Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu MTCT phục vụ cho học sinh và giáo viên cấp THCS
>>> Chuyên đề : Kiến thức cần nhớ 1- C«ng thøc tÝnh tỉng: n(n + 1) a) + + + + n = c) + + + + 2n = n( n + 1) b) + + + + (2n − 1) = n d) 12 + 22 + + n = n(n + 1)(2n + 1) n (n + 1) - Bất đẳng thức Bunhiakôpxki: Cho hai bé sè bÊt k× : ( a , b), (x , y) th× ta cã: (ax + by)2 ≤ (a + b )( x + y ) a b DÊu ‘‘=’’ x¶y ⇔ = x y - Bất đẳng thức côsi: a+b ≥ ab a) Víi hai sè a, b ≥ : Dấu = xảy a = b a+b+c ≥ abc b) Víi ba sè a, b, c : Dấu = xảy ⇔ a = b = c a+b+c+d ≥ abcd c) Víi sè a, b, c, d : Dấu = xảy a = b = c = d a + a + + an n ≥ a1.a2 an e) Víi n sè a1, a2,…, an ≥ th× : DÊu ‘‘=’’ x¶y ⇔ a1 = a2 = = an n - Hằng đẳng thức vạn năng: a) a3 + b3 + c3 = (a + b +c )(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca ) + 3abc b) (a +b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c+ a) c) (a + b)n = Cn a n + Cn1a n −1.b1 + Cn a n −2 b + + Cn n −1a1.b n −1 + Cn nb n n! k (k , n ∈ Ν, ≤ k ≤ n) Là tổ hợp chập k n Với: Cn = k !.(n k )! - Các định lí: Định lý Phécma lớn: Với p số nguyên tố với a ta có: a p a(mod p ) Định lý Phécma nhỏ: Nếu a số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p ta có: ap 1(mod p) Định lý ơle: Nếu a, m Ζ , m > , (a , m) = th× ta cã: ψ a ( m ) ≡ 1(mod m) 1 Víi m = p1α1 p2 pn n tích thừa số nguyªn tè , Ψ ( m ) = m(1 − )(1 − ) (1 − ) p1 p2 pn e) 13 + 23 + 33 + + n3 = Tính giá trị Dạng 1.1: Liên quan đến hàm số(có dạng đa thức) Bài 1.1.1: Cho F(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx +e (trong ®ã a, b, c, d ,e= const) BiÕt F(1) = 1, F(2) = , F(3) = 6, F(4) = 10, F(5) = 15 TÝnh F(6), F(7), F(8), F(9) Bµi 1.1.2: Cho F(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx+e (trong ®ã a, b, c, d ,e= const) BiÕt F(1) = 2, F(2) = , F(3) = 6, F(4) = 8, F(5) = 10 TÝnh F(6), F(7), F(8), F(9) Bµi 1.1.3: Cho F(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx+e (trong ®ã a, b, c, d ,e= const) >>> Chuyên đề 1: Các chuyên ®Ị casio líp 8+9 BiÕt F(1) = 1, F(2) = , F(3) = 9, F(4) = 16, F(5) = 25 TÝnh F(6), F(7), F(8), F(9) Bµi 1.1.4: Cho F(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx+e (trong ®ã a, b, c, d,e = const) BiÕt F(1) = 0, F(2) = , F(3) = 8, F(4) = 15, F(5) = 24 TÝnh F(6), F(7), F(8), F(9) Bµi 1.1.5: Cho P(x) = x5 + ax4+ bx3+ cx2 + dx +e (trong ®ã a, b, c, d,e = const) BiÕt P(1) = 4, P(2) = 16, P(3) =36 , P(4) = 64, P(5) = 100 TÝnh P(6), P(7), P(8), P(9) Bµi 1.1.6: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (trong ®ã a, b, c, d = const) BiÕt P(1) = ; P(2) = 14 ; P(3) = 29 ; P(4) = 50 H·y tÝnh P(5) ; P(6) ; P(7) ; P(8) Bµi 1.1.7: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (trong ®ã a, b, c, d = const) BiÕt P(1) = ; P(2) = ; P(3) = 18 ; P(4) = 48 H·y tÝnh P(2002) Bµi 1.1.8: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (trong ®ã a, b, c, d = const) BiÕt P(1) = 0,5 ; P(2) = ; P(3) = 4,5 ; P(4) = H·y tÝnh P(2002) ; P(2003) Bµi 1.1.9: Cho P(x) = x5 +ax4+ bx3+ cx2 + dx +e (trong ®ã a, b, c, d,e = const) BiÕt P(1) = 1, P(2) = 5, P(3) =14, P(4) = 30, P(5) = 55 TÝnh P(6), P(7), P(8), P(9) Bµi 1.1.10: Cho P(x) = x5 +ax4+ bx3+ cx2 + dx +e (trong ®ã a, b, c, d,e = const) BiÕt P(1) = 9, P(2) = 25, P(3) =49 , P(4) = 81, P(5) = 121 TÝnh P(6), P(7), P(8), P(9) Bµi 1.1.11: Cho P(x) = x5 + ax4+ bx3+ cx2 + dx +e (trong ®ã a, b, c, d,e = const) BiÕt P(1) = 2, P(2) = 9, P(3) =28 , P(4) = 65, P(5) = 126 TÝnh P(6), P(7), P(8), P(9) Bµi 1.1.12: Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (trong ®ã a, b, c, d = const) BiÕt P(1) = ; P(2) = ; P(3) = 25 ; P(4) = 49 H·y tÝnh P(5) ; P(6) ; P(7) ; P(8) Bµi 1.1.13: Cho ®a thøc f(x) = x5 + x2 + có năm nghiệm x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 Ký hiÖu p(x) = x2 - 81 HÃy tìm tích p = p(x1)p(x2)p(x3)p(x4)p(x5) Bài 1.1.14: Cho ®a thøc f(x) = 2x5 + 3x2 + 2010 có năm nghiệm x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5 Ký hiÖu p(x) = x2 - 100 H·y t×m tÝch p = p(x1)p(x2)p(x3)p(x4)p(x5) Bài 1.1.15: Cho đa thức f(x) = x5 +2 x3 + 20112012 có năm nghiệm x1;x2 ; x3 ; x4 ; x5 Ký hiÖu p(x) = x2 H·y tìm tích p = p(x1)p(x2)p(x3)p(x4)p(x5) Bài 1.1.16: Cho hàm sè :F(x) =50x4 +ax3 +bx2+cx+d (trong ®ã a, b, c, d = const) BiÕt F(1) = ;F(2) = 10 ; F(3) = 29 ; F(4)=67 TÝnh F(100) vµ F(122) Bài 1.1.17: Cho đa thức f(x) = 3x4 +2009 x+ 2011 cã nghiƯm lµ x1;x2 ; x3 ; x4 Ký hiÖu p(x) = x2 - 49 HÃy tìm tích p = p(x1)p(x2)p(x3)p(x4)p(x5) Bài 1.1.18: Đa thøc F(x) chia cho x-3 th× d 10 , chia cho x+5 d chia cho (x-3)(x+5) đợc thơng x2 +1 d 1/Xác định F(x) 2/Xác định đa thức d 3/Tính F(10) ; F(1002) Bài 1.1.19: Đa thức F(x) chia cho x-3 th× d 7, chia cho x+5 th× d -9 chia cho x2-5x+6 đợc thơng x2 +1 d 1/Xác định F(x) 2/Xác định đa thức d 3/Tính F(10) ; F(1001) Bài 1.1.20: Cho ®a thøc P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (trong ®ã a, b, c, d = const) Các chuyên đề casio lớp 8+9 BiÕt P(1)=10 ; P(2) = 20 ; P(3) = 30 1/TÝnh A = 2011.[ P(12) + P(- 8) ] 2/TÝnh A = 20112.[ P(12) + P(- 8) ] Bài 1.1.21: Đa thức F(x) chia cho x-2 th× d 5, chia cho x-3 th× d chia cho 2x2-5x+6 đợc thơng 1-2x2 d 1/Xác định F(x) 2/Xác định đa thức d 3/Tính F(10) ; F(1000) Bài 1.1.22: Đa thức F(x) chia cho x-2 th× d 2, chia cho x-3 d chia cho x2-25x+16 đợc thơng 2-3x2 d Tính F(10) ; F(1003) Bµi 1.1.23: Cho F(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx+e (trong ®ã a, b, c, d,e = const) BiÕt F(1) = 3, F(2) = , F(3) = 19, F(4) = 33, F(5) = 51 Tính F(10), F(100), F(1000), F(10000) Bài 1.1.24: Đa thức F(x) chia cho x- th× d 7, chia cho x+5 th× d -9 , chia cho x- d 19 chia cho 2x3-5x2+6 đợc thơng 3x2 +2 d Tính F(100) ; F(1000) Bài 1.1.25: Cho đa thức P(x) = 2x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx+e (trong ®ã a, b, c, d = const) BiÕt P(1)=8 ; P(2) = 14 ; P(3) = 20 ; P(4) = 26 1/TÝnh A = 2011.[ P(11) - P(- 6) ] 2/TÝnh A = 20112.[ P(11) - P(- 6) ] Bài 1.1.26: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx+e (trong ®ã a, b, c, d = const) BiÕt P(1)=-2 ; P(2) = ; P(3) = ; P(4) = 13 1/TÝnh A = [ P(15) - P(- 10) ] :25 2/Tính A2,A3 ,A4 Bài 1.1.27: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (trong ®ã a, b, c, d = const) BiÕt P(1) =1 ; P(2) = ; P(3) = 1/TÝnh A = [ P(20) + P(- 16) ] :6 2/TÝnh A2 , A3 , A4 3/ TÝnh S = A + A2 + A3 + A4 Bµi 1.1.28: Cho ®a thøc f(x) = 5x4 - 4x2 + cã nghiƯm lµ x1 ; x2 ; x3 ; x4 Ký hiÖu p(x) = 4x2 - 100 HÃy tìm tích p = p(x1)p(x2)p(x3)p(x4) Bài 1.1.29: Cho P(x) đa thức với hệ số nguyên có giá trÞ P(21) = 17 ;P(37) = 33 BiÕt P(N) = N + 51 Tính N Dạng 1.2: Tính giá trị biểu thức Dạng 1.2.1: Tính xác kết phép tính tràn hình Bài 1.2.1.1: Tính kết tích sau: a) A = 2222255555 ì 2222266666 b) B = 20032003 × 20042004 c) C = 198011 Bài 1.2.1.2: Nêu phơng pháp (kết hợp giấy máy tính) để tính kết phép tính sau: 12578963.14375 Bài 1.2.1.3: Tính giá trị x¸c cđa sè: a) B = 1234567892 b) C = 10234563 c) 201220032 Bài 1.2.1.4: 1) Nêu phơng pháp tính xác số 10384713 2)Tìm giá trị xác 10384713 Bài 1.2.1.5: Tính xác phép tÝnh sau: a/ A= 5555566666.6666677777 b/ B = 20! c/ C = 1.1! +2.2! + 3.3! + …+16.16! d/ D = 13032006.13032007 e/ E = 3333355555.3333377777 Các chuyên đề casio líp 8+9 f) TÝnh chÝnh x¸c tỉng sau: S = × 1! +2 × 2! + …+10 × 10! g) TÝnh chÝnh x¸c tỉng sau: S = × 1! +2 × 2! + … +20 × 20! Bài 1.2.1.6: Tính xác phép tính sau: a/ A = 1322007.1322009 b/ B = 6666688888.7777799999 c/ C = 200720082 Bài 1.2.1.7: Tính xác giá trị M tính tổng chữ số M M = 9876543210123456789.12345 Bài 1.2.1.8: Tính xác giá trị N tính tổng chữ số N N = 9876543210123456789.123456789 Dạng 1.2.2: Tính giá trị biểu thức lợng giác Bài 1.2.2.1: HÃy tính giá trị biÓu thøc: sin 54 36'−sin 35 40' cos 36 25'−cos 63017' A= ; B= ; sin 72 018'+sin 20 015' cos 40 22'+ cos 52 010' H = (cotg22017- cotg15016)(cos216011- sin320012)(HÃy tính xác đến 0,0001) Bµi 1.2.2.2: 1) TÝnh : A = sin220 + sin240 + … + sin2860 + sin2880 2) Chøng minh r»ng biểu thức sau không phụ thuộc vào x : P = 1994(sin6x + cos6x) - 2991(sin4x + cos4x) Bµi 1.2.2.3: Cho cosα = 0, 7651 víi 00 < α < 900 1) TÝnh sè ®o cđa gãc α (®é , , gi©y) 2) TÝnh B = cos4 α - 8cos2 α - cos α + 1,05678 ϕ cos ϕ + cos 20 ®óng ®Õn chữ số thập phân Bài 1.2.2.4: Cho cot = TÝnh A = ϕ 21 sin − 3sin 2ϕ Bµi 1.2.2.5: TÝnh: cos3 α (1 + sin α ) + tan α BiÕt sin α = 0,3456 (00 < α < 900) 1) M = 3 (cos α + sin α ).cot α sin α (1 + cos3 α ) + cos α (1 + sin α ) N= BiÕt cos2 α = 0,5678 (00 < α < 900) 2) 3 (1 + tan α )(1 + cot α ) + cos α tan α (1 + cos3 α ) + cot α (1 + sin α ) 3) K = (sin α + cos α )(1 + sin α + cos α ) BiÕt tan α = tan350.tan360 tan520 tan530 (00 < α < 900) Bµi 1.2.2.6: Cho sina = 0,7895 ; cosb = 0,8191 ( a , b lµ gãc nhän) TÝnh X = a + 2b (độ phút) Bài 1.2.2.7: a/Tính A = + 2cosα + 3cos 2α + 4cos 3α biÕt 3sin α + cosα = b/ TÝnh A = + 3cosα + 2cos 2α + cos 3α biÕt 2sin α + cosα = c/ TÝnh A = + 3sin α + 2sin α + sin α biÕt sin α + cosα = 1,5 Dạng 1.2.3: Tính giá trị biểu thức dÃy có quy luật Bài 1.2 3.1: Các chuyên đề casio lớp 8+9 1 1 + + + × ×+ × 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n ( n + 1) ( n + ) 1 1 A= + + + × ×+ × 1.2.3 2.3.4 3.4.5 970200 5 5 A= + + + × ×+ × 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2009.2010.2011 1 1 A= + + + × ×+ × 1.3.5 3.5.7 5.7.9 ( 2n + 1) ( 2n + 3) ( 2n + ) 36 36 36 36 A= + + + × ì+ ì 1.3.5 3.5.7 5.7.9 2009.2011.2013 1/HÃy tính giá trị biểu thức: A = 2/HÃy tính giá trị biểu thức: 3/HÃy tính giá trị biểu thức: 4/HÃy tính giá trị biểu thức: 5/HÃy tính giá trị cđa biĨu thøc: Bµi 1.2.3.2: 1 ì 1/Tính giá trị biểu thức: A = ữì ữì1 ÷× × − ÷× 16 n 1 1 1 × 2/TÝnh giá trị biểu thức: A = ữì ữì1 ữì ì ữì 16 10000 Bài 1.2.3.3: Tính tổng viết quy trình tÝnh: 1/ S = + + + + 72 1 1 2/ P = + + + + + 71 72 1 1 + − + − 3/ Q = − 72 4/ K = + + + …+ 99 5/ H = 1.2 +2.3 +3.4 + …+ 49.50 6/A = + + + + 49 50 Bµi 1.2.3.4: 1 1 + + + + 12 n.( n +1) 1 1 2/ HÃy tính giá trị biÓu thøc: A = + + + + 12 9999900000 1/HÃy tính giá trị biểu thức: A = Bài 1.2.3.5: Tính ( làm tròn đến chữ số thập phân): / A = − + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + 9 − 10 10 P 1 1 2/ M = víi P = + 32 +…+ 319 ; Q = + + + + 19 Q 3 3 1 1 1 1 × × 3/ N = + ữì + + ữì ì + + + ì ì ữ (chính xác tíi 0,0001) 15 2 3 Bµi 1.2.3.6: Cho S1 = 100 ; S2 = S1 + 152 ; S3 = S1 + S2 + 302 S4 = S1 + S2 + S3 +552 ; S5 = S1 + S2 + S3 + S4 +902 TÝnh S8 ; S9 ; S10 ;S20 Bµi 1.2.3.7: Cho S1 = 100 ; S2 = S1 + 132 ; S3 = S1 + S2 + 212 S4 = S1 + S2 + S3 + 342 ; S5 = S1 + S2 + S3 + S4 +522 TÝnh S8 ; S9 ; S10 ;S30 Bµi 1.2.3.8: Cho S1 = 196 ; S2 = S1 + 22 ; S3 = S1 + S2 + 92 S4 = S1 + S2 + S3 + 232 ; S5 = S1 + S2 + S3 + S4 + 442 Các chuyên đề casio líp 8+9 TÝnh S8 ; S9 ; S10 ;S50 Bµi 1.2.3.9: − 3n Cho d·y sè un = vµ Sn = u1 + u2 +…+un n a/ ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh Sn b/ H·y tÝnh S5;S10;S15;S20 Bµi 1.2.3.10: + Cho d·y sè un Víi u1 = ;u2= + ;un = 174 + 43 a/ ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh un b/ TÝnh u1000 n dấu Bài 1.2.3.11: + 10 Cho dÃy sè un.TÝnh u10000 víi u1 = 10 ;u2= 10 + 10 ;un = 110 + 10 4 44 Bµi 1.2.3.12: Cho d·y sè un = n dấu + 5n Sn = u1 + u2 +…+un H·y tÝnh S5;S10;S15;S20 n Bµi 1.2.3.13: 3 15 + 15 Cho d·y sè un.TÝnh u10000 víi u1 = 15 ;u2= 15 + 15 ;un = 115 + 2+4 43 44 n dấu Bài 1.2.3.14: Cho dÃy sè :Sn = (13+23)(13+23+33)…(13+23+33+…+n3) a/ ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh Sn b/ TÝnh Sn víi n = 1,2,3,…,10 Bµi 1.2.3.15: Cho d·y sè :Sn = 14+(14+24)+(14+24+34)+…+(14+24+34+…+n4) a/ ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh Sn b/ TÝnh Sn víi n = 5;10;15;20 Bµi 1.2.3.16: 1 1 n +1 × Cho d·y sè :Sn = − ÷1 + ữì ì + + (1) ì3 ữ 3 n a/ ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh Sn b/ TÝnh Sn víi n = 5;7 Bài 1.2.3.17: Với số nguyên dơng n > 1.Đặt Sn= 1.2 +2.3 +3.4 + +n.(n+1) a/ViÕt quy tr×nh tÝnh Sn b/TÝnh S50 ; S2005 ; S20052005 c/ So sánh S 2005 với S20052005 Bài 1.2.3.18: 1 1 1 1 Cho S n = + + + + + + + + + + + + 3 4 n (n + 1) a/ ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh Sn b/ TÝnh S10 ; S12 S2007 ;S2011 với chữ số phần thập phân Bài 1.2.3.19: Với số nguyên dơng n Các chuyên đề casio lớp 8+9 Đặt A(n) = n + − + − n − + + n a/TÝnh A(2007) b/So s¸nh A(2008) víi A(20072008) Bµi 1.2.3.20: Cho S1 = 81 ; S2 = S1 + 152 ; S3 = S1 + S2 + 252 S4 = S1 + S2 + S3 +392 ; S5 = S1 + S2 + S3 + S4 +572 TÝnh S8 ; S9 ; S10 Bµi 1.2.3.21: TÝnh giá trị biểu thức : a/ A = + + 15 +… + 9800 b/ B = 1.2.3 + 3.5.7 + 5.7.9 +…+ 95.97.99 c/C=3 + + 11 + 20 + 37 +…+ (2n + n) víi n = 10, n = 20, n= 30 d/D = + 32 + 34 + 36 +…+ 3100 e/E = + 73 + 75 + 77 +…+ 799 Bµi 1.2.3.22: + (1 + 2) + (1 + + 3) + + (1 + + + + 2008) 1/ TÝnh A = 1.2008 + 2.2007 + 3.2006 + + 2007.2 + 2008.1 2/ TÝnh B = - 24 + 34 - 44 + …+ 494 - 504 1 1 × 3/ TÝnh C = + + + + × ×+ 2! 3! 4! 50! 4/ TÝnh D = 40 38 36 5/ TÝnh E = 40 39 38 6) A = − + − + − + 8 − 9 + 20109 Bµi 1.2.3.23: Tính (làm tròn đến chữ số thập phân): Bài 1.2.3.24: Cho Cn = n n ( n −1) ( n − 1) ( n − 2) C = 54 43 (n − 2) 3 a/ ViÕt quy tr×nh tÝnh Cn b/ TÝnhC50 ; C100 2 2 2 Bµi 1.2.3.25: Cho Tn = ( Sin ) + ( Sin + Sin ) + + ( Sin + Sin + Sin n ) a/ ViÕt quy tr×nh tÝnh Tn b/TÝnh T100 Bài 1.2.3.26: Tính gần (làm tròn đến chữ sè thËp ph©n) : +3 −4 +5 −6 +7 A = 7− Bài 1.2.3.27: Với số nguyên dơng n > Đặt Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1) TÝnh S100 vµ S2005 Bài 1.2.4.1: Cho biểu thức: Dạng 1.2.4: Tính giá trị biểu thức đại số M = (4x - 2x + x - 1) H·y tÝnh giá trị biểu thức M x = 3 +3 - Bài 1.2.4.2: Các chuyên đề casio lớp 8+9 55 .5 1/HÃy tính giá trị biểu thức: A = +55 +555 + + 14 n sè 55 .5 2/HÃy tính giá trị biểu thức: A = +55 +555 + + 14 12 số 77 .7 3/HÃy tính giá trị biÓu thøc: A = +77 +777 + + 14 17 sè Bµi 1.2.4.3: 1 1 + + + + 99 100 1) H·y tính giá trị biểu thức: A = 12 98 99 + + + + 99 98 2) Trục thức mẫu số dùng máy tính tính giá trị biểu thức B= với độ xác cao tốt 2 +2+ Bµi 1.2.4.4: 1/H·y tính giá trị biểu thức: P = ( − ). + + + − 2/ TÝnh P80 3/TÝnh P100 Bài 1.2.4.5: HÃy tính giá trị biểu thức: P = (4 + 15 )( 10 − ) − 15 2,0(1234 ) + 4,11( 98) Bµi 1.2.4.6: HÃy tính giá trị biểu thức: P = 0,12( 21) 2,2(1) Bài 1.2.4.7: HÃy tính giá trị cđa biĨu thøc: [( 6,75 − 6,35) : 2,25 + 9,822 .] 12,8 : 0,0125 P= 1 (1,2 : 36 +1 : 0,25 −1,8333 .).1 7,5 : 137 6,75 − : 37 − Bµi 1.2.4.8: H·y tính giá trị biểu thức: P = 7,51 − 62 + .3 5 15 − 37 5+ 7 + 6,76 − 2− 3 2+ Bài 1.2.4.9: HÃy tính giá trị biểu thức: P = 22,8: Bµi 1.2.4.10: Thùc hiƯn phÐp tÝnh: (2002 + 1).(2004 + 1).(2006 + 1).2007 2002.2004.2006.2008 (2005 − 2012).(2003 + 4020 − 3).2006.2007.2008 b B = ; 2003.2005.2020.2012 a A = Bµi 1.2.4.11: Tính giá trị biểu thức sau: A=( B= 5- ).( 2+ + 3+ 1 1 + + + + 99 2005 - ) 2003 2004 + + + + 2004 2003 (2007 − 6010 − 9).(2008 − 10030 − 6).(2009 − 6020 5).2010.2011 2001.2002.2003.2004.2005.2006.2007.2008 Bài 1.2.4.12: Các chuyên đề casio lớp 8+9 Cho ®iƯn trë R1 = 4,18 Ω , R2 = 5,23 Ω , R3 = 6,17 Ω đợc mắc song song mạch điện Tính điện trë 1 1 = + + ) t¬ng đơng Rtđ ( biết R R1 R2 R3 Bài 1.2.4.13: a) TÝnh: A = 321930 + 291945 + 2171954 + 3041945 b) TÝnh : P(x) = 19x - 13x - 11x x = 1,51425367 c) Cho : P(x) = 3x - 12x - 2002x TÝnh P(1,0012) a − 3ab = Bµi 1.2.4.14: Cho a , b số thoả mÃn : b − 3a b = 11 a) TÝnh: P = 2010(a2 + b30) b) Nêu phơng pháp (kết hợp giấy máy tính) để tính kết của: Q = 2010(a30 + b2) Bài 1.2.4.15: 17 (8 − ) ×1 1) T×m sè C , biÕt r»ng 7,5 % cña nã b»ng 55 110 217 ( − ) :1 20 2) TÝnh b»ng m¸y tÝnh A = 12 + 22 + + 102 Cã thÓ dïng kết để tính đợc tổng S = 22 + 42 + + 202 mà không sử dụng máy tính Em hÃy trình bày lời giải tính tổng S Bµi 1.2.4.16: TÝnh A = π π (1, 263) (3,124) ×15 × (2,36)3 Bài 1.2.4.17: Tính gần đến chữ số thập ph©n: 1 2 + + + 27 ÷ + + + 27 91919191 B = 182 × ì ữ: + ÷ − + − 80808080 49 343 49 343 h ph 22 25 18 g × 2, + h 47 ph50 g Bài 1.2.4.18: Tính A = xác tới chữ số thập phân 9h 28 ph16 g Bµi 1.2.4.19: 2 + + Bµi 1.2.4.20: 1) TÝnh A = 0,19981998 0, 019981998 0, 0019981998 2) Tìm tất ớc nguyên tố số A Bài 1.2.4.21: Phần nguyên x (là số nguyên lớn không vợt x) đợc kí hiệu [x] Tìm [B] biết B= 1 1 + + + + + 2 10 Bµi 1.2.4.22: ViÕt kết dới dạng phân số tối giản: 1) 3124,142248 2) 5,(321) Bài 1.2.4.23: 1) Giả sử (1 + x + x2)100 = a0 + a1x + a2x2 + …+ a200x200 H·y tÝnh E = a0 + a1 + a2 + …+ a200 2) Gi¶ sư (1 + x + x4)25 = a0 + a1x + a2x2 + …+ a100x100 H·y tÝnh E = a1 + a2 + …+ a99 1 1 1 1 Bài 1.2.4.24: 1) Phải loại phân số tổng + + + + + + + để đợc kÕt qu¶ b»ng 10 12 14 16 Các chuyên đề casio lớp 8+9 2) Viết quy trình bấm phím tính giá trị biÓu thøc : A = 2x2 + 5x − 3x − 1 −1 ; x= ;x= 3 24 20 16 x + x + x + + x + Bµi 1.2.4.25: Cho A = 26 x + x 24 + x 22 + + x + Tính giá trị cđa A víi x = 1,23456789 vµ víi x = 9,87654321 Bài 1.2.4.26: Với số x , kí hiệu [x] số nguyên lớn không vợt x n víi n = 1, 2, ,… KÝ hiÖu q(n) = n 1) TÝnh q(n) víi n = 1, ,3 ,,20 2) Tìm tất số nguyên dơng n cho q(n) > q(n+1) Bài 1.2.4.27Tính giá trị biÓu thøc sau: 2 6 a/ A = 1 + ÷: − ÷: 1,5 + + 3, ÷ 5 4 3 b/ B = 12 :1 ì1 + : ữ 11 121 12 10 10 ì 24 15 ữ ì − 1, 75 ÷ 7 11 c/ C = 60 0, 25 ữì + 194 99 11 1 + d/ D = 0,3(4) + 1, (62) :14 − : 90 11 0,8(5) 11 Bµi 1.2.4.28: Cho P(x) = 3x3 + 17x - 625 1) TÝnh P(2 ) 2) TÝnh a ®Ĩ P(x) + a2 chia hÕt cho x + Bài 1.2.4.29: Một hình vuông đợc chia thành 16 ô (mỗi cạnh ô ) Ô thứ đợc đặt hạt thóc, Ô thứ hai đợc đặt hạt thóc, ô thứ ba đợc đặt hạt thóc, ô thứ t đợc đặt hạt thóc ô cuối Hỏi tất hình vuông có hạt thóc Bài 1.2.4.30: Tìm GTLN cđa biĨu thøc: a) A = 2009x + 1010y víi 9x2 + 4y2 = 2011 b) B = 2010x4 (2009 - 3x4) ( Tính xác đến 0,001) Bài 1.2.4.31: Bài 1.2.4.32: Tính giá trị biểu thức sau: ¸p dông b»ng sè : x = B= 20052006 + 20062007 + 20072008 + 20082009 + 20092010 Bµi 1.2.4.33: BiÕt r»ng: a + b = 2007, a.b = 2007 1 Tính giá trị biểu thức:M = a b Bài 1.2.4.34: a/ Tính giá trị ( ghi dạng phân số ) biểu thức:M = 0,1(23) + 0,6(92) b/ số thập phân vô hạn tuần hoàn 3,5(23) đợc phân số sinh ra? Các chuyên đề casio lớp 8+9 10 a) Giải phơng trình sau ( tÝnh x theo a , b > 0): a + b − x = + a − b − x b) Cho biÕt a = 250204 ; b = 260204 H·y tÝnh x Bài 8.1.10: Giải phơng trình: x 101 x 103 x − 105 a) + + =3 b)( x − 9) = 12 x + 86 84 82 c) x + x + x − = d ) x + x + − x + x + 28 = Bài 8.1.11: Giải phơng trình sau: 64x6 - 112x4 + 56x2 - = x Bài 8.1.12: Giải phơng trình: a) x − + − x = x − x + 18 b) x4 + 2x3 +5x + x + = HD: b) x = không nghiệm Với x ta cã: x2 + + 2( x + ) + = x x 2 ⇔ ( x + ) + 2( x + ) + = x x C2: x4 + 2x3 +5x + x + = ⇔ ( x + x3 + x ) + (4 x + x + 1) + = ⇔ ( x + x) + (2 x + 1) + = V« nghiÖm (2,3 + : 6, 25) ì Bài 8.1.13: Tìm x , nÕu : x :1,3 + 8, × × 6 − = 114 × 0, 0125 + 6,9 Bài 8.1.14: Tìm tất nghiệm gần gần với chữ số thập phân phơng trình: x4 + = 3x(x2 - 1) Bµi 8.1.15: Tìm tất nghiệm phơng trình: x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = Bµi 8.1.16: Tìm tất nghiệm phơng trình: x4 - 2x3 - 24x2 + 50x - 25 = Bài 8.1.17: Giải phơng trình : a) x + 712671620 − 52408 x + 26022004 + x + 712619213 − 56406 x + 26022004 = b) x2 - 2003 [x] + 2002 = , ®ã [x] kí hiệu phần nguyên x c) x4 - 4x3 + 8x + = Bài 8.1.18: Số số , , 1,8 nghiệm phơng trình : 2x4 - 5x3 + 3x2 - 1,5552 = ? Bài 8.1.19: Giải phơng trình : 85 a) x − b) x4 + 5x3 - 12x2 + 5x + = x +1 = Bài 8.1.20: Giải phơng trình : 2009 + 2010 x + x + = 20 + 2009 − 2010 x + x + Bµi 8.1.21: Cho phơng trình : 2x3 + mx2 +nx +12 = có hai nghiệm x1=1 x2 =-2 Tìm m,n nghiệm thứ Bài 8.1.22: Cho phơng trình : x 6− x + x + = x x + 62 − x Gäi tæng nghiệm phơng trình S Tính S15 Bài 8.1.23: Ký hiệu [x] phần nguyên x 3 Giải phơng trình sau: + + + x − = 855 8.2 - Phơng trình nghiệm nguyên: Các chuyên đề casio lớp 8+9 34 Bài 8.2.1: a) Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 3xy - 3y + 2x + = b) Tìm cặp số x , y thoả mÃn phơng trình : y2 + 2(x2 + 1) = 2y(x + 1) Bài 8.2.2: a) Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2 + xy + y2 = 3( x + y - 3) b) T×m nghiƯm nguyên phơng trình : 13 x y = 2000 Bài 8.2.3: a) Tìm x, y nguyên dơng cho:3xyz - 5yz +3x + 3z = x + x + 36 b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức: A = nhận giá trị nguyên 2x + Bài 8.2.4: Giải phơng trình nghiệm nguyên: a) x2 + xy + y2 = x2 y2 b) (x - 4)2 - x4 = y3 Bài 8.2.5: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng tr×nh: a) x2 - xy - 3x + 4y + = HD: Pt ⇔ ( x − 4)( x − y + 1) = −5 b) + x + x2 + + x2008 = y2008 Bài 8.2.6: a) Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2 = y(y + 1)(y + 2)(y + 3) b)Tìm tất số nguyên thoả mÃn phơng trình: (12x - 1)(6x - 1)(4x - 1)(3x - 1) = 330 Bài 8.2.7: a Tìm số nguyên x thoả mÃn x2 + x + số ph¬ng x − y − z = −3 b Tìm nghiệm nguyên hệ phơng trình: 2 x − y − z = Bài 8.2.7: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x(x + x +1) = 4y(y + 1) Gi¶i: Pt ⇔ (x + 1)(x2 + 1) = (2y + 1)2 (1) Đặt: ƯCLN(x + 1, x2 + 1) = d Do (2y + 1)2 lẻ nên x + , x2 + lỴ ⇒ d ≠ x + 1M d d Ta cã: ⇒ 2M (Theo định lý Ơclit) x + 1M d d = d = (loại) d = ⇒ x + , x2 + nguyªn tố số phơng (Theo (1)) Đặt : x + = a2 ; x2 + = b2 Tõ: x2 + = b2 b − x = b + x = ⇔x= Ta cã: (b - x)(b + x) = ⇔ b − x = −1 b + x = −1 Thay x = vào (1) ta đợc y = y = Vậy phơng trình có nghiệm là: (0 ; 0) ; (0 ; 1) Bài 8.2.8: Tìm x, y nguyên dơng để biểu thức x2 - Mxy + HD: x2 - Mxy + ⇒ y(x2 - 2) Mxy + ⇒ yx2 + 2x - 2x - 2y Mxy + ⇒ x(xy + 2) - 2(x + y) Mxy + ⇒ 2(x + y) Mxy + Các chuyên đề casio líp 8+9 35 ⇒ 2(x + y) = k( xy + 2) ( k ∈ Ζ* ) NÕu k ≥ ⇒ 2(x + y) ≥ ( xy + 2) ⇒ (x + y) ≥ ( xy + 2) ⇒ (x - 1)(1 –- y) ≥ (v« lý) Do ®ã k = ⇒ 2(x + y) ≥ ( xy + 2) ⇒ (x - 2)(y - 2) = KL: (x ; y) = (4 ; 3) Bài 8.2.9: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: a) x2 + 2y2 + 3xy - x - y + = HD: Biến đổi phơng trình dạng ( x + y)( - x - 2y) = b) x − + y − 2006 + z + 2005 = ( x + y + z ) Bài 8.2.10: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 7 − y ≥ y2 ≤ 2 ⇔ ⇒ y2 = HD:Pt ⇔ 2(x + 1) = 3(7 - y ) ⇔ 2 2 7 − y M 7 y M Bài 8.2.11: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: a) Tìm nghiệm nguyên phơng trình: xy2 + 3y2 - x = 108 HD: C1: Pt ⇔ (x + 3)(y2 - 1) = 105 108 − y ⇔ x= = C2: Pt y2 b) Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 2xy + x + y = 83 Bài 8.2.12: Tìm số nguyên x để số trị tích : x(x + 1)(x + 7)(x + 8) số phơng HD:C1: §Ỉt a2 = x(x + 1)(x + 7)(x + 8) (a ∈ Ν ) ⇒ a2 = k (k +7) víi k = x2 + 8x NÕu a = th× x ∈ { −8; −7; −1;0} NÕu a > th×: k2 + 7k = a2 ⇔ 4k2 + 28k = 4a2 ⇔ (2k + 7)2 - (2a)2 = 49 ⇔ (2k + 2a +7)(2k +7 - 2a) = 49 Vì a > nên 2k + 2a +7 > 2k +7 - 2a ta cã … C2: Ta cã: k2 + 7k = a2 NÕu k > th×: k2 + 6k +9 < k2 +7k < k2 + 8k +16 Hay: (k + 3)2 < a2 < (k + )2 v« lý VËy k ≤ ⇔ x2 + 8x Bài 8.2.13: 1) Giải phơng trình nghiệm nguyên sau: x + y = 1960 2) Tìm điểm có toạ độ nguyên dơng mặt phẳng thoả mÃn: 2x + 5y = 200 Bài 8.2.14: a) Tìm tất cặp số nguyên dơng x , y cho x3 = y3 + 721 1 1225 + + = 74 − x − − y − − z 771 b) Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2 y z 771 Bài 8.2.15: Tìm số x , y , z nguyên dơng thoả mÃn: 2(y + z) = x(yz - 1) HD: Ta xÐt c¸c TH: + x = ⇒ (y - 2)(z - 2) = + x ≥ gi¶ sư: y ≤ z ⇒ (y - 1)(z - 1) ≤ + y = ⇒ (x - 2)(z - 1) = + y ≠ ⇒ (2z - 1)(x - 1) = +z xy zx yz + + =3 b) Tìm nghiệm nguyên phơng trình : z y x Bài 8.2.17: Tìm x, y nguyên dơng để biểu thức x2 - Mxy + Bài 8.2.18: Tìm nghiệm nguyên phơng trình :173x + 93y = -264 Bài 8.2.19: Tìm nghiệm nguyên phơng trình :x2 + y2 = 2z2 HD:Vì VP ≡ (mod 2) ⇒ VT ≡ (mod 2) Do :x ,y phải tính chẵn lẻ x+y,x-y chẵn.Đặt x+y = 2a,x-y=2b x2 + y2 = 4a2-2xy x2 + y2 = 4b2+2xy Khi PT trë thµnh: 2a2+2b2 = 2z2 ⇒ a2+b2=z2 a = m.( p − q ) ⇒ b = 2mpq z = m.( p + q ) x + y = m.( p − q ) ⇒ x − y = 2mpq z = m.( p + q ) x = m.( p − q + pq ) ⇒ y = m.( p − q − pq) z = m.( p + q ) (Trong ®ã :m,p,q ∈ Z ; UCLN(p,q) = 1; p,q không tính chẵn lẻ) Bài 8.2.20: Tìm nghiệm nguyên phơng trình :x2 + y2 = 4z2 Bài 8.2.21: Tìm nghiệm nguyên phơng trình :x2 + y2 = 3z2.(*) HD:x,y cã vai trß nh ta cã: VP ≡ 0(mod 3) 0 (mod 3) 0 (mod 3) x ∈ Z ⇒ x ≡ 1 (mod 3) ⇒ x2 ≡ 1 (mod 3) (mod 3) 0 (mod 3) ⇒ VT =x2+y2 ≡ 1 (mod 3) (mod 3) Để phơng trình có nghiệm VT (mod 3) x ≡ (mod 3) ⇒ y ≡ (mod 3) x = 3x1 ⇒ y = y1 PT ⇔ x12 + y12 = z ⇔ x12 + y12 = z ⇒ z ≡ (mod 3) z = z1 Các chuyên đề casio líp 8+9 37 PT ⇔ x12 + y12 = z12 ⇔ x12 + y12 = z12 Lập luận tơng tự nh trên,nếu( x0 , y0 , z0 ) nghiệm phơng trình (*) x0 y0 z0 ∈ Z; k ∈ Z; k ∈ Z ,∀ k ∈ N* k 3 Do ®ã : x0 = y0 = z0 = Ngợc lại :( , 0, ) nghiệm phơng trình KL:PT đà cho có nghiệm ( , , ) Bài 8.2.22: Tìm nghiệm nguyên phơng trình :x2 + y2 + z2 = 2xyz Bài 8.2.23: Tìm nghiệm nguyên phơng trình :x2 + y2 + z2 +u2= 2xyzu HD:Vì x,y,z,u có vai trò nh Ta cã: VP ≡ (mod 2) ⇒ VT ≡ (mod 2) TH1: sè ch½n , số lẻ VT có dạng (4k +3) , k ∈ Z ⇒ VT ≡ (mod 2) V« lý TH2: số chẵn , số lẻ Giả sử x= 2x1, y = 2y1 ,z = 2z1+1 , u = 2u1+1 Khi ®ã: VP ≡ (mod 4) VT cã d¹ng (4k + 2) ⇒ VT ≡ (mod 4) Vô lý TH3: số chẵn , số lẻ Vô lý TH4: số chẵn Giả sử: x = 2x1, y = 2y1 ,z = 2z1 , u = 2u1 PT ®· cho ⇔ x1+y1+z1+u1=8x1y1z1u1 x y0 z u Giả sử (x0,y0,z0,u0) nghiệm Z , k ∈ Z , ∈ Z , ∈ Z víi ∀k ∈ N * k k 2 2k x0=y0=z0=u0=0 Ngợc lại:(0,0,0,0) nghiệm phơng trình đà cho KL:PT đà cho có nghiệm (0,0,0,0) Bài 8.2.24: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình : 1 1 + + + =1 x y z t HD:Vì vai trò x,y,z,t có vai trò nh ,không giảm tính tổng quát ta giả sử: x y z ≤ t NÕu x=1 Lo¹i NÕu x ≥ ta cã: ≤ x ≤ y ≤ z ≤ t +NÕu t ≥ ta cã: 1 1 1 1 VT = + + + ≤ + + + x y z t x y z 1 1 mµ ; ; ≤ x y z 31 Do ®ã: VT + = 36 Vô lý Do đó: ≤ x ≤ y ≤ z ≤ t < Các chuyên đề casio lớp 8+9 38 x ≤ y ≤ z ≤ t ≤ ⇒ x=y=z=t =2 Ngợc lại (2,2,2,2) nghiệm phơng trình đà cho KL:PT có nghiệm (2,2,2,2) Bài 8.2.25: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình : 1 1 + k + k + k = ,k ∈ Z k x y z t HD: NÕu k ≤ ⇒ VT >1 (lo¹i) ⇒ k ∈ N* Gi¶ sư x ≤ y ≤ z ≤ t NÕu x = VT > (loại) Do đó: ≤ x ≤ y ≤ z ≤ t 1 1 Ta cã:1= k + k + k + k ≤ k x y z t x ⇒ k ≥ ⇒ xk ≤ x Do x ∈ Z + ⇒ ≤ k ≤ 1 1 TH1: k = th× ta cã: + + + = x y z t TH2: k = th× ta cã: 1 1 + + + =1 x y z t Bài 8.2.26: Tìm nghiệm nguyên phơng trình : 1! + 2! +3! + + x! = y2 HD:+ NÕu x ≥ th× 5! + 6! + …+ x! cã tËn cïng lµ Do ®ã:VT = 1! + 2! +3! +4! + 5! + … + x! cã tËn cïng lµ V« lý + nÕu x ≤ ta cã: -NÕu x =1 ⇒ y = ± -NÕu x = ⇒ y = ± lo¹i -NÕu x=3 ⇒ y = ± -NÕu x = ⇒ y = ± 33 lo¹i KL:(x,y) = { ( 1,1) ; ( 1, −1) ; ( 3,3) ; ( 3, −3) } Bài 8.2.27: Tìm nghiệm nguyên phơng trình : x2 + y2 + z2 = x2y2.(*) HD:V× x , y cã vai trß nh ta cã: VP = x2y2 = (xy)2 ≡ (mod 4) (mod 4) TH1:x chẵn ,y lẻ :Suy VP ≡ (mod 4) Tõ (*) suy z lỴ §Ỉt x = 2a, y = 2b+1 , z = 2c +1 (a,b,c thuộc Z) Khi VT có dạng (4d +2) ,d ∈ Z ⇒ VT ≡ (mod 4) Vô lý TH2:x lẻ ,y lẻ :Suy VP (mod 4) Từ (*) suy chẵn Đặt x = 2a+1, y = 2b+1 , z = 2c (a,b,c thuộc Z) Các chuyên đề casio lớp 8+9 39 Khi VT có dạng (4d +2) , d Z ⇒ VT ≡ (mod 4) V« lý TH3:x ch½n ,y ch½n : ⇒ VP ≡ (mod 4) Từ (*) suy z chẵn Đặt x = 2a, y = 2b, z = 2c PT (*) ⇔ 4a2 + 4b2 + 4c2 = 16a2b2 ⇔ a2 + b2 + c2 = 4a2b2 Dễ dàng đợc a,b,c chẵn Đặt a = 2A, b = 2B, c= 2C PT (*) ⇔ 4A2 +4B2 + 4C2 = 64A2B2 ⇔ A2 + B2 + C2 = 16A2B2 LËp luËn tơng tự nh trên,nếu( x0 , y0 , z0 ) nghiệm phơng trình (*) x0 y0 z ∈ Z; k ∈ Z; ∈ Z ,∀ k ∈ N* k 2 2k Do ®ã : x0 = y0 = z0 = Ngợc lại :( , 0, ) nghiệm phơng trình KL:PT ®· cho cã nghiƯm lµ ( , , ) Bài 8.2.28: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng tr×nh : 1 + =1 a/ x y 1 b/ + + = x y z HD:Gi¶ sư: x ≥ y ≥ z > 1 ⇒ + + ≤ x y z z ≥1 ⇔ < z ≤ z ⇒ z ∈ { 1; 2;3} ⇒ 1 + = V« lý x y 1 TH2:z=2 :PT ⇔ + = (*) x y 1 2 Giả sử:x y>0 + ⇔ ≤ ⇔ < y ≤ x y y y ⇒ y ∈ { 1; 2;3; 4} +NÕu y=1 th× tõ (*) suy x = -2 Loại +Nếu y=2 từ (*) suy x = Loại +Nếu y=3 từ (*) suy x = Thoả mÃn (6,3, 2) nghiệm +NÕu y=4 th× tõ (*) suy x = Thoả mÃn (4, 4, 2) nghiệm 1 TH3:z=3: PT ⇔ + = (**) x y 1 2 Gi¶ sư:x ≥ y > th× + ≤ ⇔ ≤ ⇔ < y ≤ x y y y +NÕu y=1 từ (**) suy x = -3 Loại +Nếu y=2 từ (**) suy x = Thoả mÃn (6, 2,3) nghiệm +Nếu y=3 tõ (**) suy x = Tho¶ m·n ⇒ (3,3,3) nghiệm TH1:z=1: PT Các chuyên đề casio líp 8+9 40 KL:VËy (x,y,z)= { ( 6;3; ) ; ( 6; 2;3) ; ( 4; 4; ) ; ( 3;3;3 ) } hoán vị x,y,z cđa chóng 1 1 + + + =1 x y z u Bài 8.2.29: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình : 1 a/ + = x y 1 b/ + + = x y z Bµi 8.2.30: Tìm cặp số tự nhiên (x;y) cho : 7x2 + 13y2 = 1820 Bài 8.2.31: Tìm x , y nguyªn biÕt :25 - y2 = 8(x - 2009)2 c/ 8.3 - Hệ phơng trình: x y = 2,357 Bài 8.3.1: Cho x, y thoả mÃn: x − y = 3,768 a) Trình bày lời giải tìm x, y b) Tính x, y x 15 x + = Bài 8.3.2: Giải hệ phơng trình: a) y 17 ; b) y + x + y = 5,7689 Bài 8.3.3: Giải hệ phơng trình: Bµi 8.3.4: y +5 =1 x +5 =1 x + y = 3x − 5x − y = 2x − y = 1)Xác định a để hệ phơng trình sau có nghiÖm: x + y = ax − y = 2) Cho phơng trình 2x3 + mx2 + nx + 12 = cã hai nghiƯm x1 = ; x2 = -2 T×m m ; n nghiệm thứ ba 3) Tìm phần d phÐp chia ®a thøc x100 - 2x51 + cho x2 - x − xy + y = Bµi 8.3.5: Giải hệ phơng trình: z + yz + = Bài 8.3.6: Tìm hai số x , y biÕt x - y = 125,15 vµ x 2,5 = y 1, 75 1) ViÕt x , y xác đến bốn chữ số thập phân 2) Viết x , y dới dạng phân số tối giản Bài 8.3.7: Tìm hai số x , y biÕt x - y = 1275 vµ x − y = 234575 Các chuyên đề casio lớp 8+9 41 1) Viết x , y xác đến bốn chữ số thập phân 2) Viết x , y dới dạng phân số tối giản x y = 0,3681 Bài 8.3.8: Giải hệ phơng trình (x ; y hai số dơng) : x + y = 19,32 x +1 + y = Bài 8.3.9: Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm: x + y = x 30 + y17 = a − 235 1 1 xy + yz + z = Bài 8.3.10: Giải hệ: − =4 xy z z y( x + z) = Bµi 8.3.11: Gi¶i hƯ: z ( x + y ) = x( y + z ) = x + xy − xz = Bài 8.3.13: Giải hệ: y + xy − yz = z − xz − yz = xy x+ y = x −1 y − z − = = xz = Bµi 8.3.14: Giải hệ: Bài 8.3.15: Giải hệ: x + y − z = 12 x+ z 15 yz y+z = xy = 12 Bài 8.3.12: Giải hệ: xz = 15 yz = 20 xy + xz = Bài 8.3.16: Giải hệ: zy + zx = yz + yx = 6 x( y + z ) = 13zy 2 Bài 8.3.18: Giải hệ: 3 y ( z + x ) = xz 6 z ( x + y ) = xy 6( x + y ) = xy Bài 8.3.17: Giải hệ: 12( y + z ) = yz 4( z + x ) = zx − ÷× y = y + 42 x Bài 8.3.19: Giải hệ: + ữì x = y + 42 x Bài 8.3.20: Tìm x,y,z thoả mÃn: x + y − z −1 x −1 y − z − = = = = a/ vµ 3x+5y-7z=32,124 b/ vµ 5z-3x-4y=50,231 x y y z x y y z c/ = ; = vµ x-2y+z=46,587 d/ = ; = vµ 5x-3y-3z=-536,209 8 x y y z e/ = ; = vµ z-y=-30,467 f/ 5x=8y=3z vµ x-2y+z=34,415 g/3x=5y vµ 2x2-3y2=2300,679 h/2(x-2)=3(y-3)=4(z-4) vµ x+y+z =139,487 x y x 7 x y z i/ = = vµ x2+3y2-2z2=-16,405 k/ = = ÷ vµ x2- y2=160,16 3 y 3 Các chuyên đề casio lớp 8+9 42 x y z = = vµ x3+y3+z3=792,551 Bµi 8.3.21: Tìm hai số dơng (với chữ số thập phân ) x; y thoả mÃn : x = 2,317 x2 - y2 = 1,654 y l/ >>> Chuyên đề 9: Các dạng khác Dạng 9.Số học 1) Tìm số biết nhân số với 15 cộng với lập phơng số lần bình phơng số cộng với 31 lần số đó? 2) Tìm số biết nhân số với 12 thêm vào lập phơng số kết lần bình phơng số cộng với 35 3/ Tìm số nguyên dơng a lín nhÊt cho 2007! Chia hÕt cho a 4/ Tìm số tự nhiên a lớn để chia c¸c sè 13511 , 13903 , 14589 cho a ta đợc số d HD:Ta có:13511 ≡ r(mod a) 13903 ≡ r(mod a) 14589 ≡ r(mod a) ⇒ 392 ≡ 0(mod a) 1078 ≡ 0(mod a) 686 0(mod a) a =ƯCLN(392;1078;686) = 98 Đáp sè:a = 98 5/Luü thõa bËc cña mét sè gồm chữ số:1,2,3,3,7,9.Tìm số đó? 6/Tìm tất số có chữ số thoả mÃn: a/Số tạo thành chữ số cuối lớn số tạo thành chữ số đầu đơn vị b/Là số phơng 7/Cho số nguyên , cộng ba số nguyên ta đợc số 180 , 197, 208 , 222 T×m sè lín nhÊt số nguyên 8/Cho a = 28 + 211+2n Tìm số tự nhiên n để a số phơng HD: +Nếu n = a = 28 + 211+28 = 5.29 Lo¹i n-8 ∈ N* +NÕu n < th× a = (9+2 ) với n Loại +Nếu n>8 ta có: a = 28(9+2n-8) với n N* Vì a số phơng + 2n-8 = p2 2n-8 = p2 - ,p >3 ⇒ 2n-8 = (p-3)(p+3) ,p >3 n-8 Vì tích hai số có hiệu [(p+3)-(p-3)=6] số phải luỹ thừa cña p+3=8 ⇒ p−3= ⇒ p =5 ⇒ n =12 9/Tìm chữ số a, b , c , d để ta có : a5 ì bcd = 7850 10/Cho biÕt tû sè cña 7x - vµ y + 13 lµ h»ng sè vµ y = 20 x = Hái y = 2010 x ? Các chuyên đề casio lớp 8+9 43 11/Tìm tất số tự nhiên có không 10 chữ số mà ta đa chữ số cuối lên vị trí số tăng gấp lần 12/ Biết r»ng sè a = 80a1a2 a3a4 a5 a6 a7 lập phơng số tự nhiên.HÃy tìm số a 13/ Tính tổng chữ số số A2 biÕt A = 999…98 (Sè A cã 2007 ch÷ sè 9) 14)Tìm số nguyên dơng nhỏ thoả mÃn điều kiÖn : Chia d 1, Chia d 2, Chia d 3, Chia d 4, Chia d 5, Chia d 6, Chia d 15) Tìm số nguyên dơng nhỏ thoả mÃn ®iỊu kiƯn : Chia d 1, Chia d 2, Chia d 3, Chia d 4, Chia d 5, Chia d 6, Chia d , Chia d 8, Chia 10 d 16/ Tìm số có 10 chữ số cho chia cho d , chia cho d , chia cho 735 d 20 17/ BiÕt r»ng số tự nhiên chia cho 123 đợc thơng lớn 97 số d lớn nhất.Tìm số tù nhiªn trªn 18/ BiÕt r»ng mét sè tù nhiªn chia cho 678 đợc thơng lớn 397 số d lớn nhất.Tìm số tự nhiên 19/ Biết số tự nhiên chia cho 20102011 đợc thơng lớn 2012 số d lớn nhất.Tìm số tự nhiên 20/ Cho số nguyên,nếu cộng số nguyên ta đợc:222;255;249;234 Tìm sè nguyªn lín nhÊt 21/ Cho sè nguyªn,nÕu céng số nguyên ta đợc:4691;5568;5599;4706 Tìm số nguyên lớn 22/Tổng chữ số số có chữ số cho trớc cộng với bình phơng cđa tỉng ch÷ sè Êy cho ta chÝnh sè ®ã.T×m sè ®· cho 23/T×m x,y cho: 62 xy 427 M 99 24/Tìm số tự nhiên n có ch÷ sè cho n chia cho 131 d 12 , n chia cho 132 d 98 25/T×m mét sè tự nhiên biết số chia cho 26 đợc số d lần bình phơng số thơng 26/Tìm số nguyên tố khác biết tích số gấp lần tổng chúng 27/Chứng minh tìm đợc 2005 số tự nhiên liên tiếp hợp số 28/Cho p số nguyên tố >3 Hỏi p2+2003 số nguyên tố hợp số 29/Tìm số tự nhiên có chữ số cho céng víi sè gåm ch÷ sè viết theo thứ tự ngợc lại ta đợc mét sè chÝnh ph¬ng 30/Chøng minh r»ng :a=19k + 5k + 1995k + 1996k không số phơng abc = n 31/Tìm tất số tự nhiên có chữ số abc cho: cba = ( n − ) 32/H·y xÐt xem sè a = 1k + 9k + 19k + 1993k, k ∈ Z + vµ k lẻ có phải số phơng không? HD:Vì k lẻ nên:1k 1(mod 4) 9k 1k(mod 4) ≡ 1(mod 4) 19k ≡ (-1)k(mod 4) ≡ -1(mod 4) 1993k ≡ 1k(mod 4) ≡ 1(mod 4) VËy: a ≡ 2(mod 4) a số phơng 33/Chøng minh r»ng sè b = +92k + 772k + 19772k số phơng với k ∈ Z + HD:Ta cã:1 ≡ 1(mod 3) 92k ≡ 02k(mod 3) ≡ 0(mod 3) 772k ≡ (-1)2k(mod 3) ≡ 1(mod 3) 19772k ≡ 02k(mod 3) ≡ (mod 3) Vậy: b (mod 3) (Vô lý) Các chuyên đề casio lớp 8+9 44 b số phơng 34/Tìm số nguyên dơng nhỏ thoả mÃn điều kiện:Chia cho d 1,chia cho d 2,chia cho d vµ chia cho d HD:Ta cã: a ≡ 1(mod 2) a ≡ 2(mod3) a ≡ 3(mod 4) a ≡ 4(mod 5) ⇒ 20a ≡ 40(mod 60) 15a ≡ 45(mod 60) 12a ≡ 48(mod 60) ⇒ 47a ≡ 133(mod 60) ≡ 13(mod 60) ⇒ 47a=60t+13 ⇒a= 60t + 13 13t + 13 =t+ 47 47 Đặt 13t + 13 47 k 13 8k =k ⇒t = = 3k − + 47 13 13 Đặt 8k 13u 5u =uk = =u+ 13 8 Đặt 5u 8v 3v =vu = =v+ 5 Đặt 3v 5p 2p = pv= = p+ 3 Đặt 2p 3q q =q p= =q+ 2 Đặt q = l q = 2l (víi t,k,u,v,p,q,l ∈ Z+) ⇒ p=2l+l=3l ⇒ v=3l+2l=5l ⇒ u=5l+3l=8l ⇒ k=8l+5l=13l ⇒ t=3.13l-1+8l=47l-1 ⇒ a=47l-1+13l=60l-1 V× a số nguyên dơng nhỏ Chọn l=1 a=59 Đáp số:a=59 35/Chứng minh số Các chuyên đề casio líp 8+9 45 A = 11 ×10 + { { 1995 sè 1994 sè số phơng HD:Ta có :A =(101994+101993+ +10+1) × (101995+5)+1 = 101995 − × (101995 + 5) + 101995 + = ÷ Mµ : ≡ (mod 3) 101995 ≡ 1(mod 3) ⇒ 101995+2 ≡ 3(mod 3) ≡ 0(mod 3) Chøng tá: 101995+2 M VËy A số phơng 36/ Với giá trị k ∈ N th×: A = 1995 21995 k3 + 1997 51995 k19 chia hÕt cho HD:Ta cã: 1995 ≡ -1 (mod 4) 1997 ≡ (mod 4) ⇒ A ≡ (−1) VËy : A M ⇔ 21995 k3 ( −1) +1 (mod 4) 21995 k3 +1M ⇔ k lẻ 37/Tìm số tự nhiên a lớn ®Ĩ chia c¸c sè 2933, 1799 , 2357 cho a ta đợc số d 38/Cho a = 111 (2n chữ số 1) b = 444 ( n ch÷ sè 4) Chøng minh r»ng:a + b + số phơng 39/Chứng minh số: A = 224 99 10 { { n-2 số n số số phơng với n ≥ 40/Cho a lµ mét sè gåm 2n chữ số 1, b số gồm n+1 chữ số 1, c số gồm n chữ số (n số tự nhiên,n 1) Chứng minh rằng:a+b+c+8 số phơng Các chuyên đề casio lớp 8+9 46 41/ Cho sè an = 57421 + 35n T×m n ∈ N (1000 ≤ n ≤ 2000 ) để an có giá trị số tự nhiên 2003 42/Tìm số hạng nhỏ tất sè h¹ng cđa d·y un = n + n 43/ BiÕt r»ng mét sè tù nhiªn chia cho 20102010 đợc thơng lớn 2010 số d bé nhất.Tìm số tự nhiên 44/ Cho số a = 1.2.3…17 (TÝch cđa 17 sè tù nhiªn liªn tiếp chữ số 1) HÃy tìm ớc sè lín nhÊt cđa a , biÕt íc sè ®ã : a/ Là lập phơng số tự nhiên b/ Là bình phơng số tự nhiên 45/ Tìm ớc nguyên tố nhỏ lớn cđa sè 2152 + 3142 46/ T×m sè lín số nhỏ số tự nhiên có dạng 1x y 3z mà chia hết cho 13 47/ a/ Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,363636đợc viết dới dạng phân số tối giản Thế tổng tử mẫu là: A.15 B.45 C.114 D.135 E.150 b/ Mệnh đề sau không:(0,3333).(0,6666) = (0,2222) c/ Nếu F = 0,4818181 đợc viết dới dạng phân số tối giản mẫu lớn tử bao nhiêu? n n 48/ Xét phơng trình dạng Fermat: x1 x2 xn = x1n + x2 + + xn Phát biểu lời:Tìm số có n chữ sè cho tỉng l thõa bËc n cđa c¸c chữ số số Trong số sau số nghiệm phơng trình trên:153; 370;371; 407; 1634; 8280; 9474; 54748; 92727; 93084; 548834; 1741725; 4210818; 9800817; 9926315; 24678050; 24678051; 33467290; 55213479; 88593477; 146511208; 472335975; 534494836; 912985153; 4679307774; 6693271456 49/ Tìm số tự nhiên n nhỏ cho n3 số có chữ số đầu chữ số cuối 1, tức n3 = 1111111 ( dấu biểu thị số đứng giữa).Tìm n n3 50/Giả sử a số tự nhiên cho trớc a/ Tìm hai chữ số tận a để bình phơng a có tận 89 b/Tìm số tự nhiên nhỏ a mà bình phơng số bắt đầu chữ số 19 kết thúc chữ số 89 c/ Tìm tất số tự nhiên n cho n2 số 12 chữ số có dạng :n2 = 2525******89 (Trong sáu dấu * biểu thị sáu chữ số ,có thể khác nhau).Tìm chữ số 51/ Tìm tất cặp số nguyên dơng (m,n) có chữ số thoả mÃn hai điều kiện sau đây: i) Hai chữ số m hai chữ số n vị trí tơng ứng.Chữ số lại m nhỏ chữ số tơng ứng n đơn vị ii) Cả hai số m n số phơng 51/ Tìm tất cặp số nguyên dơng (m,n) có chữ số thoả mÃn hai điều kiện sau đây: i) Hai chữ số m hai chữ số n vị trí tơng ứng.Hai chữ số lại m nhỏ hai chữ số tơng ứng n đơn vị ii) Cả hai số m n số phơng Các chuyên đề casio líp 8+9 47 52/ Cho sè an = 20203 + 21n T×m n ∈ N (1010 ≤ n ≤ 2010 ) để an có giá trị số tự nhiên 53/ Tìm số nhỏ số cosn , với n số tự nhiên nằm đoạn:1 ≤ n ≤ 25 54/ T×m mét sè gåm chữ số dạng xyz biết tổng chữ sè b»ng kÕt qu¶ cđa phÐp chia 1000 cho xyz 55/ Hỏi có số gồm chữ số đợc viết chữ số 2,3,7 chia hÕt cho 56/ Hái cã bao nhiªu sè gåm chữ số đợc viết chữ số 2,3,5và chia hÕt cho 57/ Hái cã bao nhiªu sè gồm chữ số đợc viết chữ số 1,2,3 vµ chia hÕt cho 58/ Sè 19549 lµ hợp số hay nguyên tố 59/ Biết số có dạng N = 1235679 x y chia hÕt cho 24 Tìm tất số N 60/ Tìm cặp hai số tự nhiên nhỏ (ký hiệu a b , a số lớn , b lµ sè nhá) cã tỉng lµ béi cđa 2004 thơng chúng 61/ a) Tìm tất số mà bình phơng có tận ba chữ số b) Có hay không số mà bình phơng có tận bốn chữ số 62/ Có số tự nhiên m ớc số N = 1980.1930.1945.1954.1969.1975.2004 nhng không chia hết cho 900 Dạng 9.2: Tìm ƯCLN , BCNN 1/ Tìm ƯCLN BCNN hai số: 9148 16632 2/ Tìm ớc chung lớn cđa 75125232 vµ 175429800 3/ Cho ba sè:1939938; 68102034 ; 510510 a H·y t×m íc chung lín nhÊt cđa 1939938 68102034 b Tìm bội chung nhỏ 68102034 vµ 510510 c Gäi B lµ BCNN cđa 1939938 vµ 68102034 HÃy tính giá trị B2 4/ Tìm ớc chung số sau :222222 ; 506506 ; 714714 ; 999999 5/ Tìm ƯCLN hai sè sau: a) a = 1582370 vµ b = 1099647 b) 11264845 33790075 6/ Tìm ƯCLN hai sè sau: a) 100712 vµ 68954 b) 191 vµ 473 c) 7729 11659 7/ a) HÃy tìm tất c¸c íc cđa: - 2005 b) Sè 211 - nguyên tố hay hợp số ? 8/ Viết quy trình để tìm ớc chung lớn 5782 9374 tìm BCNN chúng 9/ Cho sè tù nhiªn a= 9200191 ; b = 2729927 ; c = 13244321 HÃy tìm UCLN BCNN ba số 10/ HÃy viết quy trình bấm máy để tìm tìm ớc số số 729698382 biết ớc số có tận Dạng 9.3: So s¸nh 1) So s¸nh: + + + 2) So sánh: a = 2007 + 2009 vµ b = 2008 3) So sánh: 1997 + 1995 1996 100 4/ So sánh: 23100 32 HD: 100 3 Ta cã: ÷ > ⇒ ÷ > 3100 > 2.2100 2 Các chuyên đề casio líp 8+9 48 ... mét sè cã ch÷ sè cho trớc cộng với bình phơng tổng chữ số cho ta số đó.Tìm số đà cho 23/Tìm x,y cho: 62 xy 427 M 99 24/T×m sè tự nhiên n có chữ số cho n chia cho 131 d 12 , n chia cho 132 d 98 25/Tìm... cã 10 ch÷ sè cho chia cho d , chia cho d , chia cho 735 d 20 17/ BiÕt r»ng mét sè tù nhiªn chia cho 123 đợc thơng lớn 97 số d lớn nhất.Tìm số tự nhiên 18/ Biết số tự nhiên chia cho 678 đợc thơng... A.4: Tìm số d chia 15325 - cho Bài 3.3 A.5: 1) Tìm sè d chia 10! cho 11 2) T×m sè d chia 17762003 cho 4000 Bµi 3.3 A.6: a) Tìm số d chia 13! cho 11 Các chuyên đề casio lớp 8+9 17 b) Tìm số d