(Inequalyties from http:// forum.mathscope. org , posted by Kim Dinh Son) Kim Đình Sơn , 12A 1 , THPT Chuyên Vĩnh Phúc Email: thanphongvukiem_1992@yahoo.com Gmail: sonkd_92@gmail.com 1 1.Các Bất Đẳng Thức Bài 1[Kim Đình Sơn] , với k>0 bất kì. Bài 2[Kim Đình Sơn] Cho dương thỏa mãn: . Khi đó: Bài 3[Kim Đình Sơn] Cho a,b,c là 3 số, Bài 4[Kim Đình Sơn] Nếu . Khi đó Bài 5[Kim Đình Sơn] Nếu là những số thực, khi đó Bài này có ba cách phân tích kiểu S-O-S, và mình cũng xin giới thiệu một cách phân tích mới (do mình tình cờ tìm ra) Bài 6[Kim Đình Sơn] Cho không âm thỏa mãn Bài 7 [Kim Đình Sơn] Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn . 2 ( ) 1 1 1 2 2 5a b c a b c abc   + + + + + ≥ +  ÷   Bài 8[Kim Đình Sơn] Cho x,y,z là cá số thực, giả sử p=x+y+z >0,và q=xy+yz+zx. Khi đó, với mọi a,b,c là các số thực, ta có: Hệ quả: Đặt x=a(a-b), y=b(b-c), z=c(c-a), ta có bất đẳng thức Bài 9[Kim Đình Sơn] Với mọi a,b,c thực phân biệt,ta có Remark Bài toán tương tự bài 9 như sau Với mọi a,b,c thực phân biệt, ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 a b c a b b c c a b c c a a b b c c a a b    + + + + >  ÷ ÷ − − − − − −    Bài 10[Kim Đình Sơn] Giả sử 0 , , 2x y z< < và 2min(x,y,z)+2 > x+y+z > 2, khi đó ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 z z z z y x x y x y x y − − − −     ≥ − −  ÷ ÷     Bài 11[Kim Đình Sơn] Giả sử a,b,c là các số thực dương, khi đó ( ) ( ) ( ) a b c a b b c c a b c a b c c a a b a b c a b b c c a b c a − − −       ≥ + + +  ÷  ÷  ÷       Bài 12 Giả sử x,y,z là các số thực dương thoả mãn 3x y z+ + = , khi đó 3 3 2 x y z yz x zx y xy z + + ≥ + + + Bài 12.5 Giả sử a,b,c là các số thực dương thoả mãn 1abc = , khi đó 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1a a b b c c + + ≥ + + + + + + Bài 14 [Vasile Critoaje, ONI, GIL 2006] giả sử 1 2 , , ., n a a a là các số thực dương thoả mãn 1 2 . 1 n a a a = , khiđó 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 . 1 1 . 1 . 1 . n n n n n n a a a a a a a a a − − − + + + ≥ + + + + + + + + + + + + Bài 15[Kim Đình Sơn] Cho 1 2 , , ., n a a a 1 2 , , ., n b b b 1 2 , , ., n c c c là các số thực thoả mãn 1 1 1 n n n i i i i i i a b c n = = = = = = ∑ ∑ ∑ . Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 1 1 4 ( ) 4 3 n n n n n i i i i i i i i i i i i i i i i i a b c a b b c c a n a b c = = = = =     + + + ≥ +  ÷ ÷ ÷     ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Bài 16[Phạm Văn Thuận] Chứng minh rằng bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi số thực , ,a b c x a= 3 3 3 4 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 27 a a b b b c c c a a b c+ + + + + ≥ + + Bài 17[Kim Đình Sơn] Cho 3 số thực dương , ,a b c thoả mãn điều kiện 2( ) 9a b c abc+ + + = , khi đó 1 1 1 1 a b c + + ≥ Bài 18[Kim Đình Sơn] Giả sử , ,x y z dương thoả mãn 3xy yz zx+ + = , khi đó 3 4 4 4 x y z yz zx xy + + ≥ − − − 4 2.Lời Giải Bài 1[Kim Đình Sơn] , với k>0 bất kì. Chứng minh .Ta sẽ sử dụng Phương pháp phân tích tổng bình phương (S-O-S). Đặt , ,c x ky b y kz a z kx= + = + = + , khi đó ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) ( ) 1 k xy yz zx k a b c k xy yz zx k k + + + − + + + + + = − + Do đó, bất đẳng thức tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 0, c k bc k a a a k a b k k a b a b c a b a b S         + − ≥ −  ÷  ÷  ÷  ÷           +       − + + − + + − + ≥  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷         − ≥ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Không mất tổng quát giả sử a b c≥ ≥ . Chú ý rằng ( ),b c a x z y k x y z+ − = + − + + − và [ ] , , 1,2x y z ∈ , nên 0b c a+ − > . Vì vậy ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 c a b b c a b S b c S c a S b S c S − + − + − ≥ + Ta chỉ cần chứng minh 2 2 0 b c b S c S + ≥ là đủ, và chứng minh điều này đơn giản, xin dành cho bạn đọc, vậy Bất đẳng thức coi như được chứng minh xong. Bài 2[Kim Đình Sơn] Cho dương thỏa mãn: . Khi đó: Chứng minh. Đặt 3 3 3 , , ,x a y b z c= = = khi đó bài toán tương đương với 5 2 2 2 3 3 3 3,w x y z ith xy yz zx + + ≥ 2 2 2 3x y z+ + = , áp dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm số lồi 3 1 , u với 0u ≥ , khi đó ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 ( ) x y z x y z x y z x y y z z x xy yz zx + + + + ≥ + + + + (1) Sử dụng bất đẳng thức ( ) 2 2 2 2 3 3 3 ( ) 3x y z x y y z z x+ + ≥ + + , suy ra vế trái của (1) sẽ lớn hơn hoặc bằng 3, do đó ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi 1a b c = = = . Bài 3[Kim Đình Sơn] Cho a,b,c là 3 số, Chứng minh. Ta cũng sử dụng bất đẳng thức Jensen như bài 2. Trước hết, bất đảng thức tương đương với 2 2 2 1 1 1 1 a b c ab bc ca       ≥  ÷  ÷  ÷       Áp dụng Bất đẳng thức Jensen cho hàm số lồi lnx x ,với 0x > , khi đó 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 1 1 ln ln ln ln a b c a b c a b c ab bc ca a b b c c a a b b c c a     + + + + + + ≥  ÷  ÷ + + + +     (2) Áp dụng bất đẳng thức ( ) 2 2 2 2 3 3 3 ( ) 3x y z x y y z z x+ + ≥ + + , suy ra vế trái của (2) lớn hơn hoặc bằng 0, do đó bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi 1a b c = = = . Bài 4[Kim Đình Sơn] Nếu . Khi đó Chứng minh. Ta chứng minh bất đẳng thức sau Với , ,x y z không âm , khi đó 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 x xy y y yz z z zx x x y z xyz+ + + + + + ≥ + + sử dụng bất đẳng thức Holder cho ba bộ 2 2 2 2 2 2 ( , , ),( , , ),( , , )x xy y yz z y x z xz ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 x xy y yz z y x z xz x y z xyz+ + + + + + ≥ + + Lần lượt thay ( , , ) ( , , )x y z a b c= và 1 1 1 ( , , ) , ,x y z a b c   =  ÷   ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a b c = = hoặc 0,a b c= = với bất đẳng thức thứ nhất. Bài 10[Kim Đình Sơn] Giả sử 0 , , 2x y z< < và 2min(x,y,z)+2 > x+y+z > 2, khi đó ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 z z z z y x x y x y x y − − − −     ≥ − −  ÷  ÷     Chứng minh.Từ giả thiết suy ra tồn tại số thực b thoả mãn 0, , 2 2b and x y z b> + + = + , và min( , , )b x y z< , do đó cũng tồn tại các số thực , ,a c d dương thoả mãn , ,x b a y b c z b d= + = + = + . Đưa bất đẳng thức về dạng 1 1 1 1 1 a c b d c a d b a b b c c d d a a b b c c d d a + + + + + + + +         ≥  ÷  ÷  ÷  ÷ + + + +         Khi đó áp dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm số lồi lnx x , với 0x ≥ . Tương tự như bài 9 ta cần chứng minh 4 a c b d c a b d a b b c c d d a + + + + + + + ≥ + + + + Bài 11[Kim Đình Sơn] Giả sử a,b,c là các số thực dương, khi đó ( ) ( ) ( ) a b c a b b c c a b c a b c c a a b a b c a b b c c a b c a − − −       ≥ + + +  ÷  ÷  ÷       Chứng minh Đưa bất đảng thức về dạng a b c a b c b c a b c a a b c a b b c c a b c a c a a b b c + + +             ≥  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ + + +             7 Sau đó ta sử dụng BĐT Jensen cho hàm số lồi lnx x , với 0x ≥ .rồi ta chỉ càn chứng minh BĐT sau a b c a b b c c a b c a b c c a a b + + + + + ≥ + + + + + Bài 16[Phạm Văn Thuận] Chứng minh rằng bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi số thực , ,a b c x a= 3 3 3 4 8 ( ) ( ) ( ) ( ) 27 a a b b b c c c a a b c+ + + + + ≥ + + Chứng minh(by Kim Dinh Son) Nếu 0a b c+ + = thì bđt đơn giản. Xét trong trường hợp còn lại, khi đó, w.l.o.g, ta có thể giả sử 1a b c + + = . Bất đẳng thức trở thành ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 8 27 a b b c c a a b b c b c c a c a a b+ + + + + ≥ + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 8 27 a b b c c a a b b c b c c a c a a b+ + + + + ≥ + + + + + + + + + đặt , ,a b x b c y c a z+ = + = + = , khi đó ta cần CM ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 8 3 3 9 x y z x y y z z x+ + ≥ + + + chú ý rằng 2x y z+ + = . Sử dụng BĐT ( ) 2 2 2 2 3 3 3 ( ) 3x y z x y y z z x+ + ≥ + + . Khi đó ta CM bất đẳng thức sau đúng 3 3 3 2 2 2 2 8 3( ) ( ) 9 x y z x y z+ + − + + ≥ Tương đương đương với 2 2 2 2 2 2 2 1 8 ( ) 3( )( ) 9 6( ) 2 9 x y z xy yz zx x y z xyz xy yz zx+ + + + + + + + − + + ≥ Mặt khác ( ) 4 2 2 2 2 1 1 8 ( ) 2 2 9 9 x y z x y z + + + + ≥ = , nên ta sẽ CM rằng 3 (4 2 ) 9 6q q r q− + ≥ Hay 2 9 6 6r q q+ ≥ Với ,xy yz zx q + + = và xyz r= , Nếu 1q < thì hiển nhiên 2 6 6q q≥ . Nếu 1q ≥ , khi đó từ hệ quả Bất đẳng thức Schur bậc ba ta có 3 ( ) 9 4( )x y z r x y z q+ + + ≥ + + , khi đó 8 2 4 9 6 14 8, ,14 8 6 ( 1)( ) 0 3 r q q and q q q q+ ≥ − − − = − − − ≥ (do 2 1 4 ( ) 3 3 q x y z≤ + = = ),vậy ta có điều phải chứng minh. ___________________________________________________© by Kim Dinh Son 9 . (Inequalyties from http:// forum .mathscope. org , posted by Kim Dinh Son) Kim Đình Sơn , 12A 1 , THPT Chuyên