LÝ THUYẾT I/Các bước khảo sát hàm: 1). Tìm tập xác định của hàm số. 2). Xét sự biến thiên của hàm số. a). Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực của hàm số.Tìm các tiện cận của hàm số (nếu có). b). Lập bản biến thiên của hàm số, bao gồm: Tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm , xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng. 3). Vẽ đồ thị của hàm số  Vẽ đường tiện cận của đồ thị (nếu có).  Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị, chảng hạn tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ. (trong các trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ dộ hoặc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì bỏ qua phần này ).  Nhận xét về đồ thị : chỉ ra trục và tâm đối xứng của đồ thị (nế có, không yêu cầu chứng minh). II/Xét chiều biến thiên và tiện cận của hàm số: Xét chiều biến thiên: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng [a ; b]  Nếu f ' ( x ) >0 với mọi x ∈[a ;b] thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng [a ; b].  Nếu f ' ( x ) <0 với mọi x ∈[a ;b] thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng [a ; b].  Nếu f ' ( x ) =0 với mọi x ∈[a ;b] thì hàm số f(x) thì hàm số không đổi trên [a ; b] . Tiện cận của hàm số:  Tiện cân đứng : Đường thăng x=x 0 được gọi là đường tiện cận đứng (gọi tắt là tiện cận đứng) của đồ thị hàm số y=f(x) nếu ít nhất một trong các diều kiện sau thoả mản : x → x 0 −¿ f ( x ) =+∞ lim ¿ ¿ x → x 0 +¿ f ( x ) =+∞ lim ¿ ¿ Khảo sát hàm Page 1 x → x 0 −¿ f ( x ) =−∞ lim ¿ ¿ x → x 0 +¿ f ( x ) =−∞ lim ¿ ¿ (xem hình trang bên) 0 x 0 Y=f(x) x=x 0 y=f(x) y x Y=f(x) 0 x 0 x=x 0 y x a) b) x=x 0 0 x 0 Khảo sát hàm Page 2 y=f(x) y x y=f(x) 0 X 0 x=x 0 y c) d)  Tiện cận ngang: Đường thẳng y = y 0 được gọi là đường tiện cận ngang (gọi tắt là tiện cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: lim x→+ ∞ f ( x ) = y 0 hoặc lim x→−∞ f ( x)= y 0 y=y 0 y 0 0 y=f(x) y x Khảo sát hàm Page 3 x y=f(x) y=y 0 y 0 0 y x a) b)  Tiện cận xiên: Đường thẳng y = ax +b, a ≠ 0 , được gọi là đường tiện cân xiên (lgoi5 tắt là tiện cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: lim x→+ ∞ [ f ( x ) − ( ax+b ) ] =0 Hoặc lim x→−∞ [ f ( x ) − ( ax +b ) ] =0 0 (d) y=ax+b y=f(x) y x Khảo sát hàm Page 4 Ví dụ: tìm tiện cận ngang và tiện cận đứng của đồ thị hàm số y= 2x−1 x+2 Giải: Hàm số đã cho có tập xác định là R\{-2} Vì lim x→+∞ y=2 và lim x→−∞ y=2 Nên đường thẳng y = 2 là tiện cận ngang của đồ thị (khi x →+∞ và khi x →−∞ ). Vì x → ( −2 ) +¿ y=+∞ lim ¿ ¿ và x → ( −2 ) −¿ y=−∞ lim ¿ ¿ Nên đường thẳng x= -2 là tiện cận đứng của đồ thị ( khi +¿ x → ( −2 ) ¿ và khi −¿ x → ( −2 ) ¿ ) III/Khảo sát các hàm đa thức: A)Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx +d (a ≠ 0) Ví dụ1 :khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C )của hàm số y= 1 8 ( x 3 −3 x 2 −9 x−5 ) Giải: 1. Hàm số xác định là R . 2. Sự biến thiên của hàm số: Khảo sát hàm Page 5  Giới hạn của hàm số tại vô cực lim x→ ∞ y=−∞ và lim x→ ∞ y=+∞  Bảng biến thiên Ta có y ' = 1 8 (3 x 2 −6x−9) y ' =0 ⟺ x 2 −2x−3=0 ⟺ x=−1 hoặc x=3 x -∞ -1 3 +∞ y’ + 0 - 0 + y 0 +∞ -∞ -4  Kết luận: • Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;-1) và (3;+∞), nghịch biến trên khoảng (-1;3) • Hàm số đạt cực đại tại điểm x=-1;giá trị cực đại của hàm số là y(-1)=0 • Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=3;giá trị cực tiểu của hàm số là y(3)=-4 3. Đồ thị: Điểm uốn: y' '= 1 8 ( 6x−6 ) ⟹ y '' =0 ⟺6x−6=0 ⟺ x=1 Tại điểm x=1 và y’’ đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x=1 Vậy điểm I(1;-2)là điểm uốn của đồ thị Giao điểm với các trục toạ độ:  Giao điểm với trục tung là điểm ( 0 ;− 5 8 )  Ta có y=0 ⟺ ( x+1 ) 2 ( x−5 ) =0 ⟺ x=−1 hoặc x=5. Vậy giao điểm với trục hoành là (-1;0) và (5;0) Điểm đặc biệt: Khảo sát hàm Page 6 x -3 -1 1 3 y -4 0 -2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 6 -6 -5 -4 0 y x 5 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6 Khảo sát hàm Page 7 (C) Nhận xét: đồ thị nhận I(1;-2) làm tâm đối xứng B)hàm số y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) Ví dụ 2: khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=x 4 −2 x 2 −3 Giải: 1. Hàm số xác định trên R. 2. Sự biến thiên của hàm số:  Giới hạn của hàm số tại vô cực lim x→−∞ y=+∞ lim x→+∞ y=−∞  Bảng biến thiên Khảo sát hàm Page 8 Ta có y ' =4 x 3 −4x=4x ( x 2 −1 ) y ' =0 ⟺ x=1hoặc x=−1 khi x=1 ⟹ y=−4 ,khi x=−1 ⟹ y=−4 Khảo sát hàm Page 9 x -∞ -1 0 1 +∞ y’ - 0 + 0 - 0 + y +∞ -3 +∞ -4 -4  Kết luận: • Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0) và (1;+∞); nghịch biến trên khoảng (-∞;-1) và (0;1) • Hàm số đạt cực đại tại điểm x=0;giá trị cực đại của hàm số y(0)=-3 • Hàm số đạt cực đại tại điểm x=-1 và x=1;giá trị cực đại của hàm số y(- 1)=-4 y(1)=-4 3. Đồ thị : y ' ' =12 x 2 −4 y ' ' =0 ⟺ x 1 = √ 3 3 hoặc x 2 = − √ 3 3 và y’’ đổi dấu khi x qua mỗi điểm x 1 và x 2 Do đó U 1 ( − √ 3 3 ;− 32 9 ) vàU 2 ( √ 3 3 ;− 32 9 ) là điểm uốn của đồ thị Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm (0;-3) Ta có y=0 ⟺ x=± √ 3 ,vậyđồ thị cắt trụchoành tại hai điểm ( − √ 3;0 ) và ( √ 3;0 ) Diểm đặc biệt: x -1 − √ 3 3 0 √ 3 3 1 Khảo sát hàm Page 10