Đang tải... (xem toàn văn)
Mục tiêu của đề tài là nhằm giúp người đọc hiểu được nội dung, tính chất liên quan đến định lý Rolle, quy tắc dấu Descartes và một số phương pháp để xác định số nghiệm âm, dương của một đa thức. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THANH DIỆU ĐỊNH LÝ ROLLE, QUY TẮC DẤU DESCARTES VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2015 Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS PHAN ĐỨC TUẤN Phản biện 1: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 2: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ Khoa học họp Đại Học Đà Nẵng vào ngày 27 tháng năm 2015 Có thể tìm hiểu Luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Đa thức tốn liên quan ln đóng vai trò quan trọng tốn học khơng đối tượng nghiên cứu trọng tâm đại số mà cơng cụ đắc lực giải tích lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết nội suy, lý thuyết biểu diễn, tối ưu Đặc biệt toán khảo sát số nghiệm thực đa thức với hệ số thực vấn đề quan tâm nhiều hệ nhà toán học Những kết theo hướng Descartes quy tắc dấu để xác định số nghiệm âm, dương đa thức thực dựa vào phân bố dấu dãy hệ số đa thức cho Bên cạnh Định lý Rolle số mở rộng (Định lý Lagrange, Định lý Cauchy) định lý quan trọng giá trị trung bình chương trình giải tích cổ điển Ứng dụng định lý chương trình tốn trung học phổ thơng đa dạng phong phú, đặc biệt dạng toán giải phương trình, biện luận số nghiệm phương trình khoảng, chứng minh bất đẳng thức Trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic quốc tế tốn đa thức, phương trình vấn đề liên quan đề cập nhiều xem dạng tốn khó bậc trung học phổ thơng Các tốn liên quan đến đa thức phương trình nằm chương trình thi Olympic sinh viên trường đại học cao đẳng nước Giải tích Đại số Với lý qua khả tìm hiểu, nghiên cứu chúng tơi lựa chọn đề tài: “Định lý Rolle, quy tắc dấu Descartes ứng dụng” làm luận văn tốt nghiệp bậc cao học Mục tiêu nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài nhằm giúp người đọc hiểu nội dung, tính chất liên quan đến định lý olle, quy tắc dấu escartes số phương pháp để xác định số nghiệm âm, dương đa thức Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài đa thức với dãy hệ số thực Phạm vi nghiên cứu đề tài định lý olle, quy tắc dấu escartes ứng dụng Phƣơng pháp nghiên cứu Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến định lý olle quy tắc dấu escartes Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Bố cục đề tài Luận văn chia thành hai chương: Ở chương giới thiệu khái niệm, tính chất đổi dấu vị trí đổi dấu dãy, trình bày định lý olle, quy tắc dấu Descartes Đến chương trình bày tốn liên quan đến định lý olle quy tắc dấu escartes Tổng quan tài liệu nghiên cứu Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến định lý olle, quy tắc dấu escartes ứng dụng thực tế qua ví dụ, tập áp dụng, nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu định lý olle quy tắc dấu Descartes Chứng minh chi tiết định lí làm rõ số tính chất, đưa số ví dụ minh họa nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập CHƢƠNG ĐỊNH LÝ ROLLE VÀ QUY TẮC DẤU DESCARTES 1.1 CÁC KHÁI NIỆM VỀ SỰ ĐỔI DẤU CỦA DÃY Trong luận văn này, nói đến đa thức, chuỗi luỹ thừa hay dãy số ta xét chúng số thực Tiếp đó, khơng nói ngược lại, hàm đưa vào giả thiết giải tích khoảng nêu Tuy nhiên định lý khẳng định cần thay đổi khơng lớn chí hồn tồn khơng cần thay đổi thay giả thiết giả thiết yếu hơn, chẳng hạn với đòi hỏi tồn đạo hàm đến cấp Khắp nơi sau, khơng điểm tính theo bội Và để thuận tiện cho việc lập luận, ta quy ước số số chẵn Ta cần xét số khái niệm sau: Định nghĩa 1.1 [7] Không điểm hàm số y f ( x) điểm x0 mà hàm số triệt tiêu f ( x0 ) Định nghĩa 1.2 [7] Cho dãy a0 , a1 , a2 , gồm hữu hạn hay vô hạn số hạng Chỉ số m gọi vị trí đổi dấu dãy có am1am , (m 1) am1 am2 amk 1 amk am , (m k 2) Trong trường hợp thứ am 1 am , trường hợp thứ hai am k am lập thành vị trí đổi dấu Định nghĩa 1.3 [7] Hàm f ( x) gọi trì dấu khoảng (a; b) f ( x) f ( x) , x (a; b) Giả sử khoảng (a; b) chia thành Z khoảng cho: a f ( x) không đồng triệt tiêu khoảng b Trong khoảng f ( x) trì dấu c Trong hai khoảng kề f ( x) có dấu ngược Khi ta nói khoảng (a; b) hàm f ( x) có Z lần đổi dấu Nhận xét 1.1 Khi vượt qua khơng điểm bậc lẻ, hàm giải tích bị thay đổi dấu vượt qua khơng điểm bậc chẵn khơng đổi dấu Định nghĩa 1.4 [7] Ta gọi đổi dấu vị trí đổi dấu đa thức a0 a1 x an1 xn1 an x n , chuỗi luỹ thừa a0 a1 x an1 x n1 an x n , đổi dấu vị trí đổi dấu dãy hữu hạn vô hạn hệ số a0 , a1 , a2 , , an , tương ứng a0 , a1 , a2 , 1.2 CÁC TÍNH CHẤT VỀ SỰ ĐỔI DẤU CỦA DÃY VÀ HÀM Tính chất 1.1 [7] Số vị trí đổi dấu dãy khơng thay đổi số hạng bỏ số hạng lại bảo tồn vị trị tương hỗ Tính chất 1.2 [7] Các dãy a0 , a1 , a2 , , an an , an1 , , a1 , a0 có số vị trí đổi dấu Tính chất 1.3 [7] Khi gạch bỏ số hạng dãy, số vị trí đổi dấu khơng tăng thêm Tính chất 1.4 [7] Khi đặt vào số hạng dãy số lượng tùy ý số hạng 0, số vị trí đổi dấu dãy khơng thay đổi Tính chất 1.5 [7] Số vị trí đổi dấu dãy không thay đổi bên cạnh số hạng dãy, ta đặt số hạng có dấu với số hạng Tính chất 1.6 [7] Nếu p0 , p1 , p2 , dãy a0 , a1 , a2 , a0 p0 , a1 p1 , a2 p2 , , có vị trí đổi dấu Tính chất 1.7 [7] Dãy a0 , a1 a0 , a2 a1 , , an an1 , an có số vị trí đổi dấu khơng lớn so với dãy a0 , a1 , a2 , , an Tính chất 1.8 [7] Nếu dãy vơ hạn a0 , a1 , a2 , , an , có số hữu hạn W vị trí đổi dấu dãy tạo nên nhờ dãy cho: n n a0 , a0 a1 , a0 2a1 a2 , , a0 a1 a2 an , , 1 2 có số hữu hạn vị trí đổi dấu số khơng lớn W Tính chất 1.9 [7] Trong khoảng mà khắp nơi ( x) , hàm f ( x) f ( x) ( x) có khơng điểm Tính chất 1.10 [7] Cho hàm f ( x) liên tục khoảng a, b , a, b không không điểm hàm f ( x) Khi i Nếu f (a) f (b) f ( x) chứa số lẻ không điểm khoảng a, b ii Nếu f (a) f (b) f ( x) chứa số chẵn không điểm khoảng a, b Tính chất 1.11 [7] Giả sử a j , ak khác ( j k ) Khi đó: i Nếu a j ak dấu dãy số hữu hạn a j , a j 1 , , ak 1 , ak có số chẵn vị trí đổi dấu ii Nếu a j ak trái dấu dãy số hữu hạn a j , a j 1 , , ak 1 , ak có số lẻ vị trí đổi dấu Tính chất 1.12 [7] Nếu j k vị trí đổi dấu kề dãy a0 , a1 , a2 dãy hiệu số a j 1 a j , a j a j 1 , , ak ak 1 , ak 1 ak có số lẻ vị trí đổi dấu (do có lần đổi dấu) Tính chất 1.13 [7] Nếu dãy số a0 , a1 , , an , có W vị trí đổi dấu dãy hiệu lập thành từ dãy a1 a0 , a2 a1 , , an an1 , có W vị trí đổi dấu Tính chất 1.14 [7] Nếu dãy hữu hạn a0 , a1 , , an , có W vị trí đổi dấu dãy tạo nên từ theo cách sau a0 , a1 a0 , a2 a1 , , an an1, , an , có khơng W vị trí đổi dấu (loại trừ trường hợp tầm thường số hạng dãy 0) Tính chất 1.15 [7] Nếu đa thức P( x) P( x) có số vị trí đổi dấu Tính chất 1.16 [7] Giả sử dãy vô hạn a0 , a1 , a2 , , an , có W vị trí đổi dấu Khi dãy a0 , a1 a0 , a2 a1 , , an an1 , , 10 1.3 ĐỊNH LÝ ROLLE VÀ CÁC HỆ QUẢ Cơ sở định lý Rolle dựa vào hai định lý Weierstrass hàm liên tục khẳng định f liên tục đoạn [a; b] phải đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn định lý Fermat điểm cực trị hàm khả vi khẳng định hàm g ( x) liên tục đoạn [a; b] , khả vi (a; b) đạt cực trị (cực đại cực tiểu) điểm khoảng đạo hàm điểm Định lý 1.1 [2] (Định lý Rolle) Giả sử f hàm liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm x (a; b) Nếu f (a) f (b) tồn điểm c (a; b) cho f (c) Nhận xét 1.2 Định lý Rolle khơng khoảng (a; b) có điểm c mà f (c) khơng tồn Chẳng hạn, xét hàm f ( x) x , x [ 1;1] Dễ thấy f ( x) thoả mãn điều kiện: f ( x) liên tục (1;1) f ( x) 3 x f (1) f (1) Ta xét đạo hàm , rõ ràng x0 (1;1) đạo hàm không tồn tại, nên hàm số không thoả mãn đủ điều kiện định lý Rolle Điều kiện liên tục đoạn [a; b] hàm f ( x) thay đổi điều kiện f ( x) liên tục khoảng (a; b) Chẳng hạn, xét hàm 11 x0 1, f ( x) 0, x Ở x điểm gián đoạn Khi đó, rõ ràng không tồn x0 (0;1) để f ( x0 ) Ý nghĩa hình học: Nếu điều kiện định lý olle thoả mãn đồ thị hàm số y f ( x) , x [a; b] tồn điểm M (c; f (c)) , c (a; b) mà tiếp tuyến song song với trục hồnh Ox Hệ 1.1 Nếu hàm số f ( x) có đạo hàm khoảng (a; b) phương trình f ( x) có n nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a; b) phương trình f ( x) có n nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a; b) (Phương trình f ( k ) ( x) có n k nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a; b) , với k 1,2,3, , n ) Nhận xét 1.3 - Kết thay khoảng (a; b) nửa khoảng (a; b] , [a; b) hay đoạn [a; b] điểm x1 - Nếu hàm f ( x) đa thức bậc n có n nghiệm thực f ( x) có n nghiệm thực Hệ 1.2 Giả sử hàm số f ( x) liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm khoảng (a; b) Khi phương trình f ( x) có khơng q n nghiệm phân biệt (a; b) phương trình f ( x) có khơng q n nghiệm phân biệt khoảng 12 Hệ 1.3 Nếu lim f ( x) f ( x) có số lượng không x điểm khoảng (a; ) khơng so với f ( x) khoảng Kết thay Hệ 1.4 Giả sử hàm f ( x) có N khơng điểm (0; ) Khi hàm f ( x) f ( x), , có N khơng điểm khoảng Hơn nữa, thoả mãn điều kiện lim e x f ( x) 0, x hàm nêu có N khơng điểm Định lý 1.2 [5] Giả sử f hàm liên tục [a; ) , có đạo hàm (a; ) lim f ( x) f (a) Khi tồn số x thực c a cho f (c) Định lý 1.3 [2] Cho hàm số y f ( x) liên tục đoạn [a; b] F ( x) nguyên hàm f ( x) đoạn Nếu tồn số thực x1 , x2 [a; b] với x1 x2 cho F ( x1 ) F ( x2 ) phương trình f ( x) có nghiệm đoạn [x1 ; x2 ] (hay có nghiệm đoạn [a; b] ) Định lý 1.4 [2] (Định lý Lagrange) Giả sử f hàm liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm điểm khoảng (a; b) Khi tồn điểm c ( a; b) cho 13 f (b) f (a) f (c)(b a) Nhận xét 1.4: - Ta thu định lý Lagrange hệ Định lý Rolle Thế Định lý Rolle (về dạng biểu thức) lại trường hợp riêng Định lý Lagrange (ứng với giả thiết f (a) f (b) ) - Ý nghĩa hình học: Nếu hàm f ( x) thoả mãn đầy đủ điều kiện Định lý Lagrange đồ thị hàm số y f ( x) phải tồn điểm M (c; f (c)) cho tiếp tuyến với đồ thị điểm song song với dây cung AB , A(a; f (a)) B(b; f (b)) Định lý 1.5 (Định lý Cauchy) Giả sử f , g liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm điểm khoảng (a; b) , g ( x) với x (a; b) Khi tồn điểm c (a; b) cho f (b) f (a) f (c) g (b) g (a) g (c) Nhận xét 1.5 Định lý Lagrange trường hợp riêng Định lý Cauchy với giả thiết g ( x) x 1.4 QUY TẮC DẤU DESCARTES Việc tìm mối liên hệ số vị trí đổi dấu đa thức số khơng điểm kết lý thú Kết giúp ước lượng số nghiệm đa thức, đặc biệt 14 đa thức bậc cao mà phương pháp thơng thường khó ước lượng số nghiệm Quy tắc dấu Descartes giúp giải vấn đề Định lý 1.6 [7] (Quy tắc dấu Descartes) Giả sử N số không điểm dương đa thức P( x) an xn an1 xn1 a1 x a0 , W số lần đổi dấu dãy hệ số Khi đó: i W N ii W N số chẵn 15 CHƢƠNG NHỮNG ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ ROLLE VÀ QUY TẮC DẤU DESCARTES 2.1 ƢỚC LƢỢNG SỐ KHƠNG ĐIỂM CỦA ĐA THỨC, CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM 2.1.1 Sử dụng quy tắc dấu Descartes Chúng ta sử dụng quy tắc dấu escartes để xét số nghiệm dương đa thức f ( x) an xn an1 xn1 a1 x a0 , thông qua số lần đổi dấu dãy hệ số đa thức Từ đó, muốn xác định số khơng điểm âm đa thức ta đặt g ( x) f ( x) , số khơng điểm âm đa thức f ( x) số khơng điểm dương đa thức g ( x) Đồng thời khảo sát số kết số không điểm đa thức khoảng nửa khoảng Chẳng hạn, để xét số không điểm đa thức f ( x) an xn an1 xn1 a1 x a0 , khoảng (1;1) ta dùng phép đổi biến phân tuyến tính 1 x t t 0 1 x Xem t hàm số biến số x 16 t , x (1;1) (1 x) Vậy hàm số t đồng biến khoảng (1;1) có tập giá trị (0; ) Vì vậy, với t (0; ) ln tìm giá trị x (1;1) Ta có x t 1 t 1 o f ( x) f ( n t 1 t 1 k ) ak ( ) t k 0 t Xét hàm số g (t ) (t 1)n f ( n t 1 ) ak (t 1)k (t 1)n k t k 0 Dễ thấy số không điểm x (1;1) đa thức f ( x) số không điểm dương đa thức g (t ) Xét số không điểm dương g (t ) suy số không điểm x (1;1) đa thức f ( x) Tương tự ta xét số không điểm đa thức f ( x) an xn an1 xn1 a1 x a0 , nửa khoảng đoạn dạng [ 1;1), (1;1], [ 1;1] Cũng vậy, để xét số không điểm đa thức f ( x) khoảng (a; b) tuỳ ý, ta thực phép đổi biến x a b a b t , t (1;1) 2 17 Ta có n n k 0 k 0 f ( x) ak x k ak ( a b a b k t) 2 Khi để xét số nghiệm f ( x) (a; b) ta xét số nghiệm n g (t ) ak ( k 0 n a b a b k t ) bk t k , 2 k 0 k bk ak Ckj ( j 0 b a j a b k j ) ( ) 2 Để xét số không điểm đa thức n f ( x) ak x k , k 0 (a; ) ta tiến hành thực phép đổi biến x a t t (0; ) dẫn đến xét không điểm dương đa thức n n k k 0 k 0 j 0 g (t ) ak (t a)k (ak Ckj a n j )t k Sau ta xét ví dụ cụ thể Ví dụ 2.1 Chứng minh đa thức f ( x) x x x x x , có hai nghiệm dương nghiệm âm Ví dụ 2.2 Xác định số nghiệm đa thức sau (0;2) 18 f ( x) x x x x , Ví dụ 2.3 Chứng minh đa thức f ( x) x4 x3 28x2 37 x 19, có hai nghiệm x (2; ) Ví dụ 2.4 Tính số nghiệm thực phương trình f ( x) 15x2005 14 x 2004 2003 Ví dụ 2.5 (Singapore,78) Với đa thức P( x) bậc n số a b thoả mãn bất đẳng thức P(a) 0, P(a) 0, ,(1) n P( n) (a) 0, P(b) 0, P(b) 0, , P( n) (b) 0, chứng minh tất nghiệm thực đa thức P( x) thuộc (a; b) Ví dụ 2.6 (CH C Đức, 83) Chứng minh phương trình f ( x) x4 5x3 x x 16 0, có hai nghiệm Ví dụ 2.7 (IMO 33-1992) Cho đa thức f ( x) với hệ số hữu tỉ, số thực thoả: ( f ( ))3 f ( ) 331992 Chứng minh rằng: ( f n ( ))3 f n ( ) 331992 , f n ( x) f [ f n1 ( x)] 2.1.2 Sử dụng định lý Rolle 19 Ví dụ 2.8 Cho a, b, c m số dương tuỳ ý thoả mãn biểu thức a b c m m 1 m Chứng minh phương trình ax2 bx c có nghiệm thuộc (0;1) Ví dụ 2.9 Cho số thực a1 , a2 , an Chứng minh phương trình a1cosx a2cos2 x ancosnx ln có nghiệm Ví dụ 2.10 Chứng minh phương trình 2( x2 x 2)cos x (1 x)sin2 x có ba nghiệm phân biệt (1;2) Ví dụ 2.11 (Olympic SV, 94) Cho 2n số nguyên dương ak , bk (k 0,1, , n) Chứng minh phương trình: n f ( x) x (ak sinkx bk coskx) k 1 có nghiệm khoảng ( ; ) 2.2 GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƢƠNG TRÌNH Đối với dạng tập hệ định lý Rolle tỏ công cụ mạnh để giải toán Kỉ thuật để giải số toán phần sau: - Biến đổi phương trình cần giải dạng f ( x) 20 - Xét hàm số y f ( x) Tìm số nghiệm phương trình f ( x) Giả sử phương trình f ( x) có n nghiệm Khi theo Hệ 1.2 phương trình f ( x) có khơng q n nghiệm - Chỉ nghiệm phương trình Ví dụ 2.12 Biện luận số nghiệm phương trình 2x x2 Ví dụ 2.13 Giải phương trình (1 sinx)(2 4sinx ) 3.4sinx Ví dụ 2.14 Giải phương trình 2010cosx 2009 cosx cosx Ví dụ 2.15 Giải phương trình 3x x log3 (1 x) Ví dụ 2.16 (Tốn học Tuổi trẻ số 305) Hỏi phương trình x2 100sinx có nghiệm đoạn [2 ;3 ] ? 2.3 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 2.17 (Olympic Nga) Cho đa thức f ( x) a0 xn a1 xn1 an1 x an , a0 có n nghiệm phân biệt Chứng minh: (n 1)a12 2na0 a2 Ví dụ 2.18 (CH C Đức, 70) Cho a, b, c, d dương khác đôi Chứng minh rằng: 21 abc abd acd bcd ab ac ad bc bd cd Ví dụ 2.19 Cho a b c Chứng minh rằng: a b c a b c ab bc ca a a b c a b c ab bc ca c Ví dụ 2.20 Cho a, b, c ba số mà phương trình x3 ax2 bx c có ba nghiệm phân biệt Chứng minh: 27c 2a3 9ab (a 3b)3 2.4 MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC Ví dụ 2.21 (Olympic SV, 01) Chứng minh tồn số thực x (0;1) cho t 2000 dt x 2001 x (1 t )(1 t ) (1 t 2001 ) (1 x)(1 x2 ) (1 x2001 ) Ví dụ 2.22 Cho f liên tục [a; b] , f (a) f (b) có đạo hàm cấp hai Chứng minh với c (a; b) tồn (a; b) cho: f (c) (c a)(c b) f ( ) Ví dụ 2.23 Chứng minh phương trình x3 6(b a) x2 11bx 6a 18 , 22 có nghiệm dương a (a b)(b 1) Ví dụ 2.24 Cho ba số thực x, y, z thoả mãn: x y z ( x 1)( y z ) yz xyz yz Tìm giá trị lớn biểu thức: Q x 9( y 1) 9( z 1) Ví dụ 2.25 (Tiệp khắc, 59) Chứng minh số a, b, c thoả mãn đẳng thức a b c ab bc ca abc 0, số dương Ví dụ 2.26 Cho f liên tục [a; b] , có đạo hàm khoảng (a; b) thoả f (a) f (b) f ( x) 0, x (a; b) Với k số thực cho trước, chứng minh tồn dãy ( xn ) với ( xn ) (a; b) cho: lim f ( xn ) ( e 1) f ( xn ) n k 23 KẾT LUẬN Luận văn “Định lý Rolle, quy tắc dấu Descartes ứng dụng” nhằm giới thiệu số ứng dụng quy tắc dấu escartes Định lý Rolle tập số thực, chủ yếu nghiên cứu số dạng toán thường gặp chương trình phổ thơng Luận văn đạt số kết cụ thể sau: - Nghiên cứu tài liệu khác trình bày lại số định nghĩa tính chất liên quan đến đổi dấu dãy, Định lý olle quy tắc dấu escartes, chứng minh chặt chẽ định lý liên quan - Giới thiệu số phương pháp cụ thể để tìm nghiệm đa thức - Áp dụng lý thuyết để đưa lời giải hoàn chỉnh cho số tốn có liên quan, từ làm rõ tính hiệu định lý Rolle quy tắc dấu Descartes Với tìm hiểu được, hy vọng luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân cơng tác giảng dạy sau hy vọng luận văn nguồn tư liệu tốt cho quan tâm đến vấn đề Tuy nhiên thời gian khả nghiên cứu chúng tơi có hạn nên luận văn chưa có điều kiện để nghiên cứu ứng dụng Định lý Rolle tốn hình học, mở rộng Định lý Rolle tập số phức… 24 Mặc dù cố gắng, thời gian khả có hạn nên chắn luận văn có thiếu sót Vì chúng tơi mong nhận nhiều ý kiến đóng góp q thầy cơ, bạn bè, đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện ... ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ ROLLE VÀ QUY TẮC DẤU DESCARTES 2.1 ƢỚC LƢỢNG SỐ KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐA THỨC, CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM 2.1.1 Sử dụng quy tắc dấu Descartes Chúng ta sử dụng quy tắc dấu. .. chứng minh tồn dãy ( xn ) với ( xn ) (a; b) cho: lim f ( xn ) ( e 1) f ( xn ) n k 23 KẾT LUẬN Luận văn Định lý Rolle, quy tắc dấu Descartes ứng dụng nhằm giới thiệu số ứng dụng quy tắc. .. Descartes quy tắc dấu để xác định số nghiệm âm, dương đa thức thực dựa vào phân bố dấu dãy hệ số đa thức cho Bên cạnh Định lý Rolle số mở rộng (Định lý Lagrange, Định lý Cauchy) định lý quan trọng