Bài tập Toán khối 11 PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Hai cung đối nhau: -x và x cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x − = − = − − = − − = − 2. Hai cung bù nhau: x π − và x sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x π π π π − = − = − − = − − = − 3. Hai cung phụ nhau: 2 x π − và x sin cos cos sin 2 2 tan cot cot tan 2 2 x x x x x x x x π π π π     − = − =  ÷  ÷         − = − =  ÷  ÷     4. Hai cung hơn kém nhau Pi: x π + và x sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot x x x x x x x x π π π π + = − + = − + = + = 5. Các hằng đẳng thức lượng giác 2 2 2 2 1 . sin cos 1 . 1 tan cos 1 . 1 cot . tan .cot 1 sin a x x b x x c x d x x x + = + = + = = 6. Công thức cộng lượng giác cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sin .cos sin .cos sin( ) sin .cos sin .cos x y x y x y x y x y x y x y x y y x x y x y y x − = + + = − − = − + = + 7. Công thức nhân đôi 2 2 2 2 sin 2 2sin cos : sin 2sin cos 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin nx nx x x x TQ nx x x x x x = = = − = − = − 8. Công thức nhân ba: 3 3 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cosx x x x x x= − = − 9. Công thức hạ bậc: 2 2 1 cos2 1 cos2 sin cos 2 2 x x x x − + = = 10. Công thức biến đổi tích thành tổng [ ] [ ] [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y = − + + = − − + = − + + 11 . Công thức biến đổi tổng thành tích Giáo Viên: Nguyễn Văn Bình Http://ALoBe.8Tb.Net – Http://VanBinh.Info.Tm 1 Bi tp Toỏn khi 11 cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y + + = + = + + = + = A. CễNG THC BIN I I/. GI TR LNG GIC Bi 1: Cho 3 3 sin < < .Tớnh cos ,tan ,cot . 5 2 p a p a a a a ổ ử ữ ỗ =- ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Bi 2: Cho 5cosa + 4 = 0 ( ) o o 180 < a < 270 .Tớnh sina , tana, cota. Bi 3: Cho o o o o tan15 2 3. Tớnh sin15 ,cos15 ,cot15 .= - Bi 4: Tớnh tan x cot x A tan x cot x + = - bit 1 sinx = . 3 Tớnh 2sin x 3cosx B 3sin x 2cos x + = - bit tanx = -2 Tớnh 2 2 2 sin x 3sin x cosx 2cos x C 1 4sin x + - = + bit cotx = -3 Bi 5: Chng minh: 4 4 2 2 6 6 2 2 a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos x 2 2 2 2 2 2 c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx Bi 6: Chng minh cỏc ng thc sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 1-2cos x 1+sin x cosx 1 a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx = 1+sinx cosx sin x.cos x 1-sin x sinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx d/ + = ; e/ = ; f/ = 1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx 1+cosx g/ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1-cosx 4cotx sin x cos x - = ; h/1- - = sinx.cosx; 1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx 1 tan x-tan y sin x-sin y i/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ = 1+cosx tan x.tan y sin x.sin y Bi 7: * Chng minh cỏc biu thc sau c lp i vi x: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 4 4 4 2 4 2 2 4 4 2 2 8 8 8 8 6 6 4 6 6 4 2 4 2 4 4 A=2 sin x+cos x -3 sin x+cos x ; B=cos x 2cos x-3 +sin x 2sin x-3 C=2 sin x+cos x+sin xcos x - sin x+cos x ; D=3 sin x-cos x +4 cos x-2sin x +6sin x sin x+cos x-1 E= sin x+4cos x + cos x+4sin x; F= ; sin x+cos x-1 4 4 6 6 4 2 2 sin x+3cos x-1 G= sin x+cos x+3cos x-1 H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos x ;(x 0; ) 2 p ộ ự ờ ỳ ẻ ờ ỳ ở ỷ II/. GI TR LNG GIC CA CUNG C BIT * Bit 1 HSLG khỏc: Bi 1: Cho sinx = - 0,96 vi 3 x 2 2 p p ổ ử ữ ỗ < < ữ ỗ ữ ỗ ố ứ a/ Tớnh cosx ; b/ Tớnh ( ) ( ) sin x , cos x , tan x , cot 3 x 2 2 p p p p ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ + - + - ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ Bi 2: Tớnh: Giỏo Viờn: Nguyn Vn Bỡnh Http://ALoBe.8Tb.Net Http://VanBinh.Info.Tm 2 Bài tập Toán khối 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2cos sin tan 2 2 A 2cos ; cot sin 2 3 3 sin tan sin cot 2 2 2 2 B cot cot tan 3 cos 2 tan cos cot 2 p p a a p a a p a p a p p p p a b b a b b b p p b p a p a b æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç - + - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø = - æ ö ÷ ç + - ÷ ç ÷ ç è ø æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç + + - + ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø = - + - æ ö - - ÷ ç - - ÷ ç ÷ ç è ø Bài 3: Đơn giản biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 5 A sin 13 cos cot 12 tan ; 2 2 7 3 3 B cos 15 sin tan .cot 2 2 2 5 9 7 C sin 7 cos cot 3 tan 2tan 2 2 2 p p p a a p a a p p p p a a a a p p p p a a p a a a æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç = + - - + - + - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç = - + - - + - ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ø æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç = + + - - - + - + - ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ø ÷ Bài 4: Đơn giản biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o o A sin a sin 2 a sin 3 a . sin 100 a B cos 1710 x 2sin x 2250 cos x 900 2sin 720 x cos 540 x p p p p= + + + + + + + + = - - - + + + - + - Bài 5: Đơn giản biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o o 19 tan x .cos 36 x .sin x 5 2sin 2550 cos 188 1 2 A B 9 tan368 2cos638 cos98 sin x .cos x 99 2 p p p p p æ ö ÷ ç - - - ÷ ç - ÷ ç è ø = = + æ ö + ÷ ç - - ÷ ç ÷ ç è ø Bài 6: Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o o o o o o 2 2 a /sin825 cos 2535 cos75 sin 555 tan 695 tan 245 0 85 3 b/sin x cos 207 x sin 33 x sin x 1 2 2 p p p p - + - + = æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç + + + + + + - = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh: A B C a /sin(A B) sinA; b/ cosA cos(B C) 0; c/sin cos ; 2 2 3A B C d/ cosC cos(A B 2C) 0; e/sin A cos 0 2 + + = + + = = + + + + + = + = III/. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: o o o o o 15 ,75 ,105 ,285 ,3045 Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 7 13 19 103 299 , , , , 12 12 12 12 12 p p p p p Bài 10:Tính cos x 3 p æ ö ÷ ç - ÷ ç ÷ ç è ø biết 12 3 sin x , ( < x < 2 ) 13 2 p p=- Bài 11:Cho 2 góc nhọn ,a b có 1 1 tan ,tan 2 3 a b= = . a/ Tính ( ) tan a b+ b/ Tính a b+ Bài 12:Cho 2 góc nhọn x và y thoả : x y 4 tan x.tan y 3 2 2 p ì ï ï + = ï í ï ï = - ï î a/ Tính ( ) tan x y ;tan x tan y+ + b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y. Giáo Viên: Nguyễn Văn Bình Http://ALoBe.8Tb.Net – Http://VanBinh.Info.Tm 3 Bài tập Toán khối 11 Bài 13:Tính tan x 4 p æ ö ÷ ç - ÷ ç ÷ ç è ø biết 40 sin x 41 =- và 3 < x < 2 p p Bài 14:Tính tan 4 p a æ ö ÷ ç + ÷ ç ÷ ç è ø theo tana . Áp dụng: Tính tg15 o Bài 15: Tính: o o o o o o o o o o o o o o o o o o o tan 25 tan 20 1 tan15 A sin 20 cos10 sin10 cos 20 B C 1 tan 25 .tan 20 1 tan15 3 tan 225 cot81 .cot 69 D sin15 3cos15 E sin15 cos15 F 3 cot 261 tan 201 + + = + = = - - - = - = + = + Bài 16:Tính: 3 a / A cos x cos x cos x cos x 3 4 6 4 2 2 b/ B tan x.tan x tan x tan x tan x tan x 3 3 3 3 p p p p p p p p æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç = - + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç = + + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø Bài 17:Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x: 2 2 2 2 2 2 2 2 A cos x cos x cos x B sin x sin x sin x 3 3 3 3 p p p p æ ö æ ö æ ö æ ö ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç = + + + - = + + + - ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç è ø è ø è ø è ø Bài 18:Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a / cos a b .cos a b cos a sin b cos b sin a b/sin a b .sin a b sin a sin b cos b cos a c/sin a b .cos a b sin a cosa sin bcosb d /sin a sin a 2 sina 4 4 p p + - = - = - + - = - = - + - = + æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç + - - = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác Cho tam giác ABC.Chứng minh: 1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB 2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC A B C B C 3/ sin cos cos sin sin 2 2 2 2 2 A B C B C 4/ cos sin cos cos sin 2 2 2 2 2 5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C 2 A B B 6/ tan tan tan 2 2 p = - = - æ ö ÷ ç ¹ ÷ ç ÷ ç è ø + C C A tan tan tan 1 2 2 2 2 A B C A B C 7/ cot cot cot cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2 8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1 + = + + = ( học thuộc kết quả ) Công thức biến đổi: Bài 20:BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG ( ) ( ) o o 2 a / sin .sin b / cos5x.cos3x c/ sin x 30 cos x 30 5 5 p p + - ( ) ( ) ( ) d / 2sin x.sin 2x.sin 3x; e /8cos x.sin 2x.sin 3x; f / sin x .sin x .cos 2x; g / 4cos a b .cos b c .cos c a 6 6 p p æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç + - - - - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø Bài 21:BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH Giáo Viên: Nguyễn Văn Bình Http://ALoBe.8Tb.Net – Http://VanBinh.Info.Tm 4 Bài tập Toán khối 11 ( ) ( ) ( ) a / cos4x cos3x; b / cos3x cos6x; c / sin5x sin x d / sin a b sin a b ; e / tan a b tan a; f / tan 2a tana + - + + - - + + - Bài 22:HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau : A B C 9/ sinA + sinB + sinC = 4cos .cos .cos 2 2 2 A B C 10/ cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin .sin .sin 2 2 2 11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC 12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 - ( ) 2 2 2 2 2 2 4cosA.cosB.cosC 13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC 14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosC A B C 15/ sinA + sinB - sinC = 4sin .sin .cos 2 2 2 ( tiếp theo Loại 5- Trang 8) Bài 23:Chứng minh ABCD vuông nếu: 2 2 2 sin B sin C a / sin A ; b / sin C cos A cos B; c / sin A sin B sin C 2 cos B cos C + = = + + + = + Bài 24:Chứng minh ABCD cân nếu: 2 C sin B a / sin A 2sin B.cosC; b / tan A tan B 2cot ; c / tan A 2 tan B tan A.tan B; d / 2cosA 2 sin C = + = + = = Bài 25:Chứng minh ABCD đều nếu: 1 3 a / cosA.cosB.cosC ; b / sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C; c / cosA cos B cosC 8 2 = + + = + + + + = Bài 26:Chứng minh ABCD cân hoặc vuông nếu: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 sin B C sin B C C tan B sin B a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c / 2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C + - = = = + - Bài 27:Hãy nhận dạng ABCD biết: 2 2 2 sin A a / sin 4A sin 4B sin 4C 0 b / cos A cos B cos C 1 c / 2sin C cos B + + = + + = = B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác Chú ý : 1) A B có nghĩa khi B 0 ≠ (A có nghĩa) ; A có nghĩa khi A 0 ≥ 2) 1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤ 3) sin 0 ; sinx = 1 x = 2 ; sinx = -1 x = 2 2 2 x x k k k π π π π π = ⇔ = ⇔ + ⇔ − + 4) os 0 ; osx = 1 x = 2 ; osx = -1 x = 2 2 c x x k c k c k π π π π π = ⇔ = + ⇔ ⇔ + 5) Hàm số y = tanx xác định khi 2 x k π π ≠ + Hàm số y = cotx xác định khi x k π ≠ Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau 1) y = cosx + sinx 2) y = cos 1 2 x x + + 3) y = sin 4x + 4) y = cos 2 3 2x x− + 5) y = 2 os2xc 6) y = 2 sinx− Giáo Viên: Nguyễn Văn Bình Http://ALoBe.8Tb.Net – Http://VanBinh.Info.Tm 5 Bài tập Toán khối 11 7) y = 1 osx 1-sinx c+ 8) y = tan(x + 4 π ) 9) y = cot(2x - ) 3 π 10) y = 1 1 sinx 2 osxc − II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin 2 (-x) = [ ] 2 sin(-x) = (-sinx) 2 = sin 2 x Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ D ; Kiểm tra ,x D x D x∈ ⇒ − ∈ ∀ Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng − = →   − = − →   − ≠ ± →  0 0 0 ( ) ( ) ch½n ( ) ( ) lÎ Cã x ®Ó ( ) ( ) kh«ng ch¼n,kh«ng lÎ f x f x f f x f x f f x f x f Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau 1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2 4) y = 1 2 tan 2 x 5) y = sin x + x 2 6) y = cos 3x III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 2 2 k k π π   − + π + π  ÷   Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng 3 2 ; 2 2 2 k k π π   + π + π  ÷   Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng ( ) 2 ; 2k k−π + π π Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) 2 ; 2k kπ π + π Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng ; 2 2 k k π π   − + π + π  ÷   Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) ;k kπ π + π Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số 1) y = sinx trên ; 6 3 π π   −  ÷   2) y = cosx trên khoảng 2 3 ; 3 2 π π    ÷   3) y = cotx trên khoảng 3 ; 4 2 π π   − −  ÷   4) y = cosx trên đoạn 13 29 ; 3 6 π π       5) y = tanx trên đoạn 121 239 ; 3 6 π π   −     6) y = sin2x trên đoạn 3 ; 4 4 π π   −     7) y = tan3x trên khoảng ; 12 6 π π   −  ÷   8) y =sin(x + 3 π ) trên đoạn 4 2 ; 3 3 π π   −     Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số Hàm số Khoảng 3 ; 2 π   π  ÷   ; 3 3 π π   −  ÷   23 25 ; 4 4 π π    ÷   362 481 ; 3 4 π π   − −  ÷   y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx Giáo Viên: Nguyễn Văn Bình Http://ALoBe.8Tb.Net – Http://VanBinh.Info.Tm 6 Bài tập Tốn khối 11 Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K ⇒ y = A.f(x) +B ®ång biÕn trªn K nÕu A > 0 nghÞch biÕn trªn K nÕu A < 0    Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số 1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn [ ] ;−π π 2) y = -2cos 2 3 x π   +  ÷   trên đoạn 2 ; 3 3 π π   −     IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác Chú ý : 1 sinx 1 ; -1 cosx 1− ≤ ≤ ≤ ≤ ; 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 ; A 2 + B ≥ B Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = 2sin(x- 2 π ) + 3 2) y = 3 – 1 2 cos2x 3) y = -1 - 2 os (2x + ) 3 c π 4) y = 2 1 os(4x )c+ - 2 5) y = 2 sinx 3+ 6) y = 5cos 4 x π + 7) y = 2 sin 4sinx + 3x − 8) y = 2 4 3 os 3 1c x− + Chú ý : Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [ ] ;a b thì [ ] [ ] a; a; ax ( ) ( ) ; min ( ) ( ) b b m f x f b f x f a= = Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [ ] ;a b thì [ ] [ ] a; a; ax ( ) ( ) ; min ( ) ( ) b b m f x f a f x f b= = Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = sinx trên đoạn ; 2 3 π π   − −     2) y = cosx trên đoạn ; 2 2 π π   −     3) y = sinx trên đoạn ;0 2 π   −     4) y = cos π x trên đoạn 1 3 ; 4 2       C.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC. I:LÍ THUYẾT . 1/Phương trình lượng giác cơ bản . sin u = sin v ⇔    +−= += ππ π 2 2 kvu kvu ( k ∈ Z ) cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π. ( k ∈ Z ) tanu = tanv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) cotu = cotv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) 2/ Phương trình đặc biệt : sinx = 0 ⇔ x = kπ , sinx = 1 ⇔ x = 2 π + k2π ,sinx = -1 ⇔ x = - 2 π + k2π cosx = 0 ⇔ x = 2 π + k π , cosx = 1 ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π . 3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a 2 + b 2 ≠ 0 Cách 1: acosx + bsinx = c ⇔ )cos(. 22 ϕ −+ xba = c với 22 cos ba a + = ϕ asinx +bcosx = c ⇔ )sin(. 22 ϕ ++ xba = c với 22 cos ba a + = ϕ . Giáo Viên: Nguyễn Văn Bình Http://ALoBe.8Tb.Net – Http://VanBinh.Info.Tm 7 Bài tập Tốn khối 11 Cách 2 : Xét phương trình với x = π + kπ , k ∈ Z Với x ≠ π + kπ đặt t = tan 2 x ta được phương trình bậc hai theo t : (c + b)t 2 – 2at + c – a = 0 Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm ⇔ a 2 + b 2 - c 2 ≥ 0 . Bài tập :Giải các phương trình sau: 1. 2sincos3 =− xx , 2. 1sin3cos −=− xx 3. xxx 3sin419cos33sin3 3 +=− , 4. 4 1 ) 4 (cossin 44 =++ π xx 5. )7sin5(cos35sin7cos xxxx −=− , 6. tan 3cot 4(sin 3 cos )x x x x − = + 7. 3(1 cos2 ) cos 2sin x x x − = 8. 2 1 sin 2 sin 2 x x+ = 4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác : Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0 với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx. Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0 . Bài tập: Giải các phương trình sau: 1. 2cos 2 x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0 3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin 4 x + cos 4 x) = 2sin2x – 1 5. sin 4 2x + cos 4 2x = 1 – 2sin4x 6. x x 2 cos 3 4 cos = 7. 2 3 3 2tan cos x x = + 8. 5tan x -2cotx - 3 = 0 9. 2 6sin 3 cos12 4x x+ = 10. 4 2 4sin 12cos 7x x+ = 5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx : a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin 2 x +b sinx cosx + c cos 2 x = 0 . Cách 1 : • Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm . • Xét cos 0x ≠ chia hai vế của phương trình cho cos 2 x rồi đặt t = tanx. Cách 2: Thay sin 2 x = 2 1 (1 – cos 2x ), cos 2 x = 2 1 (1+ cos 2x) , sinxcosx = 2 1 sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x . b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x = 2 π + kπ ,k∈Z. Bài tập : 1. 2sin 2 x – 5sinx.cosx – cos 2 x = - 2 2. 3sin 2 x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos 2 x = 0 3. 4sin 2 x +3 3 sin2x – 2cos 2 x = 4 4. 6sinx – 2cos 3 x = 5sin2x.cosx. 5. 2 2 1 sin sin 2 2cos 2 x x x+ − = 6/ Phương trình dạng : a( cosx ± sinx ) + b sinxcosx + c = 0 . Giáo Viên: Nguyễn Văn Bình Http://ALoBe.8Tb.Net – Http://VanBinh.Info.Tm 8 Bài tập Tốn khối 11 Đặt t = cosx + sinx , điều kiện 22 ≤≤− t khi đó sinxcosx = 2 1 2 − t Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t . Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0 Đặt t = cosx - sinx , điều kiện 22 ≤≤− t khi đó sinxcosx = 2 1 2 t − Bài tập : Giải các phương trình sau : 1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0 2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0 5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0 7. Các phương trình lượng giác khác. Bài 1: Giải các phương trình sau : 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos 2 x – 9sinx = 0, 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg 2 x + 3 = xcos 3 , 6/ 4sin 4 +12cos 2 x = 7 Bài 2 : Giải các phương trình sau : 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx 2/ x x 2 cos 3 4 cos = ĐS : x = k3π , x= ± 4 π +k3π , x = ± 4 5 π +k3π 3/ 1+ sin 2 x sinx - cos 2 x sin 2 x = 2cos 2 ( − 4 π 2 x ) ĐS: sinx =1 v sin 2 x = 1 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = - 4 π + k π 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = xcos 1 ĐS : x = k2π , x = ± 3 π +k2π 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos 2 x ĐS : cosx = 0 , cos 2x = 2 1 7/ 2cos 2 2x +cos 2x = 4sin 2 2xcos 2 x 8/ cos 3x – cos 2x = 2 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan 2 x 10/ sin2x+ 2tanx = 3 11/ sin 2 x + sin 2 3x = 3cos 2 2x HD :đặt t =cos 2x 12/ tan 3 ( x - 4 π ) = tanx - 1 ĐS : x = kπ v x = 4 π + kπ 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx. 14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x = 4 π + kπ 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX. Giải các phương trình sau : 1/ sin 2 x + 2sin 2x –3 +7cos 2 x = 0 . 2/ cos 3 x – sin 3 x = cosx + sinx. 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos 3 x Giáo Viên: Nguyễn Văn Bình Http://ALoBe.8Tb.Net – Http://VanBinh.Info.Tm 9 Bài tập Tốn khối 11 4/ sin 3 x + cos 3 x = 2( sin 5 x + cos 5 x ) ĐS : x= 4 π + 2 π k 5/ sin 3 (x - 4 π ) = 2 sinx ĐS : x = 4 π +kπ 6/ 3cos 4 x – sin 2 2x + sin 4 x = 0 ĐS :x = ± 3 π + kπ v x= 4 π + 2 π k 7/ 3sin 4 x +5cos 4 x – 3 = 0 . 8/ 6sinx – 2cos 3 x = 5sin 2x cosx III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG . Giải các phương trình sau : 1/ cos 3 x + sin 3 x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos 3 x + cos 2x +sinx = 0 3/ 1 + sin 3 x + cos 3 x = 2 3 sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0 5/ sin 3 x – cos 3 x = 1 + sinxcosx 6/ 3 10 cossin sin 1 cos 1 =+++ xx xx 7/ tanx + tan 2 x + tan 3 x + cotx+cot 2 x +cot 3 x = 6 8/ x 2 sin 2 + 2tan 2 x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 9/ 1 + cos 3 x – sin 3 x = sin 2x 10/ cos 3 x – sin 3 x = - 1 11/ 2cos 2x + sin 2 x cosx + cos 2 x sinx = 2( sinx + cosx ). IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÁC . Giải các phương trình sau: 1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 3/ sin 2 x + sin 2 3x – 3cos 2 2x = 0 4/ cos3x cos 3 x – sin3xsin 3 x = cos 3 4x + 4 1 5/ sin 4 2 x + cos 4 2 x = 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 7/ sin 6 x + cos 6 x = sin 4 x + cos 4 x 8/ sin 4 x + cos 4 x – cos 2 x = 1 – 2sin 2 x cos 2 x 9/ 3sin3x - 3 cos 9x = 1 + 4sin 3 x. 10/ x x xx sin cos1 sincos = − + 11/ sin 2 ) 42 ( π − x tan 2 x – cos 2 2 x = 0 12/ cotx – tanx + 4sinx = xsin 1 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin 2 x - sinx + 1 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan 2 x + tan2x ) 15/ 32cos) 2sin21 3sin3cos (sin5 += + + + x x xx x 16/ sin 2 3x – cos 2 4x = sin 2 5x – cos 2 6x 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/ 2 4 4 (2 sin 2 )sin 3 tan 1 cos x x x x − + = 19/ tanx +cosx – cos 2 x = sinx (1+tanx.tan 2 x ) 20/ cotx – 1 = 2 cos2 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x + − + 21/ 3 –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx = D. TỔ HP Tóm tắt giáo khoa Giáo Viên: Nguyễn Văn Bình Http://ALoBe.8Tb.Net – Http://VanBinh.Info.Tm 10 [...]... u1 + u6 + u11 + u16 Bài 8: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80 Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng của chúng là 176 Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 30 Tìm cấp số đó Bài 10: cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = -3 Tính a10 Giáo Viên: Nguyễn Văn Bình Http://ALoBe.8Tb.Net – Http://VanBinh.Info.Tm 14 Bài tập Tốn khối 11 Bài 11: Tính u1,... u3 = 10 Bài 3: Cho cấp số cộng:   u4 + u6 = 26 Tìm số hạng đầu và công sai của nó Bài 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là 165 Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là 114 0 Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng với công sai là 25 Bài 7: Cho cấp số cộng... số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân đó Bài 3: Tìm u1 và q của cấp số nhân biết:  u 4 − u 2 = 72   u5 − u3 = 144 Bài 4: Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có: u3=12, u5=48 Bài 5: Tìm u và q của cấp số nhân (un) biết:  u1 + u2 + u3 = 13   u4 + u5 + u6 = 351 Bài 6: Tìm cấp số nhân (un) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai Bài 7: Tổng 3 số. .. = 910 Bài 14: Cho cấp số cộng (un) có a10 = 10, d = -4 Tính u1 và S10 ĐS: u1 = 46, S10 = 280 Bài 15: Cho cấp số cộng (un) có u6 = 17 và u11 = -1 18 ĐS: d = − 5 và S11 = 187 Bài 16: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u4 = 18 Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên ĐS: S20 = 1350 Tính d và S11 CẤP SỐ NHÂN Kiến thức cần nhớ: 1 Đònh nghóa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh đó kể từ số hạng... theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần) Bài 10: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (11 + x )11 10 Bài 11: Trong khai triển 3   3 2 x − ÷ x  , (x > 0), hãy tìm số hạng khơng chứa x Bài 12: Tìm hệ số của x8 trong khai triển 1 + x 2 ( 1 − x )    10 2 Bài 13: Cho khai triển: ( 1 + 2x ) = a 0 + a1x + a 2 x + + a10 x10 , có các hệ số số lớn nhất Bài 14: Tìm số hạng trong các khai triển sau 8 Giáo... bình nhân của hai số hạng kề bên nó, tức là: u k = u k −1 u k +1 ( k ≥ 2) 4 Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân Cho một cấp số nhân với công bội q ≠ 1 u1, u2, ,un, Đònh lí: Ta có: S n = u1 q n −1 q −1 (q ≠ 1) BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân biết: 1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u1 = 243 và u6 = 1 1 2/ Cho q = 4 , n = 6, S6 = 2730 Tìm u1, u6 Bài 2: Cho cấp số nhân có: u3 = 18... dùng kí hiệu u1, u2, , un, 2 Số hạng tổng quát Đònh lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức: n− 1 un = u1 q (q ≠ 0 ) 3 Tính chất các số hạng của cấp số nhân Giáo Viên: Nguyễn Văn Bình Http://ALoBe.8Tb.Net – Http://VanBinh.Info.Tm 15 Bài tập Tốn khối 11 Đònh lí: Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) đều có giá... triển sau 12 ỉ x 3ư ÷ 1) Hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển ç ÷ ç ÷ ç3 x ø è 12 ỉ1 ư ç + x5 ÷ 2) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển ç ÷ ÷ çx3 è ø 8 8 3) Hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển é + x2(1 - x) ù 1 ê ú ë û ( 4) Hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 1 + x + x2 + x3 ) 10 5) Hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển (x2 - x + 2)10 6) Hệ số của số hạng chứa x4 trong khai... cộng,ta kí hiệu ÷ u1, u2, , un, 2 Số hạng tổng quát Đònh lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi công thức: un = u1 + (n - 1)d 3 Tính chất các số hạng của cấp số cộng Đònh lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số hạng cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là uk = u... 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau Hỏi X có bao nhiêu cách chọn? Bài 2: Cho tập A = { 0;1; 2;3; 4} Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các phần tử của A? Bài 3: Từ tập A = { 1, 2,3, 4,5} hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần? Dạng 2: Thực hiện phép hốn vị Phương pháp giải: • . u 11 + u 16 . Bài 8: Một cấp số cộng (a n ) có a 3 + a 13 = 80. Tìm tổng S 15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số. Bài tập Tốn khối 11 Đặc biệt: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau. Để chỉ rằng dãy số (u n ) là một cấp số