TRƯỜNG THCS ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TRẦN THỊ NHƯỢNG NĂM HỌC 2009- 2010 Môn: TOÁN Ngày thi: 13- 9- 2009 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) (Đề thi có: 01 trang) Câu 1(3 điểm): a/ Rút gọn biểu thức: )2)(3( 5 2 1 3 2 −+ − − − + + = xxxx x A b/ Tính giá trị của biểu thức A khi 4 )2( −= x Câu 2(4 điểm): a/ Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một hiệu: 51229 −= B ; .206 −= C b/ Chứng minh rằng: 15122935 =−−− Câu 3(5 điểm): a/ Tìm ba số x, y, z biết rằng: 432 zyx == và x+ 2y- 3z = -20 b/ Với a>0, chứng minh rằng 2 1 ≥+ a a c/ Tính tổng 2010.2009 1 4.3 1 3.2 1 2.1 1 +⋅⋅⋅+++= S Câu 4(4 điểm): Tam giác ABC vuông tại A có AB< AC. Gọi I là trung điểm của AC. Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BC, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau tại E. Chứng minh rằng BIAE ⊥ . Câu 5(4 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, có cạnh AB= 6cm và AC= 8cm. Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại M và N. Tính độ dài các đoạn thẳng BC, AM và AN. Hết TRƯỜNG THCS Đáp án đề thi chọn HSG vòng trường TRẦN THỊ NHƯỢNG NĂM HỌC 2009- 2010 Câu Nội dung Điểm 1a )2)(3( 5 2 1 3 2 −+ − − − + + = xxxx x A )2)(3( 5)3()2)(2( −+ −+−−+ = xx xxx )2)(3( 534 2 −+ −−−− = xx xx )2)(3( 12 2 −+ −− = xx xx = )2)(3( )4)(3( −+ −+ xx xx 2 4 − − = x x b 4 )2( −= x =4 Vậy A= 0 24 44 = − − 2a 22 33).5.2(2)20(95122051229 +−=+−=−= B = 22 33.20.2)20( +− = 2 )320( − 22 11.5.2)5(5.415206 +−=−+=−= C = 2 )15( − b Xét vế trái, ta có: 2 )320(355122935 −−−=−−− = )320(35 −−− = 2065 −− = 2 )15(5 −− = )15(5 −− =1 (vế phải) 3a Ta có 432 zyx == 1262 32 12 3 6 2 2 ++ −+ ===⇔ zyxzyx (vì x+ 2y- 3z = -20 ) 1 20 20 −= − = Do đó: x=2.(-1) =-2 2y=6.(-1) ⇒ y=-3 3z=12.(-1) ⇒ z=-4 b Với a>0, chứng minh rằng 2 1 ≥+ a a Áp dụng, bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương a và a 1 ta có 2 1 1.2 11 . 2 1 ≥+⇔≥+⇔≥ + a a a a a a a a (đpcm) 4 Từ A kẻ Ax// BC cắt EC tại D. Vì ADEIBCEI ⊥⇒⊥ Mặt khác EDAC ⊥ (Vì D EC ∈ ) ⇒ I là trực tâm của ∆ ADE. Ta cần chứng minh: DB là đường cao thứ ba của ∆ ADE (hay ba điểm D, I, B thẳng hàng). Thật vậy, AB//CD và AD//BC ⇒ ABCD là Hình bình hành Khi đó AC và BD là hai đường chéo, chúng cắt nhau tại trung điểm I của AC. Tức D, I, B thẳng hàng ⇒ DB là đường cao thứ ba của ∆ ADE Vậy BIAE ⊥ (đpcm) . tại M và N. Tính độ dài các đoạn thẳng BC, AM và AN. Hết TRƯỜNG THCS Đáp án đề thi chọn HSG vòng trường TRẦN THỊ NHƯỢNG NĂM HỌC 2009- 2010 Câu Nội dung Điểm. TRƯỜNG THCS ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TRẦN THỊ NHƯỢNG NĂM HỌC 2009- 2010 Môn: TOÁN Ngày thi: 13- 9- 2009 Thời gian