Chuyên đề giới hạn của hàm số Chủ đề : giới hạn của hàm số I/ Kiến thức cơ bản. a.Giới hạn hữu hạn. Giả sử (a;b) là một khoảng chứa điểm 0 x và f là một hàm số xác định trên khoảng 0 (a;b) \ x . Khi đó 0 0 x x lim f(x ) L = nếu n dãy số (x ) trong tập hợp 0 (a;b) \ x mà n 0 limx x= ,ta đều có n limf(x ) L= . b.Giới hạn vô cực. ( ) 0 0 x x x x lim f(x) hay lim f(x) = + = nếu dãy n x 0 (a;b) \ x mà n 0 limx x= , ta đều có n limf(x ) = + ( ) n hay limf(x ) = . 2.Giới hạn hàm số tại vô cực. +/ Giả sử ta có hàm số f xác định trên (a; )+ . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến + nếu với mọi dãy n (x ) trong khoảng (a; )+ mà n limx = + ,ta đều có n limf(x ) L= . Ta viết x lim f(x) L + = . x x x x x +/ Tương tự ta có lim f(x) , lim f(x) , lim f(x) L, lim f(x) , lim f(x) . + + = + = = = + = 2.Một số định lý về giới hạn. Định lý 1: Giả sử 0 x x x lim f(x) L và lim g(x) M = = . Khi đó: a/ [ ] 0 x x lim f(x) g(x) L M. + = + b/ [ ] 0 x x lim f(x) g(x) L M. = c/ [ ] ( ) 0 0 x x x x lim f(x).g(x) L.M đặc biệt lim cf(x) cL. = = d/ 0 x x f(x) L lim ,M 0 g(x) M = . Định lý 2: Giả sử 0 0 x x lim f(x ) L = , khi đó: a/ 0 x x lim f(x) L = . b/ 0 3 3 0 x x lim f(x ) L = . c/ Nếu 0 f(x) 0 x J \ {x } ,trong đó J là một khoảng nào đó chứa điểm 0 x thì 0 0 x x L 0 và lim f(x ) L = . 4. Giới hạn một bên. +/ Giả sử hàm số f xác định trên khoảng 0 (x ;b) .Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải là L khi x dần đến 0 x (hoặc tại điểm 0 x ),nếu với mỗi dãy n (x ) trong khoảng 0 (x ;b) mà n 0 limx x= ,ta đều có n limf(x ) L= . Ta viết 0 x x lim f(x) L + = . +/ Định nghĩa tơng tự cho 0 x x lim f(x) L = . Giáo Viên : Cù Đức Hoà - THPT Vĩnh Chân 1 Chuyên đề giới hạn của hàm số +/ Hàm số có giới hạn tại 0 x và 0 x x lim f(x) L = tồn tại 0 x x lim f(x) + , 0 x x lim f(x) và 0 0 x x x x lim f(x) lim L + = = . 5. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực. +/ Nếu 0 x x lim f(x) = + thì 0 x x 1 lim 0 f(x) = . +/ Quy tắc 1. Nếu 0 0 x x x x lim f(x) và lim g(x) L 0 = = ,thì [ ] 0 x x lim f(x).g(x) cho bởi bảng sau: 0 x x lim f(x) Dấu của L [ ] 0 x x lim f(x).g(x) + + + + + + Quy tắc 2: 0 x x lim f(x) L 0 = và 0 x x lim g(x) 0 và g(x) 0 hoặc g(x) 0 = 0 x J \ {x } , trong đó J là mộy khoảng nào đó chứa điểm 0 x ,thì 0 x x f(x) lim g(x) cho bởi bảng sau: Dấu của L Dấu của f(x) 0 x x f(x) lim g(x) + + + + + + 6. Một số dạng vô định Dạng 0 0 : Cách khử : +/ Phân tích tử và mẫu thành tích để giải ớc nhân tử chung. +/ Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số dới dấu căn thì có thể nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp. Dạng : +/ Chia cả tử và mẫu cho k x ,với k là số mũ cao nhất của biến số x.(Hay phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử n x rồi giản ớc). +/ Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn, thì đa k x ra ngoài (k là bậc cao nhất của x trong căn) trớc khi chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của x. Dạng và dạng 0. : Giáo Viên : Cù Đức Hoà - THPT Vĩnh Chân 2 Chuyên đề giới hạn của hàm số +/ Nhân và chia với biểu thức liên hợp,nếu có biểu thức chứa biến x dới dấu căn hoặc quy đồng mẫu để đa về cùng một phân thức. II. Kĩ năng cơ bản. Vận dụng linh hoạt các định lý về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực để giải các bài toán về giới hạn hàm số. III. Một số ví dụ: A.Ví dụ tự luận: Ví dụ 1: áp dụng định nghĩa tính 2 x 2 3x x 1 lim x 1 + . Giải : +/ Hàm số 2 3x x 1 f(x) x 1 + = xác định trên { } \ 1Ă . +/ Giả sử ( ) n x là dãy số tùy ý mà n x 2 . Khi đó 2 2 n n n n 3x x 1 3.2 2 1 limf(x ) 11 x 1 2 1 + + = = = +/ Vậy 2 x 2 3x x 1 lim 11 x 1 + = . Ví dụ 2: áp dụng định nghĩa tính 2 2 x 1 x 2x 3 lim 2x x 1 + . Giải : +/ Hàm số 2 2 x 2x 3 f(x) 2x x 1 + = xác định trên { } 1 \ 1, 2 Ă . +/ Giả sử ( ) n x là dãy số tùy ý mà n x 1 . Khi đó + + + = = = = + + 2 n n n n n n 2 n n n n n x 2x 3 (x 1)(x 3) x 3 4 f(x ) lim lim lim 1 1 3 2x x 1 2(x 1)(x ) 2(x ) 2 2 +/ Vậy 2 2 x 1 x 2x 3 4 lim 3 2x x 1 + = . Ví dụ 3: Tính 1/ 2 x 5 x 5 lim x 25 + 2/ 2 x 5 x 5 lim x 25 . Giải : 1/ Ta có : 2 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 1 1 lim lim lim (x 5)(x 5) x 5 10 x 25 + + + = = = + + . 2/ Ta có : 2 x 5 x 5 x 5 x 5 5 x 1 1 lim lim lim (x 5)(x 5) x 5 10 x 25 = = = + + . Giáo Viên : Cù Đức Hoà - THPT Vĩnh Chân 3 Chuyên đề giới hạn của hàm số L u ý : Do 2 2 x 5 x 5 x 5 x 5 lim lim x 25 x 25 + nên 2 x 5 x 5 lim x 25 . Ví dụ 3: Cho hàm số 2 7x 4x 3 khi x 1 f(x) 4x 2 khi x 1 + = + < . Tính x 1 limf(x) . Giải : +/ Ta có hàm số f(x) xác định trên tập Ă . +/ 2 x 1 x 1 limf(x) lim(7x 4x 3) 6 = + = . +/ x 1 x 1 lim f(x) lim(4x 2) 6 = + = . +/ Do x 1 x 1 lim f(x) lim f(x) 6 + = = nên x 1 limf(x) 6 = . Ví dụ 4: Tính 1/ 3 2 x 1 lim 3x x 2 + 2/ 3 2 x 3x x 1 lim x 3x 1 + + + 3/ 2 2 x x 7x lim (1 2x)(3 ) x 1 + + . Giải : 1/ Ta có 3 3 2 x x 3 1 1 x lim lim 0 1 2 3x x 2 3 x x = = + + . = + = ữ 3 3 x x 1 1 2 Vì lim 0 ; lim 3 3 . x x x + + + + ữ + + = = ì + + + ữ 3 3 2 3 2 3 2 x x x 2 2 2 1 1 1 1 x 3 3 3x x 1 x x x x 2/ lim lim lim x = . 3 1 3 1 x 3x 1 1 x 1 x x x x + + + ữ + = = ữ ữ ữ ữ 2 2 x x 7 1 x 7x 1 x 3/ lim (1 2x)(3 ) lim x 2 3 . 1 x x 1 1 x + + + ữ =+ = = ữ ữ ữ ữ x x x 7 1 1 x Vì lim x ; lim 2 2, lim 3 2 . 1 x 1 x Ví dụ 5: Tính 1/ 2 x 0 (x 3) 27 lim x + 2/ 3 x 2 3 x 1 lim x 2 2/ 2 x 1 9 5x 2 lim x 1 4/ 3 2 2 x 1 5 x x 7 lim x 1 + . Giáo Viên : Cù Đức Hoà - THPT Vĩnh Chân 4 Chuyên đề giới hạn của hàm số Giải : 1/ Ta có + + + = = + + = 2 3 2 2 x 0 x 0 x 0 (x 3) 27 x 9x 27x lim lim lim(x x 27x) 27. x x 2/ Ta có = + = = = + + + + 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 9 5x 2 5 5x lim lim x 1 (x 1) ( 9 5x 2) 5(1 x) 5 5 lim lim . 9 (x 1)(x 1)( 9 5x 2) (x 1)( 9 5x 2) = = + + + + 3 2 x 2 x 2 x 2 3 3 2 3 3 3/ Ta có 3 x 1 (3 x) 1 1 1 lim lim lim = . x 2 3 (3 x) 3 x 1 (x 2) (3 x) 3 x 1 4/ Ta có 3 3 2 2 2 2 2 x 1 x 1 5 x x 7 5 x 2 x 7 2 lim lim x 1 x 1 x 1 + + ữ = . Mặt khác = + + + + 2 x 1 x 1 x 1 5 x 2 1 x 1 1 lim lim =lim = . 8 x 1 (x 1)(x 1)( 5 x 2) (x 1)( 5 x 2) + = = ì + + + + + + + + 3 2 2 2 3 2 2 2 3 x 1 x 1 x 1 2 2 2 2 3 3 x 7 2 x 1 1 1 lim lim lim = 12 x 1 (x 7) x 7 2 (x 1) (x 7) x 7 2 Vậy 3 2 2 x 1 5 x x 7 1 1 5 lim 8 12 24 x 1 + = = . Ví dụ 6: Tính ( ) + + + + + + + + + 2 2 x x 2 2 x x 5x 3 1 x x 2x 3x 1/ lim 2 / lim 1 x 4x 1 x 2 3/ lim x x x 4 / lim x x 1 x . Giải: + + + = 2 x x x 1 1 3 1 x 5 3 5 5x 3 1 x x x x 1/ lim lim = lim = 5 . 1 1 1 x 1 1 x x Giáo Viên : Cù Đức Hoà - THPT Vĩnh Chân 5 Chuyên đề giới hạn của hàm số + + + + + + + + ữ + + = + + + + + + ữ + + + + 2 2 x x x x 2 2 x 1 3 x 1 3x x 2x 3x x x 2 / lim lim = lim 1 1 2 4x 1 x 2 x 4 x 2 x 4 1 x x x 2 1 3 x = lim = 4 . 1 2 4 1 x x ( ) + + + + + = + + + + + + ữ 2 2 x x x x x x 1 1 3/ lim x x x lim = lim = lim = 2 1 1 x x x 1 1 x 1 1 x x + + + + = ì + + + + + + ữ 2 2 x x x x 2 2 x x 1 1 4 / lim x x 1 x lim = lim = lim = 2 1 1 x 1 x 1 1 x 1 1 x x B. Ví dụ trắc nghiệm. Chọn phơng án đúng cho mỗi ví dụ sau: Ví dụ 7: x 1 2x 1 lim x 2 + bằng: A.0 B. 1 3 C. 1 2 D.2 Ví dụ 8 : 2 x 0 x 3x 1 lim x 1 + + bằng: A.1 B.0 C. 1 D. 3 Ví dụ 9: 2 x 0 1 1 lim x x ữ bằng: A.2 B.4 C. + D. Ví dụ 10: x 2 x 3 lim x 1 bằng: A. 1 B. 2 C.1 D.2 Ví dụ 11: Cho hàm số 2 x 2x khi x 1 f(x) 3x khi x<1 + = Khi đó x 1 limf(x) bằng A.1 B.2 C.không tồn tại D.3 Ví dụ 12: 2 x 1 x 1 lim x 2 bằng: A.2 B.0 C.1 D. 1 Giáo Viên : Cù Đức Hoà - THPT Vĩnh Chân 6 Chuyên đề giới hạn của hàm số Ví dụ 13: 3 2 x 1 x 3x 4 lim x 1 + bằng: A.1 B.1,5 C.3 D.3,5 Ví dụ 14: 3 2 x 1 x 3x 2 lim x 2x 3 + + bằng: A. + B. 3 C.1 D.0 Ví dụ 15: 2 x 2 x 3 lim x x 5 + + + bằng: A. B. + C.1 D.2 Đáp án: VD7 VD8 VD9 VD10 VD11 VD12 VD13 VD14 VD15 B C D C D A C C D II.Bài tập A.Bài tập tự luận Bài1: Dùng định nghĩa tính giới hạn. 2 x 3 x 5 1/ lim x 4 + 2 x 2 x 3x 2 2 / lim x 2 + . HD: +/ Xem lại ví dụ 1. +/ Đ/S: 1/ 8 5 2/ 1 . Bài 2 : Tính + + + + 2 2 2 2 x 1 x 2 x 1 x 4x 12 1/ lim 2 / lim x 3x 2 x x 6 HD : 1/ Để ý: 2 2 x 3x 2 x 3x 2 x>1 . + = + ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + = = + 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Nên lim lim = lim 2. x 1 x 2 x 2 x 3x 2 2/ Để ý: 2 2 x x 6 x x 6 x (-3;2)+ = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + = = + + + 2 2 x 1 x 1 x 1 x 4x 12 x 2 x 6 x 6 8 Nên lim lim = lim . x 3 x 2 x 3 5 x x 6 Bài 3: Tìm a để hàm số 2 x 7x 2a 4 khi x>2 f(x) 3ax 4 khi x 2 + = + Có giới hạn khi x dần đến 2. HD: ( ) ( ) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 +/ Ta có lim f(x) lim x 7x 2a 4 2a 14 lim f(x) lim 3ax 4 6a 4 + + = + = = + = + Giáo Viên : Cù Đức Hoà - THPT Vĩnh Chân 7 Chuyên đề giới hạn của hàm số +/ Phải có x 2 x 2 9 lim f(x) lim f(x) 2a 14 6a 4 a 2 + = = + = . +/ Vậy với 9 a 2 = thì hàm số có giới hạn khi x dần đến 2. Và x 2 limf(x) 23 = . Bài 4: Tính 3 2 x 1 x 1 3 3 2 3 3 x 0 x 1 2x 7 x 4 2x 7 3 1/ lim 2/ lim x 4x 3 2 x 3 x x 1 x 1 x 3x 2 3/ lim 4/ lim x x 1 + + + + + + + HD : Xem lại cách làm ở ví dụ 5. Đ/S: 1/ 4 15 2/ 4 3 3/ Lu ý để cho gọn ta biến đổi ( ) 3 3 3 2 3 2 3 x x 1 x 1 x x 1 1 x 1+ + + = + + + Nên giới hạn cần tính bằng: ( ) + + + = + + ì + + 3 3 2 2 3 2 x 0 x 0 3 3 1 1 lim x x 1 1 x 1 lim x x 1 = . 3 (x 1) x 1 1 4/ Để rút gọn ta biến đổi: 3 3 2 x 3x 2 x 1 3x 2 1 3x 1 1 (x x 1) x 1 x 1 x 1 x 1 = = + + Nh vậy giới hạn cần tính bằng 2 x 1 x 1 x 1 3x 1 1 3 3 lim(x x 1) lim 3 lim . x 1 2 3x 2 1 + + = = + Bài 5:Tính 3 3 x 0 x 1 3 3 2 x 1 x 1 1 2x 1 3x x 7 x 3 1/ lim 2 / lim x x 1 x x 1 1 3/ lim 4 / lim x 2 1 x 1 + + + + + + + HD: 1/ Biến đổi giới hạn cần tính bằng 3 3 x 0 x 0 x 0 1 2x 1 1 3x 1 1 2x 1 1 3x 1 lim lim lim x x x x 1 1 0 . + + + + = ữ = = 2/ +/ Tơng tự câu 1, thêm bớt 2 ở tử. +/ Đáp số 1 6 . 3/ +/ Nhân liên hợp cả tử và mẫu. +/ Đáp số: 1 Giáo Viên : Cù Đức Hoà - THPT Vĩnh Chân 8 Chuyên đề giới hạn của hàm số 4/ +/ Biến đổi: 2 2 2 x x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 + = + + +/ Từ đó tính đợc giới hạn đã cho bằng 1 2 . Bài 6 :Tính ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x x 2 2 3 3 x x 3 x 1 x 3 2 3 3 2 2 x x x 2x 3 4x 1 9x x 1 4x 2x 1 1/ lim 2 / lim x 1 4x 1 2 x x 2x 3 3/ lim 4 / lim 2x 1 4x 4x 1 x x 2 2 4 5/ lim 6 / lim x x x x 1 x 1 x 7 / lim x 3x x 8 / lim x 3x x 2x . + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + ữ + + HD: Xem lại cách làm ở ví dụ 6. Đ/S: 1/ 5 2/ 1 3/ 1 4/ 0 5/ 1 6/ 1 2 7/ 1 8/ 2 Bài 7: Tính giới hạn sau theo a. 2 2 x a 2 2 2 3 2 x a (x 3x 2) x a 1/ lim x 5x 4 x 2(a 1)x 2a 1 x a 2 / lim x 5x 4x + + + + + + + + HD: 1/ Ta có 2 2 x a x a (x 3x 2) x a (x 2)(x a) I = lim lim x 4 x 5x 4 + + + = + +/ Trờng hợp 1: a 4 = x 4 I lim (x 2) 2. + = = +/ Trờng hợp 2: a 4 . I 0. = +/ Vậy 2 khi a=4 I 0 khi a 4 = . 2/ Ta có: a 0 > . + + + + + + = = + 2 2 2 3 2 x a x a x 2(a 1)x 2a 1 x a (x 1)(x 2a 1)(x a)(x a) J lim lim x(x 1)(x 4) x 5x 4x Giáo Viên : Cù Đức Hoà - THPT Vĩnh Chân 9 Chuyên đề giới hạn của hàm số +/ Trờng hợp 1: a 1 = x 1 (x 1)(x 3)(x 4) I lim 0 x(x 4) + + = = . +/ Trờng hợp 2: a 4= x 4 (x 1)(x 9)(x 4) 10 I lim x(x 1) 3 + = = ì +/ Trờng hợp 3: a 1 a 4 I 0 = . Vậy 10 khi a 4 I 3 0 khi a 4 . = = B.Bài tập trắc nghiệm. Bi 1). Gii hn 2 1 1 lim 1 x x x bng : A). 3. B). 2. C). 1. D). 1 2 . Bi 2). Gii hn 3 2 1 3 4 lim 1 x x x x + bng : A). 3. B). 1. C). 6. D). 2,5. Bi 3). Gii hn 3 1 2 2 1. 5 3 lim 1 x x x x + bng : A). 19 12 B). 29 12 C). 19 12 D). 29 12 Bi 4). Gii hn 3 2 1 3 2 lim 2 3 x x x x x + + bng : A). 3 4 . B). 1 C). 0. D). 1 2 . Bi 5). Gii hn 2 2 2 4 lim 2 5 2 x x x x + bng : A). 8 3 . B). 2. C). 4 3 . D). 4. Bi 6). Gii hn 3 1 1 lim 3 1 2 x x x + bng : A). 9 4 B). 4 9 C). 2 3 D). 4 3 Bi 7). Gii hn 3 1 2 lim 6 3 x x x + + bng : A). 2. B). 3. C). 2 3 . D). 3 2 . Giáo Viên : Cù Đức Hoà - THPT Vĩnh Chân 10