Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu là kho tàng phong phú đặc biệt tại địa chỉ 123.doc các bạn có thể tự chọn cho mình sao cho phù hợp với nhu cầu phục vụ . Trong những năm tháng học tập ở hà nội may mắn được các anh chị đã từng đi làm chia sẻ một một chút tài liệu tôi xin đươc chia sẻ với các bạn . trong quá trình upload vẫn còn chưa chỉnh sửa hết nhưng khi các bạn tải về vẫn có thể chỉnh sửa lại theo ý muốn của mình tùy theo mục đích và yêu cầu sử dụng. Xin được chia sẻ lên trang 123.doc và các bạn thường xuyên chọn 123.doc là địa chỉ tin cậy trong việc tải cũng như sử dụng tài liệu tại đây.
http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 PHẦN I: ĐỀ BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ BẬC HAI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP Phương trình bậc hai với hàm số lượng giác Dạng Đặt Điều kiện asin2x + bsin x + c = t = sinx −1≤ t ≤ a cos2 x + bcos x + c = t = cosx −1≤ t ≤ a tan2 x + btan x + c = t = tanx x≠ t = cotx a cot2 x + bcot x + c = Nếu đặt: t = sin x hoặ c t = sin x điề u kiệ n : ≤ t ≤ π + kπ (k ∈ Z) x ≠ kπ (k ∈ Z) B– BÀI TẬP Câu 1: Trong phương trình sau, phương trình phương trình bậc theo hàm số lượng giác A 2sin x + sin x − = B 2sin 2 x − sin x = C cos x + cos2 x − = D tan x + cot x − = Câu 2: Nghiệm phương trình sin x – sin x = thỏa điều kiện: < x < π A x = π B x = π C x = D x = − π 2 π Câu 3: Nghiệm phương trình lượng giác: 2sin x − 3sin x + = thỏa điều kiện ≤ x < là: π π π 5π A x = B x = C x = D x = 6 Câu 4: Phương trình sin x + 3sin x − = có nghiệm là: π A x = + k 2π , k ∈ Z B x = π + k 2π , k ∈ Z π C x = kπ , k ∈ Z D x = + kπ , k ∈ Z π π Câu 5: Nghiệm phương trình sin x + sin x = thỏa điều kiện: − < x < 2 A x = B x = π C x = π D x = π 2 Câu 6: Trong [ 0; 2π ) , phương trình sin x = − cos x có tập nghiệm π π π A ; π ; 2π B { 0; π } C 0; ; π D 0; ; π ; 2π 2 Câu 7: Phương trình: 2sin x + sin x = có nghiệm là: Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 π π x = + k 2π x = + kπ ,k ∈¢ ,k ∈¢ A B x = π + k 2π x = π + kπ 2 π π C x = + kπ , k ∈ ¢ D x = + k 2π , k ∈ ¢ 2 Câu 8: Nghiệm phương trình sin x − 4sin x + = : π π A x = − + k 2π , k ∈ ¢ B x = ± + k 2π , k ∈ ¢ 2 π C x = + k 2π , k ∈ ¢ D x = k 2π , k ∈ ¢ Câu 9: Nghiệm phương trình − 5sin x − 2cos x = π π A kπ , k ∈ ¢ B k 2π , k ∈ ¢ C + k 2π , k ∈ ¢ D + k 2π , k ∈ ¢ Câu 10: Tìm tất họ nghiệm phương trình: sin x − 2sin x + = π π 5π + kπ ( k ∈ ¢ ) A x = + k 2π (k ∈ ¢ ) B x = + kπ ; x = 6 π 5π π π + k 2π (k ∈ ¢ ) C x = + k 2π ; x = D x = + kπ ; x = − + kπ (k ∈ ¢ ) 6 6 Câu 11: Phương trình 2sin x + sin x − = có nghiệm là: π π π A kπ , k ∈ ¢ B + kπ , k ∈ ¢ C + k 2π , k ∈ ¢ D − + k 2π , k ∈ ¢ 2 Câu 12: Các họ nghiệm phương trình cos x − sin x = π 2π π −π 2π −π ; + k 2π ; k ∈ ¢ +k ; + k 2π ; k ∈ ¢ A + k B 6 π 2π −π −π 2π π ; + k 2π ; k ∈ ¢ +k ; + k 2π ; k ∈ ¢ C + k D 6 π Câu 13: Nghiệm phương trình 2sin x – 3sin x + = thỏa điều kiện: ≤ x < π π π π A x = B x = C x = D x = − 2 Câu 14: Nghiệm phương trình sin x – 5sin x – = là: π 7π π 5π + k 2π + k 2π A x = − + k 2π ; x = B x = + k 2π ; x = 6 π π 5π + k 2π C x = + kπ ; x = π + k 2π D x = + k 2π ; x = 4 Câu 15: Nghiêm pt sin x = – sinx + là: π π −π + k2π A x = + k2π B x = + kπ C x = D x = kπ 2 Câu 16: Tìm tất họ nghiệm phương trình: sin x − 2sin x + = π π 5π + kπ ( k ∈ ¢ ) A x = + k 2π (k ∈ ¢ ) B x = + kπ ; x = 6 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 π 5π π π + k 2π ; x = + k 2π (k ∈ ¢ ) D x = + kπ ; x = − + kπ (k ∈ ¢ ) 6 6 Câu 17: Nghiệm phương trình cos x + sin x + = π π A x = + k 2π , k ∈ ¢ B x = − + kπ , k ∈ ¢ 2 π π C x = − + k 2π , k ∈ ¢ D x = m + k 2π , k ∈ ¢ 2 Câu 18: Nghiêm phương trình sin x = − sin x + π A x = kπ , k ∈ ¢ B x = + k 2π , k ∈ ¢ π π C x = − + k 2π , k ∈ ¢ D x = + kπ , k ∈ ¢ 2 Câu 19: Phương trình 2sin x + 3sin x − = có nghiệm π A kπ , k ∈ ¢ B + kπ , k ∈ ¢ π π 5π + k 2π , k ∈ ¢ C + k 2π , k ∈ ¢ D + k 2π ; 6 C x = Câu 20: Nghiệm phương trình lượng giác: cos x + 3sin x − = thõa điều kiện < x < π π B x = C Câu 21: Nghiệm phương trình − 5sin x + cos x = π x = + k 2π ,k ∈¢ A B x = − π + k 2π π x = + k 2π ,k ∈¢ C D x = − π + k 2π Câu 22: Nghiệm phương trình − 5sin x − cos x = A x = x= π D x = π x = + k 2π ,k ∈¢ x = 5π + k 2π π x = + k 2π ,k ∈¢ x = 2π + k 2π là: π A kπ , k ∈ ¢ B k 2π , k ∈ ¢ C + k 2π , k ∈ ¢ D Câu 23: Họ nghiệm phương trình sin 2 x − 2s in2x + = : π π π A − + kπ B + kπ C + k 2π D 4 Câu 24: Một họ nghiệm phương trình cos 2 x + sin 2x − = π π π π A + kπ B k C − + k D 2 Câu 25: Một họ nghiệm phương trình cos x + 3sin x −1 = 1 1 A π + arcsin − ÷+ k 2π B π − arcsin − ÷+ k 2π 4 4 π π 1 1 C − arcsin − ÷+ kπ D − arcsin − ÷+ kπ 2 4 4 Trang π là: 5π π + k 2π , k ∈ ¢ − π + k 2π k π http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 Câu 26: Nghiệm phương trình sin 2 x + 2sin x + = khoảng ( −π ; π ) : π 3π π 3π π 3π π 3π A − ; − B − ; C ; D ; − 4 4 4 Câu 27: Giải phương trình: sin x + 2sin x − = π π π A kπ B − + kπ C + k 2π D − + k 2π 2 Câu 28: Giải phương trình lượng giác 4sin x + 12 cos x − = có nghiệm là: π π π π π A x = ± + k 2π B x = + k C x = + kπ D x = − + kπ 4 4 π π Câu 29: Phương trình cos x + ÷+ cos − x ÷ = có nghiệm là: 3 6 π π π π x = − + k 2π x = + k 2π x = − + k 2π x = + k 2π A B C D x = 5π + k 2π x = π + k 2π x = 3π + k 2π x = π + k 2π 2 π Câu 30: Tìm m để phương trình sin x − ( 2m + 1) sinx + m = có nghiệm x ∈ − ;0 ÷ A −1 < m < B < m < C −1 < m < D < m < Câu 31: Tìm tất họ nghiệm phương trình: cos x − cos x + = π A x = π + k 2π ( k ∈ ¢ ) B x = + k 2π (k ∈ ¢ ) x = k π ( k ∈ ¢ ) x = k π (k ∈ ¢ ) C D Câu 32: Giải phương trình 2cos x − 3cos x + = π π A x = − + k 2π , k ∈ ¢ B k 2π , ± + k 2π , k ∈ ¢ 3 π C x = + k 2π , k ∈ ¢ D x = k 2π , k ∈ ¢ Câu 33: Phương trình cos x + 2cos x − 11 = có tập nghiệm là: A x = arccos ( −3) + k 2π , k ∈ ¢ , x = arccos ( −2 ) + k 2π , k ∈¢ B ∅ C x = arccos ( −2 ) + k 2π , k ∈¢ D x = arccos ( −3) + k 2π , k ∈ ¢ Câu 34: Phương trình sau vô nghiệm: A sin x + = B cos x − cos x − = C tan x + = D 3sin x − = x x Câu 35: Phương trình: sin − cos + = có nghiệm là: 3 A x = kπ , k ∈ ¢ B x = k 3π , k ∈ ¢ C x = k 2π , k ∈ ¢ D x = k 6π , k ∈ ¢ Câu 36: Phương trình : cos x + cos x − = có nghiệm 2π π + kπ , k ∈ ¢ A x = ± B x = ± + kπ , k ∈ ¢ 3 π π C x = ± + kπ , k ∈ ¢ D x = ± + k 2π , k ∈ ¢ 6 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 Câu 37: Nghiệm phương trình cos x – cosx = thỏa điều kiện < x < π : A x = π B x = π C x = π Câu 38: Nghiệm phương trình cos x + cos x = thỏa điều kiện: π 3π C x = Câu 39: Nghiệm phương trình 3cos x = – 8cos x – là: A x = π B x = A x = kπ B x = π + k 2π D x = − π D x = − 3π D x = ± π + k 2π D x = ± π + kπ π 3π 2 − ( + cot x.cot x ) = có nghiệm cos x sin x π π π π A x = + k , k ∈ ¢ B x = + k , k ∈ ¢ 16 12 π π π π C x = + k , k ∈ ¢ D x = + k , k ∈ ¢ 4 Câu 68: Phương trình cos x + sin x + cos x + = có nghiệm x = k 2π A , k ∈¢ B x = π + k 2π , k ∈ ¢ x = π + k 2π π x = + kπ π C x = + k 2π , k ∈ ¢ D , k ∈¢ x = − π + kπ π π 4 Câu 69: Phương trình: cos x + sin x + cos x − ÷.sin x − ÷− = có nghiệm là: 4 4 A x = k 2π ( k ∈ ¢ ) B x = k 3π ( k ∈ ¢ ) Câu 67: Phương trình: 48 − C x = k 4π ( k ∈ ¢ ) D x = π + kπ ( k ∈ ¢ ) Câu 70: Phương trình sin x + cos x = + 2sin x cos x tương đương với phương trình: sin x = sin x = sin x = sin x = A B C D sin x = − sin x = sin x = − sin x = Câu 71: Tổng tất nghiệm phương trình cos x + cos x + 2sin x sin x = [ 0; 2π ] A 3π B 4π C 5π D 6π cos x π = tan x khoảng 0; ÷ : Câu 72: Số nghiệm phương trình cos x 2 A B C D Câu 73: Nghiệm phương trình ( cos x ( cos x + 2sin x ) + 3sin x sin x + ) =1 sin x − π π A x = ± + k 2π k ∈ ¢ B x = − + kπ , k ∈ ¢ 4 3π π π + k 2π , k ∈ ¢ C x = − + k 2π , x = − D x = − + k 2π , k ∈ ¢ 4 Câu 74: Cho phương trình cos5 x cos x = cos x cos x + 3cos x + Các nghiệm thuộc khoảng ( −π ;π ) phương trình là: 2π π π 2π π π π π , A − B − , C − , D − , 3 3 2 π π 4 4 Câu 75: Phương trình: sin x + sin x + ÷+ sin x − ÷ = có nghiệm là: Trang 4 4 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word A x = π π +k B x = π π +k C x = Lượng giác – ĐS GT 11 π + kπ D x = π + k 2π π π Câu 76: Phương trình: cos x + ÷+ cos x − ÷+ 4sin x = + ( − sin x ) có nghiệm là: 4 4 π π π π x = + k 2π x = + k 2π x = 12 + k 2π x = + k 2π A B C D x = 11π + k 2π x = 3π + k 2π x = 5π + k 2π x = 2π + k 2π 12 sin 3x + cos 3x + cos x Câu 77: Cho phương trình: sin x + Các nghiệm phương trình thuộc ÷= + 2sin x khoảng ( 0;2π ) là: π 5π π 5π π 5π π 5π , A B , C , D , 12 12 6 4 3 2 Câu 78: Tìm tất giá trị m để phương trình sin x − ( m − 1) sin x cos x − ( m −1) cos x = m có nghiệm? A ≤ m ≤ B m > C < m < D m ≤ Câu 79: Để phương trình: sin x + ( m + 1) sin x − 3m ( m − ) = có nghiệm, giá trị thích hợp tham số m là: 1 − ≤m≤ − ≤m< −2 ≤ m ≤ −1 −1 ≤ m ≤ 3 2 A B C D 0 ≤ m ≤ 3 ≤ m ≤ ≤ m ≤ ≤ m ≤ Câu 80: Để phương trình sin x + cos6 x = a | sin x | có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là: 1 1 A ≤ a < B < a < C a < D a ≥ 8 4 4 6 Câu 81: Cho phương trình: sin x + cos x − sin x + cos x − 4sin x = m m tham ( ) ( ) số Để phương trình vơ nghiệm, giá trị thích hợp m là: A −1 ≤ m ≤ B − ≤ m ≤ −1 C −2 ≤ m ≤ − D m < −2 hay m > sin x + cos x Câu 82: Cho phương trình: = 2m.tan x , m tham số Để phương trình có cos x − sin x nghiệm, giá trị thích hợp m 1 1 A m ≤ − hay m ≥ B m ≤ − hay m ≥ 8 4 1 1 C m < − hay m > D m < − hay m > 8 4 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP + Là phương trình có dạng f (sin x,cos x) = luỹ thừa sinx cosx chẵn lẻ Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cosk x ≠ (k số mũ cao nhất) ta phương trình ẩn tan x Phương trình đẳng cấp bậc hai: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1) Cách 1: • Kiểm tra cosx = có thoả mãn (1) hay không? π Lưu ý: cosx = ⇔ x = + kπ ⇔ sin2 x = ⇔ sin x = ± • Khi cos x ≠ , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x ≠ ta được: a.tan2 x + b.tan x + c = d(1+ tan2 x) • Đặt: t = tanx, đưa phương trình bậc hai theo t: (a − d)t2 + bt + c− d = Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 1− cos2x sin2x 1+ cos2x (1) ⇔ a + b + c = d 2 ⇔ b.sin2x + (c − a).cos2x = 2d − a − c (đây PT bậc sin2x cos2x) B– BÀI TẬP Câu 1: Phương trình 6sin x + sin x − 8cos x = có nghiệm là: π π x = + kπ x = + kπ A , k ∈¢ B , k ∈¢ x = π + kπ x = π + kπ π 3π x = + kπ x = + kπ C , k ∈¢ D , k ∈¢ x = π + kπ x = 2π + kπ 12 Câu 2: Phương trình ( ) + sin x − sin x cos x + π x = − + kπ vớ i tanα = −2 + , k ∈ ¢ A x = α + kπ ( ) π x = − + kπ vớ i tan α = −1 + , k ∈ ¢ C x = α + kπ ( Câu 3: ) ( ) − cos x = có nghiệm là: π x = + kπ B x = α + kπ π x = + kπ D x = α + kπ Giải phương trình 3sin 2 x − 2sin x cos x − cos 2 x = Trang 10 ( với tan α = − ) , k ∈ ¢ ( với tan α = − ) , k ∈ ¢ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Do ( 1) vơ nghiệm m < − Lượng giác – ĐS GT 11 25 m > CÁCH KHÁC: Bài tóan cho trở thành tìm m cho phương trình 4t − 2t − = m (*) nghiệm t ∈ [ −1;1] ( P ) : y = 4t − 2t − Đặt ( d ) : y = m Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm ( P ) ( d ) Phương trình (*) khơng có nghiệm t ∈ [ −1;1] khi ( P ) ( d ) không giao [ −1;1] Dựa vào đồ thị ta có m < − 25 m > sin x + cos x = 2m.tan x , m tham cos x − sin x số Để phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp m 1 A m ≤ − hay m ≥ B m ≤ − hay 8 m≥ 1 1 C m < − hay m > D m < − hay m > 8 4 Hướng dẫn giải: Chọn C Điều kiện: cos x ≠ − sin 2 x sin x pt ⇔ = 2m ⇔ 3sin 2 x + 8m sin 2 x − = ( 1) cos x cos x Đặt t = sin x, ( −1 < t < 1) Phương trình trở thành: Câu 82: Cho phương trình: −4m + 16m + 12 t1 = 3t + 8mt − = ⇔ −4m − 16m + 12 t = Vì a.c < ⇒ Phương trình ( ) ln có hai nghiệm trái dấu t2 < < t1 −4m + Do ( 1) có nghiệm ⇔ −4m − Trang 44 16m + 12 ⇔ ⇔ m < − 16m + 12 16m + 12 < − 4m > −1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP + Là phương trình có dạng f (sin x,cos x) = luỹ thừa sinx cosx chẵn lẻ Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cosk x ≠ (k số mũ cao nhất) ta phương trình ẩn tan x Phương trình đẳng cấp bậc hai: a sin2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1) Cách 1: • Kiểm tra cosx = có thoả mãn (1) hay không? π Lưu ý: cosx = ⇔ x = + kπ ⇔ sin2 x = ⇔ sin x = ± • Khi cos x ≠ , chia hai vế phương trình (1) cho cos2 x ≠ ta được: a.tan2 x + b.tan x + c = d(1+ tan2 x) • Đặt: t = tanx, đưa phương trình bậc hai theo t: (a − d)t2 + bt + c− d = Cách 2: Dùng công thức hạ bậc 1− cos2x sin2x 1+ cos2x (1) ⇔ a + b + c = d 2 ⇔ b.sin2x + (c − a).cos2x = 2d − a − c (đây PT bậc sin2x cos2x) B– BÀI TẬP Câu 1: Phương trình 6sin x + sin x − 8cos x = có nghiệm là: π π x = + kπ x = + kπ A , k ∈¢ B , k ∈¢ x = π + kπ x = π + kπ π 3π x = + kπ x = + kπ C , k ∈¢ D , k ∈¢ x = π + kπ x = 2π + kπ 12 Hướng dẫn giải: Chọn A TH1: cos x = ⇔ sin x = thỏa phương trình ⇒ phương trình có nghiệm x = TH2: cos x ≠ 0, chia hai vế cho cos x ta 6 tan x + 14 tan x − = ⇔ tan x + 14 tan x − = + tan x cos x π ⇔ 14 tan x = 14 ⇔ tan x = ⇔ x = + kπ ( Trang 45 ) π + kπ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word π π + kπ , x = + kπ + sin x − sin x cos x + Lượng giác – ĐS GT 11 Vậy, phương trình có nghiệm x = Câu 2: Phương trình ( ) ( ) − cos x = có nghiệm là: π π x = − + kπ x = + kπ vớ i tanα = −2 + , k ∈ ¢ vớ i tan α = − , k ∈ ¢ 4 A B x = α + kπ x = α + kπ π π x = − + kπ x = + kπ vớ i tan α = −1 + , k ∈ ¢ vớ i tan α = − , k ∈ ¢ 8 C D x = α + kπ x = α + kπ Hướng dẫn giải: Chọn B TH1: cos x = ⇔ sin x = không thỏa phương trình TH2: cos x ≠ 0, chia hai vế phương trình cho cos x ta được: π x = + kπ tan x = + tan x − tan x + − = ⇔ ⇔ tan x = − x = arctan − + kπ Câu 3: Giải phương trình 3sin x − 2sin x cos x − cos 2 x = kπ kπ , x = arctan(−2) + , k ∈ ¢ A x = arctan + 2 2 + 73 kπ − 73 kπ B x = arctan + , x = arctan + , k ∈ ¢ 12 12 1 + 73 kπ 1 − 73 kπ C x = arctan + , x = arctan + , k ∈ ¢ 2 kπ kπ , x = arctan(−1) + , k ∈ ¢ D x = arctan + 2 Hướng dẫn giải: Chọn A TH1: cos x = ⇔ sin 2 x = khơng thỏa phương trình TH2: cos x ≠ 0, chia hai vế phương trình cho cos 2x ta được: tan 2 x − tan x − = ⇔ tan 2 x − tan x − = + tan 2 x cos x kπ x = arctan + tan x = 2 ⇔ tan 2 x − tan x − = ⇔ ⇔ tan x = −2 x = arctan(−2) + kπ 2 2 Câu 4: Phương trình 2sin x + sin x cos x − cos x = có nghiệm là: π π 1 A + kπ , k  B + k , arctan ữ+ kπ , k ∈ ¢ 4 2 π π 1 1 C − + kπ , arctan ÷+ kπ , k ∈ ¢ D − + k 2π , arctan ÷+ k 2π , k ∈ ¢ 4 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn C TH1: cos x = ⇔ sin x = khơng thỏa phương trình ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( Trang 46 ) ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 TH2: cos x ≠ 0, chia hai vế phương trình cho cos x ta được: π tan x = −1 x = − + kπ tan x + tan x − = ⇔ ⇔ tan x = x = arctan + kπ 2 Câu 5: Một họ nghiệm phương trình 2sin x − 5sin x cos x − cos x = −2 π π π π A + kπ , k ∈ ¢ B − + kπ , k ∈ ¢ C + kπ , k ∈ ¢ D − + kπ , k ∈ ¢ 4 Hướng dẫn giải: Chọn C π x = + kπ không nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho cos x ta tan x − tan x − = −2 ( + tan x ) ⇔ tan x − tan x + = π x = + kπ tan x = ⇔ ⇔ tan x = x = arctan + kπ Câu 6: Một họ nghiệm phương trình cos x + 6sin x cos x = + 3π π π + k 2π , v k ∈ ¢ B + kπ , k ∈ ¢ A C − + kπ , k ∈ ¢ 4 k ∈¢ Hướng dẫn giải: Chọn B cos x + 6sin x cos x = + ⇔ ( + cos x ) + 3sin x = + D − 3 cos x + sin x = 2 π π π x − = + k 2π x = + kπ π ⇔ cos x − ÷ = ⇔ ⇔ 3 x − π = − π + k 2π x = π + kπ 12 Câu 7: Một họ nghiệm phương trình −3sin x cos x + sin x = π A arctan ( −2 ) + kπ , k ∈ ¢ B arctan ( −2 ) + k , k ∈ ¢ 2 π C − arctan ( −2 ) + k , k ∈ ¢ D arctan ( ) + kπ , k ∈ ¢ 2 Hướng dẫn giải: Chọn A ⇔ cos x + 3sin x = ⇔ π + kπ không nghiệm phương trình 2 Chia vế phương trình cho cos x ta −3 tan x + tan x = ( + tan x ) x= Trang 47 π + k 2π , http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 π x = − + kπ tan x = − ⇔ ⇔ tan x + tan x + = ⇔ tan x = −2 x = arctan ( −2 ) + kπ Câu 8: Một họ nghiệm phương trình 2sin x + sin x cos x − 3cos x = 3 3 A arctan ữ+ k , k  B arctan ữ+ k , k  2 2 3 3 C arctan ÷+ kπ , k ∈ ¢ D − arctan ÷+ kπ , k ∈ ¢ 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A π x = + kπ không nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho cos x ta π tan x = x = + kπ tan x + tan x − = ⇔ ⇔ tan x = − x = arctan − + kπ ÷ 2 Câu 9: Một họ nghiệm phương trình 3sin x − 4sin x cos x + 5cos x = π π π 3π + k 2π , A − + k 2π , k ∈ ¢ B + kπ , k ∈ ¢ C − + kπ , k ∈ ¢ D 4 4 k ∈¢ Hướng dẫn giải: Chọn B π x = + kπ khơng nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho cos x ta π x = + kπ tan x = tan x − tan x + = ( + tan x ) ⇔ tan x − tan x + = ⇔ ⇔ tan x = x = arctan + kπ Câu 10: Phương trình : sin x − ( + 1) sin x cos x + cos x = có họ nghiệm π 3π + kπ , k ∈ ¢ A − + kπ , k ∈ ¢ B 4 C ± π + kπ , k ∈ ¢ D π π + kπ , + kπ , k ∈ ¢ Hướng dẫn giải: Chọn D π + kπ khơng nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho cos x ta x= tan x − ( π x = + kπ tan x = + tan x + = ⇔ ⇔ tan x = x = π + kπ ) Trang 48 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 Câu 11: Phương trình 3cos x + 5sin x = − sin x cos x có nghiệm là: π π + k , k ∈¢ 12 π π D x = − + k , k ∈ ¢ 24 π + kπ , k ∈ ¢ π π C x = − + k , k ∈ ¢ 18 A x = − B x = − Hướng dẫn giải: Chọn D TH1: cos x = ⇔ sin x = không thỏa phương trình TH2: cos x ≠ 0, chia hai vế cho cos 4x ta + tan x = − tan x ⇔ + tan x = + tan x − tan x cos x π π kπ ⇔ tan x + tan x + = ⇔ tan x = − ⇔ x = − + kπ ⇔ x = − + 24 π Câu 12: Trong khoảng ; ÷, phương trình sin x + 3.sin x.cos x − 4.cos x = có: 2 A Ba nghiệm B Một nghiệm C Hai nghiệm D Bốn nghiệm Hướng dẫn giải: Chọn B Nhận thấy cos x = không nghiệm phương trình, chia hai vế phương trình cho cos 4x , ta phương t: π kπ x= + tan x = 16 tan x + tan x − = ⇔ ⇔ , k ∈ ¢ k π tan x = −4 x = arctan ( −4 ) + 4 π π π 5π π Do x ∈ ; ÷ ⇒ x ∈ ; ; arctan ( −4 ) + ; arctan ( −4 ) + 4 2 16 16 2 2 Câu 13: Phương trình cos x − 3 sin x − 4sin x = −4 có họ nghiệm π x = + kπ π A , k ∈¢ B x = + k 2π , k ∈ ¢ x = π + kπ ( C x = π + kπ , k ∈ ¢ ) D x = π + kπ , k ∈ ¢ Hướng dẫn giải: Chọn A π + kπ : nghiệm phương trình cos x ≠ : Chia vế phương trình cho cos x ta cos x = ⇔ x = π ⇔ x = + kπ 2 Câu 14: Phương trình 2sin x + sin x cos x − cos x = (với k ∈¢ ) có nghiệm là: π π + kπ A − + k 2π ,arctan( ) + k 2π B 4 − tan x − tan x = −4 ( + tan x ) ⇔ tan x = Trang 49 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word C π + kπ ,arctan( ) + kπ D − Lượng giác – ĐS GT 11 π + kπ , arctan( ) + kπ Hướng dẫn giải: Chọn D π π + kπ : VT = ≠ VP = ⇒ x = + kπ ( l ) 2 π Khi cos x ≠ ⇒ x ≠ + kπ : 2sin x + sin x cos x − cos x = ⇔ tan x + tan x − = π x = − + kπ tan x = −1 Khi cos x = ⇒ x = ⇔ ( k ∈ ¢) ⇔ tan x = x = acr tan + kπ ÷ 2 3 5 Câu 15: Giải phương trình cos x + sin x = ( cos x + sin x ) π π π + k 2π B x = ± + k π C x = ± + k π 4 Hướng dẫn giải: Chọn D cos x = khơng nghiệm phương trình nên ta có + tan x + tan x(1 + tan x) = ( + tan x ) A x = ± D x = ± π + kπ ⇔ tan x − tan x − tan x + = ⇔ (tan x − 1)(tan x − 1) = π ⇔ tan x = ±1 ⇔ x = ± + kπ cos x + sin x = ( cos x + sin x ) ⇔ cos x − cos x = 2sin x − sin x ⇔ cos3 x ( cos x − 1) = sin x ( 2sin x − 1) ⇔ cos x ( cos3 x + sin x ) π π π π x = +k x = +k ; k ∈¢ ⇔ ( ) ⇔ π x = − + kπ tan x = −1 Câu 16: Giải phương trình sin x + tan x = cos x ( 4sin x − cos x ) Cách khác: π + k 2π , x = arctan −1 ± + k 2π π 2 C x = + k π , x = arctan −1 ± + k π 3 ( A x = ) ( ) π 1 + k π , x = arctan −1 ± + k π 2 π D ⇔ x = + kπ , x = arctan −1 ± + kπ Hướng dẫn giải: Chọn D Phương trình ⇔ tan x + tan x(1 + tan x) = tan x − ⇔ tan x + tan x − tan x + = ⇔ (tan x − 1)(tan x + tan x − 1) = π ⇔ x = + kπ , x = arctan −1 ± + kπ Câu 17: Giải phương trình sin x ( tan x + 1) = 3sin x ( cos x − sin x ) + ( ) Trang 50 ( B ⇔ x = ( ) ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word π π π x = − + k 2π x = − + k π x = − + k π A B C x = ± π + k π x = ± π + k 2π x = ± π + k π 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D Phương trình cho tương đương với tan x (tan x + 1) = tan x(1 − tan x) + 3(1 + tan x) Lượng giác – ĐS GT 11 π x = − + kπ D x = ± π + kπ π x = − + kπ ⇔ tan x + tan x − tan x − = ⇔ x = ± π + kπ 3 Câu 18: Giải phương trình 4sin x + 3cos x − 3sin x − sin x cos x = π π π π A x = + k 2π , x = ± + k 2π B x = + k π , x = ± + k π 4 π π π π C x = + k π , x = ± + k π D x = + kπ , x = ± + kπ 3 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta thấy cos x = khơng nghiệm phương trình Nên phương trình ⇔ tan x + − tan x(1 + tan x) − tan x = tan x = π π ⇔ tan x − tan x − tan x + = ⇔ ⇔ x = + kπ , x = ± + kπ tan x = ± Câu 19: Giải phương trình cos3 x = sin x x = arctan(−2) + k 2π x = arctan(−2) + k π A B x = π + k 2π x = π + k π 2 x = arctan( −2) + kπ x = arctan(−2) + k π C D x = π + kπ π x = + k π Hướng dẫn giải: Chọn D Phương trình ⇔ cos3 x = 3sin x − 4sin x ⇔ = tan x ( + tan x ) − tan x ⇔ tan x − tan x + = x = arctan( −2) + kπ tan x = −2 ⇔ ⇔ x = π + kπ tan x = Câu 20: Giải phương trình cos x − sin x = + sin x Trang 51 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x = k π B x = π + k π x = k 2π A x = π + k 2π x = k π C x = π + k π 3 Lượng giác – ĐS GT 11 x = kπ D x = π + kπ Hướng dẫn giải: Chọn D x = kπ sin x = ⇔ Phương trình ⇔ 2sin x − sin x cos x = ⇔ x = π + kπ tan x = Câu 21: Giải phương trình cos x + 6sin x cos x + 6sin x = π π 2 1 1 A x = − + k 2π ; x = arctan − ÷+ k 2π B x = − + k π ; x = arctan − ÷+ k π 4 3 5 5 π 1 π 1 1 C x = − + k π ; x = arctan − ÷+ k π D x = − + kπ ; x = arctan − ÷+ kπ 4 4 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn D Phương trình ⇔ 5sin x + sin x cos x + cos x = π 1 Giải ta x = − + kπ ; x = arctan − ÷+ kπ 5 Trang 52 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ DẠNG ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COSIN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP Dạng 1: Là phương trình có dạng: a(sin x + cos x) + bsin x cos x + c = (3) Để giải phương trình ta sử dụng phép đặt ẩn phụ π Đặt: t = cos x + sin x = 2.cos x + ÷; t ≤ 4 ⇒ t2 = 1+ 2sin x.cos x ⇒ sin x.cos x = (t2 − 1) Thay (3) ta phương trình bậc hai theo t Ngồi gặp phương trình phản đối xứng có dạng a(sin x − cos x) + bsin x cos x + c = (3’) t ∈ − 2; 2 π Để giải phương trình ta đặt t = sin x − cos x = 2sin x − ÷⇒ sin x cos x = 1− t Thay vào (3’) ta có phương trình bậc hai theo t Lưu ý: π π • cos x + sin x = 2cos x − ÷ = 2sin x + ÷ 4 4 π π • cos x − sin x = 2cos x + ÷ = − 2sin x − ÷ 4 4 Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = π • Đặt: t = cos x ± sin x = cos x m ÷ ; Ñk : ≤ t ≤ 4 ⇒ sin x.cos x = ± (t2 − 1) • Tương tự dạng Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối B– BÀI TẬP Câu 1: Phương trình sin x + cos x = − sin x có nghiệm là: π π π x = + k x = + kπ A , k ∈¢ B , k ∈¢ x = k π x = k π π π x = + kπ x = + k 2π C , k ∈¢ D , k ∈¢ x = k π x = k π Hướng dẫn giải: Chọn D 2 Đặt sin x + cos x = t , t ≤ ⇒ + sin x = t ⇒ sin x = t − ( ) Trang 53 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ta có phương trình t = − Lượng giác – ĐS GT 11 t = 1( TM ) t − 1) ⇔ t + 2t − = ⇔ ( t = −3 ( KTM ) π π π t = ⇒ sin x + cos x = ⇔ sin x + ÷ = ⇔ sin x + ÷ = sin 4 4 π π x = k 2π x + = + k 2π ⇔ ⇔ x = π + k 2π π π x + = + k 2π 4 3 Câu 2: Phương trình sin x + cos x = − sin x có nghiệm là: π π x = + k π x = + k 2π A , k ∈¢ B , k ∈¢ x = k π x = k π 3π 3π x = + kπ x= + kπ C , k ∈¢ D , k ∈¢ x = k π x = ( 2k + 1) π Hướng dẫn giải: Chọn B sin x + cos3 x = − sin x ⇔ ( sin x + cos x ) − 3sin x cos x ( sin x + cos x ) = − sin x cos x π t −1 Đặt t = sin x + cos x = sin x + ÷, t ≤ ⇒ + sin x = t ⇒ sin x cos x = 4 t = 1( TM ) t −1 3 = − t − ⇔ t − t − t + = ⇔ 2 Ta có phương trình t − 3t ( ) ÷ t = ( KTM ) π π π t = ⇒ sin x + cos x = ⇔ sin x + ÷ = ⇔ sin x + ÷ = sin 4 4 π π x = k 2π x + = + k 2π ⇔ ⇔ x = π + k 2π π π x + = + k 2π 4 Câu 3: Giải phương trình 2sin x − ( sin x + cos x ) + = ( ) π π + kπ x = ± arccos − ÷+ kπ 2 π 1 π +k π B x = k π , x = + k π x = ± arccos − ÷ 3 2 A x = kπ , x = π 2 π +k π C x = k π , x = + k π x = ± arccos − ÷ 3 2 D x = k 2π , x = π π + k 2π x = ± arccos − ÷+ k 2π 2 Hướng dẫn giải: Trang 54 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 Chọn D π t ≤ Đặt t = sin x + cos x = cos x − ÷⇒ 4 sin x = t − 2 Ta có : 2(t − 1) − t + = ⇔ 2t − t − = ⇔ t = 1, t = − π π • t = ⇔ cos x − ÷ = ⇔ x = k 2π , x = + k 2π 4 2 π π • t = − ⇔ cos x − ÷ = − ⇔ x = ± arccos − ÷+ k 2π 4 2 2 Câu 4: Giải phương trình sin x − 12 ( sin x − cos x ) + 12 = π π A x = + kπ , x = −π + k 2π B x = + k 2π , x = −π + k π 2 π π C x = + k π , x = −π + k π D x = + k 2π , x = −π + k 2π 3 Hướng dẫn giải: Chọn D π t ≤ Đặt t = cos x − sin x = cos x + ÷⇒ 4 sin x = − t π Ta có: − t + 12t + 12 = ⇔ t = −1 ⇔ cos x + ÷ = − 4 π ⇔ x = + k 2π , x = −π + k 2π π Câu 5: Giải phương trình sin x + sin x − ÷ = 4 π π π π 1 A x = + kπ , x = + kπ , x = π + k 2π B x = + k π , x = + k π , x = π + k π 4 2 2 π π π π C x = + k π , x = + k π , x = π + k 2π D x = + kπ , x = + k 2π , x = π + k 2π 3 Hướng dẫn giải: Chọn D t ≤ π Đặt t = sin x − ÷ = sin x − cos x ⇒ 4 sin x = − t Ta có: − t + t = ⇔ t = 0, t = π π Từ ta tìm được: x = + kπ , x = + k 2π , x = π + k 2π Câu 6: Giải phương trình + tan x = 2 sin x π 11π 5π + kπ , x = − + kπ A x = + kπ , x = 12 12 π 11π 5π + k π,x = − +k π B x = + k π , x = 12 12 π 11π 5π + k π,x = − + k 2π C x = + k 2π , x = 12 12 Trang 55 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 π 11π 5π + k 2π , x = + k 2π x =, x = − + k 2π 12 12 Hướng dẫn giải: Chọn D Điều kiên: cos x ≠ Phương trình ⇔ sin x + cos x = sin x π t ≤ Đặt t = sin x + cos x = cos x − ÷ ⇒ 4 sin x = t − D x = 2 Ta có: t = ( t − 1) ⇔ 2t − t − = ⇔ t = 2, t = − π 11π 5π + k 2π , x = + k 2π x =, x = − + k 2π 12 12 Câu 7: Giải phương trình cos x − sin x + sin x = k 3π k 5π k 7π A x = B x = C x = 2 Hướng dẫn giải: Chọn D π sin x = − t t = sin x − cos x = cos x − ⇒ Đặt ÷ 4 0 ≤ t ≤ Từ tìm được: x = 2 Ta có: t + 2(1 − t ) = ⇔ 2t − t − = ⇔ t = ⇔ sin x = ⇔ x = D x = kπ kπ Câu 8: Giải phương trình cos3 x + sin x = cos x π π π π A x = − + k 2π , x = − + kπ , x = k π B x = − + k π , x = − + kπ , x = kπ 4 π π π π C x = − + k π , x = − + k π , x = k 2π D x = − + kπ , x = − + k 2π , x = k 2π 3 Hướng dẫn giải: Chọn D Phương trình ⇔ (sin x + cos x )(1 − sin x cos x ) = (sin x + cos x)(cos x − sin x) ⇔ ( sin x + cos x ) ( − sin x cos x − cos x + sin x ) = π π + kπ , x = − + k 2π , x = k 2π Câu 9: Giải phương trình cos3 x + sin x = 2sin x + sin x + cos x k 3π k 5π A x = B x = C x = kπ 2 Hướng dẫn giải: Phương trình ⇔ ( cos x + sin x ) ( − sin x cos x ) = 2sin x + sin x + cos x Từ ta tìm được: x = − π t ≤ Đặt t = sin x + cos x = cos x − ÷ ⇒ 4 sin x = t − t −1 kπ 2 t Ta có: 1 − ÷ = 2(t − 1) + t ⇔ t = ⇔ sin x = ⇔ x = Trang 56 D x = kπ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lượng giác – ĐS GT 11 1 10 + sinx + = cos x sin x π + 19 π + 19 + k 2π + k 2π A x = ± arccos B x = ± arccos 4 2 Câu 10: Giải phương trình cosx + π + 19 π − 19 ± arccos + kπ + k 2π D x = ± arccos 4 Hướng dẫn giải: sin x + cos x 10 = Phương trình ⇔ sin x + cos x + sin x cos x π t ≤ Đặt t = sin x + cos x = cos x − ÷⇒ 4 sin x = t − C x = Ta có: t + 2t 10 = ⇔ 3t (t − 1) + 6t = 10(t − 1) (t ≠ ±1) t −1 ⇔ 3t − 10t + 3t + 10 = ⇔ (t − 2)(3t − 4t − 5) = ⇔ t = − 19 π − 19 π − 19 ⇔ cos x − ÷ = ⇔ x = ± arccos + k 2π 4 3 Câu 11: Cho phương trình sin x cos x − sin x − cos x + m = , m tham số thực Để phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp m 1 1 A −2 ≤ m ≤ − − B − − ≤ m ≤ C ≤ m ≤ + D + ≤ m ≤ 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D π t −1 Đặt t = sin x + cos x = sin x + ÷, t ≤ ⇒ + sin x = t ⇒ sin x cos x = 4 t2 −1 Ta có phương trình ÷− t + m = ⇔ m = − t + t + ( 1) 2 ( ) Phương trình có nghiệm phương trình ( 1) có nghiệm t ∈ − 2; Xét hàm số y = − t + t + − 2; 2 x − y − 2− 1 2 2− Từ BBT suy − − ≤ m ≤ Câu 12: Phương trình 2sin x − sin x + cos x + = có nghiệm π x = + kπ A , k ∈¢ x = 5π + kπ Trang 57 π x = + kπ B , k ∈¢ x = 5π + kπ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word π x = + kπ C , k ∈¢ x = 5π + kπ Hướng dẫn giải: Chọn D Lượng giác – ĐS GT 11 π x = 12 + kπ D , k ∈¢ x = 5π + kπ 12 π 2 Đặt t = sin x + cos x = sin x + ÷ , ≤ t ≤ ⇒ + sin x = t ⇒ sin x = t − 4 t = ( KTM ) 2 Ta có ( t − 1) − 6t + = ⇔ 2t − 6t + = ⇔ ( TM ) t = π π sin x + ÷ = sin π t= ⇒ sin x + ÷ = ⇔ 4 π π sin x + ÷ = sin − ÷ 4 3 ( π x + x + π ⇔ x + π π x + ) π π + k 2π x = + k 2π 12 2π π x = 5π + k 2π = + k 2π x = + kπ 12 12 ⇔ ⇔ π π π x = − = − + k 2π + k 2π x= + kπ 12 12 13π 4π + k 2π = + k 2π x = 12 = Trang 58 ... file word Lượng giác – ĐS GT 11 PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ BẬC HAI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP Phương trình bậc hai với hàm số lượng giác Dạng... : ≤ t ≤ π + kπ (k ∈ Z) x ≠ kπ (k ∈ Z) B– BÀI TẬP Câu 1: Trong phương trình sau, phương trình phương trình bậc theo hàm số lượng giác A 2sin x + sin x − = B 2sin 2 x − sin x = C cos x + cos2 x... word Lượng giác – ĐS GT 11 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP + Là phương trình có dạng f (sin x,cos x) = luỹ thừa sinx cosx chẵn lẻ Cách giải: Chia hai vế phương