Chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng phơng pháp chuyển về lợng giác ----------- Các vấn đề cần chuẩn bị : 1- Các công thức lợng giác 2- Các ĐT, BĐT trong tam giác 3, Bài toán ví dụ: Dạng 1: Sử dụng điều kiện của biến x k (k >0) Đặt x = k.sina; 22 a hoặc đặt x = k.cosa; 0 a Ví dụ 1: Chứng minh các biểu thức sau: a, 154aa93 2 + b, 9 2 8a 2 a16a1 + c, 3a1 với12645a 2 24a 3 4a + Giải: a, Điều kiện: 22 - 3sina; a ặt Đ 3.a = Khi đó 3sin3cos4.3sin3.3cos4aa93 2 +=+=+ 3 = 151515 =+ )-3cos(sin 5 4 cos 5 3 Với 5 4 sin ; 5 3 cos == b, Điều kiện a 1. Đặt a = cos; 0 Ta có 9 2 8a 2 a16a1 + 5 2 4(2a 2 a16a + )15 51) 2 4(2cossin 6cos + 524cos3sin + ) 5 3 vàsin 5 4 cos (với == 52(cos5 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có đpcm c, Từ 1 a 3 - 1 a - 2 1 Đặt a - 2 = cos với [0; ] 1 Khi đó: A = 4a 3 - 24a 2 + 45a - 26 = 4 (cos +2) 3 - 24(cos +2) 2 + 45 (cos + 2) - 26 = 4cos 3 - 3cos = cos3 Ví dụ 2: Chứng minh các bất đẳng thức: a, 1 2 x1y 2 y1x + b, 2 2 x12x1) 2 (2x3 + Giải: a, Điều kiện x 1; y 1 Đặt x = sina, y = sinb với 2 ; 2 ba, Khi đó: 2 x1y 2 y1x + = sinacosb + sinbcosa = sin(a + b) 1b)sin(a 2 x1y 2 y1x +=+ (đpcm) b, Điều kiện x 1 Đặt x = cosa với 0 a Khi đó: 2cosasina1)a 2 (cos3 2 x12x1) 2 (2x3 +=+ = sin2a) 2 1 cos2a 2 3 2( sin2a cos2a 3 +=+ = ) 6 (cos(2a2 sin2a) 6 sin cos2a 6 2(cos =+ = 2 =+ ) 6 (cos(2a2 2 x12x1) 2 (2x3 (đpcm) Ví dụ 3: Chứng minh nếu x < 1 và n là số nguyên (n 2) thì ta có BĐT: (1 - x) n + (1 +x) n < 2 n Giải: Với điều kiện bài toán x < 1 đặt x = cosa, a K Khi đó (1 - x) n + (1 +x) n = (1- cosa) n + (1 + cosa) n 2 = n 2 a 2 2cos n 2 a 2 2sin + = n 2) 2 a 2 cos 2 a 2 (sin n 2 ) 2 a 2n cos 2 a 2n (sin n 2 =+<+ (vì với n 2 sin 2n x < sin 2 x và cos 2n x < cos 2 x) Dạng 2: Biến x, y của biểu thức có điều kiện: x 2 + y 2 = k 2 (k >0) Đặt x = k.cos; y = k.cos; [0; 2] Ví dụ 1: Cho x 2 + y 2 = 1, chứng minh rằng: a, 1 y2 x3 + b, 1yx 4 1 66 + c, a + b = 2; chứng minh: a 4 + b 4 a 3 + b 3 d, a + b = c. Chứng minh: 4 3 4 3 4 3 cba >+ e, x 2 + y 2 = u 2 + v 2 = 1 Chứng minh: 2v)y(uv)x(u ++ Giải: a, Từ điều kiện x 2 + y 2 = 1 Ta đặt x= sin; y = cos ( [0; 2] khi đó BĐT cần chứng minh tơng đơng với: -1 cos2sin cos sin + + 3 cos - -21 2 3 (vì 2 + cos >0) + (2) 2 cos sin3 (1) -2 cos sin3 Ta có: ) cos 2 1 sin 2 3 2( cos sin3 +=+ = ) cos 6 sin 6 2( + 3 = (1) -2) 6 2sin( + và ) cos 2 1 sin 2 3 2( cos sin3 += = (2) ) 6 - 2sin( Vậy 1 y2 x3 + b, Đặt x = sin; y = cos Khi đó: x 6 + y 6 = sin 6 + cos 6 = (sin 2 + cos 2 ) (sin 4 - sin 2 cos 2 + cos 4 ) = (sin 2 + cos 2 ) 2 - 3sin 2 cos 2 = 1- 4 3 sin 2 2 Vì 0 sin 2 2 1 nên 4 3 1 4 1 sin 2 2 1 1yx 4 1 66 + (đpcm) c, * Nếu một trong hai số có hai số âm, chẳng hạn b <0 Khi đó a> 2 và ta có a 4 > a 3 ; b 4 > b 3 Vậy a 4 + b 4 > a 3 + b 3 * Giả sử a 0; b 0. Từ điều kiện a + b = 2 Ta đặt a = 2sin 2 ; b = 2cos 2 khi đó: a 4 + b 4 > a 3 + b 3 16sin 8 + 16cos 8 8sin 6 + 8cos 6 8sin 6 (2sin 2 - 1) + 8cos 6 (2cos 2 - 1) 0 8cos2 (cos 6 - sin 6 ) 0 8cos 2 2 (sin 4 + sin 2 cos 2 + cos 4 ) 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có đpcm Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cos2 = 0 hay sin 2 = cos 2 hay a = b d, Từ giả thiết 1 =+ c b c a Đặt 2 cos c b ; 2 sin c a == 4 Khi ®ã (1) ⇔ 4 3 4 3 4 3 cba >+ >1 ⇔ 1 4 3 ) 4 3 ) >+ αα 2 (cos 2 (sin ⇔ 1 2 3 ) 2 3 ) >+ αα (cos(sin (2) V× 0 < sinα < 1 vµ 0 < cosα < 1 nªn αα 2 sin(sin > 2 3 ) vµ αα 2 (cos cos 2 3 ) > do ®ã 1 2 cos 2 sin 2 3 ) 2 3 ) =+>+ αααα (cos(sin tøc lµ ta cã (2) tõ ®ã suy ra ®pcm D¹ng 3: Sö dông ®iÒu kiÖn x ≥ k (k > 0) §Æt α cos k x = ; α ∈[ 0; 2 π ) ∪ [π ; 2 3 π ) Khi ®ã x 2 - k 2 = k 2 ( )1 − α 2 cos 1 = k 2 tg 2 α vµ tgα > 0 VÝ dô 1: a, Cho a ≥ 1, chøng minh r»ng 2 a 31 2 a 2 ≤ +− ≤− b, Cho a ≥ 1, b ≥ 1 chøng minh r»ng ab1 2 b1 2 a ≤−+− c, Cho x, y, x, t lµ nghiÖm hÖ        ≥+ =+ =+ 12tyzx 16 2 z 2 t 9 2 y 2 x Chøng minh r»ng: (x+z) ≤ 5 Gi¶i: a, Tõ ®iÒu kiÖn a ≥ 1 ®Æt: α cos k a = ; α ∈[ 0; 2 π ) ∪ [π ; 2 3 π ) Khi ®ã: 5 A = )3(cos cos 1 2 cos 1 += + = + tg 31 a 31 2 a = 3 cos + sin = 2 ( sin 2 1 cos 2 3 + ) = 2 (cos 6 cos + sin 6 sin) = 2 cos( - 6 ) A 2 (đpcm) b, Ta có (1) 1 ab 1 2 b1 2 a + Đặt cos 1 a = ; cos 1 b = với , [ 0; 2 ) [ ; 2 3 ) Khi đó: A = ab 1 2 b1 2 a + = cos 1 . cos 1 1 2 cos 1 1 2 cos 1 + = coscos(tg + tg) = sin( + ) A 1 (đpcm) Dạng 4: Bài toán có biểu thức x 2 + k 2 Đặt x = ktg ( (- 2 ; 2 )) x 2 + k 2 = k 2 (1+tg 2 ) = 2 cos 2 k (cos >0) Ví dụ 1: Chứng minh các biểu thức a, 1 + ab 1 2 b1 2 a ++ . b, 2 1 )1)( 2 1 + + 22 ba-(1 ab)b)(a(a Giải: a, Đặt a = tg; b = tg với , (- 2 ; 2 ) 6 Khi ®ã: 1 + ab ≤ 1 + tgαtgβ = βα ααβα coscos sinsincoscos +++ = βα βα βα coscos 1 coscos )cos( ≤ − = 2 b1 2 a1 2 tg1 2 tg1 ++=++ αα ⇒ 1 + ab ≤ 1 2 b1 2 a ++ . b, §Æt a = tgα; b = tgβ víi αβ ∈ (- 2 π ; 2 π ) Khi ®ã: A= βα βαβα 2 tgtg (1 gtg-)(1tg(tg ) 2 b)(1 2 a(1 ab)b)(1(a 2 +++ + = ++ −+ 1() t = cos 2 α.cos 2 β. )2 2 1 cos ) . cos ) βα βα βα βα βα + = ++ sin(2 c cos( c sin( osos = )2 2 1 βα + sin(2 ⇒ A ≤ 2 1 (®pcm) VÝ dô 2: Chøng minh ∀ a, b, c ∈ R ta cã: 2 c1. 2 b1 c-b 2 b1. 2 a1 ba 2 c1. 2 a1 ca ++ + ++ − ≤ ++ − §Æt a = tgα; b = tgβ, c= tgγ BiÓu thøc cÇn chøng minh: ⇔ γβ γβ βα βα γα γα cos.cos 1 cos.cos 1 cos.cos 1 tgttgt tgt − + − ≤ − gg g ⇔ sin(α - γ) ≤ sin(α - β)+sin( β - γ) Ta cã: sin(α - γ) = sin([α - β) + (β- γ)] = sin(α - β).cos(β - γ) + sin(β- γ).cos(α-β) ≤ sin(α - β).cos(β - γ)+ sin(β- γ).cos(α-β) ≤ sin(α - β)+ sin(β- γ) ⇒ BiÓu thøc cÇn chøng minh ®óng VÝ dô 3: a, b, c ∈R, chøng minh (ab + 1) (bc + 1) (ca + 1) ≠ 0 Chøng minh: 7 ca1 a - c . bc1 cb . ab1 ba ca1 a - c bc1 cb ab1 ba ++ + = + + + + + Đặt a = tg; b = tg; c= tg. Khi đó: VT = tgtg1 tgtg tgtg1 tgtg tgtg1 tgtg + + + + + = tg( - ) + tg( - ) + tg(+) do ( - ) + ( - ) + (+) = 0 nên tg( - ) + tg( - ) + tg(+) ca1 a - c bc1 cb ab1 ba + + + + + = tg( - ) + tg( - ) + tg(+) Dạng 5: Chuyển BĐT về dạng BĐT trong tam giác Ví dụ 1: Cho x, y, z chứng minh: =++ << 1zxyzxy 1zy,x,0 Chứng minh: 2 33 + + 2 z1 z 2 y1 y 2 x1 x Giải: x,y,z [0,1] và xy + yz + zx = 1 đặt = = = 2 2 2 C tgz B tgy A tgx (vì A, B, C là 3 góc ) ta có 1 =++ 2 A tg 2 C tg 2 C tg 2 B tg 2 B tg 2 A tg BTĐ 2 33 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ++ C C tg tg B tg B tg A tg A tg tgA + tgB + tgC 33 BĐT này đúng đpcm 8 . x 2 + y 2 = 1, chứng minh rằng: a, 1 y2 x3 + b, 1yx 4 1 66 + c, a + b = 2; chứng minh: a 4 + b 4 a 3 + b 3 d, a + b = c. Chứng minh: 4 3 4 3 4 3 cba. β)+ sin(β- γ) ⇒ BiÓu thøc cÇn chøng minh ®óng VÝ dô 3: a, b, c ∈R, chøng minh (ab + 1) (bc + 1) (ca + 1) ≠ 0 Chøng minh: 7 ca1 a - c . bc1 cb . ab1 ba