ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM THI KHẢO SÁT TOÁN 12 Câu 1 (3 điểm) Cho hàm số 2x 6 y x 1 − = − (C) §iÓm 1 Khảo sát vẽ đồ thị (C ) của hàm số. 1®iÓm + TXĐ : R\{1} + Giới hạn và tiệm cận : Tìm giới hạn, TCĐ x = 1, TCN y = 2 1/4 + ( ) 2 4 y' 0 x 1 x 1 = > ∀ ≠ − , Nhận xét khoảng đb, nb và cực trị. 1/4 + BBT + ∞ - ∞ 2 2 + + + ∞ 1 - ∞ y y' x 1/4 + Đồ thị : Giao ox,oy, vẽ nhận xét tâm đối xứng. -5 5 x 6 4 2 -2 -4 O y f x ( ) = 2 ⋅ x-6 x-1 1/4 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(5;10). 1®iÓm + Đt d qua A (5;10) và là tiếp tuyến của ( C) có pt dạng : ( ) y k x 5 10= − + + Đt d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ ( ) 2 2x 6 k(x 5) 10 x 1 4 k x 1 −  = − +  −    = −   có nghiệm. 1/4 + Từ hệ tìm được pt : 2 x x 2 0− − = 1/4 + Tìm được x = -1, k = 1 suy ra tiếp tuyến y = x + 5 1/4 + Tìm được x = 2, k = 4 suy ra tiếp tuyến y = 4x - 10 + Kết luận : … 1/4 3 Tìm hai điểm phân biệt thuộc đồ thị (C) và đối xứng nhau qua điểm B( 1 2 ;1). 1®iÓm + M, N phân biệt thuộc (C) nên 2m 6 2n 6 M m; , N n; ,m n,m,n 1 m 1 n 1 − −     > ≠  ÷  ÷ − −     1/4 + A là trung điểm của MN m n 1 2m 6 2n 6 2 m 1 n 1 + =   ⇔  − − + =   − − 1/4 + Tìm được M(2;-2) 1/4 + Tìm được N(-1;4) 1/4 1 Câu 2 (2 điểm) 1 Giải phương trình : 1 1 2 sin 2x sin 4x sin x 2 + = π   −  ÷   1®iÓm + Đk : sin( x) 0 2 k sin 2x 0 sin 4x 0 x 4 sin 4x 0 π  − ≠   π ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠   ≠   1/4 + pt 2sin x cos 2x cos2x 1⇔ + = 1/4 + 2 sinx 1 sin x(2sin x sin x 1) 0 sinx 0 1 sinx 2   =−  + − = ⇔ =   =   1/4 + Giải và đối chiếu điều kiện được nghiệm : 5 x k2 ,x k2 6 6 π π = + π = + π 1/4 2 Giải hệ phương trình : 2 2 3 3 2 2x 3xy y x y (1) x y x 2y 3 (2)  − + = −   − + = +   1®iÓm + (1) ( ) ( ) y x x y 2x y x y y 2x 1 =  ⇔ − − = − ⇔  = −  1/2 + TH1: y=x tìm được 2 nghiệm (-1;-1), (3;3) 1/4 + Th2: y=2x-1 tìm được nghiệm (0;-1). + KL:… 1/4 Câu 3 (2 điểm) 1 Tìm m để đồ thị hàm số ( ) 3 2 y x 3x 3 m x m 1= − + − + + (C) cắt trục Oxtại 3 điểm phân biệt. 1®iÓm + Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox là : 3 2 x 3x (3 m)x m 1 0− + − + + = (1) 1/4 + (1) ( ) 2 2 x 1 m x 1 ⇔ − + = − (Vì x=1 không là nghiệm của (1) ). 1/4 + Để (C) cắt Ox tại 3 điểm pb ⇔ đồ thị hàm số ( ) 2 2 y x 1 x 1 = − + − cắt đt y=m tại 3 điểm pbiệt. + BBT 3 + ∞ + ∞ + 0 __ 2 1 + ∞ - ∞ + ∞ - ∞ y y' x 1/4 + KL: m > 3 thì (C ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt. 1/4 2 Cho tứ diện ABCD, AC BD,AD BC⊥ ⊥ . Chứng minh rằng AB CD ⊥ . 1®iÓm + Gọi H là hình chiều của A lên (BCD) AH BC,CD,BD⇒ ⊥ 1/4 + AD BC BC (ADH) BC HD AH BC ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  1/4 + AC BD BD (ACH) BD HC AH BD ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥  ⊥  1/4 + Vậy H là trực tâm của ∆ BCD BH CD CD AB AH CD ⊥  ⇒ ⇒ ⊥  ⊥  1/4 Câu 4 1 Trong hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C) : 2 2 x y 4x 2y 0+ − − = và đường thẳng d : 3x y 1 0− + = . 1®iÓm 2 (2 điểm) Tìm các điểm thuộc (d ) mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới đường tròn (C). + (C) có tâm I(2;1) , R = 5 1/4 + M ∈ d ( ) M m;3m 1⇒ + , 2 2 MI 10m 4m 4= − + 1/4 + Lập luận từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc để được 2 MI 10= 1/4 + Ta có pt : 2 2 10m 4m 4 10 10m 4m 6 0− + = ⇔ − − = 3 4 M(1;4),M( ; ) 5 5 − − ⇒ 1/4 2 Trong hệ toạ độ Oxy cho ba đường thẳng: 1 2 : x 2y 11 0; : x 2y 2 0;d : x y 5 0 ∆ − + = ∆ + − = + − = Tìm các điểm M thuộc (d) sao cho khoảng cách từ M đến 1 ∆ bằng 2 lần khoảng cách từ M đến 2 ∆ . 1®iÓm + M ∈ d ( ) M m;5 m⇒ − , 1/4 + ( ) ( ) 1 2 d M; 2d M; 3m 1 16 2m∆ = ∆ ⇔ + = − 1/4 + m 3;m 17= = − 1/4 + Tìm được M(3 ;2),M(-17 ;22) 1/4 Câu 5 (1 điểm) Cho x, y là hai số thực thoả mãn : 2 2 2x 2y 3 4(x y)+ + = + (*). ( ) ( ) 2 2 P 4 x y y x x y 1= + − + − Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P. 1®iÓm + (*) ( ) ( ) 2 2 x y 4 x y 3 4xy⇔ + − + + = Ta có ( ) 2 x y 4xy+ ≥ ( dấu bằng có khi x = y) (không dùng Côsi vì x, y có thể âm ) Đặt t = x + y 2 2 2 2t 4t 3 t t 4t 3 0 1 t 3⇒ − + ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ 1/4 + ( ) ( ) ( ) 2 3 2 P 4xy x y x y 1 2t 4t 3 t t 1 2t 4t 2t 1= + − + − = − + − − = − + − 1/4 + Tìm GTLN, NN của hàm số [ ] 3 2 P f (t) 2t 4t 2t 1, t 1;3= = − + − ∈ 2 1 f '(x) 6t 8t 2 0 t 1;t 3 = − + = ⇒ = = ( ) ( ) f 1 1 f 3 3 = − = 1/4 + KL: max P 23= khi 3 x y 2 = = min P 1= − khi 1 x y 2 = = 1/4 3 . ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM THI KHẢO SÁT TOÁN 12 Câu 1 (3 điểm) Cho hàm số 2x 6 y x 1 − = − (C) §iÓm 1 Khảo sát vẽ