Chuyên đề Lượng giác Chuyên đề LƯNG GIÁC (LTĐH) A) Các công thức lượng giác : 1) Hệ thức cơ bản : 2 2 2 2 2 2 sin x cosx (1) sin x cos x 1 (2) tan x (3) cot x cosx sin x 1 1 (4) tan x.cot x 1 (5) 1 tan x (6) 1 cot x cos x sin x + = = = = = + = + 2) Cung liên kết : • Cung đối : ( ) ( ) sin x sin x cos x cosx− = − − = ( ) ( ) tan x tan x cot x cot x− = − − = − • Cung bù : ( ) ( ) sin x sin x cos x cosxπ − = π − = − ( ) ( ) tan x tan x cot x cot xπ − = − π− = − • Cung phụ : sin x cosx cos x sin x 2 2 π π     − = − =  ÷  ÷     tan x cotx cot x tan x 2 2 π π     − = − =  ÷  ÷     • Cung hơn kém π : ( ) ( ) sin x sin x cos x cosxπ + = − π + = − ( ) ( ) tan x tan x cot x cot xπ + = π + = • Cung hơn kém π 2 : sin x cos x cos x sinx 2 2 π π     + = + = −  ÷  ÷     tan x cotx cot x tan x 2 2 π π     + = − + = −  ÷  ÷     3) Công thức cộng : ( ) ( ) ( ) sin a b sina cosb cosasin b cos a b cosacos b sinasin b tana tan b tan a b 1 tan atan b ± = ± ± = ± ± = m m 4) Công thức nhân đôi – nhân ba – hạ bậc : • Công thức nhân đôi : sin2a 2sin acosa= 2 2 2 2 2 cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a 2tan a tan2a 1 tan a = − = − = − = − • Công thức nhân ba : 3 sin3a 3sina 4sin a= − 3 cos3a 4 cos a 3cosa= − • Công thức hạ bậc : 2 2 1 cos2a 1 cos2a sin a cos a 2 2 − + = = 5) Công thức tính sinx, cosx, tanx theo x tan 2 : Chuyên đề Lượng giác Đặt x t tan ,x k2 2 = ≠ π + π , ta có : 2 2 2 2 2t 1 t 2t sin x cosx tan x 1 t 1 t 1 t − = = = + + − 6) Công thức biến đổi tích thành tổng : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 cosacosb cos a b cos a b 2 1 sinasin b cos a b cos a b 2 1 sina cosb sin a b sin a b 2   = − + +     = − − +     = − + +   7) Công thức biến đổi tổng thành tích : ( ) ( ) a b a b a b a b sina sin b 2sin cos sina sin b 2cos sin 2 2 2 2 a b a b a b a b cosa cos b 2cos cos cosa cos b 2sin sin 2 2 2 2 sin a b sin a b tana tan b tana tan b cosacos b cosacosb sina cosa 2 sin a sina cosa 2 sin a 4 4 + − + − + = − = + − + − + = − = − + − + = − = π π     + = + − = −  ÷  ÷     B) Phương trình lượng giác : 1) Phương trình lượng giác cơ bản : ( ) ( ) ( ) ( ) x k2 x k2 sin x sin k cosx cos k x k2 x k2 tan x tan x k k cot x cot x k k = α + π = α + π   = α ⇔ ∈ = α ⇔ ∈   = π− α + π = −α + π   = α ⇔ = α + π ∈ = α ⇔ = α + π ∈ ¢ ¢ ¢ ¢ Đặc biệt : sinx 0 x k sin x 1 x k2 sin x 1 x k2 2 2 cosx 0 x k cosx 1 x k2 cosx 1 x k2 2 tan x 0 x k tan x 1 x k tan x 1 x k 4 4 cotx 0 x k cotx 1 x k cotx 1 x k 2 4 4 π π = ⇔ = π = ⇔ = + π = − ⇔ = − + π π = ⇔ = + π = ⇔ = π = − ⇔ = π + π π π = ⇔ = π = ⇔ = + π = − ⇔ = − + π π π π = ⇔ = + π = ⇔ = + π = − ⇔ = − + π 2) Phương trình lượng giác cổ điển (bậc nhất đối với sinx và cosx) : Dạng : asin x bcosx c (a,b 0) + = ≠ Cách giải : Chia cả 2 vế pt cho 2 2 a b+ khi đó 2 2 2 2 2 2 a b c pt sin x cosx a b a b a b ⇔ + = + + + Ta có : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c c cos , sin ,pt sinx cos cosxsin sin x a b a b a b a b = ϕ = ϕ ⇔ ϕ + ϕ = ⇔ + ϕ = + + + + Chuyên đề Lượng giác Còn 2 cách khác, 1 cách là chia cả 2 vế cho a, 1 cách là đặt x t tan 2 = Quan trọng : Điều kiện để pt lượng giác cổ điển có nghiệm là : 2 2 2 a b c + ≥ 3) Phương trình lượng giác đẳng cấp : là phương trình lượng giác có bậc các số hạng bằng nhau hoặc bậc cách nhau 2 đơn vò. Ví dụ : PT có dạng : 2 2 asin x bsin xcosx ccos x d + + = là pt lượng giác đẳng cấp Cách giải : Chia 2 TH • TH1 : cosx 0 x k (k ) 2 π = ⇔ = + π ∈ ¢ . Thay vào pt nếu : 2 2 sin x 1: Nhận nghiệm x k 2 sin x 1: Loại nghiệm x k 2 π = = + π π ≠ = + π • TH2 : cosx ≠ 0. Chia cả 2 vế pt cho cos 2 x, ta được 1 pt bậc 2 theo tanx. Còn 1 cách khác : Nếu pt có dạng 2 2 asin x bsin x cosx ccos x d+ + = , ta còn có thể dùng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi để đưa pt về dạng cổ điển 4) Phương trình lượng giác đối xứng đối với sinx và cosx : là phương trình có chứa sinx ± cosx và sinxcosx : • Cách giải pt ( ) a sin x cosx bsin x cosx c+ + = : Đặt t sin x cosx 2 sin x thì t 2 4 π   = + = + ≤  ÷   Khi đó : 2 2 t 1 t 1 2sin x cos x sin x cosx 2 − = + ⇒ = . Thế vào được 1 pt bậc 2 theo t, giải pt bậc 2 theo t, (chỉ nhận nghiệm thỏa đk), rồi giải tiếp pt cơ bản • Cách giải pt ( ) a sin x cosx bsin x cosx c− + = : Đặt t sin x cosx 2 sin x thì t 2 4 π   = − = − ≤  ÷   Khi đó : 2 2 1 t t 1 2sin x cosx sin x cosx 2 − = − ⇒ = . Các chú ý khác : • Khi phương trình đề bài có tanx + cotx và tan 2 x + cot 2 x, ta giải bằng cách đặt t tan x cot x= + với điều kiện t 2≥ • Khi phương trình có 2 2 1 1 sin x và sin x sin x sin x + + , ta giải bằng cách đặt 1 t sin x sin x = + với đk t 2≥ • Khi phương trình có 2 2 1 1 cosx và cos x cosx cos x + + , ta giải bằng cách đặt 1 t cosx cosx = + với đk t 2≥ Bài tập giải phương trình lượng giác 1) x x 3 sin cos 2 2 2 + = 2) 2 2sin x 3 sin2x 3+ = 3) ( ) sin8x cos6x 3 sin6x cos8x− = + 4) 3 3 cos2x cosx 2sin x − = 5) ( ) ( ) 2 2 2sin x 3 3 sin x cosx 3 1 cos x 1+ + + − = − Chuyên đề Lượng giác 6) 2 2 x x 4sin 3 3 sinx 2 cos 4 2 2 + − = 7) 2 2 3sin x 5cos x 2cos2x 4sin2x 0+ − − = 8) ( ) 3 3 4 sin x cos x cosx 3sin x+ = + 9) ( ) sin2x 12 sinx cosx 12 0− − + = 10) 3 3 sin x cos x 1+ = 11) ( ) tan x cot x 2 sin x cos x+ = + 12) 3 2cos x cos2x sin x 0+ + = 13) ( ) ( ) 2cosx 1 2sin x cosx sin 2x sin x− + = − 14) 2 cos2x 1 cot x 1 sin x sin2x 1 tan x 2 − = + − + 15) ( ) ( ) 2 2 1 sin x cosx 1 cos x sin x 1 sin 2x+ + + = + 16) 2 2sin 2x sin7x 1 sin x+ − = 17) 2 x x sin cos 3 cosx 2 2 2   + + =  ÷   18) ( ) 6 6 2 cos x sin x sinx cosx 0 2 2sinx + − = − 19) x cot x sinx 1 tan x tan 4 2   + + =  ÷   20) 2 2 cos 3x cos2x cos x 0− = 21) 1 1 2 2 cos x cosx sinx 4 π   − = +  ÷   22) ( ) 2 x 2 3 cosx 2sin 2 4 1 2cosx 1 π   − − −  ÷   = − 23) 6 2 3cos4x 8cos x 2cos x 3 0− + + = 24) ( ) 2 2 tan x cot x 2 tan x cot x 6+ + + = 25) 2 2 1 1 4 sin x 4 sin x 7 0 sin x sin x     + − + − =  ÷  ÷     26) Xác đònh m để phương trình : ( ) 4 4 2 sin x cos x cos4x 2sin2x m 0+ + − − = có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0, 2 π       27) Tìm a để phương trình sau có nghiệm : 2sin x cosx 1 a sin x 2cosx 3 + + = − + . Chuyên đề Lượng giác Chuyên đề LƯNG GIÁC (LTĐH) A) Các công thức lượng giác : 1) Hệ thức cơ bản : 2 2 2 2 2 2 sin x. + + + Chuyên đề Lượng giác Còn 2 cách khác, 1 cách là chia cả 2 vế cho a, 1 cách là đặt x t tan 2 = Quan trọng : Điều kiện để pt lượng giác cổ điển có