Lời nói đầu:Dùng đồng dư ta có thể giải được nhiều bài toán về phương trình nghiệm nguyên hóc búa,các bạn sau khi đọc xong phần này thật kĩ thì sẽ có phương pháp giải mới tốt hơn để giải phương trình nghiệm nguyên .Mong được mọi người góp ý nếu còn sai sót. I.Các ví dụ Ví dụ 1:CM phương trình sau không có nghiệm nguyên: Giải:Đặt x=z-1001.Phương trình trở thành: Hay nên nó không thể là số chính phương VD 2:Tìm các cặp số nguyên tố (p,q) thỏa mãn: Giải:Phương trình chỉ có 1 nghiệm là (7,3).Thật vậy,đầu tiên ta giả sử p và q khác 3.Khi đó, ,và .Nếu thì vế trái chia hết cho 3 ,mà vế phải lại không chia hết cho 3. Nếu p=3 thì ,điều đó là không thể Nếu q=3 ,ta được và p=7 VD 3:Xác định mọi số nguyên tố p thỏa mãn hệ pt sau có nghiệm nguyên x,y: (Olympic Đức) Giải:Số nguyên tố p phải tìm chỉ có thể là 7.Không mất tính tổng quát,giả sử x,y 0.Chú ý là số chẵn nên p 2 .Ngoài ra nên suy ra . Từ p lẻ và x<y<p,ta có x+y=p nên (2) p = 4x - 1 Vậy (1) x =0 hoặc x=2 thì p=-1 hoặc p=7 Tất nhiên,(-1)không phải số nguyên tố,nên p=7và (x,y)=(2,5) là nghiệm. II.Bài tập tự luyện 1)Chỉ ra rằng pt sau không giải được với x,y,z nguyên dương và z>1: (Olympic Hungari) 2)CM phương trình sau không có nghiệm nguyên: 3)Tìm các cặp số nguyên dương (x,y) thỏa mãn pt sau: 4)Cm phương trình sau không có nghiệm nguyên dương : ( IMO shortlist) 15)Tìm các cặp nghiệm nguyên dương thỏa mãn pt: p/s:Do thấy phần thặng dư bình phương cấp THCS chưa học đến nên mình bỏ qua. inhtoan 1 Jan 1 2009, 05:09 PM Tiếp theo là một phương pháp khác cũng được dịch từ cuốn cuat Titu.Phần này chắc sẽ gần gũi với các bạn hơn.Chúc các bạn học tốt Phương pháp phân tích Phương pháp này được phát biểu như sau,ta viết phương trình về dạng trong đó (nghĩa là các đa thức có hệ số là các số nguyên) và .Cho biết phân tích ra thừa số nguyên tố của a,ta có được các cách phân tích thành k số nguyên .Với mỗi cách phân tích như thế ,ta được một hệ các phương trình : Giải tất cả các hệ như thế ta được tập hợp nghiệm Chúng ta sẽ tìm hiểu phương pháp này qua các ví dụ sau VD 1.Tìm nghiệm nguyên của phương trình Giải: Viết phương trình trở về dạng _ Nếu (x+1)(y-1)=2,ta được hệ các phương trình sau: Giải các hệ trên ta thu được nghiệm của pt là (1,2);(-3,0);(0,3);(-2,-1) _Nếu (x+1)(y-1)=-2,ta nhận được hệ phương trình sau Và ta thu được các nghiệm là (1,0);(-3,2);(0,-1);(-2,3) Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là (1,2);(-3,0);(0,3);(-2,-1);(1,0);(-3,2);(0,-1);(-2,3). Ví dụ 2:Cho p và q là 2 số nguyên tố ,tìm nghiệm nguyên dương của pt sau: Giải: Phương trình đã cho tương đương với V“ ta cần tìm nghiệm nguyên dương của phương trình và p,q nguyên tố nên dẫn đến hệ phương trình sau Giải các hệ trên ta được nghiệm của pt đã cho là (1+pq,pq(1+pq)); (p(1+q),pq(1+q)0 ; (q(1+p),pq(1+p)) ; (p(p+q),q(p+q)) ; (2pq,2pq) ; (pq(1+q),p(1+q)) ; (pq(1+p),q(1+p)) ;(q(q+p),q(q+p)) ; (pq(1+pq),1+pq). Chú ý: Phương trình trong đó có nghiệm nguyên dương là Thật vậy ,phương trình trên tương đương với và có các ước nguyên dương là Ví dụ 3:Xác định các cặp nghiệm nguyên không âm (x,y) thỏa mãn phương trình sau Giải: Phương trình đã cho tương đương với Nghiệm của pt là(3,4);(4,3);(0,7);(7,0). Ví dụ 4:Tìm cặp nghiệm nguyên (x,y) của pt sau: 2 Giải: Đặt x=u+1,y=v+1,phương trình đã cho trở thành : Từ (1) ta có : Chỉ có hệ phương trình đầu và cuối có nghiệm là (0,1),(1,-6) và hoán vị dẫn đến (x,y)=(u+1,v+1) là (1,2), (2,-5)và hoán vị. Ví dụ 5:Tìm bộ ba số nguyên (x,y,z) thỏa mãn : trong đó p là số nguyên tố lớn hơn 3 Giải: Phương trình đã cho tương đương với Từ x+y+z>1,ta có x+y+z=p và .Ta có: .Không mất tính tổng quát ,chúng ta có thể giả sử .Nếu x>y>z,ta có: .V“ thế nên x=y=z+1 hay x- 1=y=z.Số nguyên tố p chỉ ở dạng 3k+1,3k+2.Trong trường hợp 1 nghiệm của pt là và các hoán vị .Ở trường hợp 2,nghiệm của pt là Bài tập tự rèn luyện 1)Cho p và q là 2 số nguyên tố.Tìm cặp nghiệm nguyên dương (x,y) thỏa mãn phương trình: 2)Tìm nghiệm nguyên dương của pt: 3)Giải pt nghiệm nguyên sau trong đó x là số nguyên tố: 4)Tìm các số nguyên a,b,c với 1<a<b<c thỏa mãn (a-1)(b-1)(c-1) là ước của abc-1. 5)Tìm các tam giác vuông với độ dài mỗi cạnh là số nguyên sao cho diện tích và chu vi của tam giác đó bằng nhau. 6)Giải hệ phương trình sau với x,y,z,u,v là các số nguyên hung0503 Jan 1 2009, 08:32 PM em có bài sau cho hệ pt x+my=2 và mx-2y=1 tìm số nguyên m để hệ pt có ngiệm duy nhất (x,y) là các số nguyên thật sự ở trường em ko cho học nhiều về đồng dư nên em rất lúng túng mong anh chị giúp đỡ inhtoan Jan 2 2009, 01:54 PM Trích dẫn(hung0503 @ Jan 1 2009, 08:32 PM) Cho hệ pt : Tìm số nguyên m để hệ pt có ngiệm duy nhất (x,y) là các số nguyên Bài này cơ bản thôi,giải kĩ một chút : Ta có: (3) (trường hợp y=0 thì x=2 nhưng không nguyên nên loại). (4) (trường hợp x=0 thì không nguyên nên loại). Từ (3) và (4) ta có: Coi pt (5) là pt với ẩn x,y là tham số.Để hệ pt có 1 nghiệm duy nhất thì pt (5) có 1 nghiệm x 3 .Khi đó . Thay x=1,y=-1 vào hệ pt ta tìm được m=-1 hung0503 Jan 3 2009, 10:09 AM dạ em rất cảm ơn anh, cách của anh rất dễ hiểu nhưng nếu em quy là thì phải làm thế nào ạ? em rất cảm ơn inhtoan Jan 6 2009, 09:45 PM Trích dẫn(hung0503 @ Jan 3 2009, 10:09 AM) nhưng nếu em quy là thì phải làm thế nào ạ? em rất cảm ơn Chưa hiểu câu hỏi .Hung0503 nêu hướng giải tiếp theo đi. hung0503 Apr 26 2009, 12:34 PM với mọi m em làm dc tới đây, sau đó đọc bài này trong sách bảo là tương tự và chỉ cần xét điều kiện ** xét trường hợp ta cũng dc m=-1 B 4)Cm phương trình sau không có nghiệm nguyên dương : ( IMO shortlist) Viết lại phương trình trên: * Mọi số tự nhiên có dạng 4k+3 đều có ít nhất 1 ước nguyên tố dạng 4t+3. * Mọi số có dạng không có ước nguyên tố dạng 4l+3. => Bài toán trên vô nghiệm. 4