BÀI TẬP PHỤ ĐẠO 10 CHƯƠNG I : VECTO A. Vecto cùng phương, hai vecto bằng nhau: Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O a) Bằng vectơ AB uuur ; OB uuur b) Có độ dài bằng  OB uuur  Bài 2 : Cho tam giác ABC. Ba điểm M,N và P lần lượt là trung điểm AB, AC, BC. CMR: MN BP= uuuur uuur ; MA PN= uuur uuur . Bài 3: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Chứng minh : MQNPQPMN == ; . Bài 4: Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp . Gọi B’ là điểm đối xứng B qua O . Chứng minh : CBAH ' = . Bài 5: Cho hình bình hành ABCD . Dựng BCPQDCNPDAMNBAAM ==== ,,, . Chứng minh OAQ = B. CH ỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTO: Bài 1: Cho 4 điểm bất kì M,N,P,Q . Chứng minh các đẳng thức sau: a) PQ NP MN MQ+ + = uuur uuur uuuur uuuur ; b) NP MN QP MQ+ = + uuur uuuur uuur uuuur ; c) MN PQ MQ PN+ = + uuuur uuur uuuur uuur ; Bài 2: Cho ngũ giác ABCDE. Chứng minh rằng: a) 0AD BA BC ED EC+ − − + = uuur uuur uuur uuur uuur r ; b) AD BC EC BD AE+ − − = uuur uuur uuur uuur uuur Bài 3: Cho 6 điểm M, N, P, Q, R, S. Chứng minh: a) PNMQPQMN +=+ . b) RQNPMSRSNQMP ++=++ . Bài 4: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng : a) AB uuur + CD uuur + EA uuur = CB uuur + ED uuur b) AD uuur + BE uuur + CF uuur = AE uuur + BF uuur + CD uuur c) AB uuur + CD uuur + EF uur + GA uuur = CB uuur + ED uuur + GF uuur d) AB uuur - AF uuur + CD uuur - CB uuur + EF uur - ED uuur = 0 r Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, có tâm O. CMR: 0OA OB OC OD+ + + = uuur uuur uuur uuur r . Bài 6: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh : OOEODOCOBOA =++++ Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR : a) OA uuur + OB uuur + OC uuur + OD uuur + OE uuur + OF uuur = 0 r b) OA uuur + OC uuur + OE uuur = 0 r c) AB uuur + AO uuur + AF uuur = AD uuur d) MA uuuur + MC uuur + ME uuur = MB uuur + MD uuuur + MF uuur ( M tùy ý ). Bài 8: Cho tam giác ABC ; vẽ bên ngoài các hình bình hành ABIF ; BCPQ ; CARS Chứng minh rằng : RF uuur + IQ uur + PS uur = 0 r 1 BÀI TẬP PHỤ ĐẠO 10 Bài 9: cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AC và BD. Gọi E là trung điểm I J . CMR: 0EA EB EC ED+ + + = uuur uuur uuur uuur r . Bài 10: Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm AB, BC, CA. CMR: a) 0AN BP CM+ + = uuur uuur uuuur r ; b) AN AM AP= + uuur uuuur uuur ; c) 0AM BN CP+ + = uuuur uuur uuur r . Bài 11: Cho hình thang ABCD ( đáy lớn DC, đáy nhỏ AB) gọi E là trung điểm DB. CMR: EA EB EC ED DA BC+ + + = + uuur uuur uuur uuur uuur uuur . Bài 12: ( Hệ thức trung điểm) Cho 2 điểm A và B. a) Cho M là trung điểm AB. CMR với điểm I bất kì : 2IA IB IM+ = uur uur uuur b) Với N sao cho 2NA NB= − uuur uuur . CMR với I bất kì : 2 3IA IB IN+ = uur uur uur c) Với P sao cho 3PA PB= uuur uuur . CMR với I bất kì : 3 2IA IB IP− = − uur uur uur Bài 13: ( Hệ thức trọng tâm) Cho tam giác ABC có trọng tâm G: a) CMR: 0GA GB GC+ + = uuur uuur uuur r . Với I bất kì : 3IA IB IC IG+ + = uur uur uur uur . b) M thuộc đoạn AG và MG = 1 4 GA . CMR 2 0MA MB MC+ + = uuur uuur uuuur r c) Cho tam giác DEF có trọng tâm là G’ CMR: + 0AD BE CF+ + = uuur uuur uuur r . + Tìm điều kiện để 2 tam giác có cùng trọng tâm. Bài 14: ( Hệ thức hình bình hành) Cho hình bình hành ABCD tâm O. CMR: a) 0OA OB OC OD+ + + = uuur uuur uuur uuur r ; b) với I bất kì : 4IA IB IC ID IO+ + + = uur uur uur uur uur . C. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI: Bài 1: Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a. Tính độ dài các vectơ ., CBCABCBA +− Bài 2: cho hình thoi ABCD cạnh a. · 0 60BAD = , gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Tính: | AB AD+ uuur uuur | ; BA BC− uuur uuur ; OB DC− uuur uuur . Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính: AC BD− uuur uuur ; AB BC CD DA− − − uuur uuur uuur uuur . Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J là trung điểm của AC và BD. Hãy tính : IB ID JA JC+ + + uur uur uur uuur . D. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng: Bài 1. Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC. a) Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng. b) Gọi E, F thoả mãn : 1 3 ME MN= uuur uuuur , 1 3 BF BC= uuur uuur . CMR : A, E, F thẳng hàng. Bài 2. Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC. a) Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mãn 4EI = 3FI. CMR : A, M, I thẳng hàng. b) Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF. CMR A, J, N thẳng hàng. c) Lấy điểm K là trung điểm EF. Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hàng. 2 BÀI TẬP PHỤ ĐẠO 10 Bài 3. Cho tam giác ABC và M, N, P là các điểm thoả mãn : 3MB MC O− = uuur uuuur ur , 3AN NC= uuur uuur , PB PA O+ = uuur uuur ur . CMR : M, N, P thẳng hàng. ( 1 1 1 , 2 2 4 MP CB CA MN CB CA= + = + uuur uuur uuur uuuur uuur uuur ). Bài 4. Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mãn 2 ,LB LC= uuur uuur 1 2 MC MA − = uuuur uuur , NB NA O+ = uuur uuur ur . CM : L, M, N thẳng hàng. Bài 5. Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. I, J thoả mãn : 2 3IA IC O+ = uur uur ur , 2 5 3JA JB JC O+ + = uur uur uur ur . a) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm AB và BC. b) CMR J là trung điểm BI. c) Gọi E là điểm thuộc AB và thoả mãn AE k AB= uuur uuur . Xác định k để C, E, J thẳng hàng. Bài 6. Cho tam giác ABC. I, J thoả mãn : 2 , 3 2 = IA IB JA JC O= + uur uur uur uur ur . CMR : Đường thẳng IJ đi qua G. Bài 7: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM và K là một điểm trên cạnh AC sao cho AK = 3 1 AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng Bài 8: Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác đònh bởi các hệ thức OACNAABOMABC =−−=+ 3; . Chứng minh MN // AC. E. Phân tích vecto theo các vecto khác phương. Xác định vị trí một điểm thoả mãn một đẳng thức Vectơ: Bài 1: Cho 3 điểm A, B, C. Tìm vị trí điểm M sao cho : a) MB MC AB+ = uuur uuuur uuur b) 2MA MB MC O+ + = uuur uuur uuuur ur c) 2MA MB MC O+ + = uuur uuur uuuur ur d) 2MA MB MC O+ + = uuur uuur uuuur ur e) MA MB MC O+ − = uuur uuur uuuur ur f) 2MA MB MC O+ − = uuur uuur uuuur ur Bài 2: Cho tam giacù ABC có I, J , K lần lượt là trung điểm BC , CA , AB . G là trọng tâm tam giác ABC . D, E xác đònh bởi : AD = 2 AB và AE = 5 2 AC . Tính DE và DG theo AB và AC . Suy ra 3 điểm D,G,E thẳng hàng F. Trục tọa đợ và hệ trục tọa đợ Bài 1 : Cho tam giác ABC . Các điểm M(1; 0) , N(2; 2) , p(-1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác Bài 2 : Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1). Tìm m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng Bài 3 : Cho tam giác đều ABC cạnh a . Chọn hệ trục tọa độ (O; i ; j ), trong đó O là trung điểm BC, i cùng hướng với OC , j cùng hướng OA . a) Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC c) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 4 : Cho lục giác đều ABCDEF. Chọn hệ trục tọa độ (O; i ; j ), trong đó O là tâm lục giác đều , 3 BÀI TẬP PHỤ ĐẠO 10 i cùng hướng với OD , j cùng hướng EC . Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều , biết cạnh của lục giác là 6 . Bài 5:Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0). Tìm tọa độ điểm D nếu biết: a) AD uuur – 2 BD uuur + 3 CD uuur = 0 r b) AD uuur – 2 AB uuur = 2 BD uuur + BC uuur c) ABCD hình bình hành d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD Bài 6 :Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan bằng nhau AI = IJ = JB a) Tìm tọa độ của A, B b) Tìm tọa độ của điểm I’ đối xứng với I qua B c) Tìm tọa độ của C, D biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6) Bài 7: Cho a r =(2; 1) ; b r =( 3 ; 4) và c r =(7; 2) a) Tìm tọa độ của vectơ u r = 2 a r - 3 b r + c r b) Tìm tọa độ của vectơ x r thỏa x r + a r = b r - c r Tìm các số m ; n thỏa c r = m a r + n b r Bài 8 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(4 ; 0), B(8 ; 0), C(0 ; 4), D(0 ; 6), M(2 ; 3). a/ Chứng minh rằng: B, C, M thẳng hàng và A, D, M thẳng hàng. b/ Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng OM, AC và BD. Chứng minh rằng: 3 điểm P, Q, R thẳng hàng. Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1 ; 3), B(-2 ; 2). Đường thẳng đi qua A, B cắt Ox tại M và cắt Oy tại N. Tính diện tích tam giác OMN. Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho G(1 ; 2). Tìm tọa độ điểm A thuộc Ox và B thuộc Oy sao cho G là trọng tâm tam giác OAB. Bài 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-4 ; 1), B(2 ; 4), C(2 ; -2). a/ Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. b/ Tính chu vi của tam giác ABC. c/ Xác định tọa độ trọng tâm G và trực tâm H. Bài 12. Cho tam giác ABC với A(1 ; 2), B(5 ; 2), C(1 ; -3). a/ Xác định tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. b/ Xác định tọa độ điểm E đối xứng với A qua B. c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 13. Cho A(1 ; 3), B(5 ; 1). a/ Tìm tọa độ điểm I thỏa .0 =−+ IBIAIO b/ Tìm trên trục hồnh điểm D sao cho góc ADB vng. 4 . . CMR vơ i I bất kì : 2 3IA IB IN+ = uur uur uur c) Vơ i P sao cho 3PA PB= uuur uuur . CMR vơ i I bất kì : 3 2IA IB IP− = − uur uur uur Ba i 13: ( Hệ. . Ba i 12: ( Hệ thức trung i ̉m) Cho 2 i ̉m A và B. a) Cho M là trung i ̉m AB. CMR vơ i i ̉m I bất kì : 2IA IB IM+ = uur uur uuur b) Vơ i N sao