Kỳ thi chọn HS dự thi HSG sơ tuyển tỉnh Năm học : 2006-2007 Môn thi : Toán Khối : 9 Thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian giao đề Bài 1: Cho ba số a,b,c Z thoả mãn điều kiện ab+bc+ca=2006 CMR : A=(a 2 +2006)(b 2 +2006)(c 2 +2006) là số chính phơng Bài 2: a, Tìm tất cả các cặp số nguyên (x,y) thoả mãn phơng trình : 2x 2 -2xy = 5x+y-19 b, Giải phơng trình: (2x 2 -x+1)(2x 2 +3x+1) =5x 2 Bài 3: Cho a,b,c là ba số dơng.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= ba c ac b cb a 323232 3 + + + + + Bài 4: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Vẽ qua G một đờng thẳng xy cắt hai cạnh AB,AC lần lợt tại M và N ( M,N không trùng với A) a, CMR : 3 =+ AN AC AB AM b, Gọi S và S lần lợt là diện tích của tam giác ABC và tam giác AMN . CMR : S 9 4 S K x D H G A M A B C y N I H Bài giải : Bài 1: Từ giả thiết ab+bc+ca=2006 suy ra a 2 +2006= a 2 + ab+bc+ca =(a+b)(a+c) Tơng tự : b 2 +2006=(b+c)(c+a) ; c 2 +2006=(a+b)(b+c) A=(a 2 +2006)(b 2 +2006)(c 2 +2006) = (a+b)(a+c)(b+c)(c+a)(a+b)(b+c)= = [ (a+b)(a+c)(b+c) ] 2 là số chính phơng Bài 2:a) Từ PT : 2x 2 -2xy = 5x+y-19 2x 2 -2xy - 5x-y+19=0 2x(x-y)+(x-y)-6x+19=0 (x-y)(2x+1)-3(2x+1)+22=0 (2x+1)(x-y-3)+22=0 (2x+1)(y+3-x)=22 Do 2x+1 số lẻ suy ra =+ =+ 223 112 xy x = = 19 0 y x hoặc = = =+ =+ 4 5 23 1112 y x xy x Vậy phơng trình có nghiệm (0;19), (5;4) b) Đặt 2x 2 +x+1=y ta có (y-2x)(y+2x)=5x 2 y 2 - 4x 2 =5x 2 y 2 -9x 2 =0 (y-3x)(y+3x)=0 y=3x hoặc y=-3x Với y=3x thay vào ta có 2x 2 +x+1=3x 2x 2 -2x+1=0 Với y=-3x thay vào ta có 2x 2 +x+1=-3x 2x 2 +4x+1=0 Bài 3: Ta có ( ba c ac b cb a 323232 + + + + + ) ( ) [ ] )32()32(32 bacacbcba +++++ = + + + + + 222 323232 ba c ac b cb a . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 222 )32()32(32 cbabacacbcba ++ +++++ ( Bunhiacopxki) Ta lại có 3 )( 2 cba cabcab ++ ++ suy ra P 5 3 3 ).(5 )( 2 2 = ++ ++ cba cba Dấu = xảy ra khi cbabaaccb ac ba c acb ac b cba cb a ==+=+=+ + + = + + = + + 323232 )32( 32 )32( 32 )32( 32 Vậy MinP = 5 3 khi a=b=c Bài 4: a) Kẻ BH//xy, CI//xy . Gọi D là giao của AG và BC thì D là trung điểm của BC BHD=CID(c.g.c) nên DH=DI Theo Ta let ta có AG AI AN AC AG AH AM AB == ; Suy ra AG AD AG AIAH AG AI AG AH AN AC AB AM 2 = + =+=+ 3 3 2 2 == AD AD b) Kẻ BK và MH vuông góc AC S= ACBK. 2 1 ; S = ANMH. 2 1 ; AC AN BK MH S S . á ' = Ta có AMH~ABK AB AM BK MH = Suy ra AC AN AB AM S S . á ' = Do tæng AN AC AB AM + kh«ng ®æi nªn tÝch AN AC AB AM . nhá nhÊt khi 2 3 == AN AC AB AM Suy ra AC AN AB AM S S . ¸ ' = SS 94 4 9 2 3 . 2 3 ' ≥⇒=≥ (®pcm) . Kỳ thi chọn HS dự thi HSG sơ tuyển tỉnh Năm học : 2006-2007 Môn thi : Toán Khối : 9 Thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian giao đề Bài 1:. AMN . CMR : S 9 4 S K x D H G A M A B C y N I H Bài giải : Bài 1: Từ giả thi t ab+bc+ca=2006 suy ra a 2 +2006= a 2 + ab+bc+ca =(a+b)(a+c) Tơng tự : b