Chuyên đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG Môn: ĐẠI 7 Lớp: 7 Người thực hiện: Lê Thị Kim Oanh Thực hiện ngày 11 tháng 3 năm 2008 I. Mục tiêu Sau khi học xong chuyên đề học sinh có khả năng: 1.Biết vận dụng định nghĩa , tính chất của số chính phương dể chứng minh một số có thể hay không thể là một số chính phương hay không? 2. Hiểu các bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng minh 3. Có kĩ năng vận dụng các kiến thức được trang bị để giải toán. II. Các tài liệu hỗ trợ: - Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 7 - Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 7 - Bồi dưỡng toán 7 - Nâng cao và phát triển toán 7 - … III. Nội dung 1. Kiến thức cần nhớ A, định nghĩa: Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên. VD: 9 và 25 là các số chính phương vì 9 = 3 2 ; 25 = 5 2 B, Một số tính chất: * Số chính phương chỉ có thể có tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9 không thể có tận cùng là 2; 3; 7 ; 9 * Một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì có chữ số hàng chục là 2 * Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì có chữ số hàng chục của nó là số lẻ. * Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ. Từ đó suy ra: - Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4 - Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 - Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16 - Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25 * Số lượng các ước của một số chính phương là một số lẻ. Đảo lại, một số có số lương các ước là số lẻ thì số đó là số chính phương. 2. Các ví dụ: 2.1. Ví dụ 1 chứng minh rằng: a, Một số không thể viết dưới dạng 4n+2 hoặc 4n+3 (n ∈ N) b, Một số không thể viết dưới dạng 3n+2 Giải: a. Một số tự nhiên chẵn có dạng 2k ⇒ (2k) 2 = 4k 2 M 4 Một số tự nhiên lẻ có dạng 2k+1 ⇒ (2k+1) 2 = 4k 2 +4k+1 chia cho 4 dư 1 Vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1. Do đó không không thể viết dưới dạng 4n+2 hoặc 4n+3 b. Một số tự nhiên chỉ có thể viêt dưới dạng 3k hoặc 3k+1 hoặc 3k-1. Khi đó: (3k) 2 = 9k 2 M 3 (3k+1) 2 = 9k 2 +6k+1 chia cho 3 dư 1 (3k+1) 2 = 9k 2 - 6k+1 chia cho 3 dư 1 Vậy một số chính phương chỉ có thể viết dưới dạng 3n hoặc 3n + 1. Do đó không thể viết dưới dạng 3n+2 2.2. VD2 Chứng minh rằng: A = 224 99 .9 100 09 là số chính phương n–2 số 9 n số 0 Giải: Ta có: A = 224 99 .9 1 00 09 = 224.10 2n + 99 .9.10 n+2 + 10 n+1 +9 n–2 số 9 n số 0 n-2 số 9 = 225.10 2n – 10 2n + 10 n .10 +9 = 225.10 2n – (10 n-2 – 1).10 n+2 + 10 n+1 +9 = 225.10 2n – 90.10 n +9 = ( 15.10 n – 3) 2 Ta thấy ( 15.10 n – 3) 2 là bình phương của số tự nhiên. Vậy A là số chính phương. 2.3. VD3: Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị dều là 6. CMR: Tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương Giải: Cách 1: Vì một số chính phương có chữ số hàng chục là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ. Khi đó, chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là 1, 3, 5, 7, 9 Vậy tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là: 1+3+5+7+9 = 25 = 5 2 là số chính phương. Cách 2: Nếu một số chính phương M = a 2 có chữ số hàng đơn vị là 6 ⇒ chữ số tận cùng của a là số chẵn ⇒ a M 2 do đó a 2 M 4 Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì 2 chữ số tận cùng của số M là số chia hết cho 4, gồm : 16, 36, 56, 76, 96. Vậy Tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là: 1+3+5+7+9 = 25 = 5 2 là một số chính phương 3. Bài tập 3.1.Bài tập 1: Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp có phải là một số chính phương không? Giải: Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2, n+3 Xét số A = n (n+1)(n+2) (n+3) +1 = n(n+3)(n+1)(n+2) +1 = (n 2 +3n)( n 2 + 3n +2) + 1 = (n 2 +3n)[(n 2 +3n) + 2] +1 = (n 2 +3n)(n 2 +3n) +2(n 2 +3n) +1 = (n 2 +3n) 2 + 2(n 2 +3n) +1 = [(n 2 +3n) +1] 2 Với n ∈ N, A là bình phương của một số tự nhiên ⇒ A là chính phương Vậy tích của 4 số tự nhiên liên tiếp không phải là một số chính phương. 3.2. BT2: CMR: Tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương Giải : Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là n – 2, n – 1, n, n +1, n +2 Ta có: A = (n – 2) 2 + (n – 1) 2 + n 2 + ( n +1) 2 + (n +2) 2 = n 2 - 4n + 4 + n 2 – 2n +1 +n 2 + n 2 – 2n +1 + n 2 + 4n + 4 = 5n 2 + 10 = 5(n 2 + 2) Vì n 2 là một số chính phương ⇒ n 2 không thể có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8 ⇒ n 2 + 2 / N 5 Do đó A = 5(n 2 + 2) M 5 nhưng / N 25. Vậy A không là số chính phương. 3.3. BT3 CMR: Nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p -1 và p+1 không thể là các số chính phương Giải: Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên ⇒ p M 2 và p / N 4 (1) (vì các số nguyên tố còn lại đều là số lẻ nên tích không chia hết cho 2) * Giả sử p +1 là số chính phương. Đặt p +1 = m 2 ( m ∈ N) Vì p là số chẵn ⇒ p + 1 là số lẻ ⇒ m 2 là số lẻ ⇒ m lẻ. Đặt m = 2k +1 (k ∈ N) Ta có m 2 = (2k +1) 2 = 4k 2 + 4k +1 hay p +1 = 4k 2 + 4k +1 ⇒ p = 4k 2 + 4k = 4k.(k +1) M 4 mâu thuẫn với (1) Vậy p +1 không là số chính phương * Ta có p = 2.3.5 . là số chia hết cho 3 ⇒ p -1 = 3k +3 -1 = 3k +2 không là số chính phương Vậy nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p -1 và p+1 không thể là các số chính phương 3.4. BT4 CMR số có dạng n 6 – n 4 + 2n 3 + 2n 2 với n ∈ N và n > 1 không phải là số chính phương Giải : Ta có n 6 – n 4 + 2n 3 + 2n 2 = n 2 ( n 4 – n 2 + 2n +2) = n 2 . [(n 4 – 2n 2 +1) + (n 4 + 2n 2 +1)] = n 2 .[(n 2 -1) 2 + (n 2 +1) 2 ] = n 2 .[(n-1) 2 (n+1) 2 + (n 2 +1) 2 ] = n 2 (n+1) 2 [(n-1) 2 +1] Với n > 1 thì (n-1) 2 +1 = n 2 -2n + 2 = n 2 -2(n-1) < n 2 (1) Mà (n-1) 2 +1> (n-1) 2 (2) Từ (1) và (2) ⇒ n 2 < (n-1) 2 < (n -1) 2 +1 do đó ( n-1) 2 + 1 không là số chính phương Vậy số có dạng n 6 – n 4 + 2n 3 + 2n 2 với n ∈ N và n > 1 không phải là số chính phương 3.5.BT5 Cho A là một số tự nhiên gồm 1000 chữ số trong đó có 999 chữ số 5 và một chữ số khác 5. CMR A không là số chính phương. Giải: Giả sử A là số chính phương ⇒ A = k 2 (k ∈ N * ) ⇒ A chỉ có thể có tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9 Xét các trường hợp * Nếu A tận cùng bởi 0 ⇒ A= 55 .50 M 10 nhưng / N 100 999cs5 ⇒ A không là số chính phương. Do đó A không thể có tận cùng bằng 0 * Nếu A tận cùng bởi 1 ⇒ A= 55 .51 = k 2 ⇒ k là số lẻ 999cs5 Đặt k = 2n +1 (n ∈ N * ) Ta có 55 .51 = ( 2n+1) 2 = 4n 2 + 4n + 1 ⇒ 55 .50 = 4n 2 + 4n = 4( n 2 +1) (1) Ta thấy vế phải của (1) là số chia hết cho 4 còn vế trái của (1) không chia hết cho 4, vô lý. Do đó A không thể có tận cùng bằng 1 * Nếu A tận cùng bởi 4 thì A = 55 .54 = k 2 ⇒ k là số chẵn Đặt k = 2m (m ∈ N * ) Khi đó A= 55 .54 = (2m) 2 = 4m 2 ( 2) Ta thấy vế phải của (2) là số chia hết cho 4 còn vế trái của (2) không chia hết cho 4, vô lý. Do đó A không thể có tận cùng bằng 4 * Nếu A có tận cùng bởi 5 thì A chia hết cho 5 ⇒ k 2 M 25 . Đặt k = 5q (q ∈ N * ) Vì A M 5 ⇒ A lẻ ⇒ qk lẻ ⇒ q lẻ. Đặt q = 2p +1 (p ∈ N * ) ⇒ k = 5(2p+ 1) Khi đó A = k 2 = 25(2p +1) 2 = 25.( 4p 2 +4p +1) = 100p 2 + 100p + 25 (*) ⇒ A có tận cùng bởi 25 Xét A = 55 .525 = 55 .500 + 25 (**) Từ (*) và (**) ⇒ 55 500 + 25 = 100p 2 + 100p + 25 ⇒ 55 .500 = 100p 2 + 100p Hay 55 .5.100 = 100( p 2 + p) ⇒ 55 5 = p 2 + p = p( p+1) ⇒ 55 .5 là số chẵn, vô lí Vậy A không thể có tận cùng bằng 5 * Nếu A có tận cùng bởi 6 thì A= 55 56 = k 2 Tổng các chữ số của A là 5+5+ .+ 5 + 6 = 5.999 +6 M 3 nhưng / N 9 999 số 5 ⇒ A không là số chính phương .Vậy A không thể có tận cùng bằng 6 * Nếu A có tận cùng bằng 9 thì A = 55 .59 = k 2 ⇒ k là số lẻ Đặt k = 2l +1 (l ∈ N * ) Khi đó A = 55 .59 = (2l +1) 2 = 4l 2 + 4l +1 ⇒ 55 58 = 4l 2 + 4l = 4l (l +1) (3) Ta thấy vế phải của (3) là số chia hết cho 4 còn vế trái của (3) không chia hết cho 4, vô lý. Do đó A không thể có tận cùng bằng 9 Tóm lại không tồn tại số chính phương gồm 1000 chữ số trong đó có 999 chữ số 5 và một chữ số khác 5 3.6.BT6 Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2 số 2n +1 và 3n + 1 đồng thời là số chính phương Giải: Vì n là số tự nhiên có 2 chữ số ⇒ 10 n≤ ≤ 100. Do đó 21 ≤ 2n +1 ≤ 201 (1) Mặt khác 2n + 1 là số chính phương lẻ (2) Từ (1) và (2) ⇒ 2n + 1 ∈ {25; 49; 81; 121; 169} ⇒ n ∈ {12; 24 ; 40 ; 60 ; 84} Do đó 3n +1 ∈ {37; 73; 121; 181; 253} Trong các số trên chỉ có 121 = 11 2 là số chính phương . Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là 40 3.7.BT7 Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng hiệu các bình phương của số đó và số viết bởi 2 chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là số chính phương Giải: Gọi số tự nhiên có 2 chữ số cần phải tìm là ab ( a, b # 0) a, b ∈ N Số viết bởi hai chữ số của số ab nhưng theo thứ tự ngược lại là ba Ta có : 2 2 ab ba − = (10a +b) 2 – (10 b +a) 2 = 100a 2 +20 ab +b 2 - 100b 2 – 20ab + a 2 = 99a 2 – 99b 2 = 99( a 2 - b 2 ) M 11 ⇒ a 2 - b 2 M 11 hay (a+b)(a-b) M 11 Vì 0< a-b ≤ 8 ; 2 ≤ a+b ≤ 18 ⇒ a+b = 11 Khi đó 2 2 ab ba− = 99( a 2 - b 2 ) = 3 2 . 11(a+b)(a-b) = 3 2 .11 2 .(a-b) Do đó, để 2 2 ab ba − là số chính phương thì a- b là số chính phương Mà 0< a-b ≤ 8 nên có 2 trường hợp a-b =1 hoặc a-b = 4 + Nếu a-b = 1 Và a +b = 11 ⇒ a= 6, b = 5 ⇒ ab = 65 Khi đó 2 2 ab ba − = 65 2 -56 2 = 4225 – 3136 = 1089= 33 2 + Nếu a-b = 4 Và a +b = 11 ⇒ a = 5,5 ∉ N loại Vậy số phải tìm là 65. 3.8.BT8 : Chứng minh rằng số: a. M = 11… 1 55……56 là số chính phương n số1 n-1 số 5 b. N = 44……4 88… 89 là số chính phương n số 4 n-1 số 8 Giải a. M = 11… 1 55……56 = 11……1 55……5 +1 = 11 .1 + 44 4 +1 n số1 n-1 số 5 n số 1 n-1 số 5 2n số 1 n số4 = 11 1 + 4. 11 .1 +1 2n số 1 n số 1 99 .9 99 9 2n số 9 n số 9 9 9 10 2n -1 4(10 n -1) 10 2n – 1 + 4(10 n – 1) + 9 10 2n + 4.10 n +4 9 9 9 9 100 .02 ( 10 n – 1) 2 n số 0 33 34 2 9 3 n-1 số 3 Vậy M là số chính phương. b. N = 44 4 88 .89 44 .4 44 .4 + 1 n số 4 n-1 số 8 2n số 4 n số 4 = 11 1 + 4. 11 .1 +1 2n số 1 n số 1 99 .9 99 9 2n số 9 n số 9 9 9 10 2n -1 4(10 n -1) 4(10 2n – 1) + 4(10 n – 1) + 9 4.10 2n + 4.10 n +1 9 9 9 9 200 .01 ( 2.10 n +1) 2 n số 0 66 67 2 9 3 n-1 số 6 Vậy N là số chính phương. 4. Chốt lại phần lý thuyết và lưu ý vận dụng chuyên đề: - Nắm vững định nghĩa, tính chất của số chính phương. - Xem kĩ các dạng bài tập đã được nghiên cứu trong chuyên đề. - Chú ý vân dụng định nghĩa, tính chất số chính phương khi yêu cầu tìm các số thỏa mãn một số điều kiện cho trước liên quan đến số chính phương; Chứng minh một số là số chính phương hay không thể là số chính phương đặc biệt là những số phải chứng minh thông qua sử dụng cấu tạo số. 5.Bài tập về nhà: Cho ba số tự nhiên : A = 44 .4 ; B = 22 2 ; C = 88 8 2n số 4 (n+1)số2 n số 8 Chứng minh rằng: A + B + C + 7 là số chính phương. Gợi ý: A + B + C + 7 = 44 .4 + 22 2 + 88 8 2n số 4 (n+1)số2 n số 8 = 4. 11 1 + 2. 11 1 + 8. 11 .1 2n số 1 (n+1)số1 n số 1 Sau đó biến đổi tương tự BT 8. . nghĩa: Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên. VD: 9 và 25 là các số chính phương vì 9 = 3 2 ; 25 = 5 2 B, Một số tính chất: * Số chính phương. Tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương Giải: Cách 1: Vì một số chính phương có chữ số hàng chục là 6 thì chữ số hàng chục