đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Đề bảng A : Môn Toán Thời gian 150 phút đề số 1 Phần I: Trắc nghiệm khách quan(10 điểm) Hãy khoanh tròn vào chữ cái in hoa đứng trớc câu trả lời mà em cho là đúng từ câu 1 đến câu 15. Câu 1: kết quả của phép tính 10.9 1 4.3 1 3.2 1 2 1 ++++ là A. 10 .3.2 1 ; B. 10 9 ; C. 10 1 ; D. 9 1 Câu 2:Cho 2 đa thức f(x)=2x 3 - 3x 2 +x+a và đa thức g(x) = x+2 F(x) g(x) khi a bằng . A. 30 ; B. 30 ; C. 6 ; D. 26. Câu 3: Giá trị của biểu thức M=7x 5 (y-2z) +7x 5 (2z-y) với x=1 ; y=2002 ; z =2003 là A. 1 ; B. 1 ; C. 0 ; D. Một kết quả khác. Câu 4: Tổng của hai số bằng 80, hiệu của chúng bằng 4 phơng trình nào dới đây biểu diễn mối quan hệ đầy đủ nhất giữa 2 số đó: A. x+y= 80 ; B. x+ 80- y =80 ; C. x- y =4 ; D. x- (80-x) = 4 Câu 5: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M= x 4 - 6x 3 + 10x 2 - 6x + 9 là A. 1 ; B. -1 ; C. 0 ; D. 2 1 Câu 6: Giá trị của biểu thức Q= 84562412 +++ là A. 12 + 2( 621 + ) ; B. 9 + 3 ( 83 + ) C. )73(22 ++ ; D. 732 ++ Câu 7: Số d của phép chia 2 1000 cho 25 là. A. 2 ; B. 4 ; C. 1 ; D. 8 Câu 8: Biểu thức R= 2 12 2 + x xx có giá trị nguyên khi A. x= 3 ; B. x= 1 ; C. x= -1 ; x=1 ; D. x=3 ; x=1. Câu 9: Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm của phơng trình x 2 2(m+1)x +2m+10 = 0 Biểu thức x 2 1 + x 2 2 + 10x 1 x 2 đạt GTNN khi A. m= 0 ; B. m=12 ; C. m=-3 ; D. m= 3 Câu 10: Cho ba đờng thẳng có phơng trình : 2x + y =5 (d 1 ) ; 3x- 2y =4 (d 2 ) và ax + 5y =11 (d 3 ). Ba đờng thẳng (d 1 ) ;( d 2 );( d 3 ) đồng qui khi hệ số a là: 1 A. 3 ; B. 3 ; C. 3 1 ; D. - 3 1 Câu11: Trong tam giác vuông với góc nhọn tuỳ ý, khẳng định đúng nhất là: A. 1+ tg 2 = 2 cos 1 ; B. 1+ 2 2 sin 1 cot = g C. 2244 cossin21cossin =+ ; D. cả ba khẳng định trên đều đúng. Câu 12: Bất đẳng thức. 123 31020 2 2 ++ ++ xx xx < x 2 + 2(3y-2)x+ 10y 2 - 16y +15 đúng với. A. x 0 và y 0 ; B. x > 0 ; C. Với yx, R ; D. Với x 0 và y R Câu 13: Trung tuyến của một tam giác là một đoạn thẳng: A. Chia diện tích của tam giác thành hai phần bằng nhau. B. Chia đôi một góc của tam giác. C. Vuông góc với một cạnh và đi qua trung điểm của cạnh ấy. D. Đi qua trung điểm của một canh của tam giác. Câu 14: Cho ABC có A=90 0 ; AC= 4 ; AB =3 ; AH BC ( H BC ), khi đó: a) Độ dài đoạn AH là: A. 12 ; B. 9 ; C. 2,4 ; D. 5/12 b) Tỷ số HCA HAB S S là: A. 3 4 ; B. 4 5 ; C. 5 3 ; D. 4 3 Câu 15: Một hình thoi có diện tích bằng một nữa diện tích hình vuông có cạnh bằng cạnh của hình thoi. Tỷ số của đờng chéo dài và đờng chéo ngắn của hình thoi là : A. 2- 3 ; B. 2+ 3 ; C. 2 ; D. 3 ; E. 3 + 1. (phát triển và nâng cao Toán 9). Câu 16: Hãy điền chữ đúng(Đ) hay sai (S) vào ô trống sao cho thích hợp a) (2 9 - 1) 73 b) EFK và MNP có FK= NP; E= M ; EF =MN thì EFK= MNP ( c.g.c). c) PQR và TSH có P = T ; R = H ; PQ = TS thì PQR = TSH (g.c.g) d) ABC và DIG có A= G =90 0 ; BC= DI ; D = B thì hai tam giác bằng nhau. Phần II: Tự luận 10 điểm Bài 1: (1,5điểm ) Rút gọn biểu thức: G = 5310 53 5310 53 + ++ + (Tuyển tập đề thi môn toán 9- Tác giả Vũ Dơng Thuỵ) Bài 2: (2,0 điểm) Giải hệ phơng trình 2 +++=+++ =+++ 4 1999 4 2 4 1 3 1999 3 2 3 1 199921 1999 xxxxxx xxx (Toán tuổi thơ số 35) Bài 3: (2,0điểm) Tìm GTNN của biểu thức. Q= cba c bca b acb a + + + + + 1694 Trong đó a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Bài 4: (3,0điểm) Cho đờng tròn (O) với dây BC cố định (BC<2R) và điểm A trên cung lớn BC (A B,C và điểm chính giữa của cung). Gọi H là hình chiếu của A trên BC; Evà F lần lợt là hình chiếu của B và C trên đờng kính AA. 1) Chứng minh rằng HE AC 2) Chứng minh rằng HEF ~ ABC 3) Khi A di chuyển, chứng minh tâm đờng tròn ngoại tiếp HEF cố định. Bài 5:( 1,5 điểm ) Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M,P,N,Q là các trung điểm của AB,BC,DE,AE. Chứng minh rằng MN đi qua trung điểm của PQ khi và chỉ khi MN// CD ( tuyển tập các đề thi toán 9 TG: Vũ Dơng Thuỵ) 3 đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Đề bảng A : Môn Toán Thời gian 150 phút đề số 2 I. Trắc nghiệm khách quan:( 11 điểm) Hãy khoanh tròn vào chữ cái đứng trớc câu trả lời mà em cho là đúng từ câu 1 đến câu 16 : Câu 1: Cho 3 chữ số khác nhau và khác 0. Từ 3 chữ số đó ta lập đợc các số có ba chữ số. Tổng 6 số có ba chữ số này chia hết cho: A. 73 B. 200 C. 37 D. 20 Câu 2: Các số nguyên n thoả mãn 2n 2 3n +1 chia hết cho 2n+1 là: A. n=-1; n=-2 B. n=0 ; n=1 C. n=-1; n=-2; n=0;n=1 D. Cả A,B,C đều đúng. Câu 3: Trên mặt phẳng toạ độ. Cho đa giác OABCDE ( không lồi) có toạ độ các đỉnh A(0;3);B(3;3);C(3;1);D(5;1);E(5;0) đờng thẳng y=ax chia đa giác thành hai phần có diện tích bằng nhau có hệ số a là: A. 2 11 B. 9 7 C. 3 D. 7 (phát triển và nâng cao toán 9) Câu 4: Cho x,y Z thoã mãn 2x 2 + 4 4 1 2 2 =+ y x Tích xy nhỏ nhất khi A. x=1 và y=-2 ; B. x=-2 và y=1 ; C. x=1 và y=-2 hoặc x=-1 và y=2 D. x=1 và y=2 Câu 5: Cho hai đờng thẳng ax +2y =6 (d 1 ) và x- by =-3 (d 2 ) Kết luận nào sau đâylà sai ? A. Nếu ab=-2 thì (d 1 ) và (d 2 ) song song hoặc trùng nhau. B. Nếu (d 1 )//(d 2 ) thì a -2 và b 0 C. Nếu (d 1 ) trùng với (d 2 ) thì a = -2 và b =1 D. Nếu (d 1 ) cắt (d 2 ) thì ab -2 Câu 6:Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A,B; AC,AD lần lợt là hai đờng kính của (O) và (O). Phát biểu nào sau đây sai ? A. B,C,D thẳng hàng. B. AOO và ACD đồng dạng với tỉ số k =1/2. C. đờng thẳng OO là trục đối xứng của hình vẽ. D. (O) và (O) có đúng hai tiếp tuyến chung. 4 Câu 7: Đờng thẳng y= mx+m-1 (m là tham số) luôn đi qua điểm nào sau đây với mọi m. A. K(-1;-1) B. Q(1;-1) C. T(1;1) D. P(-1;1) Câu 8: Nếu G là trọng tâm của tam giác và PX là đờng trung tuyến của PQR thì số GX PG bằng: A. 1:1 B. 2:1 C. 3:1 D. 3:2 Câu 9: Diện tích của tam giác có độ dài ba cạnh 50;20;10 là: A. 5 B. 10 10 C. 10 2 D. Một kết quả khác Câu10: Số d của phép chia 2 1000 cho 25 là: A. 2 B.4 C. 1 D. 8 Câu 11: Cho ( ) ( ) 333 22 =++++ yyxx Giá trị của biểu thức E= x+y là. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 12: phơng trình 2 105 521 103 313 101 315 99 317 = + + + xxxx có nghiệm là: A. 218 B. 214 C. 416 D.325 Câu 13: Một hình trụ có diện tích hai đáy và diện tích xung quanh đều bằng 314(đvdt). Khi đó chiều cao h của hình trụ là: A. h= 31,4 B. h= 50 C. h= 100 D. h=3,14. 10 Câu 14: Cho hình vẽ Kết luận nào sau đây sai: A. PQR ~ HPR B. MNR ~ PHR C. RQP ~ RMN D. QPR ~ PRH Câu 15: Độ dài x trong hình bên là. A. 8,1 B. 6,5 5 8,5 C. 7,5 D. 8 Câu 16:Cho một hình vuông và một hình thoi có cùng chu vi khi đó: A. Diện tích hình thoi nhỏ hơn diện tích hình vuông. B. Diện tích hình thoi lớn hơn diện tích hình vuông. C. Diện tích hình thoi bằng diện tích hình vuông. D. Diện tích hình thoi nhỏ hơn hoặc bằng diện tích hình vuông. Câu 17: Mỗi khẳng định sau đúng hay sai. A. Hai cung bằng nhau thì có số đo bằng nhau. B. Hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau. 5 Q P H R M N x 3 Câu 18: Khoanh tròn chữ Đ (đúng) hoặc S(sai) vào các khẳng định sau cho thích hợp: A. Nếu 3 điểm thẳng hàng thì 3 điểm đối xứng với chúng qua một tâm bất kì cũng thẳng hàng. Đ S. B. Biểu thức n(2n- 3) 2n(n+1) 5 với mọi n Z . Đ S. C. a 3 + b 3 +c 3 =3abc khi a+b+c = 0 Đ S. D. Căn bậc hai của 0,64 là 0,8. Đ S. II. Phần tự luận (9,0 điểm) Bài 1: ( 3,0điểm) a) Giải phơng trình x xx x xx x = + ++ + 3 3 3 3 2 2 2 2 b) Chứng minh: ab ba + + + + 1 2 1 1 1 1 22 Với a 1;b 1 Bài 2:(2,0 điểm) Cho phơng trình x 2 - 5mx- 4m =0 có hai nghiệm phân biệt x 1 và x 2 . a) Chứng minh rằng x 2 1 + 5mx 2 - 4m >0. b) Xác định giá trị của m để biểu thức A= 2 1 2 2 2 2 1 2 125 125 m mmxx mmxx m ++ + ++ đạt giá trị nhỏ nhất (tuyển tập đề thi môn toán 9) Bài 3: ( 3,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, A là một điểm thuộc đờng tròn.H là hình chiếu của A trên BC, vẽ đờng tròn (I) có đờng kính AH, cắt AB và AC theo thứ tự ở M và N. a) Chứng minh rằng OA MN. b) Chứng minh rằng tứ giác BMNC nội tiếp và xác định tâm của đờng tròn nội tiếp tứ giác BMNC. c) Cho BC cố định. Xác định vị trí của điểm A để bán kính của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC lớn nhất. (Toán nâng cao và phát triển toán 9). Bài 4: ( 1,0 điểm) Tìm các số nguyên x và y sao cho x 3 +x 2 +x+1=y 3 (PT và bài toán với nghiệm nguyên: TG Vũ Hữu Bình) 6 đáp án và biểu điểm đề 1 I. Trắc nghiệm khách quan : (10 điểm) Mỗi câu khoanh tròn đúng cho 0,5đ. Câu hỏi đúng sai: chọn đợc 1 ý đúng cho 0,5đ. Câu P/án 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a b A ì Đ B ì ì ì ì S C ì ì ì ì ì ì Đ D ì ì ì ì ì Đ I. Tự luận : (10 điểm) Bài 1:( 1,5đ) Nhân cả tử và mẫu các phân thức với 2 ta có: G= 52620 2)53( 52620 2)53( + ++ + (0,25đ) = ( ) ( ) 22 1552 2)53( 1552 2)53( + ++ + (0,25đ) = 1552 2)53( 1552 2)53( + ++ + (0,25đ) = 153 2)53( 153 2)53( + + (0,25đ) = 11 26 44 24 .2 = (0,5đ) Bài 2: (2,0đ) Ta có hệ phơng trình tơng đơng với. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+++ =+++ 0 0111 3 1999 4 1999 3 2 4 2 3 1 4 1 199921 xxxxxx xxx (0,5đ) Trừ theo từng vế của hai phơng trình trên ta có: (x 1 1 3 1 4 1 + xx ) + ( ) ( ) 11 1999 3 1999 4 19992 3 2 4 2 ++++ xxxxxx = 0 (0,5đ) ( ) 2 1 1 x ( ) +++ 1 1 2 1 xx ( ) 2 2 1 x ( ) +++ 1 2 2 2 xx + ( ) 2 1999 1 x ( ) 1 1999 2 1999 ++ xx =0 (0,5đ) Do x 01 2 >++ ii x Rx i { }( ) 1999;;3;2;1 i nên suy ra x i =1 hay x 1 =x 2 = = x 1999 = 1 (0,5đ) Bài 3: ( 2,0đ) 7 Đặt =+ =+ =+ zcba ybac xacb 2 2 2 thì x,y,z > 0 (0,25đ) và += += += yxc xzb zya (0,25đ) áp dụng BĐT Cô Si cho các số dơng ta có: 2Q= + + + + + z yx y xz x zy 1694 (0,25đ) = 5224161216916494 =++ ++ ++ + z y y z z x x z y x x y (0,5đ) 2Q 52 => Q 26 (0,25đ) Đẳng thức xảy ra khi 2 3 = x y ; 2 = x z và 3 4 = y z (0,25đ) Hay 3z=4y=6x (ví dụ: x=2 => y=3;z=4 khi đó a=7; b=6; c=5 và Q=26) Vậy : minQ=26 (0,25đ) Bài 4:( 3,0đ) a) Dễ thấy tứ giác ABHE nội tiếp nên EHC = BAA (cùng bù với BHE). (0,25đ) Mà BAA= BCA ( do tứ giác BACA nội tiếp) => EHC= BCA (0,25đ) => HE// CA (0,25đ) mà AC AC => HE AC (0,25đ) < đ.p.c.m> b) Do tứ giác AHFC nội tiếp nên EFH= ACB (1) (0,5đ) và tứ giác ABHE nội tiếp suy ra HEF= ABC (cùng bù với AEH) (2) (0,25đ) Từ (1) và (2) suy ra HEF ~ ABC (g.g) (0,25đ) c) Gọi M,N,P lần lợt là trung điểm của BC,AB,CA. Vì MN// AC và HE AC => MN HE (0,25đ) Mặt khác N cách đều 4 điểm A,B,H,E => MN là đờng trung trực của HE. (0,25đ) Chứng minh tơg tự ta cũng có MP là đờng trung trực của HF (0,25đ) Vậy M là tâm đờng tròn ngoại tiếp HEF và M là điểm cố định vì BC cố định <đ.p.c.m> (0,25đ) Bài 5: (1,5đ) Gọi R là trung điểm của CE 8 B A A C khi ®ã NR//CD (0,25®) Vµ MPRQ lµ h×nh b×nh hµnh, suy ra MR ®i qua trung ®iÓm O cña PQ => M,O,R th¼ng hµng (0,5®) O Gi¶ sö MN//CD th× MN ®i qua R nªn còng ®i qua trung ®iÓm cña PQ (0,25®) §¶o l¹i, gi¶ sö MN ®i qua trung ®iÓm O cña PQ th× MN còng ®i qua R nªn MN//CD. (0,5®) 9 D N E Q A R M B P C đáp án và biểu điểm đề 2 II. Trắc nghiệm khách quan : (11 điểm) Câu hỏi đa lựa chọn : chọn đúng 1 câu 0,5đ Câu hỏi đúng sai: chọn đúng 1 ý cho 0,5đ. Câu P/án chọn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A ì ì ì ì ì Đ Đ B ì ì ì ì S Đ C ì ì ì ì ì Đ D ì ì S III. Tự luận : (9,0 điểm) Bài 1:( 3,0đ) a. Điều kiện : x 2 3 (0,25đ) Nhân với biểu thức liên hợp của từng mẫu thức ta có: ( ) ( ) xxxxxxx 33333 2222 = + + (0,25đ) ( ) ( ) xxx 3333 3 2 3 2 =++ (0,25đ) ( ) ( ) ( ) =+++ > 2 3 4 3 2 3 2 273233 0 xxxx x (0,25đ) ( ) ( ) = > 42 3 4 2932 0 xxx x (0,25đ) Giải hệ PT ta đợc x= 2 ( thoả mãn ĐK) (0,5đ) Vậy: PT có duy nhất nghiệm x= 2 (0,25đ) b. Thật vậy: Ta có ( ) + + + + + = + + + + ab b ab a ab ba 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2222 (0,25đ) = ( ) ( ) ( ) ( ) abb bab aba aab ++ + ++ 1111 2 2 2 2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) abba ababbaba +++ +++ 111 11 22 22 (0,25đ) 10 . tiếp HEF cố định. Bài 5:( 1,5 điểm ) Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M,P,N,Q là các trung điểm của AB,BC ,DE, AE. Chứng minh rằng MN đi qua trung điểm của PQ khi. n=0;n=1 D. Cả A,B,C đều đúng. Câu 3: Trên mặt phẳng toạ độ. Cho đa giác OABCDE ( không lồi) có toạ độ các đỉnh A(0;3);B(3;3);C(3;1);D(5;1);E(5;0) đờng thẳng