Chủ đề 4: SỐ PHỨC Chủ đề VI: SỐ PHỨC Tiết 35+36 CHỦ ĐỀ 5 : SỐ PHỨC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1/ Tập hợp số phức: C 2/ Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b R ∈ , i là đơn vò ảo, i 2 = -1); a là phần thực, b là phần ảo củaz • z là số thực ⇔ phần ảo của z bằng 0 (b = 0) • z là phần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0) 3/ Hai số phức bằng nhau: a + bi = a’ + b’i )',',,( ' ' Rbaba bb aa ∈    = = ⇔ 4/ Biểu diễn hình học : Số phức z = a + bi (a, b )R ∈ được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) hay bởi );( bau = → trong mp(Oxy) (mp phức) y M(a+bi) 0 x 5/ Cộng và trừ số phức : . (a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i . (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’ )R ∈ • Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b )R ∈ • z biểu diễn → u , z’ biểu diễn → 'u thì z + z’ biểu diễn bởi →→ + 'uu và z – z’ biểu diễn bởi →→ − 'uu 6/ Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’ )R ∈ . 7/ Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là biaz −= − a) '.'.;''; zzzzzzzzzz =+=+= b) z là số thực zz =⇔ ; z là số ảo zz −=⇔ 8/ Môđun của số phức : z = a + bi a) OMzzbaz ==+= 22 b) 00,0 =⇔=∈∀≥ zzCzz c) Czzzzzzzzzz ∈∀+≤+= ','',''. 9/ Chia hai số phức : a) Số phức nghòch đảo của z (z )0 ≠ : z z z 2 1 1 = − b) Thương của z’ chia cho z (z )0 ≡ : zz zz z zz zz z z '' ' ' 2 1 === − c) Với z .' ' ,0 wzzw z z =⇔=≠ , z z z z z z z z ' ' , '' ==       D¹ng 1: C¸c phÐp to¸n vỊ sè phøc Bài 1.Thực hiện phép trừhai số phức a) (2+i) -(4+3i) b) ( 1-2i) -(1-3i) c) (2+3i) + (5+3i) d) ( 3-2i) + (-2-3i) e) (3-+5i) +(2+4i) f) ( -2-3i) +(-1-7i) k) (4+3i) -(5-7i) h)( 2-3i) -(5-4i) Bài 2.Thực hiện các phép tính a) (3-2i) .(2-3i) b) ( 1-i) +(3+7i) c) 5(4+3i) (-2+15i) d) ( -2-5i) 4i e) (2+3i) 2 b)(2+3i) 3 Baứi 3 .Tớnh i 3 , i 4 i 5 , i 6 , i 7 ; i 8 ; i 2006 ; i 2007 ;. i 2008 ;. i 2009 Câu1: Thực hiện các phép toán sau: a. (2 - i) + 1 2i 3 ữ b. ( ) 2 5 2 3i i 3 4 ữ c. 1 3 1 3 i 2i i 3 2 2 + + ữ ữ d. 3 1 5 3 4 i i 3 i 4 5 4 5 5 + + + ữ ữ ữ Câu2: Thực hiện các phép tính sau: a. (2 - 3i)(3 + i) b. (3 + 4i) 2 c. 3 1 3i 2 ữ Câu3: Thực hiện các phép tính sau: a. 1 i 2 i + b. 2 3i 4 5i + c. 3 5 i d. ( ) ( ) 2 3i 4 i 2 2i + + e/ 5 + 2i 3(-7+ 6i) ; f/ ( ) ( ) 2 1 2 15 2 3 3 ; / 1 2 ; / ; 2 3 2 i i i c i d i + + ữ + Câu4: Giải phơng trình sau (với ẩn là z) trên tập số phức a. ( ) 4 5i z 2 i = + b. ( ) ( ) 2 3 2i z i 3i + = b. 1 1 z 3 i 3 i 2 2 = + ữ d. 3 5i 2 4i z + = Câu5: Cho hai số phức z, w. chứng minh: z.w = 0 z 0 w 0 = = Câu6: Chứng minh rằng mọi số phức có môđun bằng 1 đều có thể viết dới dạng x i x i + với x là số thực mà ta phải xác định Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trớc a. z 3 1+ = b. z i z 2 3i+ = a. z + 2i là số thực b. z - 2 + i là số thuần ảo c. z z 9. = d. z 3i 1 z i = + là số thực Cõu 3/Trờn mt phng phc , hóy tỡm tp hp im biu din cỏc s phc tho món h thc sau: / 1; / 2 .a z i b z i z + = + Dạng 3: Gii phng trỡnh bc hai vi h s thc . a/ x 2 6x + 29 = 0; b/ x 2 + x + 1 = 0. c/ x 2 2x + 5 = 0; d/ 2x 2 +3x + 4 = 0. e/3x 2 +2x + 7 = 0 f) 01.3 2 =+ xx g) 02.32.23 2 =+ xx 2/Tỡm nghim pt: 2 z z= . Bi toỏn 2: Gii phng trỡnh bc 2. Cho phng trỡnh ax 2 + bx + c = 0. vi = b 2 4ac. Nu = 0 thỡ phng trỡnh cú nghip kộp b x x 1 2 2a = = (nghim thc) Nu > 0 thỡ phng trỡnh cú hai nghim thc: b x 2a = Nu < 0 thỡ phng trỡnh cú hai nghim phc b i x 2a = căn bậc hai của Số phức. phơng trình bậc hai Dạng 1: tính căn bậc hai của số Câu 1: Tính căn bậc hai của các số phức sau: a. -5 b. 2i c. -18i d. 4 5 i 3 2 Dạng 2: Giải phơng trình bậc hai Ví dụ: Gii phng trỡnh 2 x 4x 7 0 + = trờn tp s phc Gii: 2 ' 3 3i = = nờn ' i 3 = Phng trỡnh cú hai nghim : x 2 i 3 , x 2 i 3 1 2 = = + Câu 1: Giải các phơng trình sau trên tập số phức a. x 2 + 7 = 0 b. x 2 - 3x + 3 = 0 c. x 2 + 2(1 + i)x + 4 + 2i = 0 d. x 2 - 2(2 - i)x + 18 + 4i = 0 e. ix 2 + 4x + 4 - i = 0 g. x 2 + (2 - 3i)x = 0 Câu 2: Giải các phơng trình sau trên tập số phức a. ( ) ( ) 2 z 3i z 2z 5 0+ + = b. ( ) ( ) 2 2 z 9 z z 1 0+ + = c. 3 2 2z 3z 5z 3i 3 0 + + = Câu 3: Tìm hai số phức biết tổng và tích của chúng lần lợt là: a. 2 + 3i và -1 + 3i b. 2i và -4 + 4i Câu 4: Tìm phơng trình bậc hai với hệ số thực nhận làm nghiệm: a. = 3 + 4i b. = 7 i 3 Câu 5: Tìm tham số m để mỗi phơng trình sau đây có hai nghiệm z 1 , z 2 thỏa mãn điều kiện đã chỉ ra: a. z 2 - mz + m + 1 = 0 điều kiện: 2 2 z z z z 1 1 2 1 2 + = + b. z 2 - 3mz + 5i = 0 điều kiện: 3 3 z z 18 1 2 + = Bài tập: Câu 1: Tính căn bậc hai của các số phức sau: a. 7 - 24i b. -40 + 42i c. 11 + 4 3 i d. 1 2 i 4 2 + Câu 2: Chứng minh rằng: a. Nếu x + iy là căn bậc hai của hai số phức a + bi thì x - yi là căn bậc hai của số phức a - bi b. Nếu x + iy là căn bậc hai của số phức a + bi thì x y i k k + là căn bậc hia của số phức a b i 2 2 k k + (k 0) Câu 3: Giải phơng trình sau trên tập số phức: a. z 2 + 5 = 0 b. z 2 + 2z + 2 = 0 c. z 2 + 4z + 10 = 0 d. z 2 - 5z + 9 = 0 e. -2z 2 + 3z - 1 = 0 Câu 4: Giải phơng trình sau trên tập số phức: a. (z + i)(z 2 - 2z + 2) = 0 b. (z 2 + 2z) - 6(z 2 + 2z) - 16 = 0 c. (z + 5i)(z - 3)(z 2 + z + 3) = 0 d. z 3 - (1 + i)z 2 + (3 + i)z - 3i = 0 Câu 5: Giải phơng trình sau trên tập số phức: a. (z + 2i) 2 + 2(z + 2i) - 3 = 0 b. 2 4z i 4z i 5 6 0 z i z i + + + = ữ Câu 6: Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận làm nghiệm biết: a) = 2 - 5i b. = -2 - i 3 c. = 3 i 2 Câu 7: Chứng minh rằng nếu phơng trình az 2 + bz + c = 0 (a, b, c R) có nghiệm phức R thì cũng là nghiệm của phơng trình đó. Câu 8: Cho phơng trình: (z + i)(z 2 - 2mz + m 2 - 2m) = 0 Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phơng trình a. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b/ Chỉ có đúng 1 nghiệm thực C/Có ba nghiệm phức Câu 9: Giải phơng trình sau trên tập số phức: a. z 2 + z + 2 = 0 b. z 2 = z + 2 c. (z + z )(z - z ) = 0 d. 2z + 3 z = 2 + 3i Câu 10: Giải phơng trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo a. z 3 - iz 2 - 2iz - 2 = 0 b. z 3 + (i - 3)z 2 + (4 - 4i)z - 4 + 4i = 0 Bi 1. Thc hin cỏc phộp tớnh: a) (2 + 4i)(3 5i) + 7(4 3i) b) (1 2i) 2 (2 3i)(3 + 2i) c) (2 ) (1 )(4 3 ) 3 2 i i i i + + + + d) (3 4 )(1 2 ) 4 3 1 2 i i i i + + e) (1 + 2i) 3 f) 2 2 1 2 1 2 2 2 i i i i + + + Bi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau trờn tp s phc: a) 2x 2 + 3x + 4 = 0 b) 3x 2 +2x + 7 = 0 c)(1 ix) 2 + ( 3 + 2i)x 5 = 0 d) 2x 4 + 3x 2 5 = 0 e) ( 2 3) 2 3 2 2i z i i + = + Bi 3. Tỡm cỏc s phc tha món : a) 2x + 1+ (12y)i = 2x+( 3y2)i b) 4x + 3+ (3y2)i = y+1 + (x3)i c) x + 2y + (2xy)i = 2x + y +(x+2y)i Bi 4. Bit z 1 v z 2 l hai nghim ca phng trỡnh 2x 2 + 3 x + 3 = 0. Hóy tớnh: a) 2 2 1 2 z z+ b) 3 3 1 2 z z+ c ) 1 2 2 1 z z z z + Bi 5. Tỡm hai s phc, bit tng ca chỳng bng 3 v tớch ca chỳng bng 4. MT S BI TON NNG CAO Bài 6. a. Biểu diễn các số phức sau đây trên mặt phẳng phức: 3+2i; 2+i, 1−3i. Viết liên hợp và số đối của các số phức đó. b. Cho ( ) ( ) 2 4 3 6z a b i= − + + với ,a b R ∈ . Tìm a, b để z là số thực, z là số ảo. ĐS: a. (3;2), (2;1), (1;−3). Bài 7. Tìm căn bậc hai của các số phức: a. 1 4 3i+ , b. 17 20 2i+ , c. 46 14 3i− ĐS: a. 1 2 2 3 ; 2 3z i z i= + = − − , b. 1 2 5 2 2 ; 5 2 2z i z i= + = − − , c. 1 2 7 3 ; 7 3z i z i= + = − − Bài 8. Giải các phương trình sau trên tập số phức: a. 2 1 0z z− + = b. ( ) 2 2 2 0z i z i− + − = c. ( ) 2 2 1 4 0iz i z− − − = d. ( ) 2 5 8 0z i z i− − + − = . ĐS: a. 1 3 2 2 z i= ± , b. 1 2 2;z z i= = − , c. 1 2 2; 2z z i= − = − , d. 1 2 2 ; 3 2z i z i= + = − . Bài 9. Dùng công thức Moa-vrơ để tính a. (1+i) 5 , ( ) 6 3 i− . 1/ Tính : a/ 5 + 2i – 3(-7+ 6i) ; b/ ( ) ( ) 2 1 2 15 1 tan 2 3 3 ; / 1 2 ; / ; / . 2 3 2 1 tan i i i i c i d e i i α α − +   − + +  ÷ + −   2/ Giải phương trình: a/ x 2 – 6x + 29 = 0; b/ x 2 + x + 1 = 0. c/ x 2 – 2x + 5 = 0; d/ x 2 +(1+i) x –(1-i) = 0. 3/Trên mặt phẳng phức , hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức sau: / 1; / 2 .a z i b z i z− ≤ + = + 4/ Tìm những số thực x và y thoả mãn : ( ) ( ) / 2 5 ; / 1 3 1 5 6a x i yi b x y i i+ = + + + − = − . 5/Tìm nghiệm pt: 2 z z= . 7/ CMR: ( ) ( ) ( ) 100 98 96 3 1 4 1 4 1 .i i i i+ = + − + ĐS: a. ( ) 4 1 i− + , b. 64− . Bài 10. a. Tìm phần thực và phần ảo của số phức ( ) 8 3 i+ . b. Tìm phần thực và phần ảo của (x+yi) 2 −2(x+yi)+5. Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực. ĐS: a. 128; 128 3a b= − = − , b. 1; 0x y= = . . 1/ Tính : a/ 5 + 2i – 3(-7+ 6i) ; b/ ( ) ( ) 2 1 2 15 1 tan 2 3 3 ; / 1 2 ; / ; / . 2 3 2 1 tan i i i i c i d e i i α α − +   − + +  ÷ + −   2/ Giải. −2(x+yi)+5. Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực. ĐS: a. 128 ; 128 3a b= − = − , b. 1; 0x y= = .