Trang 1 ÔN TẬP CHƯƠNG I 1. Định lý : Trong một tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau. µ µ µ 0 0 , 90 90ABC A B C ∆ = ⇔ + = 2. Định lý Pitago : Trong một tam giác vuông bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông. Nếu một tam giác có một cạnh nào đó bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông thì góc đối diện với cạnh đó bằng 90 0 . µ 0 2 2 2 , 90ABC A BC AB AC ∆ = ⇔ = + 3. Định lý trung tuyến : Trong một tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. µ 0 , 90 2 BC ABC A AM MB MC ∆ = ⇒ = = = 4. Định lý hình chiếu : Trong một tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông là trung bình nhân giữa cạnh huyền và hình chiếu của nó trên cạnh huyền. µ 0 2 2 , 90 . ; .ABC A AB BC HB AC BC HC ∆ = ⇔ = = 5. Định lý liên quan đường cao : Trong một tam giác vuông đường cao ứng với cạnh huyền là trung bình nhân giữa hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền. µ 0 2 , 90 .ABC A AH HB HC ∆ = ⇔ = Trong một tam giác vuông tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao ứng với cạnh huyền. µ 0 , 90 . .ABC A BC AH AB AC ∆ = ⇔ = Trong một tam giác vuông nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông. µ 0 2 2 2 1 1 1 , 90ABC A AH AB AC ∆ = ⇔ = + 6. Định lý liên quan tỷ số lượng giác : Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng : a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cosin góc kề; b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với cotang góc kề. µ 0 .sin .cos . .cot , 90 .sin .cos . .cot AB BC C BC B AC tgB AC gC ABC A AC BC B BC C AB tgC AB gB = = = =  ∆ = ⇒  = = = =  7. Các hệ quả : 1) Đường chéo hình vuông cạnh a : 2d a= . 2) Đường cao của tam giác đều cạnh a : 3 2 a h = . Ví dụ 1 : Cho µ 0 : 90 , , , , , , ', 'ABC A BC a CA b AB c AM m AH h HB c HC b∆ = = = = = = = = Hãy viết các hệ thức lượng trong tam giác vuông đối với ∆ABC ? Bài giải Tam gác ABC vuông ở A ta có : Trang 2 1) µ µ 0 90B C+ = 2) 2 2 2 a b c= + , định lý Pitago. 3) 2 a m = . 4) 2 2 . '; . 'b a b c a c= = . 5) 2 '. 'h b c= . 6) . .a h b c= . 7) 2 2 2 1 1 1 h b c = + . 8) .sin .cos . .cotb a B a C c tgB c gC= = = = ; .sin .cos . .cotc a C a B b tgC b gB= = = = . BÀI TOÁN GIẢI TAM GIÁC VUÔNG Bài toán 1 : Cho tam giác ABC vuông ở A biết cạnh huyền BC a = và góc nhọn µ B α = . Tính các cạnh góc vuông và góc nhọn còn lại. Bài giải Ta có : .sin sinAC BC B a α = = ; . s sAB BC co B aco α = = . µ µ 0 0 90 90C B α = − = − . Bài toán 2 : Cho tam giác ABC vuông ở A biết cạnh góc vuông AB c= và góc nhọn µ B α = . Tính cạnh huyền, cạnh góc vuông kia và góc nhọn còn lại. Bài giải Ta có : . .AC AB tgB c tg α = = ; . sAB BC co B= ⇔ cos cos AB c BC B α = = . µ µ 0 0 90 90C B α = − = − . Bài toán 3 : Cho tam giác ABC vuông ở A biết cạnh huyền BC a = và cạnh góc vuông AB c= . Tính các góc nhọn và cạnh góc vuông còn lại. Bài giải Ta có : cos AC c B BC a = = ⇒ µ B α = ⇒ µ µ 0 0 90 90C B α = − = − . 2 2 AB BC AC= − . Bài toán 4 : Cho tam giác ABC vuông ở A biết hai cạnh góc vuông AB c = và AC b= . Tính cạnh huyền và hai góc nhọn. Bài giải Ta có : AC b tgB AB c = = ⇒ µ B α = ⇒ µ µ 0 0 90 90C B α = − = − ; 2 2 2 2 a BC AC AB b c= = + = + . Trang 3 ÔN TẬP CHƯƠNG II ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG TRÒN 1. Định nghiã : Đường tròn tâm O bán kính R, ( 0R > ) là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng bằng R.  Một đường tròn hoàn toàn được xác định nếu biết tâm và bán kính của đường tròn hoặc biết đường kính của đường tròn.  Tập hợp những điểm A nhìn hai điểm cố định B, C dưới một góc vuông là đường tròn tâm O, ( trung điểm của đoạn BC) bán kính 2 BC R = . 1. Qua hai điểm bất kỳ có vô số đường tròn, tâm của những đường tròn này nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy. 2. Qua ba điểm thẳng hàng không có đường tròn nào. 3. Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng có một và chỉ một đường tròn. ( Đường tròn ngoại tiếp tam giác ), tâm của đường tròn này là giao điểm của ba đường trung trực của ba cạnh tam giác. Định lý : Đường tròn là một hình tự đối xứng, tâm của nó chính là tâm đối xứng. Bất kỳ đường kính nào của đường tròn cũng là trục đối xứng của đường tròn. 1. Định lý : Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn. Trong một đường tròn đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây cung ấy. Ngược lại đường kính đi qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì nó vuông góc với dây cung ấy. 2. Định lý : Trong một đường tròn : a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm. b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. 3. Định lý : Trong hai dây của một đường tròn : a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. b) Dây nào gần tâm hơn thì dây ấy lớn hơn. c) Gọi d là khoảng cách từ tâm O đến dây , 0AB a a= > : 2 2 2 4 a d R= − . TIẾP TUYẾN Đn : Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại một điểm thì nó được gọi là tiếp tuyến của đường tròn và điểm chung đó gọi là tiếp điểm. Tính chất : Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. Nếu một đường thẳng vuông góc với bán kính tại đầu của bán kính thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn. Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì : 1) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. 2) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm của đ.tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. Trang 4 3) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm của đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp điểm. Cách dựng hai tiếp tuyến với đường tròn (O), qua một điểm M nằm ngoài đường tròn.  Dựng I là trung điểm của MO.  Dựng đường tròn tâm I bán kính IO, cắt đường tròn (O) tại A, B.  Các đường thẳng MA, MB là các tiếp tuyến cần dựng. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG TRÒN VÀ . 1. Vị trí tương đối giữa đường tròn (O,R) với điểm M. 1) OM R = ⇔ điểm M nằm trên đường tròn (O,R). 2) OM R< ⇔ điểm M nằm phía trong đường tròn (O,R). 3) OM R > ⇔ điểm M nằm phía ngoài đường tròn (O,R). 2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng a và đường tròn (O,R). Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng a gọi d là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a. 1) d R< ⇔ đường thẳng a cắt đường tròn (O,R) tại hai điểm phân biệt. 2) d R = ⇔ đường thẳng a tiếp xúc đường tròn (O,R) tại một điểm. 3) d R> ⇔ đường thẳng a không cắt đường tròn (O,R).  Khi đường thẳng a cắt đường tròn (O,R) tại hai điểm phân biệt A, B thì 2 2 2 d R a = − hoặc 2 2 2 a R d = − 3. Vị trì tương đối của hai đường tròn Cho hai đường tròn (O,R) và (O’,r). Gọi 'd OO= là khoảng cách giữa hai tâm O, O’. 1. R r d R r− < < + ⇔ hai đường tròn cắt nhau, (có hai điểm chung).  Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm ⇔ đường nối tâm là trung trực của dây chung. 2. Hai đường tròn tiếp xúc nhau, (có một điểm chung).  Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm. d R r= + ⇔ hai đường tròn tiếp xúc ngoài. Trang 5 d R r= − ⇔ hai đường tròn tiếp xúc trong. 3. Hai đường tròn không giao nhau, (không có điểm chung). d R r> + ⇔ hai đường tròn ở ngoài nhau. d R r< − ⇔ hai đường tròn đựng nhau. 2. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn Cho hai đường tròn (O,R) và (O’,r). LUYỆN TẬP . µ 0 , 90 2 BC ABC A AM MB MC ∆ = ⇒ = = = 4. Định lý hình chiếu : Trong một tam giác vuông mỗi cạnh góc vuông là trung bình nhân giữa cạnh huyền và hình. giải Ta có : cos AC c B BC a = = ⇒ µ B α = ⇒ µ µ 0 0 90 90 C B α = − = − . 2 2 AB BC AC= − . Bài toán 4 : Cho tam giác ABC vuông ở A biết hai cạnh góc vuông