Trang 1 * CĂN BẬC HAI SỐ HỌC * 1. Ôn phép bình phương 1. 2 .a a a= . 2. 2 0,a a≥ ∀ và 2 0 0a a= ⇔ = . 3. 2 2 a b a b a b =  = ⇔  = −  . 4. 2 2 0a b a b> > ⇒ > và 2 2 0b a a b< < ⇒ < . 5. ( ) 2 2 2 ab a b= . 6. 2 2 2 0 : a a b b b   ≠ =  ÷   . 7. 0 0 0 a ab b =  = ⇔  =  . 8. 0 0 0 0 0 a b ab a b  >    >   > ⇔  <    <    và 0 0 0 0 0 a b ab a b  >    <   < ⇔  <    >    . 9. 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 b b b c b b ac ax bx c a x x a x a a a a a a   −       + + = + + − + = + −  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷          0a > ⇒ 2 2 2 4 4 , 2 4 4 b b ac b ac a x x a a a − −   + − ≥ − ∀  ÷   ⇔ 2 4 4 b ac a − − là giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 , 0ax bx c a+ + ≠ bằng 2 4 4 b ac a − − , khi 0 2 b x a + = hay 2 b x a = − .  0a < ⇒ 2 2 2 4 4 , 2 4 4 b b ac b ac a x x a a a − −   + − ≤ − ∀  ÷   ⇔ 2 4 4 b ac a − − là giá trị lớn nhất của biểu thức 2 , 0ax bx c a+ + ≠ bằng 2 4 4 b ac a − − , khi 0 2 b x a + = hay 2 b x a = − . Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 5 3T x x= − − , tính giá trị đó ? Bài giải 2 2 2 2 2 3 3 3 3 29 29 5 3 2. . 5 , 2 2 2 2 4 4 T x x x x x x         = − − = − + + − − = − + + ≤ ∀  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷         : Giá trị lớn nhất của T bằng * 29 4 T = khi 3 2 x = − . Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 3 7 2T x x= − + , tính giá trị đó ? Bài giải Trang 2 2 2 2 2 2 7 7 7 7 23 23 3 7 2 3 2. . 2 3 , 6 6 6 6 12 12 T x x x x x x         = − + = − + + − = − + ≥ ∀  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷         : Giá trị nhỏ nhất của T bằng * 23 12 T = khi 7 6 x = . Ví dụ 3 : Tìm ,x y thỏa mãn đẳng thức 2 2 1x y xy x y+ + = + + . Bài giải 2 2 1x y xy x y+ + = + + ⇔ ( ) ( ) 2 2 2 1 2x y xy x y+ + = + + ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 0x xy y x x y y− + + − + + − + = ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 0x y x y− + − + − = ⇔ 0 1 0 1 0 x y x y − =   − =   − =  ⇔ 1 1 x y =   =  . Ví dụ 4 : Với giá trị nào của x, y thì biểu thức 2 2 3 3 2012T x xy y x y= + + − − + đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị đó ? Bài giải ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 2012 2 1 2 1 1 2009T x xy y x y x x y y xy x y= + + − − + = − + + − + + − − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 2009 1 1 1 1 2009T x y x y y x y x y= − + − + − − − + = − + − + − − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 2. 1 1 1 1 1 2009 2 2 2 T x x y y y y     = − + − − + − + − − − +  ÷  ÷     . ( ) 2 2 1 3 1 1 2009 2009, , 2 4 y T x y x y −   = − + + − + ≥ ∀  ÷   : Giá trị nhỏ nhất của T bằng * 2009T = khi 1 1 0 2 1 0 y x y −  − + =    − =  ⇔ 1 1 x y =   =  . Ví dụ 5 : Có hay không các số x, y, z thỏa mãn 2 2 2 4 4 4 8 22 0x y z x y z+ + − + − + = . Bài giải 2 2 2 4 4 4 8 22 0x y z x y z+ + − + − + = ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2.2 4 4 4 1 8 16 1 0x x y y z z− + + + + + − + + = ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 4 1 0x y z− + + + − + = . Vì ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 4 1 1 0, , ,x y z x y z− + + + − + = > ∀ : nên không có các số x, y, z nào thỏa mãn đẳng thức đã cho. 2. Căn bậc hai 1. Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho 2 x a= . 2. Số âm không có căn bậc hai. 3. Mỗi số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau : số dương ký hiệu là a , số âm ký hiệu là a− . 4. Số 0 có đúng một căn bậc hai là số 0. Trang 3 Ví dụ 1 : Tìm căn bậc hai của mỗi số sau : a) 25 b) 9 16 c) 0,49 d) 7,29. Bài giải a) 25 5= ; 25 5= − b) 9 3 16 4 = ; 9 3 16 4 = − . c) 0,49 0,7= ; 0,49 0,7= − d) 7,29 2,7= ; 7,29 2,7= . 3. Căn bậc hai số học Định nghĩa : Với số dương a , số a gọi là căn bậc 2 số học của a . Số 0 cũng được gọi là căn bậc 2 số học của số 0. Ghi nhớ : 1) 2 0x x a x a ≥  = ⇔  =  2) Phép bình phương và phép căn bậc hai số học là hai phép toán ngược nhau. Ví dụ 1 : Tìm căn bậc 2 số học của mỗi số sau : a) 25 b) 9 16 c) 0,49 d) 7,29. Bài giải a) 25 5= vì 2 5 0;5 25≥ = . b) 9 3 16 4 = vì 2 3 3 9 0; 4 4 16   ≥ =  ÷   . c) 0,49 0,7= vì ( ) 2 0,7 0; 0,7 0,49≥ = . d) 7,29 2,7= vì ( ) 2 2,7 0; 2,7 7,29≥ = . Định lý : 0a b a b > ≥ ⇔ > Ví dụ 2 : So sánh các cặp số sau, (không dùng bảng số hay máy tính) a) 3 và 10 b) 4 và 15 c) 6 và 33 d) 7 và 50 . Bài giải a) 3 9 10= < vậy 3 10< b) 4 16 15= > , vậy 4 15> . c) 6 36 33= > vậy 6 33> d) 7 49 50= < , vậy 7 50< . Ví dụ 3 : Tìm số x không âm biết : a) 5x = b) 2x = c) 3x = − d) 0x = Bài giải a) 5x = ⇔ ( ) 2 2 5x = ⇔ 25x = . b) 2x = ⇔ ( ) ( ) 2 2 2x = ⇔ 2x = . c) 3x = − : vô nghiệm vì 0 0 3x x≥ ⇒ ≥ > − . d) 0x = ⇔ ( ) 2 0x = ⇔ 0x = . Ví dụ 4 : Tìm số x không âm biết : a) 3x > b) 16x < c) 7x < d) 5x < e) 3 15x < . Bài giải Trang 4 a) 3 9 9 9x x x> = ⇒ > ⇒ > b) 16 4 0 4x x< = ⇒ ≤ < c) 7 49 0 49x x< = ⇒ ≤ < d) 5 0 5x x< ⇒ ≤ < . e) 3 15 5 25 0 25x x x< ⇒ < = ⇒ ≤ < . Ví dụ 5 : Tính : a) 0,04 0,25A = + b) 5,4 7. 0,36B = + c) 4 0,5. 100 25 C = − d) 9 9 1 :5 16 16 D   = −  ÷   . Bài giải a) 0,04 0,25 0,2 0,5 0,7A = + = + = . b) 5,4 7. 0,36 5,4 7.0,6 5,4 4,2 9,6B = + = + = + = . c) 4 2 2 23 0,5. 100 0,5.10 5 25 5 5 5 C = − = − = − = . d) 9 9 5 3 1 1 1 :5 :5 :5 16 16 4 4 2 10 D     = − = − = =  ÷  ÷     . Ví dụ 6 : So sánh : 26 7− và 5 8− . Bài giải Vì 26 25 5> = và 7 8< suy ra : 26 7 5 8− < − . * LUYỆN TẬP * Bài tập 1 : Tìm ,x y thỏa mãn đẳng thức 2 2 1x y x y xy+ + = − − . Bài tập 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 6 5T x x= − − , tính giá trị đó ? Bài tập 3 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 3 5 3 2 T x x = − + , tính giá trị đó ? Bài tập 4 : a) Với giá trị nào của a, b thì biểu thức 2 2 4 5 10 22 29T a ab b a b= − + + − + đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị đó ? b) Với giá trị nào của m, n thì biểu thức 2 2 5 2 4 10 7T m n m mn n= − − − + + − đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị đó ? Bài tập 5 : Có hay không các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau a) 2 2 2 4 4 2 6 13 0x y z x y z+ + − + − + = . b) 2 2 2 5 2 2 4 8 16 0x y z xy yz z+ + + − − + = . Bài tập 6 : Tìm căn bậc 2 số học của mỗi số sau : a) 49 b) 36 68 c) 51,84 d) 0,81. Bài tập 7 : So sánh các cặp số sau : a) 5 và 26 b) 3 và 3 1+ c) 10 và 2 31 d) 3 và 8 . Bài tập 8 : Tìm số x không âm biết : a) 5x > b) 36x < c) 4x < d) 11x < e) 5 10x < . Bài tập 9 : Tính : Trang 5 a) 0,36 0,04A = + b) 2,7 5. 0,25B = − c) 9 0,7. 81 16 C = − d) 25 144 1 :6 144 25 D   = −  ÷   . Bài tập 10 : So sánh : 51 19− và 7 20− . * CĂN BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC 2 A A= * 1. Điều kiện để A xác định ( hay có nghĩa ) là 0A ≥ . Ví dụ 1 : Với các giá trị nào của a thì căn thức sau xác định ? a) 3a b) 5a− c) 3 a d) 4 a− e) 1 1a − f) 2 1a + g) ( ) ( ) 2 3a a+ − Bài giải a) 3a xác định khi 3 0 0a a ≥ ⇔ ≥ . b) 5a− xác định khi 5 0 0a a − ≥ ⇔ ≤ . c) 3 a xác định khi 0 0 3 a a≥ ⇔ ≥ . d) 4 a− xác định khi 4 0 4a a − ≥ ⇔ ≤ . e) 1 1a − xác định khi 1 0 1 0 1 1 a a a ≥ ⇔ − > ⇔ > − . f) 2 1a + xác định khi 2 1 0a + ≥ , đúng với mọi a. g) ( ) ( ) 2 3a a+ − xác định khi ( ) ( ) 2 3 0a a+ − ≥ ⇔ 2 0 3 0 a a + ≥   − ≥  hoặc 2 0 3 0 a a + ≤   − ≤  . g1) 2 0 3 0 a a + ≥   − ≥  ⇔ 2 3 a a ≥ −   ≤  ⇔ 2 3a − ≤ ≤ . g2) 2 0 3 0 a a + ≤   − ≤  ⇔ 2 3 a a ≤ −   ≥  ⇔ không xác định được a. Vậy : ( ) ( ) 2 3a a+ − xác định khi 2 3a − ≤ ≤ . Ví dụ 2 : Với các giá trị nào của x thì căn thức sau xác định ? a) 4 3 2 3 x x − − b) ( ) ( ) 5 2 3x x− − c) 2 1 4 x− d) 2 2 5 3x x− − e) 2 2 4x x− − f) 2 5x x x + + − g) 2 4 1 5 2 2x x x x− − − + + + Bài giải a) 4 3 2 3 x x − − xác định khi 4 3 0 2 3 x x − ≥ − . Trang 6 4 3 0 2 3 x x − ≥ − ⇔ 4 3 0 2 3 0 x x − ≥   − >  hoặc 4 3 0 2 3 0 x x − ≤   − <  . 1 4 3 0 ) 2 3 0 x a x − ≥   − >  ⇔ 4 3 3 2 x x  ≤     >   : không xác định được x . 2 4 3 0 ) 2 3 0 x a x − ≤   − <  ⇔ 4 3 3 2 x x  ≥     <   ⇔ 4 3 3 2 x≤ < . Vậy : 4 3 2 3 x x − − xác định khi 4 3 3 2 x≤ < . b) ( ) ( ) 5 2 3x x− − xác định khi ( ) ( ) 5 2 3 0x x− − ≥ . ( ) ( ) 5 2 3 0x x− − ≥ ⇔ 5 2 0 3 0 x x − ≥   − ≥  hoặc 5 2 0 3 0 x x − ≤   − ≥  . 1 5 2 0 ) 3 0 x b x − ≥   − ≥  ⇔ 2 5 3 x x  ≥    ≤  ⇔ 2 3 5 x≤ ≤ . 2 5 2 0 ) 3 0 x b x − ≤   − ≤  ⇔ 2 5 3 x x  ≤    ≥  : không xác định được x . Vậy : ( ) ( ) 5 2 3x x− − xác định khi 2 3 5 x≤ ≤ . c) 2 1 4 x− xác định khi ( ) ( ) 2 4 0 2 2 0x x x− > ⇔ − + > . ( ) ( ) 2 2 0x x− + > ⇔ 2 0 2 0 x x − >   + >  hoặc 2 0 2 0 x x − <   + <  . 1 2 0 ) 2 0 x c x − >   + >  ⇔ 2 2 x x <   > −  ⇔ 2 2x − < < . 2 2 0 ) 2 0 x c x − <   + <  ⇔ 2 2 x x >   < −  : không xác định được x. Vậy : 2 1 4 x− xác định khi 2 2x − < < . d) 2 2 5 3x x− − xác định khi 2 2 5 3 0x x− − ≥ . Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 3 2 2 3 3 2 1 3 1 1 2 3x x x x x x x x x x− − = − − − = + − + = + − Trang 7 2 2 5 3 0x x− − ≥ ⇔ ( ) ( ) 1 2 3 0x x+ − ≥ ⇔ 1 0 2 3 0 x x + ≥   − ≥  hoặc 1 0 2 3 0 x x + ≤   − ≤  . 1 1 0 ) 2 3 0 x d x + ≥   − ≥  ⇔ 1 3 2 x x ≥ −    ≥   ⇔ 2 5 x ≥ . 2 1 0 ) 2 3 0 x d x + ≤   − ≤  ⇔ 1 3 2 x x ≤ −    ≤   ⇔ 1x ≤ − . Vậy : 2 2 5 3x x− − xác định khi 3 2 x ≥ hoặc 1x ≤ − . e) 2 2 4x x− − xác định khi 2 2 4 0x x− − ≥ . Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 1 3 1 3 0,x x x x x x− − = − − + − = − − − < ∀ . Suy ra 2 2 4 0x x− − ≥ không có x nào thỏa mãn. Vậy : 2 2 4x x− − không xác định với mọi x . ( khi đó ta bảo biểu thức đó không có nghĩa) f) 2 5x x x + + − xác định khi 2 0 5 0 x x x  + ≥    − ≥  . Mà 2 0 5 0 x x x  + ≥    − ≥  ⇔ 2 2 0 0 x x x  + ≥    ≤  ⇔ 0 0 x x >   ≤  không xác định x . Vậy : 2 5x x x + + − : biểu thức đó không có nghĩa. g) 2 4 1 5 2 2x x x x− − − + + + xác định khi 2 4 1 0 5 2 0 2 0 x x x x  − ≥  − ≥   + + ≥  . Mà 2 4 1 0 5 2 0 2 0 x x x x  − ≥  − ≥   + + ≥  ⇔ 2 1 4 2 5 1 7 0 2 4 x x x  ≥    ≥      + + ≥   ÷    ⇔ 5 2 x ≥ . Vậy : 2 4 1 5 2 2x x x x− − − + + + xác định khi 5 2 x ≥ . Trang 8 2. Hằng đẳng thức : Với mọi số a ta có 2 a a= . Ví dụ 1 : Tính : a) 2 5 b) ( ) 2 2,7− c) ( ) 2 2 1− d) ( ) 2 4 17− e) ( ) 2 3x x+ − Bài giải a) 2 5 5 5= = b) ( ) 2 2,7 2,7 2,7− = − = . c) ( ) 2 2 1 2 1 2 1− = − = − . d) ( ) ( ) 2 4 17 4 17 4 17 17 4− = − = − − = − e) ( ) ( ) 2 3 2 3; 3 3 3 3 3; 3 x x x x x x x x x x x + − = − ≥   + − = + − =  − − = <   . Ví dụ 2 : Phân tích thành nhân tử : a) 2 9a − b) 25, 0x x− ≥ c) 2 5x − d) 3 , 0x x− > e) 2 5 4m− f) 5 2 , 0t t+ < g) 2 2 3 3x x+ + h) 2 2 5 5x x− + Bài giải a) ( ) ( ) 2 2 2 9 3 3 3a a a a− = − = − + . b) ( ) ( ) ( ) 2 2 0, 25 5 5 5x x x x x≥ − = − = − + . c) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 5 5 5x x x x− = − = − + . d) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 :3 3 3 3x x x x x> − = − = − + . e) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 5 4 5 2 5 2 5 2m m m m− = − = − + . f) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 : 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2t t t t t t t< ⇒ − > + = − − = − − = − − + − . g) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 2. 3. 3 3x x x x x+ + = + + = + . h) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 5 2. 5. 5 5x x x x x− + = − + = − . Ví dụ 3 : Tính : a) 4 2 3A = − b) 6 2 5 6 2 5B = − + + c) ( ) ( ) 2 2 C x y x y= + + − d) 2 2 6 9 6 9D a a a a= + + + − + e) 8 2 3 29 12 5E = + − − Bài giải a) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 3 3 2 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1A = − = − + = − + = − = − = − . b) ( ) ( ) 2 2 2 2 6 2 5 6 2 5 5 2 5 1 5 2 5 1B = − + + = − + + + + Trang 9 ( ) ( ) 2 2 5 1 5 1 5 1 5 1 2 5B = − + − = − + + = . c) ( ) ( ) 2 2 C x y x y x y x y= + + − = + + −  0 0 x y x y + >   − >  ⇔ x y x y > −   >  ⇒ ( ) ( ) 2C x y x y x= + + − = .  0 0 x y x y + <   − <  ⇔ x y x y < −   <  ⇒ ( ) ( ) 2C x y x y x= − + − − = − .  0 0 x y x y + ≥   − ≤  ⇔ x y x y ≥ −   ≥  ⇒ ( ) ( ) 2C x y x y y= + − − = .  0 0 x y x y + ≤   − ≥  ⇔ x y x y ≥ −   ≥  ⇒ ( ) ( ) 2C x y x y y= − + + − = − . d) ( ) ( ) 2 2 2 2 6 9 6 9 3 3 3 3D a a a a a a a a= + + + − + = + + − = + + − .  3 0 3 0 a a + >   − >  ⇔ 3 3 a a > −   >  ⇔ 3a > ⇒ ( ) ( ) 3 3 2D a a a= + + − = .  3 0 3 0 a a + <   − <  ⇔ 3 3 a a < −   <  ⇔ 3a < − ⇒ ( ) ( ) 3 3 2D a a a= − + − − = − .  3 0 3 0 a a + ≤   − ≥  ⇔ 3 3 a a ≤ −   ≥  : không có a nào thỏa mãn.  3 0 3 0 a a + ≥   − ≤  ⇔ 3 3 a a ≥ −   ≤  ⇔ 3 3a− ≤ ≤ ⇒ ( ) ( ) 3 3 6D a a= + − − = . e) ( ) 2 2 8 2 3 29 12 5 8 2 3 2 5 2.2 5.3 3E = + − − = + − − + ( ) ( ) 2 8 2 3 2 5 3 8 2 3 2 5 3 8 2 3 2 5 3E = + − − = + − − = + − − ( ) ( ) 2 2 8 2 5 2 5 1 8 2 5 1 8 2 5 1E = + − + = + − = + − ( ) 2 8 2 5 2 5 2 5 1 5 1 5 1E = + − = + + = + = + . Ví dụ 4 : Giải phương trình : a) 2 5 0x − = b) 2 2 11 11 0x x− + = c) 2 2 1 5x x− + = d) 2 2 4 4 2 1 3x x x x+ + + − + = e) 2 2 2 2 1 4 4 4 4x x x x x x+ + + − + = + + f) 2 x a= . Bài giải Trang 10 a) 2 5 0x − = ⇔ ( ) 2 2 5 0x − = ⇔ ( ) ( ) 5 5 0x x− + = ⇔ 5 0 5 0 x x  − =  + =   ⇔ 5 5 x x  =  = −   . b) 2 2 11 11 0x x− + = ⇔ ( ) 2 2 2 11 11 0x x− + = ⇔ ( ) 2 11 0x − = ⇔ 1 2 11x x= = . c) 2 2 1 5x x− + = ⇔ ( ) 2 1 5x − = ⇔ 1 5x − = .  1 0 1x x− > ⇔ > ; (c) ⇒ 1 5 6x x− = ⇔ = .  1 0 1x x− ≤ ⇔ ≤ ; (c) ⇒ ( ) 1 5 4x x− − = ⇔ = − . d) 2 2 4 4 2 1 3x x x x+ + + − + = ⇔ ( ) ( ) 2 2 2 1 3x x+ + − = ⇔ 2 1 3x x+ + − = .  2 0 1 0 x x + >   − >  ⇔ 2 1 x x > −   >  ⇔ 1x > : (d) ⇒ ( ) ( ) 2 1 3x x+ + − = ⇔ 2 2x = ⇔ 1x = , (loại).  2 0 1 0 x x + <   − <  ⇔ 2 1 x x < −   <  ⇔ 2x < − : (d) ⇒ ( ) ( ) 2 1 3x x− + − − = ⇔ 2 4x − = ⇔ 2x = − , (loại).  2 0 1 0 x x + ≥   − ≤  ⇔ 2 1 x x ≥ −   ≤  ⇔ 2 1x − ≤ ≤ : (d) ⇒ ( ) ( ) 2 1 3x x+ − − = ⇔ 0. 0x = , 2 1x − ≤ ≤ .  2 0 1 0 x x + ≤   − ≥  ⇔ 2 1 x x ≤ −   ≥  : không có x nào cả ! Vậy nghiệm của phương trình là : 2 1x x − ≤ ≤ . e) 2 2 2 2 1 4 4 4 4x x x x x x+ + + − + = + + ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2x x x+ + − = + ⇔ 1 2 2x x x+ + − = + .  2x < − ⇒ 2 0 1 0 2 0 x x x + <   + <   − <  , (e) ⇒ ( ) ( ) ( ) 1 2 2x x x− + − − = − + ⇔ 3x = , (loại).  2 1x − ≤ < − ⇒ 2 0 1 0 2 0 x x x + ≥   + <   − <  , (e) ⇒ ( ) ( ) ( ) 1 2 2x x x− + − − = + ⇔ 1 3 x = − , (loại).  1 2x − ≤ < ⇒ 2 0 1 0 2 0 x x x + ≥   + ≥   − <  , (e) ⇒ ( ) ( ) ( ) 1 2 2x x x+ − − = + ⇔ 1x = .  2x ≥ ⇒ 2 0 1 0 2 0 x x x + >   + >   − ≥  , (e) ⇒ ( ) ( ) ( ) 1 2 2x x x+ + − = + ⇔ 3x = . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 1x = ; 3x = . [...]... < 2 x − 3 > 2 x > 5 2 c) x 2 − 6 x + 9 > 4 ⇔ ( x − 3) > 22 ⇔  ⇔  x − 3 < 2  x < 1 2 d) x 2 + 2 x < 2 ⇔ x 2 + 2 x + 1 < 1 ⇔ ( x + 1) < 1 ⇔ −1 < x + 1 < 1 ⇔ 2 < x < 0 Ví dụ 6 : Chứng minh rằng nếu x 2 + y 2 = 1 thì − 2 ≤ x + y ≤ 2 Bài giải 2 Ta có ∀x, y ∈ R ⇒ ( x − y ) ≥ 0 ⇔ x 2 − 2 xy + y 2 ≥ 0 ⇔ 2 xy ≤ x 2 + y 2 = 1 Suy ra x 2 + 2 xy + y 2 ≤ 1 + 1 = 2 ⇔ ( x + y ) ≤ 2 ⇔ − 2 ≤ x + y ≤ 2 2. .. 2 5 − 13 + 4 3 Bài tập 6 : Giải phương trình : a) x 2 − 3 = 0 b) x = x 2 d) 25 6 e) 52 + 122 f) x − 2 + c) t 2 − 7 g) x 2 + 2 5 x + 5 ( x + 3) 2 d) 5 − a, a > 0 h) 4 x 2 − 4 3 x + 3 b) B = 7 − 4 3 d) D = 4 x 2 + 12 x + 9 + 4 x 2 − 12 x + 9 c) x 2 − 2 5 x − 2 = 0 d) x 2 − 6 x + 9 = 7 e) x 2 + 2 3 x + 5 = 0 f) x 2 − 10 x + 25 = x + 3 g) x − 5 + 5 − x = 1 h) x 2 − 2 x + 1 + x 2 − 4 x + 4 = 3 k) x 2 − 2. .. P = 4 x 2 − 4 x + 1 + 4 x 2 − 12 x + 9 Bài giải ( 2 x − 1) = ( 2 x − 1) + ( 3 − 2 x ) = 2 P = 4 x 2 − 4 x + 1 + 4 x 2 − 12 x + 9 = ⇒ P = 2x − 1 + 3 − 2x 2 + ( 3 − 2x ) 2 = 2x −1 + 3 − 2x Trang 12  x≥ 2 x − 1 ≥ 0   Vậy P nhỏ nhất bằng 2 khi  ⇔ 3 − 2 x ≥ 0  x ≤   1 3 2 1 ⇔ ≤x≤ 3 2 2 2 LUYỆN TẬP Bài tập 1 : Với các giá trị nào của a thì căn thức sau xác định ? 2 a a +1 a) −3 ( a + 2 ) b) c)... a 2 + 2a + 1 e) ( 2 − a ) ( a + 5 ) 5 a −1 Bài tập 2 : Với các giá trị nào của x thì căn thức sau xác định ? 2x +1 a) b) ( 5 x + 1) ( 2 − 3 x ) c) 3 x 2 + 5 x + 2 d) 4 x − 5 − x 2 3x − 4 1 1 e) x 2 − 2 x + 4 f) g) x + + 2 − x h) 4 x − 1 − 3 x − 2 + x 2 + x − 2 x ( x − 1) x Bài tập 3 : Tính : a) 49 b) ( −7, 2 ) 2 c) (1− 3) Bài tập 4 : Phân tích thành nhân tử : a) m 2 − 25 b) a − 16, a ≥ 0 e) 7 − 5b 2. .. x 2 > a ⇔ x > a ⇔  x < − a  b) x 2 < a  Nếu a < 0 thì x 2 ≥ 0, ∀x nên bất phương trình x 2 < a vô nghiệm x  Nếu a = 0 thì x 2 ≥ 0, ∀x nên bất phương trình x 2 < a vô nghiệm x Nếu a > 0 thì x 2 < a ⇔ x < a ⇔ − a < x < a Ví dụ 5 : Giải bất phương trình a) x 2 > 9 b) x 2 < 4 c) x 2 − 6 x + 9 > 4 Bài giải x > 3 a) x 2 > 9 ⇔ x > 9 ⇔   x < −3  e) x 2 + 2 x < 2 b) x 2 < 4 ⇔ x < 4 ⇔ x < 2 ⇔ 2. .. phương trình x 2 = a  Nếu a < 0 , vì x 2 ≥ 0, ∀x thì phương trình x 2 = a vô nghiệm  Nếu a = 0 thì phương trình x 2 = a ⇔ x 2 = 0 ⇔ x = 0 x = a a > 0 thì x 2 = a ⇔ x = a ⇔   Nếu x = − a  2 Giải và biện luận bất phương trình : a) x 2 > a b) x 2 < a a) x 2 > a  Nếu a < 0 , vì x 2 ≥ 0, ∀x nên bất phương trình x 2 > a đúng với mọi x  Nếu a = 0 , vì x 2 ≥ 0, ∀x nên bất phương trình x 2 > a đúng... 2 − 2 x + 1 + x 2 + 6 x + 9 = x 2 − 4 x + 4 Bài tập 7 : Giải bất phương trình a) x 2 > 25 d) x 2 < 7 c) x 2 − 6 x > −7 e) 9 x 2 − 6 x < 24 a+b ≥ ab Bài tập 8 : Áp dụng bất đẳng thức Cô-si : a ≥ 0, b ≥ 0 ⇒ 2 1 1 1 1 1 1 + + Để chứng minh : Nếu x, y, z là ba số thực dương thì + + ≥ x y z xy yz zx Bài tập 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = 9 x 2 + 6 x + 1 + 16 − 24 x + 9 x 2 . ) 2 2 8 2 3 29 12 5 8 2 3 2 5 2. 2 5.3 3E = + − − = + − − + ( ) ( ) 2 8 2 3 2 5 3 8 2 3 2 5 3 8 2 3 2 5 3E = + − − = + − − = + − − ( ) ( ) 2 2 8 2 5 2 5. x, y, z thỏa mãn 2 2 2 4 4 4 8 22 0x y z x y z+ + − + − + = . Bài giải 2 2 2 4 4 4 8 22 0x y z x y z+ + − + − + = ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 .2 4 4 4 1 8 16 1