Trang 1 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG TRÒN 1. Vị trí tương đối giữa đường thẳng a và đường tròn (O,R). Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng a. Gọi d là khoảng cách từ tâm O đến đ.thẳng a. 1) d R< ⇔ đường thẳng a cắt đường tròn (O,R) tại hai điểm phân biệt. 2) d R = ⇔ đường thẳng a tiếp xúc đường tròn (O,R) tại một điểm. 3) d R> ⇔ đường thẳng a không cắt đường tròn (O,R).  Khi đường thẳng a cắt đường tròn (O,R) tại hai điểm phân biệt A, B thì 2 2 2 R d a = + .  Khi đường thẳng a tiếp xúc đường tròn (O,R) tại điểm H thì H gọi là tiếp điểm và đường thẳng a gọi là tiếp tuyến của đường tròn.  Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.  Nếu một đường thẳng vuông góc với bán kính tại đầu của bán kính thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn. 1. Tính chất của hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm. Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì : 1) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. 2) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm của đ.tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. 3) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm của đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp điểm. Cách dựng hai tiếp tuyến với đường tròn (O), qua điểm M nằm ngoài đường tròn.  Dựng I là trung điểm của MO.  Dựng đường tròn tâm I bán kính IO, cắt đường tròn (O) tại A, B.  Các đường thẳng MA, MB là các tiếp tuyến cần dựng. Ví dụ 1 : Chứng minh rằng nếu đường thẳng xy cắt đường tròn (O,R) tại hai điểm AB thì mọi điểm nằm giữa A, B đều nằm trong đường tròn (O) các điểm còn lại trên đường thẳng xy nằm ngoài đoạn thẳng AB đều nằm ngoài đường tròn (O). Bài giải Giả sử đường thẳng xy cắt đường tròn (O,R) tại hai điểm A, B. Gọi H là hình chiiếu vuông góc của O xuống đường thẳng xy . Với mọi điểm M thuộc về đoạn thẳng AB thì HM HA OM OA R≤ ⇒ ≤ = ⇔ điểm M nằm phía trong đường tròn (O). Với mọi điểm M nằm trên đường thẳng xy và không thuộc về đoạn thẳng AB thì : HM HA OM OA R > ⇒ > = ⇔ điểm M nằm phía ngoài đường tròn (O). Ví dụ 2 : Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm ( ) 3;2I − . Xác định vị trí tương đối giữa đường tròn ( ) ;2I với các trục tọa độ. Bài giải Trang 2 Từ I kẻ IA vuông góc với trục Ox thế thì 2IA R= = nên đường tròn ( ) ;2I tiếp xúc với trục hoành Ox. Từ I kẻ IB vuông góc với trục Oy thế thì 3IB R= > nên đường tròn ( ) ;2I không cắt trục tung Oy. Ví dụ 3 : Hình thang vuông ABCD, vuông ở A, D biết 4AB cm= , 13BC cm= , 9CD cm = . a) Tính độ dài AD. b) Chứng minh rằng đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn đường kính BC. Bài giải a) Từ B kẻ BE//AD thì ABED là hình chữ nhật nên 4DE AB cm= = ; Xét ∆BCE có µ 0 90E = , 13BC cm= , ( ) 9 4 5EC DC DE DC AB cm= − = − = − = . ⇒ ( ) 2 2 2 2 13 5 12BE BC EC cm= − = − = . b) Gọi I, H lần lượt là trung điểm của BC, AD thế thì IH AD⊥ và ( ) 4 9 6,5 2 2 AB CD IH cm + + = = = . Mặt khác ( ) 6,5 2 BC IB IC cm= = = ⇒ AD tiếp xúc với đường tròn đường kính BC. Ví dụ 4 : Cho đường tròn (O) đường kính AB, một điểm M sao cho A nằm giữa B, M. Kẻ đường thẳng MC tiếp xúc đường tròn (O) tại C. Từ O hạ đường thẳng vuông góc với CB và cắt tia MC tại N. Chứng minh đường thẳng NB là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài giải Vì ,OB OC ON CB= ⊥ nên ∆OBC cân đỉnh O ⇒ ON vừa là đường cao vừa là đường phân giác ⇒ · · NOB NOC= . ∆ONB, ∆ONC có : · · ;OB OC NOB NOC= = ; ON chung nên hai tam giác đó bằng nhau ⇒ · · 0 90OBN OCN= = ⇔ OB là tiếp tuyến của đường tròn (O). Ví dụ 5 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d với đường tròn. Gọi E, F lần lượt là chân đường cao các đường vuông góc kẻ từ A, B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng : a) CE CF= ; b) AC là tia phân giác của · BAE ; c) 2 .CH AE BF= . Bài giải a) Do E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A, B xuống đường thẳng d nên AE d⊥ , BF d⊥ và //AE BF . Vì d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C nên OC d⊥ ⇒ // //OC AE BF mà OA OB = nên CE CF = . b) Vì OA OC = nên ∆OAC cân đỉnh O ⇒ · · CAO ACO= . Mặt khác //OC AE ⇒ · · CAO CAE= ⇒ · · CAE CAO= hay AC là tia phân giác của · BAE . c) ∆ CAE = ∆ CAH, (g.c.g) ⇒ AE AH= , tương tự BF BH= . ∆ ABC có OC OA OB= = nên · 0 90ACB = ⇒ 2 . .CH HA HB AE BF= = . Trang 3 Ví dụ 6 : Cho tam giác ABC vuông ở A, AH là đường cao, M và N lần lượt là những điểm đối xứng của H qua AB và AC. a) Chứng minh đường tròn đường kính BC tiếp xúc MN tại A. b) Đường tròn đường kính MN tiếp xúc với BC tại H. c) Chứng minh đường tròn tâm B, bán kính BM tiếp xúc với MN và AH. Tương tự đường tròn tâm C tiếp xúc với MN và AH. Bài giải a) Vì M đối xứng với H qua AB nên · · BAM BAH= , AM AH= . Tương tự ta có · · CAN CAH= , AH AN= . mà · · · 0 90BAC BAH CAH= = + nên · · 0 90BAM CAN+ = ⇒ · · · · 0 180BAM BAH CAH CAN+ + + = ⇒ M, A, N thẳng hàng. Vì AM AN= , OB OC= và · 0 90AMB = nên //OA BM . Do · 0 // , 90OA BM BMA = nên OA MN⊥ ⇒ MN tiếp xúc với đường tròn đường kính BC tại A. b) Do AM AH AN= = , AH BC⊥ nên đ.tròn đường kính MN tiếp xúc với BC tại H. c) Do AH BC⊥ , (gt) và M đối xứng với H qua AB nên · · 0 90 ;AHB AMB BH BM= = = ⇒ đường tròn tâm B bán kính BM tiếp xúc với MN và AH. Tương tự đường tròn tâm C tiếp xúc với MN và AH. Ví dụ 7 : Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC và các tiếp điểm trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt là M, N và S. a) Chứng minh : 2AB AC BC AM + − = , viết các hệ thức tương tự ? b) Cho 4AB m= ; 7BC m= và 5CA m= . Tính các đoạn thẳng AM, BN, CS. Bài giải a) Ta có : ; ;AM AS BM BN CN CS= = = , ( hai tiếp tuyến cùng .) Mà AB AC BC AM BM AS CS BN CN + − = + + + − − ⇔ ( ) ( ) 2AB AC BC AM BM BN CS CN AM AM+ − = + − + − + = . b) Vì 2 4 5 7 2AM AB AC BC = + − = + − = ⇔ ( ) 1AM m= . Tượng tự tính : BN, CS ! Ví dụ 8 : Cho tam giác ABC cân đỉnh A, các đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (O) đường kính AH, chứng minh rằng : a) Điểm E nằm trên đường tròn (O); b) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài giải a)Do BE AC ⊥ nên · 0 90HEA = mà OA OH = nên OE OA OH = = ⇒ E nằm trên đường tròn (O) đường kính AH. b) ∆ BEC vuông ở E có ED là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên DE DB= ⇒ µ µ 1 1 E B= ; ta lại có ¶ ¶ ¶ 2 1 2 E H H= = ; ⇒ µ ¶ µ ¶ 0 1 2 1 2 90E E B H+ = + = ⇒ DE OE⊥ nên DE là tiếp tuyến của đtr(O). Trang 4 Ví dụ 9 : Cho hình vuông ABCD, trên đường chéo BD lấy BI BA= , ( I nằm giữa B và D) . Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BD, đường thẳng này cắt AD ở E. a) So sánh các đoạn AE, EI và ID. b) Xác định vị trí tương đối của đường thẳng BD với đường tròn tâm E bán kính EA. c) Biết ID d= , tính cạnh hình vuông theo d. Bài giải a) Ta có EA EI= , (1) (hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm). Do ABCD là hình vuông nên · 0 45ADB = . Do EI BD⊥ , (gt) nên ∆DIE vuông cân đỉnh I nên IE ID= , (2). Từ (1) và (2) ta được : AE EI ID= = . b) Do BD EI⊥ nên BD là tiếp tuyến của đ.tròn tâm E bán kính EA. c) Biết ID d= suy ra EA EI ID d= = = . 0 : 90 ,EID I IE ID d∆ = = = $ ⇒ 2 2ED ID d= = ⇒ ( ) 2 1 2AD AE ED d d d= + = + = + . Ví dụ 10 : Cho đường tròn (O) bán kính 6cm và một điểm A cách O là 10cm . Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O), tính độ dài AB. Bài giải Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên · 0 90AB OB ABO⊥ ⇒ = . · 0 : 90 , 6, 10AOB ABO OB OA∆ = = = ⇒ 2 2 2 2 2 10 6 8 8AB OA OB= − = − = = . Vậy : 8AB cm= . Ví dụ 11 : Cho đường tròn tâm O bán kính OA R = , dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA. a) Từ giác OCAB là hình gì ? vì sao ? b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E, tính độ dài BE theo R. Bài giải a) Do M là trung điểm của OA R= nên 2 R MO MA= = . Vì BC OA⊥ , (gt) nên ,BC OA MB MC⊥ = ⇒ OCAB là hình thoi. b) : , 2 R MOB OM OB R∆ = = nên đây là nửa tam giác đều, suy ra ∆OAB là tam giác đều cạnh R. · · 0 30OBM BEO= = và OB R = nên 2OE R = . ∆OEB là nửa tam giác đều cạnh 2R nên 2 3 3 2 R BE R= = . Ví dụ 12 : Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm phiá ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). a) Chứng minh OA BC⊥ . b) Vẽ đường kính CD, chứng minh // .BD OA . c) Tính độ dài các cạnh của ∆ ABC, biết 2OB cm= ; 4OA cm= . Bài giải Trang 5 a) Do AB, AC là hai tiếp tuyến xuất phát từ A đến đường tròn (O) nên AB AC= và OA là phân giác của góc · BAC suy ra : OA OA BC⊥ , ( đường phân giác của góc ở đỉnh của tam giác cân cũng là đường cao). b) Do CD là đường kính nên · 0 90CBD = ⇔ BD BC ⊥ . Vì OA BC⊥ và BD BC⊥ nên // .BD OA . : 2, 4OAB OB OA∆ = = ⇒ ( ) 2 2 2 2 4 2 2 3AB OA OB cm= − = − = . Vì 2, 4OB OA= = ⇒ 1 2 OB OA= ⇒ · 0 30OAB = ⇒ · 0 60BAC = ⇒ ( ) 2 3BC AB cm= = . Ví dụ 13 : Từ một điểm A ở phía ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), nó cắt các tiếp tuyến AB, AC lần lượt tại D, E. Chứng minh rằng chu vi ∆ADE bằng 2AB. Bài giải Vì DB DM= , EC EM = nên chu vi tam giác ADE bằng : 2 ADE CV AE ED DA AE EC DB DA AC AB AB= + + = + + + = + = Ví dụ 14 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là đường thẳng vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung AB và không trùng với A, B. Kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn nó cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Chứng minh rằng : a) · 0 90COD = . b) CD AC BD= + . c) Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn. d) Đường tròn qua C, D, O tiếp xúc AB tại O. Bài giải a) CA, CM là hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ C nên MC AC= và OC là phân giác của góc · AOM , tương tự MD BD= và OD là phân giác của góc · BOM , mặt khác · AOM , · BOM là hai góc kề bù nên OC OD ⊥ hay · 0 90COD = . b) Vì MC AC= và MD BD= nên MC MD AC BD+ = + ⇔ CD AC BD = + . c) µ 0 : 90 ,COD O OM CD∆ = ⊥ ⇒ 2 .MC MD OM= không đổi. d) Gọi I là trung điểm của CD ⇒ IC ID IO= = , (1). Vì O, T lần lượt là trung điểm của AB, CD nên TO AB ⊥ , (2). Từ (1) và (2) : AB tiếp xúc đường tròn (T) tại O. Ví dụ 15 : Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn (O) bán kính r. Tính diện tích tam giác ABC theo r ? Bài giải Giả sử ∆ABC đều ngoại tiếp đường tròn (O) bán kính r. Ta có : 3OD r BD r = ⇒ = . Mà 3 2 AC BD = ⇔ 2 2. 3 2.3 . 3 2 3 3 3 3 BD BD r AC r= = = = . Trang 6 2 1 1 . .2 3.3 3 3 2 2 ABC S AC BD r r r= = = . Ví dụ 16 : Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn ( ) ;A AH . Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rằng : a) Ba điểm D, E, A thẳng hàng; b) DE tiếp xúc đường tròn đường kính BC. Bài giải a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : µ ¶ 1 2 A A= , µ ¶ 3 4 A A= nên · · ¶ µ ( ) 0 2 3 2 180DAH HAE A A+ = + = . Vậy D, A, E thẳng hàng. b) Gọi O là trung điểm của BC; OA là đường trung bình của hình thang vuông BDEC nên OA // BD ⇒ OA DE⊥ . Mặt khác có OA OB OC = = nên OA là bán kính của đường tròn đường kính BC⇒ DE tiếp xúc đường tròn đường kính BC. LUYỆN TẬP Bài tập 1 : Chứng minh rằng nếu đường thẳng xy không cắt đường tròn (O,R) thì mọi điểm nằm trên đường thẳng xy đều nằm ngoài đường tròn (O). Hướng dẫn … Bài tập 2 : Điểm A cách đường thẳng xy một khoảng bằng 12cm, vẽ đường tròn ( ) ;13A cm . a) Chứng tỏ đường tròn ( ) ;13A cm có hai giao điểm với đường thẳng xy. b) Gọi hai giao điểm là B, C tính độ dài đoạn BC. Hướng dẫn … Bài tập 3 : Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) bán kính R. Tính diện tích tam giác ABC theo R ? Hướng dẫn … Trang 7 Bài tập 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (B;BA) và đường tròn (C;CA), chúng cắt nhau tại D, (D ≠ A). Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (B). Hướng dẫn Bài tập 5 : Cho đoạn thẳng AB với trung điểm O. Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB. Một góc vuông · POQ quay xung quanh O cắt Ax, By tại P, Q. Gọi P’ là giao điểm của các tia đối của các tia OP, By. a) Tam giác QPP’ là tam giác gì, tại sao ? b) Chứng minh rằng đường thẳng PQ luôn luôn tiếp xúc với đường tròn (O,OA). c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp ∆OPQ luôn luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Hướng dẫn Bài tập 6 : Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng d không cắt đường tròn (O). Từ một điểm M trên đường thẳng d, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn, từ O kẻ OH vuông góc với đường thẳng d. Dây AB cắt OH tại T, cắt OM tại K. Chứng minh : 2 . .OT OH OK OM R= = . Tư đó suy ra AB luôn đi qua điểm cố định khi M thay đổi trên d. ( T là điểm cố định !). Bài tập 7 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By ( Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB ). Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D. a) Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc AB; b) Tìm vị trí của M để hình thang ABDC có chu vi nhỏ nhất; c) Tìm vị trí của C, D để hình thang ABDC có chu vi bằng 14cm, biết AB = 4cm. Trang 8 Hướng dẫn a) b) Chu vi hình thang ABDC bằng AB AC BD CD + + + Ta đi chứng minh AC BD CM MD CD+ = + = để đi tới kết quả là : 2AB AC BD CD AB CD + + + = + . Vì AB không đổi nên chu vi nhỏ nhất ⇔ CD nhỏ nhất⇔CD = AB ⇔ CD // AB ⇔ OM AB ⊥ ⇒ . c) Đặt AC x = , BD y= ⇒ ( ) 2 4 2 14Chvi AB CD x y= + = + + = ⇒ 5x y+ = . Mặt khác 2 2 . 2 4xy MC MD OM= = = = . ⇒ 4 5x x + = ⇔ 2 5 4 0x x− + = ⇔ ( ) ( ) 1 4 0x x− − = ⇔ 1x = hoặc 4x = kết luận . VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN 1. Vị trì tương đối của hai đường tròn Cho hai đường tròn (O,R) và (O’,r). Gọi 'd OO= là khoảng cách giữa hai tâm O, O’. 1) R r d R r− < < + ⇔ hai đường tròn cắt nhau, (có hai điểm chung). 2) Hai đường tròn tiếp xúc nhau, (có một điểm chung). a) d R r= + ⇔ hai đường tròn tiếp xúc ngoài. b) d R r= − ⇔ hai đường tròn tiếp xúc trong. 3) Hai đường tròn không giao nhau, (không có điểm chung). a) d R r> + ⇔ hai đường tròn ở ngoài nhau. b) d R r< − ⇔ hai đường tròn đựng nhau.  Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm ⇔ đường nối tâm là trung trực của dây chung.  Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm. Trang 9 2. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn Cho hai đường tròn (O,R) và (O’,r). Ví dụ 1 : Cho đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn (O’) đường kính OA. a) Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn. b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C; Chứng minh CA CD= . c) Chứng minh ' //O C OD . Bài giải a) Gọi O’ là trung điểm của OA ⇒ ' 'OA O O O A= + ⇔ ' 'OO OA O A= − ⇔ đường tròn (O) và đường tròn (O’) tiếp xúc nhau tại A. b) Do OA là đường kính của đường tròn (O’) nên ' ' 'O O O A O C= = suy ra · 0 90OCA = . Trong đường tròn (O) có · 0 90OCA = ⇒ OC AD ⊥ ⇒ CA CD = . c) Ta có OA OD = nên · · ODA OAD= , mặt khác ' 'O C O A = nên · · 'OAD O CA= , suy ra · · 'ODA O CA= ⇒ ' //O C OD . Ví dụ 2 : Cho hai đường tròn đồng tâm O, dây AB của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C, D. Chứng minh rằng : AC BD = . Bài giải Gọi H là trung điểm của AB thế thì ;HA HB OH AB= ⊥ . Vì OH AB OH CD HC HD ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ = . Ta có : AC HA HC HB HD BD= − = − = . Ví dụ 3 : Cho đường tròn (O) và đường tròn (O’) tiếp xúc ngoài nhau tại A, kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, ( ( ) ( ) ; 'B O C O∈ ∈ . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC tại I. a) Chứng minh rằng : · 0 90BAC = . b) Tính số đo góc · 'OIO . c) Tính độ dài BC, biết 9OA cm = , ' 4OA cm = . Bài giải a) Đối với đường tròn (O) ta có IB IA= , đối với đường tròn (O’) ta cũng có IA IC= . ∆BAC có IA IB IC= = ⇒ · 0 90BAC = . b) Do IA, IB nên AB OI ⊥ ⇒ · · 0 90BAI OIA+ = , tương tự : · · 0 ' 90AIO IAC+ = mà · 0 90BAC = ⇒ · 0 ' 90OIO = . c) · 0 ': ' 90 , 'OIO OIO IA OO∆ = ⊥ ⇒ ( ) . ' 9.4 6IA OA OA cm= = = . Vậy : ( ) 2 2.6 12BC IA cm= = = . Trang 10 Ví dụ 4 : Cho hai đường tròn (O) và đường tròn (O’) cắt nhau tại A, B. Kẻ các đường kính AOC, AO’D. Chứng minh 3 điểm C, B, D thẳng hàng và AB vuông góc với CD. Bài giải Do AOC là đường kính của đường tròn (O) nên · 0 90CBA = . Tương tự : · 0 90DBA = ⇒ · · 0 0 0 90 90 180CBA DBA+ = + = ⇒ · 0 180CBD = ⇒ C, B, D thẳng hàng. · 0 90CBA = và C, B, D thẳng hàng nên AB CD⊥ . Ví dụ 5 : Cho tam giác ABC vuông ở A có đường cao AH. Gọi T và K lần lượt là tâm của hai đường tròn đường kính HB, HC. 1) Chứng tỏ hai đường tròn (T), (K) tiếp xúc ngoài nhau và tiếp xúc trong với đường tròn qua A, B, C. 2) Đường tròn (T) cắt AB tại D, đường tròn (K) cắt AC tại E, chứng minh ADHE là hình chữ nhật và . .AD AB AE AC = . Suy ra hai tam giác ABC, AED đồng dạng. 3) Chứng minh DE là tiếp tuyến chung của (I) và (K). 4) Chứng tỏ tứ giác BDEC có các góc đối diện bù nhau. 5) Biết 4AH = và 3HB = tính diện tích của tứ giác BDEC. Bài giải 1) Vì T là tâm đường tròn đường kính HB nên TB TH= , tương tự : KH KC= . Mà TK TH KH= + ⇔ chứng tỏ hai đường tròn (T), (K) tiếp xúc ngoài nhau. Ta có OC OK KC= + ⇔ OK OC KC= − ⇔ đường tròn (K) tiếp xúc trong với đường tròn qua A, B, C. Tương tự cho phần còn lại. 2) ∆ ABC vuông ở A ⇒ · · 0 90BAC DAE= = . Do BH là đường kính của đường thẳng (T) nên · 0 90BDH = ⇒ · 0 90HDA = , tương tự · 0 90HEA = ⇒ ADHE là hình chữ nhật. ∆ADH ∞ ∆AHB vì · BAH chung ⇒ AD AH AH AB = ⇒ 2 .AD AB AH= . ∆AEH ∞ ∆AHC vì · CAH chung ⇒ AE AH AH AC = ⇒ 2 .AE AC AH= ⇒ . .AD AB AE AC= . Vì . .AD AB AE AC= và · ABC chung nên hai tam giác ABC, AED đồng dạng. 3) ∆ABC ∞ ∆AED ⇒ · · ADE ACB= , mà ADHE là hình chữ nhật nên · · ADE DEH= . Suy ra : · · ACB DEH= , (1). Mặt khác ∆KHE cân, ( vì KH KE= ) · · EHK HEK= ,(2). µ · · 0 0 : 90 90HEC E EHK ECH∆ = ⇒ + = ,(3). Từ (1), (2) và (3) ta được : · · 0 90DEH HEK+ = ⇒ DE EK⊥ ⇒ DE là tiếp tuyến của (K). Tương tự DE là tiếp tuyến của (I). 4) ∆ABC ∞ ∆AED ⇒ · · AED ABC= ⇒ · · · · 0 180 AED DEC ABC DEC= + = + . Tương tự ta có : · · 0 180 ACB EDB= + ⇒ tứ giác BDEC có các góc đối diện bù nhau. 5) Biết 4AH = và 3HB = . µ 0 : 90 , 4, 3HAB H AH HB∆ = = = ⇒ 2 2 4 3 5AB = + = . [...]... có trung tuyến DO ứng với cạnh AB bằng nửa cạnh AB nên · ADB = 900 ; tương tự · AEC = 900 · Tứ giác ADME có DAE = 900 ; · ADM = 900 ; · AEM = 900 nên nó là hình chữ nhật A ¶ c) ∆ AOD cân đỉnh O nên µ = D ; gọi I là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật 1 1 ¶ ADME, ta có µ3 = D2 ⇒ µ1 + µ3 = D1 + D2 = 900 A ¶ A A ¶ Vì MA vuông góc AB tại A nên MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) và cũng là tiếp... và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Kẻ các đường kính AOB, AO’C Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, D ∈ ( O ) , E ∈ ( O ') Gọi M là giao điểm của BD và CE a) Tính số đo góc DAE; b) Tứ giác ADME là hình gì ? vì sao ? c) Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn Bài giải µ µ a) Vì OD // O ' E ⇒ O1 + O1' = 1800 ⇒ ∆ AOD cân đỉnh O, ∆ AO’E cân đỉnh O’ nên : ( ) 0 µ µ' µ µ 1800 − O1 1800... ta có : IA = IK , HA = HB ⇒ IH // KB Vì OO ' ⊥ AB nên IH ⊥ AB ⇒ KB ⊥ AB b) Vì KB ⊥ AB và AB = BE nên KA = KE , (1) Tứ giác OAO’K có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là một hình bình hành ⇒ OK // O ' A Ta lại có CA ⊥ O ' A ⇒ OK ⊥ CA Đường kính chứa OK vuông góc với dây CA nên OK là trung trực của AC, do đó KA = KC ,(2) Chứng minh tương tự ta có : KA = KD ,(3) Từ (1), (2) . (O) bán kính r. Ta có : 3OD r BD r = ⇒ = . Mà 3 2 AC BD = ⇔ 2 2. 3 2 .3 . 3 2 3 3 3 3 BD BD r AC r= = = = . Trang 6 2 1 1 . .2 3. 3 3 3 2 2 ABC S AC BD r r. Biết 4AH = và 3HB = . µ 0 : 90 , 4, 3HAB H AH HB∆ = = = ⇒ 2 2 4 3 5AB = + = . Trang 11 µ 0 : 90 , 4, 3ABC A AH HB∆ = = = ⇒ 2 .AH HB HC= ⇒ 2 16 3 AH HC HB