Cơ Nguyễn Phương Anh – Chun Luyện Tốn Cấp : fb.com/ phuonganhnguyenTAE (Mob: 0974.803.827) CHỦ ĐỀ: TẬP XÁC ĐỊNH  A0 A A  A0 x  x  3x     x  x  x    1  x  x  x    x 1 x  x     Ví dụ: Tìm tập xác định hàm số: y  Lời giải: Ta có: y  x x 2x  1  x  16  x  A0 A x  x   x  x  x     x 1  x  x       x  16    4  x    D  3;  16  x x x    x  0, x      2x  1  2x CHỦ ĐỀ: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: Lý thuyết cần nắm vững khảo sát biến thiên hàm số: — Bước Tìm tập xác định D hàm số y  f ( x)  x1 , x2  D f ( x2 )  f ( x1 )  Xét tỉ số T  — Bước Giả sử   x2  x1  x1  x2 + Nếu T  0: hàm số đồng biến miền D + Nếu T  0: hàm số nghịch biến miền D — Bước Kết luận tính đơn điệu hàm số D HÀM SỐ BẬC NHẤT Một người chiến thắng Không ngừng cố gắng Trang 1/8 Cô Nguyễn Phương Anh – Chuyên Luyện Toán Cấp : fb.com/ phuonganhnguyenTAE (Mob: 0974.803.827) phương trình bậc ẩn  Giải và biện luận phương trình ax  b   ax  b Hệ số Kết luận a0 a0 (i) b ( i ) có nghiệm nhất x    a b0 ( i ) vô nghiệm b0 ( i ) nghiệm đúng với mọi x Bài toán tìm tham số phương trình bậc nhất ax  b  ( ii )  Để phương trình (ii ) có nghiệm nhất  a   Để phương trình (ii ) có tập nghiệm là (vô số nghiệm) a    b  a   b   Để phương trình (ii ) vô nghiệm   Để phương trình (ii ) có nghiệm  có nghiệm nhất hoặc có  tập nghiệm là  a     a    b   Lưu ý: Có nghiệm là trường hợp ngược lại vô nghiệm Do đó, tìm điều kiện để (ii ) có nghiệm, thông thường ta tìm điều kiện để (ii ) vô nghiệm, rồi lấy kết quả ngược lại phương trình bậc hai ẩn   a  0 Tập xác định hàm số Hàm số bậc hai: y  ax  bx  c D I – ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI   b Đồ thị hàm số y  ax  bx  c  a   đường parabol có đỉnh là điểm I   ;   , có trục  2a 2a  b đối xứng là đường thẳng x   Parabol quay bề lõm lên nếu a  0, xuống dưới nếu a  2a y y 4a b 2a x O x b 2a O 4a a0 a0 Cách vẽ: Để vẽ parabol y  ax  bx  c  a   , ta thực hiện bước Một người chiến thắng Không ngừng cố gắng Trang 2/8 Cô Nguyễn Phương Anh – Chuyên Luyện Toán Cấp : fb.com/ phuonganhnguyenTAE (Mob: 0974.803.827)   b 1) Xác định tọa độ đỉnh I   ;    2a 4a  b 2) Vẽ trục đối xứng x   2a 3) Xác định tọa độ giao điểm parabol với trục tung (điểm  0;c  ) trục hồnh (nếu có) 4) Vẽ parabol Khi vẽ parabol cần chú ý đến dấu hệ số a ( a  bề lõm quay lên trên, a  bề lõm quay xuống dưới) II – CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI Dựa vào đồ thị hàm số y  ax  bx  c  a   , ta có bảng biến thiên nó hai trường hợp a  a  sau a0 a0 b 2a x b 2a x y y 4a 4a Dạng toán 1: Giải biện luận phương trình baäc hai Giải và biện luận phương trình bậc hai: ax2  bx  c  (i) Phương pháp: Bước Biến đổi phương trình về đúng dạng ax2  bx  c  Bước Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét trường hợp:  Trường hợp 1: a  0, ta giải và biện luận ax  b   Trường hợp 2: a  Ta lập   b2  4ac Khi đó: Nếu x1,2  0 thì ( i ) có nghiệm phân biệt b    2a Nếu   thì ( i ) có nghiệm (kép): x   b  2a Nếu   thì ( i ) vô nghiệm Bước Kết luận Lưu ý: a  a   hoặc  b     Phương trình ( i ) có nghiệm   a  a   hoặc  b      Phương trình ( i ) có nghiệm nhất   Một người chiến thắng Không ngừng cố gắng Trang 3/8 Cơ Nguyễn Phương Anh – Chun Luyện Tốn Cấp : fb.com/ phuonganhnguyenTAE (Mob: 0974.803.827) Dạng toán 2: Đònh lý Viét & Ứng dụng  Định lý Viét  b S  x1  x2     a Nếu phương trình bậc hai ax2  bx  c  0, (a  0) có nghiệm x1 , x2 thì  c P  x x   a Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u  v  S và tích uv  P thì u, v là nghiệm phương trình x2  Sx  P  0, (S2  4P  0) Ứng dụng định lý Viét  Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm phương trình bậc hai:  x12  x22  ( x12  x1 x2  x22 )  x1 x2  ( x1  x2 )2  x1 x2  S2  P  ( x1  x2 )2  ( x1  x2 )2  4x1 x2  S2  4P  x1  x2  a   ( x1  x2 )2  a2  S2  4P  a2  x13  x23  ( x1  x2 )( x12  x1 x2  x22 )  ( x1  x2 ) ( x1  x2 )2  3x1 x2   S.(S  3P )  S  3SP  b (1) S  x1  x2   a  Biểu Lưu ý: Nếu biểu thức không đối xứng thường ta giải hệ  thức không đối xứng (2) c  P  x1 x2  (3) a  bằng phương pháp cộng ở (1) và (2) được x1 , x2 theo m và thế x1 , x2 vào (3) để tìm m  Dấu nghiệm phương trình bậc hai:  Phương trình có nghiệm trái dấu: x1   x2  P      Phương trình có nghiệm dương:  x1  x2  P   S       Phương trình có nghiệm dương phân biệt:  x1  x2  S   P       Phương trình có nghiệm âm: x1  x2   P   S       Phương trình có nghiệm âm phân biệt: x1  x2   P   S    x1  x2      P  0  x1  x2  Phương trình có nghiệm cùng dấu:  Lưu ý: Nếu đề bài yêu cầu so sánh nghiệm x1 , x2 với số  , ta thường có cách làm sau: Một là đặt ẩn phụ t  x   để đưa về so sánh nghiệm t1 , t2 với số  x1  a  x2  x1  a   x2  a  ( x1  a)( x2  a)   Hai là biến đổi, chẳng hạn:    x  a  x  a  nhân ( x1  a)( x2  a)   a  x1  x2         x2  a  x2  a     x1  x2  2a   Một người chiến thắng Không ngừng cố gắng Trang 4/8 Cơ Nguyễn Phương Anh – Chun Luyện Tốn Cấp : fb.com/ phuonganhnguyenTAE (Mob: 0974.803.827) Dạng toán 2: Phương trình chứa dấu giá trò tuyệt đối  Để giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, ta tìm cách khử dấu trị tuyệt đối bằng cách: dùng  A A  , hoặc bình phương vế hoặc đặt ẩn phụ  A A  định nghĩa A    A  B   AB   Loại 1: A  B   A  B hoặc sử dụng định nghĩa: A  B     A   A  B     A  B A  B   Loại 2: A  B    A  B  Loại 3: a A  b B  C dùng phương pháp chia khoảng để giải  Lưu ý: Giải biện luận phương trình ax  b  cx  d ta làm sau:  ax  b  cx  d  ax  b  cx  d (1) (2)  Phương trình ax  b  cx  d    Giải biện luận phương trình (1) và (2)  Xét trường hợp nghiệm phương trình (1) trùng với nghiệm phương trình (2)  Kết luận Dạng toán 3: Phương trình chứa dấu thức    B  A B   A  B   A  B  A  B2  DẠNG:  A  (hay B  0) A B  A  B A  B  A  B3 A B C 0 Phương pháp giải:  Bước Đặt điều kiện  Bước Chuyển vế để hai vế dương, tức PT  A  C  B  Bước Bình phương hai vế A  C  AC  B  AC  B  A  C Đây dạng  B  A B   A  B  Lưu ý: Biến đổi biến đổi hệ quả, đó giải xong cần thay nghiệm lại đề kiểm tra nhằm tránh thu nghiệm ngoại lai ĐƯA VỀ TÍCH SỐ BẰNG PHÉP NHĨM Phương pháp: Dùng các phép biến đởi, đồng nhất kết hợp với việc tách, nhóm, ghép thích hợp để đưa phương trình cho dạng tích số đơn giản biết cách giải, Một người chiến thắng Không ngừng cố gắng Trang 5/8 Cơ Nguyễn Phương Anh – Chun Luyện Tốn Cấp : fb.com/ phuonganhnguyenTAE (Mob: 0974.803.827) chẳng hạn như: A.B   A  B  ……… Một số biến đổi thường gặp:  f ( x)  ax  bx  c  a.( x  x1 )( x  x2 ) với x1 , x2 nghiệm f ( x)   Dùng hằng đẳng thức bản, lưu ý các biến đổi thường gặp sau: u  v   uv  (u  1)  v(u  1)   (u  1)(1  v)   u  v  au  bv  ab  vu  a(u  b)  v(u  b)   (u  b)(a  v)  DẠNG: A3B3C Phương pháp giải:  Bước Lũy thừa: ( A  B )3  ( C )3  A  B  3 AB.( A  B )  C  Bước Thế A3B3C () () vào ()  A  B  3 ABC  C  3 ABC  C  A  B  27.ABC  (C  A  B)3  Lưu ý: Biến đổi biến đổi hệ quả, đó giải xong cần thay nghiệm lại đề kiểm tra nhằm tránh thu nghiệm ngoại lai ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 1: a f ( x)  b n f ( x)  c  (1) Dấu hiệu nhận dạng: Biểu thức chứa biến ngồi thức có mối liên hệ với Phương pháp giải: Đặt t  n f ( x)  t n  f ( x) (1)  a.t n  b.t  c   t  x ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 2: a f ( x)  b g( x)  2ab f ( x).g( x)  h( x) (2) Dấu hiệu nhận dạng: Có chứa hạng tử loại tởng tích hiệu tích Phương pháp giải:  Bước Đặt t  tổng t  hiệu, suy ra: t  t   Bước Giải phương trình với biến theo t , suy x ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 3:   n a  f ( x)    m b  f ( x)  c (3) Dấu hiệu nhận dạng: Chỉ số thức lệch bậc đồng bậc cao u  n a  f ( x) n m un  a  f ( x)  u  v  a  b  m  , suy m b  f ( x) u   v  c v  b  f ( x )  v       Phương pháp giải: Đặt  u, v  x ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 4: a  n A2  b  n A.B  c  n B2  (4) Phương pháp giải: có hướng xử lý  Hướng Đặt ẩn phụ u  n A , v  n B , (4)  a.u2  b.uv  c.v2  (đẳng cấp)  Hướng Chia trực tiếp cho lượng khác 0, chẳng hạn n B2  0, để được phương  A A trình bậc hai dạng, tức: (4)  a   n   b  n  c  B  B ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 5: a f ( x)  b.g( x)  c f ( x).g( x) (5) Dấu hiệu nhận dạng: Phương trình có thức biểu thức thức phân Một người chiến thắng Không ngừng cố gắng Trang 6/8 Cô Nguyễn Phương Anh – Chuyên Luyện Toán Cấp : fb.com/ phuonganhnguyenTAE (Mob: 0974.803.827) tích được thành tích số Phương pháp giải: có hướng xử lý  Hướng Đặt ẩn phụ u  f ( x), v  g( x), đưa phương trình đẳng cấp bậc hai dạng: a.u2  b.v2  c.uv  Hướng Chia trực tiếp cho lượng dương, chẳng hạn g( x)  0, để được phương trình bậc hai dạng: a  f ( x) f ( x) c  b  g( x) g( x)  Một số lưu ý: – Đề thường cho giải phương trình với dạng thường gặp sau đây: ax2  bx  c  (dx  e)  mx  n (1) ax  bx  c  d  mx  nx  p (2) ax  bx  c  d  mx  nx  px  q (3) ax  bx  c  d  mx  nx  px  qx  r (4)   ax  bx  c    mx  nx  p    dx  ex  f (5) Trong đó dạng (5) ta cần chuyển vế cho vế dương lũy thừa đưa dạng (2), (3), (4) – Thông thường, biểu thức thức chưa phân tích thành tích số sẵn mà ta phải phân tích với dạng phân tích hay được sử dụng sau: f ( x)  ax2  bx  c  a  ( x  x1 )  ( x  x2 ) với x1 , x2 nghiệm f ( x)  Chia Hoocner đa thức bậc cao nhẩm được nghiệm đẹp a3  b3  (a  b)(a2 ab  b2 ), a2  b2  (a  b)(a  b) x4  x2   ( x2  1)2  x2  ( x2   x)( x2   x) x4   ( x2  1)2  2x2  ( x2  x  1)( x2  x  1) 4x4   (2x2  1)2  4x2  (2x2  2x  1)(2x2  2x  1) ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 6: a f ( x)  b.g( x)  c d f ( x)  e.g ( x) (6) Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ u  f ( x), v  g( x), đưa phương trình cho dạng A  B, với c d.u2  e.v  a.u  b.v chia cho lượng dương g( x)  thu  f ( x)  f ( x) f ( x) để toán đơn giản  b đặt t    e  a g( x) g( x)  g( x)  được phương trình: c d   Lưu ý: Biểu thức thức (căn thức lớn) chưa phân tích sẵn, ta cần phân tích biểu thức theo tởng biểu thức bên ngồi bằng đờng nhất thức quen thuộc hệ phương trình bậc nhiều ẩn  HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN:  Định nghĩa: Một người chiến thắng Không ngừng cố gắng Trang 7/8 Cô Nguyễn Phương Anh – Chuyên Luyện Toán Cấp : fb.com/ phuonganhnguyenTAE (Mob: 0974.803.827) a1 x  b1 y  c1 (1) với a2 x  b2 y  c2 (2) Hệ phương trình bậc nhất ẩn x y hệ có dạng ( I ) :  a12  b12    2 a2  b2  Cặp số ( xo ; yo ) đồng thời thỏa cả phương trình (1) và (2) được gọi nghiệm hệ  Công thức nghiệm: Quy tắc Crame Ký hiệu: D  a1 a2 b1 c  a1b2  a2 b1 , Dx  b2 c2 b1 a  c1b2  c2 b1 , Dy  b2 a2 Xét D Kết Hệ có nghiệm x  D0 Dx  hoặc Dy  D0 c1  a1c2  a2 c1 c2 Dy Dx , y  D D Hệ vô nghiệm Dx  Dy  Hệ có vơ số nghiệm Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng cách giải biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số  Biểu diễn hình học tập nghiệm: Nghiệm ( x; y) hệ ( I ) tọa độ điểm M( x; y) thuộc cả đường thẳng: (d1 ) : a1 x  b1 y  c1 (d2 ) : a2 x  b2 y  c2  Hệ ( I ) có nghiệm nhất  (d1 ) (d2 ) cắt  Hệ ( I ) vô nghiệm  (d1 ) (d2 ) song song với  Hệ ( I ) có vơ số nghiệm  (d1 ) (d2 ) trùng a1 b1  a2 b2 a1 b1 c1   a2 b2 c2 y y yo y ( d1 ) (d2 ) O a1 b1 c1   a2 b2 c2 (d2 ) ( d1 ) (d2 ) M x xo Nghiệm Một người chiến thắng x O Vô nghiệm Không ngừng cố gắng ( d1 ) O x Vô số nghiệm Trang 8/8 ... hiện bước Một người chiến thắng Không ngừng cố gắng Trang 2/8 Cô Nguyễn Phương Anh – Chuyên Luyện Toán Cấp : fb.com/ phuonganhnguyenTAE (Mob: 0974.803.827)   b 1) Xác định tọa độ đỉnh I  ... , ta có bảng biến thiên nó hai trường hợp a  a  sau a0 a0 b 2a x b 2a x y y 4a 4a Dạng toán 1: Giải biện luận phương trình bậc hai Giải và biện ḷn phương trình bậc hai: ax2  bx... Cơ Nguyễn Phương Anh – Chun Luyện Tốn Cấp : fb.com/ phuonganhnguyenTAE (Mob: 0974.803.827) Dạng toán 2: Đònh lý Viét & Ứng dụng  Định lý Viét  b S  x1  x2     a Nếu phương trình