = 2 1 ⇒ );0( Min +∞ f(x) = f(1) = 2 1 Bài 35: Tìm giá trò LN và giá trò NN của hàm số y=2sinx− xsin 3 4 3 trên đoạn [0;π] (Đề thi TNTH PT 2003 − 2004) Kết quả: ];0[ Max π f(x)=f(π /4)= f(3π /4)= 3 22 ; ];0[ Min π f(x)=f(0)=f(π )=0 Vấn đề: GTLN-GTNN 7 . Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: Nguyễn Minh Tri t Vấn đề: GTLN-GTNN 1 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A) LÝ THUYẾT:.  ≥∆∧≠ ===∨≠∧= ⇔ 00 000 a cbaba Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: Nguyễn Minh Tri t Ví dụ 1: Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau: a) 1 12 2 ++ + = xx x y ; b)