Chủ Đề9 CÔNG THỨC LƯNG GIÁC II. MỤC TIÊU: Kiến Thức: Nắm vững các giá trò lượng giác bất kỳ. Nắm được các hằng đẳng thức lượng giác. Nắm được mối quan hệ của các giá trò lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt.các công thức cộng, công thức nhân đôi, và công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng .PP giải một vài dạng toán cơ bản có liên quan. Kỹ năng: Tính được các giá trò lượng giác của các góc. Biết cách vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức lượng giác. Biết vận dụng các công thức trong việc giải các bài tập. Thái độ: Rèn luyện tính cẩn thận, óc tư duy lôgíc và tư duy hình học. II THỜI LƯNG: 4 TIẾT Tiết 1,2 1/ Nhắc lại các kiến thức cơ bản: 1 Công thức cơ bản. 2 2 sin cos 1 α α + = ; 2 2 1 1 tan cos α α + = ; 2 2 1 1 cot sin α α + = ; tan .cot 1 α α = 2 các công thức của các cung có liên quan đặc biệt [∗]sin(π - α) = sinα ; cos(π - α) = -cosα; tan(π - α) = -tanα ; cot(π - α) = -cotα [∗] cos(-α) = cosα ; sin(-α) = -sinα ; tan(-α) = -tanα ; cot(-α) = -cotα [∗] sin cos 2 π α α   − =  ÷   ; cos sin 2 π α α   − =  ÷   ; tan cot 2 π α α   − =  ÷   ; cot tan 2 π α α   − =  ÷   ∗] sin( ) sin α π α + = − ; ; cos( ) cos α π α + = − ; tan( ) tan α π α + = ; cot( ) cot α π α + = 2/Bài tập 1. Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản: Bài 1: Tính các giá trò lượng giác của cung α, biết: a) Cos α = 2 5 và 3 2 π < α < 2 π ; b) Cot α = 5 và π < α < 3 2 π Giải a) Vì 3 2 π < α < 2 π nên sin α <0. Do đó sin α = 4 21 21 1 25 25 5 − − − = − = Từ đó ta suy ra tan α = 21 5 − , cot α = 2 21 − b) Vì π < α < 3 2 π nên sin α <0. Ta có sin 2 2 1 1 1 cot 6 α α = = + Vậy sin α = 1 6 − , cos α = sin α cot α = 1 6 − . 5 = 5 6 − , còn tan α = 1 1 cot 5 α = Bài 2: tính các giá trò lượng giác của cung α, biết: a) Tan α = 1 3 − và 2 π α π < < b) Sin α = 2 3 − và 3 2 2 π α π < < Giải a) Vì 2 π α π < < nên cos α <0. Ta có 2 2 1 9 cos 1 tan 10 α α = = + Suy ra cos α = 3 10 − , sin α = cos α. tanα= 3 10 − . 1 3   −  ÷   = 1 10 , cot α=-3 b) Vì 3 2 2 π α π < < nên cos α >0. Do đó cos α = 2 4 5 1 sin 1 9 3 α − = − = Từ đó tan α = 2 5 − ,cot α = 5 2 − . Bài 3: Cho sin α + cos α = 7 5 − . Hãy tính các giá trò lượng giác của cung α Ta đã có tổng S = sin α + cos α, muốn tính sin α và cos α ta cần tính tích P=sin α.cos α rồi áp dụng đònh lí Vi-ét. Lúc đó sin α và cos α là nghiệm của phương trình x 2 – Sx + P = 0. Giải Ta có ( sin α + cos α) 2 = 49 25  sin 2 α + cos 2 α + 2sin α.cos α = 49 25  1 + 2sin α.cos α = 49 25  Sin α.cos α = 12 25 Vậy sin α và cos α là nghiệm của phương trình x 2 + 7 5 x + 12 25 = 0 phương trình này có hai nghiệm x = 3 5 − và x= 4 5 − vậy có hai khả năng: a) Sin α = 3 5 − ,cos α= 4 5 − . Suy ra tan α = 3 4 , cotα= 4 3 Sin α = 4 5 − ,cos α= 3 5 − . Suy ra tan α = 4 3 , cotα= 3 4 Tiết 3,4 1/ Nhắc lại các kiến thức cơ bản: I/Công thức cộng: ∀ a,b ∈ R Ta có : Cos(a-b) = Cosa.Cosb + Sina.Sinb (1); Cos(a+b) = Cosa.Cosb – Sina.Sinb (2) Sin(a-b) = Sina.Cosb + Sinb.Cosa (3); Sin(a+b) = Sina.Cosb + Sinb.Cosa (4) Tg(a+b) = TgbTga TgbTga .1 − + (5); Tg(a-b) = TgbTga TgbTga .1 + − (6) II/Công thúc nhân đôi: Sin2a = 2.Sina.Cosa (7) Cos2a = Cos 2 a – Sin 2 a = 1 – 2.Sin 2 a = 2.Cos 2 a – 1 (8) Tg2a = aTg Tga 2 1 .2 − (9) Ở (9) ta có a ≠ 2 π + K π ; a ≠ 4 π + K 2 π Công thức hạ bậc: Cos 2 a = 2 21 aCos + (10); Sin 2 a = 2 21 aCos − (11) ;Tg 2 a = aCos aCos 21 21 + − (12) Ở công thức (12) a ≠ 2 π + K π . IIIcông thức biến đổi tích thành tổng ( ) ( ) 1 cos cos cos cos 2 a b a b a b= − + +    ; ( ) ( ) 1 s s cos cos 2 ina inb a b a b= − + +    ( ) ( ) 1 s cos sin sin 2 ina b a b a b= − + +    IVcông thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2cos cos 2 2 u v u v u v + − + = ; cos cos 2sin sin 2 2 u v u v u v + − − = − sin sin 2sin cos 2 2 u v u v u v + − + = ; sin sin 2cos sin 2 2 u v u v u v + − − = 2/Bài tập Bài 4. Rút gọn các biểu thức: a) A= 2 tan cot 1 tan α α α + + b) B= 1 1 tan cos 1 tan 1 cos x x x x + + + Giải a) A= 2 2 2 2 2 sin cos cos (sin cos ) cos cos sin cot 1 sin cos sin cos cos α α α α α α α α α α α α α α + + = = = b) 2 2 sin cos . 1 cos sin 1 cos cos sin 1 cos 1 cos sin cos . cos sin 1 2cos cos 2(1 cos ) 2 sin (1 cos ) sin (1 cos ) sin B α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α + + = + = + + + + + + + = = = + + Bài 5: a) Chứng minh rằng: cos sin ;sin cos 2 2 π π α α α α     + = − + =  ÷  ÷     b) tính cos 5 6 π ,sin120 0 . Giải a) Ta có cos cos cos cos sin 2 2 2 2 sin sin sin sin cos 2 2 2 2 π π π π α α π α α α π π π π α α π α α α           + = − + =− − =− − = −  ÷  ÷  ÷  ÷                       + = − + =− − = − =  ÷  ÷  ÷  ÷             b) ( ) 0 0 0 0 5 3 cos cos sin 6 3 2 3 2 3 sin120 sin 30 90 cos30 2 π π π π   = + = − = −  ÷   = + = = Bài 6: a) Chứng minh rằng 3 3 cos sin ;sin cos 2 2 π π α α α α     + = + = −  ÷  ÷     b) Dùng các công thức ở câu a) tính cos 5 3 π , sin 315 0 . Giải a) Ta có 3 cos cos cos sin 2 2 2 3 sin sin sin cos 2 2 2 π π π α α π α α π π π α α π α α         + = + + = − + =  ÷  ÷  ÷                   + = + + = − + = −  ÷  ÷  ÷           b) 0 0 0 0 5 3 1 cos cos sin 3 6 2 6 2 2 sin 315 sin(45 270 ) cos45 2 π π π π   = + = =  ÷   = + = − = − Bài 7: Rút gọn biểu thức A = 2 2 3 5 1 sin cos 4 4 3 5 cos cos 4 4 π π α α π π α α     + + + +  ÷  ÷         + + +  ÷  ÷     Giải 2 2 2 2 1 sin cos 1 cos cos 2 4 4 4 4 1 sin cos cos cos 4 4 2 4 4 A π π π π π α π α α α π π π π π α α α π α             + + + + + + + + − +  ÷  ÷  ÷  ÷                 = = =             + + + + + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷                 2. Sử dụng công thức cộng và hệ quả Bài 8 Tính sin 2 α biết sin α= 0,8 và 0< α < 2 π Giải Vì 0< α< 2 π nên cos α >0 và sin 2 α >0 Ta có cos α = 2 1 sin 1 0,64 0,36 0,6 α − = − = = Mặt khác cos α = 2 2 1 2sin 2sin 1 0,6 0,4 2 2 α α − ⇒ = − = Vậy sin 2 =0,2= 1 5 . Suy rasin 2 α = 1 5 Bài 9 Rút gọn các biểu thức a) 1 sin 4 cos4 1 sin 4 cos 4 A α α α α + − = + + b) 96 3sin cos cos cos cos 48 48 24 12 6 B π π π π π = c) 0 0 0 0 0 0 sin160 cos110 sin 250 cos340 tan110 tan340C = + + Giải a) 2 2 1 sin 4 cos 4 2sin 2 cos 2 2sin 2 1 sin 4 cos 4 2sin 2 cos2 2cos 2 2sin 2 (cos 2 sin 2 ) tan 2 2cos 2 (sin 2 cos2 ) A α α α α α α α α α α α α α α α α α + − + = = + + + + = = + b) 48 3 2sin cos cos cos cos 48 3sin cos cos cos 24 3 sin cos cos 48 48 24 12 6 24 24 12 6 12 12 6 3 12 3 sin cos 6 3 sin 6 3. 9 6 6 3 2 B π π π π π π π π π π π π π π π   = = =  ÷   = = = = c) Ta có sin(180 0 -20 0 )cos(180 0 -70 0 ) + +sin(180 0 +70 0 )cos(360 0 -20 0 ) =- sin 20 0 cos70 0 – sin70 0 cos20 0 =-sin(20 0 +70 0 )=-1 Mặt khác tan 110 0 tan340 0 = tan(180 0 – 70 0 )tan(360 0 -20 0 )=tan70 0 tan20 0 =tan70 0 tan(- 70 0 )=tan70 0 cot70 0 =1 Vậy C = -1 +1 =0 Bài 10: Không dùng máy tính hãy tính giá trò của các biểu thức sau a) 0 0 1 1 cos290 3 sin 250 P = + b) 3 3 sin sin 3cos Q α α α = + ,nếu tanα =2 Giải a) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 cos(270 20 ) cos 270 cos 20 sin 270 sin 20 3 sin(270 20 ) 1 1 1 3 cos 20 sin 20 sin 20 3 sin 270 cos 20 3 cos270 sin 20 3 cos20 3 sin 20 cos 20 3 1 2 cos20 sin 20 2 2 4 sin 60 cos 20 cos60 sin 20 . 3 3 sin 40 2 P = + = + + − − − + = − = −   −  ÷ −   = = 0 0 0 4 sin 40 4 . sin 40 sin 40 3 3 = = b) 3 3 3 3 3 2 3 sin sin cos sin sin 3cos 3 cos tan (1 tan ) 10 tan 3 11 Q α α α α α α α α α α = = + + + = = + . Cos(a-b) = Cosa.Cosb + Sina.Sinb (1 ); Cos(a+b) = Cosa.Cosb – Sina.Sinb (2 ) Sin(a-b) = Sina.Cosb + Sinb.Cosa (3 ); Sin(a+b) = Sina.Cosb + Sinb.Cosa (4 ) Tg(a+b). biệt [∗]sin(π - α) = sinα ; cos(π - α) = -cosα; tan(π - α) = -tanα ; cot(π - α) = -cotα [∗] cos(-α) = cosα ; sin(-α) = -sinα ; tan(-α) = -tanα ; cot(-α) =