Chun đề 21 QUỸ TÍCH (TÌM TẬP HỢP ĐIỂM) A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Các quỹ tích Để tìm quỹ tích mặt phẳng, người ta thường dựa vào quỹ tích Một số quỹ tích sau thường người thừa nhận quỹ tích bản: Quỹ tích 1: Quỹ tích điểm cách hai điểm A B cố định đường trung trực đoạn thẳng AB Quỹ tích 2: Quỹ tích điểm cách hai cạnh góc đường phân giác góc Quỹ tích 3: Quỹ tích điểm cách đường thẳng xy cố định khoảng a cho trước hai đường thẳng song song với xy cách xy khoảng a cho trước Quỹ tích 4: Quỹ tích điểm cách điểm O cố định khoảng R cho trước đường tròn có tâm O bán kính R Quỹ tích 5: Quỹ tích điểm nhìn đoạn thẳng AB cố định góc α không đổi ( 0° < α < 180° ) hai cung chứa góc α dựng đoạn thẳng AB Đặc biệt, α = 90° ta nhận Quỹ tích 5a: Quỹ tích điểm nhìn đoạn thẳng AB cố định góc vng đường tròn đường kính AB Các bước giải tốn quỹ tích Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) điểm M thỏa mãn tính chất τ hình H đó, ta phải chứng minh hai phần:  Phần thuận: Mọi điểm có tính chất τ thuộc hình H  Giới hạn Xem điểm M thuộc phần H1 hình H hay hình H  Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H thuộc phần H1 (nếu có giới hạn) có tính chất τ  Kết luận: Quỹ tích (tập hợp) điểm M có tính chất τ hình H (hoặc thuộc phần H1 ) B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Cho nửa đường tròn đường kính BC Một điểm A di động cho tam giác ABC có ba góc nhọn trọng tâm G tam giác nằm nửa đường tròn Tìm quỹ tích điểm A Giải Tìm cách giải  Nếu gọi BP, CQ đường trung tuyến, ta ln có AP = PC AQ = QB Nếu lấy E đối xứng với C qua B BP ln song song với AE, F đối xứng với B qua C CQ song song với AF, mà E, F cố định Khi G di động · EAF = 90° khơng đổi nên ta tìm điểm A di chuyển nửa đường tròn đường kính EF  Vì G trọng tâm tam giác ABC, gọi O trung điểm BC A, G, O thẳng hàng Mặt khác G trọng tâm nên OA = 3.OG không đổi Từ suy A di chuyển đường tròn ( O;3R ) Trình bày lời giải Phần thuận Cách Trên đường thẳng BC lấy hai điểm E, F cho B trung điểm CE, C trung điểm BF Ta có: EF = 3BC cố định (1) Gọi P Q giao điểm BG AC; CG AB CQ đường trung bình ∆ABF nên CQ / / AF BP đường trung bình ∆ACE nên BP / / AE · Mà CQ ⊥ BP nên AF ⊥ AE ⇒ EAF = 90° (2) Từ (1) (2), suy A di động đường tròn đường kính EF Cách Gọi O trung điểm BC ⇒ O cố định A, G, O thẳng hàng G trọng tâm ∆ABC nên OA = OG = kính BG Suy A di động đường tròn tâm O bán BG Giới hạn Do ∆ABC nhọn nên A di động cung nhỏ MN (trừ hai điểm M, N) Phần đảo Lấy điểm A biết thuộc cung nhỏ MN, gọi G giao điểm OA với nửa đường tròn đường kính BC ⇒ AO đường trung tuyến ∆ABC Ta có OG = 1 BG = OA ⇒ G trọng tâm ∆ABC Kết luận Vậy tập hợp điểm A cung nhỏ MN (trừ hai điểm M, N) Ví dụ Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định, BC dây cung Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = BC Gọi P giao điểm AC DO Tìm quỹ tích điểm P Giải Tìm cách giải Ta nghiên cứu tính chất điểm P Ta có AC PO hai trung tuyến ∆ABD , CP = ; lại có ·ACB = 90° nên AC BE = , E điểm cố định dựng PE / / CB (với E ∈ AB ) ·APE = 90° AB ·APE = 90° không đổi Như quỹ tích điểm P xác định Trình bày lời giải Phần thuận Nối AD, AC DO hai trung tuyến ∆ABD nên P trọng tâm tam giác, suy CP = AC Trên đoạn thẳng AB xác định điểm E cho Ta có BE = điểm E điểm cố định AB CP BE   =  = ÷ nên PE / / CB (định lý Ta-lét đảo) AC AB   · · ⇒ ·APE = ACB ⇒ APE = 90° Mà A; E hai điểm cố định nên tập hợp điểm P đường tròn có đường kính AE Phần đảo Lấy điểm P thuộc đường kính AE Gọi C giao điểm thứ hai tia AP với đường tròn (O) Gọi D giao điểm hai tia BC OP · Ta có ·ACB = 90°; APE = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy BC / / EP ⇒ Mà DP BE = DO BO BE BE BE DP = ⇒ = ⇒ = ⇒ = AB 2.BO BO DO ∆ABD có DO đường trung tuyến; DP = ⇒ P trọng tâm ∆ABD ⇒ AC đường DO trung tuyến ⇒ CD = CB Kết luận Vậy quỹ tích điểm P đường tròn đường kính AE Ví dụ Cho đường tròn ( O; R ) điểm P cố định nằm đường tròn) Dây cung AB thay đổi ln qua P Tiếp tuyến A B với đường tròn cắt M Tìm quỹ tích điểm M Giải Tìm cách giải Nhận thấy I giao điểm AB MO I thuộc đường tròn đường kính OP MI MO = R Do vậy, khai thác yếu tố không đổi này, ta nhận thấy H hình chiếu M đường thẳng OP OP.OH = R khơng đổi, suy H cố định Từ ta có lời giải Trình bày lời giải Phần thuận Gọi H hình chiếu M đường thẳng OP Gọi I giao điểm AB MO Suy AB ⊥ MO từ ta có ∆OHM : ∆OIP (g.g) ⇒ OM OH = ⇒ OM OI = OH OP (1) OP OI Mặt khác ∆OAM vuông A có: AI ⊥ MO nên OA2 = OM OI (2) Từ (1) (2) suy OH OP = OA2 ⇒ OH = R2 không đổi OP ⇒ M thuộc đường thẳng d vng góc với OP điểm H cách O khoảng cách OH = R2 OP Phần đảo Trên đường thẳng d lấy điểm M ′ Từ M ′ kẻ tiếp tuyến M ′A′, M ′B′ Đường thẳng A′B′ cắt M ′O I ′ Giả sử OH cắt A′B′ P′ Ta có OP′.OH = OI ′.OM ′ = R ⇒ OP′ = R2 ⇒ P′ ≡ P OH Kết luận Quỹ tích điểm M đường thẳng d vng góc với OP điểm H thỏa mãn OH = R2 OP Ví dụ Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định C điểm thuộc nửa đường tròn Ở phía ngồi tam giác ABC, vẽ hình vng BCDE ACFG Gọi Ax, By tiếp tuyến nửa đường tròn a) Chứng minh C di chuyển nửa đường tròn cho đường thẳng ED qua điểm cố định đường thẳng FG qua điểm cố định khác b) Tìm quỹ tích điểm E G C di chuyển nửa đường tròn cho c) Tìm quỹ tích điểm D F C di chuyển nửa đường tròn cho Giải a) Gọi K giao điểm Ax GF, I giao điểm By ED · · Ta có: BEI = BCA = 90° · · (góc có cạnh tương ứng vng góc) BE = BC EBI = CBA Do đó: ∆BEI = ∆BCA ⇒ BI = BA Mà By cố định, suy điểm I cố định Tương tự, K cố định Vậy C di chuyển nửa đường tròn (O) đường thẳng ED qua điểm I cố định đường thẳng GF qua điểm K cố định b)  Tìm quỹ tích điểm E Phần thuận Ta có B I cố định (chứng minh câu · a) mà BEI = 90° (vì BCDE hình vng) suy E thuộc nửa đường tròn đường kính BI (bên phải By) Phần đảo Lấy điểm E thuộc nửa đường tròn đường kính BI (bên phải By) Trên tia EI lấy điểm D cho ED = BE Dựng hình vng BEDC ⇒ BC = BE ( ) · · = 90° − CBI ; BA = BI (chứng minh câu a) Ta có ·ABC = EBD · ⇒ ∆ABC = ∆IBE (c.g.c) ⇒ ·ACB = IEB = 90° ⇒ C thuộc nửa đường tròn đường kính AB Kết luận Vậy quỹ tích điểm E nửa đường tròn đường kính BI (bên phải By)  Tìm quỹ tích điểm G Phần thuận Ta có A K cố định (chứng minh câu a) mà ·AGK = 90° (vì ACFG hình vng) suy G thuộc nửa đường tròn đường kính AK (bên trái Ax) Phần đảo Lấy điểm G thuộc nửa đường tròn đường kính AK (bên trái Ax) Trên tia GK lấy điểm F cho GA = GF Dựng hình vuông AGFC ⇒ AC = AG ( ) · · · = KAG = 90° − CAK ; BA = KA (chứng minh câu a) Ta có BAC ⇒ ∆ABC = ∆AKG (c.g.c) ⇒ ·ACB = ·AGK = 90° ⇒ C thuộc nửa đường tròn đường kính AB Kết luận Vậy quỹ tích điểm G nửa đường tròn đường kính AK (bên trái Ax) c)  Tìm quỹ tích điểm D Phần thuận Ta có ·ADI = 90° mà A, I cố định nên điểm D thuộc nửa đường tròn đường kính AI (bên trái AI) Phần đảo Lấy điểm D thuộc nửa đường tròn đường kính AI (bên trái AI) Dựng hình vng BCDE (thứ tự đỉnh theo chiều kim đồng hồ) Suy D, I, E thẳng hàng (vì DI, DE vng góc với AD) ( ) · · = 90° − CBI ; BA = BI (chứng minh câu a) Ta có ·ABC = EBD · ⇒ ∆ABC = ∆IBE (c.g.c) ⇒ ·ACB = IEB = 90° ⇒ C thuộc nửa đường tròn đường kính AB Kết luận Vậy quỹ tích điểm D nửa đường tròn đường kính AI (bên trái AI)  Tìm quỹ tích điểm F · Phần thuận Ta có BFK = 90° mà B, K cố định nên điểm F thuộc nửa đường tròn đường kính BK (bên phải BK) Phần đảo Lấy điểm F thuộc nửa đường tròn đường kính BK (bên phải BK) Dựng hình vng AGFC (thứ tự đỉnh theo chiều kim đồng hồ) Suy G, F, K thẳng hàng (vì GK, FK vng góc với BK) ( ) · · · = KAG = 90° − CAK ; BA = KA (chứng minh câu a) Ta có BAC ⇒ ∆ABC = ∆AKG (c.g.c) ⇒ ·ACB = ·AGK = 90° ⇒ C thuộc nửa đường tròn đường kính AB Kết luận Vậy quỹ tích điểm F nửa đường tròn đường kính BK (bên trái BK) ❤THƠNG BÁO KHẨN - Toán Học Sơ Đồ❤ @@@CHÀO MỪNG NĂM MỚI GIẢM GIÁ 50% TẤT CẢ CÁC DANH MỤC TÀI LIỆU Từ 21/12-31/12 Âm lịch @@@ ✍Facebook cũ Nhóm Tài liệu ( TOÁN WORD THCS VÀ THPT ) Chất - đẹp Word ✍đã bị bọn �♂vô phúc- vô hậu �♂chun nhìn ngó xem Facebook nhóm uy tín vào hack nick - hack nhóm ,,,Rồi đòi tiền chuộc để lấy lại nick nhóm( đăng lần trước )� Vậy lập Facebook - nhóm ✍thầy xem danh mục tài liệu chất - đẹp việc in dạy word chất đẹp đc nhiều thầy cô ghi nhận xuất thời gian qua Toán Học Sơ Đồ � ♀Thầy cần tài liệu (hỗ trợ phí) danh mục Alo - Zalo số cũ 0945943199 ♀ C BÀI TẬP VẬN DỤNG 21.1 Cho ba điểm A, B, C cố định nằm đường thẳng d (B nằm A C) Một đường tròn (O) thay đổi qua A B, gọi DE đường kính đường tròn (O) vng góc với d CD CE cắt đường tròn (O) M N Khi đường tròn (O) thay đổi hai điểm M N di động đường cố định nào? 21.2 Cho đường tròn (O; R) đoạn thẳng AB cố định nằm bên ngồi đường tròn (O) Gọi C điểm chuyển động đường tròn Tìm tập hợp trọng tâm G tam giác ABC 21.3 Cho đường tròn (O) nội tiếp hình vng PQRS OA OB hai bán kính thay đổi vng góc với Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đưnòg thẳng PQ, qua B kẻ đường thẳng By song song với đường thẳng SP Tìm quỹ tích giao điểm M Ax By 21.4 Cho đường tròn (O) dây BC cố định khơng qua tâm O, điểm A di chuyển cung lớn BC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC Gọi M trung điểm CD Hỏi M di chuyển đường nào? Nêu cách dựng đường giới hạn 21.5 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Điểm M chuyển động đường tròn Gọi H hình chiếu điểm M AB Tìm quỹ tích tâm I đường tròn nội tiếp tam giác OMH 21.6 Cho góc vng xOy điểm A cố định tia Ox, điểm B chuyển động tia Oy Dựng hình vng ABCD nằm góc xOy Tìm tập hợp giao điểm I hai đường chéo hình vng 21.7 Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự đường thẳng d Vẽ nửa đường tròn đường kính AB, AC thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ đường thẳng d Một điểm H chuyển động đoạn AB Đường thẳng vng góc với d H cắt hai nửa đường tròn nói D E Gọi M giao điểm hai đường thẳng DB EC Tìm quỹ tích điểm M 21.8 Cho đường tròn (O; R) tam giác cân ABC có AB = AC nội tiếp đường tròn (O; R) Kẻ đường kính AI Gọi M điểm cung nhỏ AC Gọi Mx tia đối tia MC Trên tia đối tia MB lấy điểm D cho MD = MC a) Chứng minh MA tia phân giác góc BMx b) Gọi K giao thứ hai đường thẳng DC với đường tròn (O) Tứ giác MIKD hình gì? Vì sao? c) Gọi G trọng tâm tam giác MDK Chứng minh M di động cung nhỏ AC G ln nằm đường tròn cố định 21.9 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C điểm nửa đường tròn M điểm chuyển động cung BC Gọi N giao điểm AM OC Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMB Tìm tập hợp điểm I HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ 21.1 Gọi H, K giao điểm CA với DE EM Do A, B, C cố định nên H c nh ả =H = 90 CMK ∆CHD có: M · góc chung DCH Vậy: ∆CMK : ∆CHD (g.g) ⇒ CK CM = CD CH ⇒ CK CH = CM CD (1) · ·  ∆CMB ∆CAD có: CMB (do tứ giác ABMD nội tiếp); ·ACD góc chung = CAD Vậy: ∆CMB : ∆CAD (g.g) ⇒ CM CB = ⇒ CM CD = CA.CB (2) CA CD Từ (1) (2) ⇒ CK CH = CA.CB ⇒ CK = CA.CB (không CH đổi) ⇒ K điểm cố định  Tam giác CDE có K trực tâm nên DN qua điểm K cố định · · Mà DME = DNE = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) · · ⇒ KMC = KNC = 90° Vậy: Khi đường tròn (O) thay đổi hai điểm M N di động đường tròn cố định đường kính CK, với CK = CA.CB CH 21.2 Phần thuận Gọi M trung điểm AB ⇒ M cố định Kẻ GO′ / / OC O′ ∈ OM Ta có G trọng tâm nên Ta có GO′ / / OC MG = MC Suy O′G MO′ MG O′G MO′ = = = = nên OG MO MC OC MO ⇒ MO′ = MO ⇒ O′ điểm cố định 1 ⇒ O′G = OC ⇒ O′G = R 3 Vậy điểm G thuộc đường tròn tâm O′ bán kính R Phần đảo Lấy G′ thuộc đường tròn tâm O′ bán kính R qua O kẻ đường thẳng song song với O′G′ cắt đường thẳng MG′ C ′ Ta có: O′G MO′ O′G = ⇒ = ⇒ OC ′ = 3.O′G = R ⇒ C ′ ∈ (O ) OC ′ MO OC ′ Kết luận Vậy tập hợp trọng tâm G tam giác ABC đường tròn tâm O′ bán kính R 21.3 Kí hiệu hình vẽ Phần thuận Ta có ·AOB = ·AMB = 90° (giả thiết) ⇒ tứ giác AOBM nội tiếp ⇒ ·AMO = ·ABO = 45° (vì ∆AOB vng cân O) Suy M nằm đường thẳng qua O tạo với đường PQ góc 45° Trường hợp B vị trí B′ M ′ nằm đường thẳng qua O tạo với PS góc 45° Giới hạn *) Khi A ≡ H M ≡ Q , A ≡ K M ≡ S *) Trường hợp B vị trí B′ : A ≡ H M ′ ≡ P , A ≡ K M ′ ≡ R Phần đảo Lấy M đường chéo SQ (hoặc M ′ PR), qua M kẻ đường thẳng song song với đường thẳng PQ cắt (O) A Kẻ bán kính OB ⊥ OA Ta thấy tứ giác AOBM nội tiếp (vì ·AMO = ·ABO = 45° ) Suy ra: ·AMB = ·AOB = 90° Mà AM / / PQ, PQ ⊥ PS ⇒ MB / / PS Kết luận Quỹ tích giao điểm M đường chéo hình vng PQRS · 21.4 Tam giác ACD cân A nên BAC = ·ADC (Góc BAC góc ngồi tam giác ACD) Gọi I trung điểm BC, ta có MI / / BD (đường trung bình tam giác BCD); nên 1· 1· α · · · IMC = BDC = BAC = BOC = ( α = BOC khơng đổi) 4 Do M chạy cung tròn nhìn IC góc α phía với điểm A đường thẳng BC không đổi Cách dựng Gọi I trung điểm BC Dựng tia OI cắt đường tròn (O) N, ta có: 1· · · · NBC = BAC = BDC = IMC Dựng tia IN ′ / / BN , dựng đường thẳng qua I vng góc với IN ′ cắt trung trực đoạn IC O1 Đường tròn tâm O1 qua C đường cần dựng Khi A chạy cung lớn BC tới trùng với B D trùng với D0 tiếp tuyến Bt (O) BD0 = BC Khi M trùng với M trung điểm CD0 Vậy M di chuyển cung lớn CM đường tròn (O1 ) 21.5 Phần thuận Xét với M thuộc đường tròn » cho ¼ AM < MB · · Ta có HMO + HOM = 90° (vì ∆HMO vng H) mà I tâm đường tròn nội tiếp ∆HMO 1· 1· · · + IOM = HMO + HOM = 90° = 45° Suy IMO 2 · ⇒ MIO = 135° · · ; OI chung ∆OIM ∆OIA có OM = OA ; MOI = AOI ⇒ ∆OIM = ∆OIA (c.g.c) · · ⇒ MOI = AIO = 135° mà OA cố định; ·AIO = 135° ⇒ I nằm cung chứa góc 135° dựng đoạn OA » Tương tự với M thuộc đường tròn cho ¼ AM > MB Phần đảo bạn đọc tự chứng minh Kết luận Vậy quỹ tích điểm I bốn cung chứa góc 135° dựng đoạn OA; OB 21.6 Phần thuận Tứ gíc AIBO tứ giác nội tiếp có ·AIB + ·AOB = 180° · · Suy IOB (hai góc nội tiếp chắn cung IB) = IAB · Do IOA = 45° nên OI tia phân giác góc AOB Vậy điểm I chạy tia phân giác góc xOy Giới hạn Vẽ hình vng AOC1 D1 nằm góc xOy Vì điểm B chạy tia phân Ox nên B trùng với O C trùng với C1 , I trùng với I1 giao điểm OD1 với AC1 Phần đảo Lấy điểm I ′ thuộc tia I1t Nối AI ′ Trên nửa mặt phẳng bờ AI ′ chứa điểm O, vẽ tia AB′ ( B′ thuộc Ox) cho I· ′AB′ = 45° Gọi C ′, D′ điểm đối xứng A B′ qua I ′ Chỉ cần chứng minh I ′ giao điểm hai đường chéo hình vng AB′C ′D′ Kết luận Tập hợp điểm I tia I1t thuộc tia phân giác Ot góc xOy 21.7 Phần thuận Đặt AB = R, AC = R′ R R′ độ dài không đổi Trong tam giác vuông ADB AEC, ta có: AD = AB AH = R AH ; AE = AC AH = R′ AH Từ suy AD AE = AH RR′ Tứ giác ADME nội tiếp đường tròn ·ADM + ·AEM = 180° Suy ·AMD = ·AED Từ ∆DAM : ∆HAE (g.g) Ta có: AD AM = AH AE Suy AM AH = AD AE = AH RR′ ⇒ AM = RR′ khơng đổi Từ điểm M chạy đường tròn tâm A bán kính RR′ Giới hạn Vì H chuyển động đoạn AB nên: - Khi H trùng với A D trùng với A, M trùng với M hình vẽ Khi H trùng với B M trùng với M hình vẽ Vậy nên H chạy cung M 1M Phần đảo Lấy điểm M ′ thuộc cung M 1M Các tia M ′B CM; cắt nửa đường tròn đường kính AB, AC D′, E ′ Các bạn tự chứng minh D′E ′ vng góc với AB Kết luận Quỹ tích M cung M 1M thuộc đường tròn tâm A bán kính 21.8 » a) ·AMB = sđAB (góc nội tiếp (O) chắn AB) » » ¼ sđABC sđAC sđAB ·AMx = 180° − AMC · = 180° − = = 2 · Vậy: ·AMB = ·AMx hay MA tia phân giác BMx · BMC · · b) Tam giác MCD cân ⇒ MCD (góc ngồi tam giác) = MDC = Lại có tam giác ABC cân ⇒ I điểm cung BC · BMC · · ⇒ IMC = IMB = · · Vậy MCD = IMC ⇒ IM song song với CD · · · MCD = MDC = BMI ⇒ BI = MK · · ⇒ MIK = IMB ⇒ IK / / MD Vậy MIKD hình bình hành c) D thuộc đường tròn ( A; AC ) Gọi NA = N điểm AI cho 2 AI ⇒ NG = AD = AC (hằng số) 3 ⇒ G thuộc đường tròn ( N ; AC ) » sđAC · 21.9 Phần thuận Ta có CMN = = 45° · · ⇒ CIN = 2.CMN = 90° (góc tâm đường tròn ( I ) ) · ∆ICN có IC = IN ; CIN = 90° RR′ · ⇒ ∆ICN vuông cân I ⇒ NCI = 45° · Mà NCI = 45° (vì ∆OBC cân) Suy C, I, B thẳng hàng Do I thuộc đường thẳng BC Giới hạn Khi M tiến tới B I tiến tới I1 ( I1 trung điểm đoạn thẳng BC) Khi M tiến tới C I tiến tới C Vậy I chuyển động đoạn thẳng I1C thuộc đoạn thẳng BC Phần đảo Lấy điểm I thuộc đoạn thẳng I1C Vẽ đường tròn ( I ; IC ) cắt OC N Gọi M giao điểm thứ hai đoạn thẳng AN với ( I ) · · · Ta có IC = IN ⇒ ∆ICN cân mà NCI = 45° ⇒ CNI = 45° ⇒ CIN = 90° 1· · = CIN = 45° Do CMN · · = CBA Ta có CMN ( = 45° ) ⇒ ACMB tứ giác nội tiếp ⇒ M thuộc nửa đường tròn (O) Kết luận Tập hợp điểm I đoạn thẳng CI1 (với I1 trung điểm đoạn thẳng BC)  ... Vậy tập hợp điểm A cung nhỏ MN (trừ hai điểm M, N) Ví dụ Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định, BC dây cung Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = BC Gọi P giao điểm AC DO Tìm quỹ tích. .. luận Vậy quỹ tích điểm P đường tròn đường kính AE Ví dụ Cho đường tròn ( O; R ) điểm P cố định nằm đường tròn) Dây cung AB thay đổi ln qua P Tiếp tuyến A B với đường tròn cắt M Tìm quỹ tích điểm... ln qua điểm cố định đường thẳng FG qua điểm cố định khác b) Tìm quỹ tích điểm E G C di chuyển nửa đường tròn cho c) Tìm quỹ tích điểm D F C di chuyển nửa đường tròn cho Giải a) Gọi K giao điểm