PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THƯỜNG TÍN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG LỚP MƠN TỐN NĂM HỌC 2018-2019 Câu (5 điểm) Cho f ( x)  x  x19  x5  x 2018  g ( x)  x 2019  x 20   x  x  x   a) Tính k  x   f  x   g  x  11 13 15 17 19   b) Tính giá trị k  x  x            10 15 21 28 36 45   c) Chứng minh rằng: đa thức k  x  không nhận giá trị 2019 với giá trị x nguyên ? Câu (4 điểm) Tìm x biết:  4 a)23x      b) x   47  x  27    34   c)  x  3 3x  1     27    1   2019   35   2017 2018 d ) x  x  6 Câu (3 điểm) a b c a) Cho   a  b  c  2019 Tính a, b, c b c a ab cd a c b) Chứng minh rằng: Từ tỷ lệ thức   ta có tỉ lệ thức  a b c d b d Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC  AB  AC  , A  100 Tia phân giác B cắt AC D, qua A kẻ đường vng góc với BD cắt BC I a) Chứng minh rằng: BD trung trực AI b) Trên tia đối tia DB lấy K cho DK  DA Chứng minh rằng: tam giác AIK c) Chứng minh : BK  BC d) Lấy E  BD Chứng minh rằng: BC  EA  AB  EC Câu (2 điểm) x  2019  2020 a) Tìm GTLN của: A  x  2019  2021 1 1  b) Chứng minh rằng: B      20193 22 ĐÁP ÁN Câu a) Tính k  x   x  x  b) 11 13 15 17 19 Xet :         10 15 21 28 36 45 11 13 15 17 19    1           12 20 30 42 56 72 90    3  4  5  6  7  8  9  10   2.1          12 20 30 42 56 72 90   1   1 1 1 1  2.1             10   3 4 5 6 1   2.     10  10  Vậy x    k x  12 c) Xét k x   x  x   x  x    Giả sử k x   2019  x  x    2010 Vì x nguyên nên 2010 chẵn x ;  x   tính chẵn (hoặc lẻ)  x ; x  hai số chẵn liên tiếp nên x  x   , 2010 không chia hết cho Vậy giả sử sai hay k x  không nhận giá trị 2019 với x nguyên Câu a) Tìm x   11 621  2x    2x   2x  104 Nên ta có: x   47  x  x  (tm x  ) Với x   x    x   2 x  5 Nên ta có: 2 x   47  x  x  16 (tm x  ) b) Với x  34 34  14  15  35   1  0 35 35  x    x   Thay vào ta có:  x  3 x  1    3 x    x    d) Ta có: x  5x     x  x    3x    c) Xét  x  x    3 x    x    x    x  3 x      x    x  Câu a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c a  b  c 2019 a         a  b , tương tự b  c b c a a  b  c 2019 b 2019 Suy a  b  c   673 ab cd b)   b  0;  1 d  a b cd ab cd a c Vì    a  b  c  d    a  b  c  d   2bc  2ad    b, d   a b c d b d Câu A D K E B I C a) Xét BAI có BD vừa phân giác vừa đường cao nên BAI cân đỉnh B  BD trung trực AI b) Từ chứng minh  KA  KI (1)   Từ giả thiết ABC cân đỉnh A A  1000  ABC  ACB  400 BAI cân đỉnh B mà ABI  400  BAI  BIA  700 Từ suy IAC  300 (2) AIC  1100 BAD : BAD  1000 , ABD  200  ADB  600 Lại có DAK cân đỉnh D  DAK  DKA  ADB  2DAK (tính chất góc ngồi)  DAK  300 (3) Từ (2) (3) suy ra: IAK  600 (4) Từ (1) (4) suy AIK AKC  AIC  1100   c) Ta có: IAC  KAC (cgc)    IKC  50 AKI  60 (cmt )   0 Và DKI  DKA  30  BKC  80 BKC  800   BKC :  KCB  800  BKC cân đỉnh B  BK  BC  KBC  200   d) Ta có: BK trung trực AI  EA  EI BC  AB  BC  BI  IC 1 Từ EC  EA  EC  EI  IC (BĐT tam giác) (2) Từ (1) (2) suy EC  EA  BC  AB hay BC  EA  AB  EC Câu x  2019  2020 x  2019  2021  a) A   x  2019  2021 x  2019  2021 (Vì x  2019  2021  2021 Dấu "  " xảy  x  2019 A 1 x  2019  2021 1   x  2019  2021 2021 1 2020 1  x  2019  2021 2021 2021 2020 GTNN A   x  2019 2021 1 b) Ta có: 23  1.2.3   1.2.3 1 1 Tương tự :  ; ;  2.3.4 20193 2017.2018.2019 1 1  1  2019  2017   A          1.2.3 2.3.4 2017.2018.2019  1.2.3 2.3.4 2017.2018.2019  1 1 1 1  1   A             1.2 2.3 2.3 3.4 2017.2018 2018.2019   1.2 2018.2019  1  A   2 2018.2019.2 1 1  A       3 2019  A 1 ...  2019 2021 1 b) Ta có: 23  1.2.3   1.2.3 1 1 Tương tự :  ; ;  2.3.4 20193 20 17. 2018. 2019 1 1  1  2019  20 17   A          1.2.3 2.3.4 20 17. 2018. 2019  1.2.3 2.3.4 20 17. 2018. 2019. .. 1.2.3 2.3.4 20 17. 2018. 2019  1 1 1 1  1   A             1.2 2.3 2.3 3.4 20 17. 2018 2018 .2019   1.2 2018. 2019  1  A   2 2018. 2019. 2 1 1  A       3 2019  A 1 ...  2019  2020 x  2019  2021  a) A   x  2019  2021 x  2019  2021 (Vì x  2019  2021  2021 Dấu "  " xảy  x  2019 A 1 x  2019  2021 1   x  2019  2021 2021 1 2020 1  x  2019