Trang 1 Giáo án tự chọn Toán 9 Năm học: 2009-2010 Chủ đề tự chọn Chủ đề i Căn thức bậc hai I/ Mục tiêu : -Nắm vững định nghĩa, ký hiệu căn bậc hai số học và sử dụng tốt các kiến thức này để chứng minh một số tính chất của phép khai phơng. -Nắm vững các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai. -Vận dụng tốt các kiến thức này để tính toán, so sánh số, giải toán về biểu thức chứa căn thức bậc hai. -Sử dụng thành thạo bảng, máy tính casio để tìm căn bậc hai của một số. II/ Nội dung chính - Căn bậc hai, căn thức bậc hai và hằng đẳng thức = | A| - Liên hệ giữa phép nhân, phép chia với phép khai phơng - Các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai III/ nội dung cụ thể Tuần thứ 01 Ngày soạn: 14/ 08/ 09 Ngày dạy: / 08/ 09 Tiết 1- Đ1.Căn bậc hai căn thức bậc hai và hằng đẳng thức = | A| i ) Tóm tắt kiến thức cơ bản : 1)Định nghĩa căn bậc hai của một số a không âm ? + Căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho x 2 = a +Số dơng a có đúng hai căn bậc hai đối nhau : căn bậc hai dơng của a là( ) và căn bậc hai âm của a là ( ) +Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết = 0 2)Định nghĩa căn bậc hai số học ? +Với số dơng a, số đợc gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0 Ký hiệu x = Nh vậy : Với a 0 , ta có : Nếu x = thì x 0 và x 2 = a Nếu x 0 và x 2 = a thì x = Giáo viên: ẹoaứn Vaờn Laừm Trửụứng THCS Vúnh Long Trang 2 Giáo án tự chọn Toán 9 Năm học: 2009-2010 Ta viết : = = ax x ax 2 0 Ví dụ : Điền vào ô trống trong bảng sau m 121 1 2,25 1,69 5 1 2 Giải : m 25 121 1 4 1 2,25 1,69 5 11 1 2 1 1,5 1,3 3)So sánh các căn bậc hai số học : +Định lý : Với hai số a, b không âm, ta có : a < b <=> < Ví dụ : So sánh : a) và 2 ; b) 3+ 5 và 9 ; c) + và Giải : a) Ta có : 2 = , mà 4 < 5 => < hay 2 < b) Giả sử : 3+ 5 > 9 <=> 3 > 9 5 <=> 3 > 4 <=> (3) 2 > 4 2 <=> 9.2 > 16 <=> 18 > 16 (đúng) Vậy 3+ 5 > 9 c) Giả sử + <=> ( + ) 2 () 2 <=> 8 + 2 + 11 38 <=> 19 + 2 38 <=> 2 19 <=> (2) 2 19 2 <=> 4.88 > 361 <=> 352 361 (Vô lý) . Vậy + < 4)Căn thức bậc hai : a) Thế nào là căn thức bậc hai ? + Nếu dới dấu căn là một biểu thức đại số thì ta nói đó là một căn thức bậc hai. Ký hiệu : ( Căn thức bậc hai của biểu thức A) - A : biểu thức dới dấu căn hay biểu thức lấy căn. Giáo viên: ẹoaứn Vaờn Laừm Trửụứng THCS Vúnh Long Trang 3 Giáo án tự chọn Toán 9 Năm học: 2009-2010 b)Căn thức bậc hai đợc xác định nh thế nào ? + xác định (có nghĩa, tồn tại) A 0 c)Hằng đẳng thức = | A| Chứng minh định lý : Với mọi số thực a, ta có : 2 a = | a| +Hớng dẫn HS chứng minh : -Để chứng minh 2 a = | a| ta phải chứng minh nh thế nào ? (Ta phải chứng minh |a| là căn bậc hai số học của a, nghĩa là ta chứng minh |a| thỏa mãn hai điều kiện : |a| là một số không âm và khi bình phơng thì bằng a 2 ) -Vì sao |a| là một số không âm ? (vì theo định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số) -Để chứng minh |a| bình phơng thì bằng a 2 ta cần chú ý điều gì ? ( xét các trờng hợp của a : Trờng hợp a 0 và a < 0) -Nếu a 0 thì ta có kết luận gì về giá trị tuyệt đối của a ? ( Nếu a 0 thì |a| = a ). -Nếu a < 0 thì ta có kết luận gì về giá trị tuyệt đối của a ? (Nếu a < 0 thì |a| = - a) +HS trình bày chứng minh : Ta có : |a| 0 Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối của a. Nếu a 0 => |a| = a => (|a|) 2 = a 2 Nếu a < 0 => |a| = - a => (|a|) 2 = (- a) 2 = a 2 Do đó (|a|) 2 = a với mọi số a Vậy |a| chính là căn bậc hai số học của a 2 , tức là 2 a = | a| Nếu A là một biểu thức thì ta cũng có : = | A| Nghĩa là : = A nếu A 0 (tức là A lấy các giá trị không âm, hay các giá trị của biến có trong A làm cho giá trị A không âm) = - A nếu A < 0 (tức là A lấy giá trị âm, hay các giá trị của biến có trong A làm cho giá trị A âm) Tổng quát : = | A| = < 0A nếuA 0A nếuA Ví dụ 1 : Tính : a) 3 ( ) 4 5 , b) ( ) 8 7 , c) 22 1213 Giải : a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 7525.35.3535.35.3 22 2 24 ===== b) ( ) ( ) ( ) 49777 248 === c) ( ) ( ) 5251213.12131213 22 ==+= Ví dụ 2 : Rút gọn a) ( ) ( ) 22 1337 + ; b) 7287823 + Giáo viên: ẹoaứn Vaờn Laừm Trửụứng THCS Vúnh Long Trang 4 Giáo án tự chọn Toán 9 Năm học: 2009-2010 Giải : a) ( ) ( ) 6133713371337 22 =+=+=+ b) ( ) ( ) 22 717477.1.2177.4.2167287823 +=+=+=+ = 317747174 =+=+ Ví dụ 3 : Rút gọn a) 251096 22 +++ xxxx , b) 1683144 22 ++++ xxxx Giải : a) 251096 22 +++ xxxx ( ) 535 2 +=+ xxx = > < = > + <+++ 3)(nễu 8 3)x5(nếu 22x 5)(nễu 8 3)(nễu 5x3x 3)x5(nếu 5x3x 5)(nễu 5x3x b) ( ) ( ) 4.3124.312168.3144 22 22 ++=++=++++ xxxxxxxx = ( ) ( ) ( ) > + <+ = >++ + < 4)x (nếu. 115x 4)x 2 1 (nếu 13x 2 1 .x (nếu 115x 4)x (nếu. 4x. 312x 4)x 2 1 (nếu 4x 312x ) 2 1 .x (nếu 4x 312x ) 4)Nhắc lại và bổ sung : a) = = BA 0)(hoặcB 0A BA b) = = 2 0 BA B BA Giáo viên: ẹoaứn Vaờn Laừm Trửụứng THCS Vúnh Long Trang 5 Giáo án tự chọn Toán 9 Năm học: 2009-2010 c) = = == BA BA BABA 22 d) Với A 0, ta có : x 2 A 2 <=> |x| A <=> - A x A x 2 A 2 <=> |x| A <=> Ax Ax Tuần thứ 02 Ngày soạn: 19/ 08/ 09 Ngày dạy: / 08/ 09 Tiết 2 - Đ1.Căn bậc hai căn thức bậc hai và hằng đẳng thức = | A| ( tiếp) ii/Các bài tập luyện tập : Dạng 1 : Tìm giá trị của biến để căn thức bậc hai có nghĩa : Phơng pháp giải : ( ) xA có nghĩa A(x) 0, giải bất phơng trình bậc nhất này ta tìm đợc các giá trị của x để ( ) xA xác định . Các bài toán luyện tập : 1)Với giá trị nào của a thì các biểu thức sau có nghĩa a) 2008 a ; b) a74 ; c) 5 3 a Giải : a) 2008 a có nghĩa 0 => a 0 b) a74 có nghĩa 4 7a 0 => 7a 4 => a c) 5 3 a có nghĩa < 05 5 0 5 3 5 a a a a => a < 5 . 2)Tìm x để các căn thức sau có nghĩa : a) 61 7 2 + x ; b) 2 4x ; c) 4 2 x ; d) 2 9 x ; e) 1 2 + x ; f) 3 4 2 +x Giáo viên: ẹoaứn Vaờn Laừm Trửụứng THCS Vúnh Long Trang 6 Giáo án tự chọn Toán 9 Năm học: 2009-2010 Giải : a)Ta có : x 2 0 (với mọi x) => x 2 + 61 > 0 => < 0 => không có giá trị nào của x để 61 7 2 + x có nghĩa => x b) 2 4x có nghĩa - 4x 2 0 => x = 0 c) 4 2 x có nghĩa x 2 4 0 => x 2 4 => |x| = 2 => 2 2 x x d) 2 9 x có nghĩa 9 x 2 0 => x 2 9 => |x| 3 => - 3 x 3 e) Ta có x 2 0 (với mọi x) => x 2 + 1 > 0 => 1 2 + x có nghĩa với mọi x R f) Ta có x 2 0 (với mọi x) => x 2 + 1 > 0 => 0 3 4 2 > + x (với mọi x) => 3 4 2 + x có nghĩa với mọi x R Dạng 2 : Rút gọn biểu thức Phơng pháp giải : Vận dụng hằng đẳng thức = | A| = < 0A nếuA 0A nếuA Các bài toán luyện tập : Rút gọn các biểu thức sau : a) A = ( ) ( ) 22 5235 + ; b) B = ( )( ) 53526210 ++ ; c) C = ( ) 26.32 + ; d) D = ( ) abbab ab a aba b . Giải : a) A = ( ) ( ) 2 2 5 3 2 5 + = 5 3 2 5 3 5 5 2 1 + = + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b, B 10 2 6 2 5 3 5 2 5 1 . 6 2 5 . 3 5 ( 5 1) 6 2 5 . 6 2 5 5 1 . 6 2 5 . 5 1 6 2 5 . 6 2 5 36 20 16 = + + = + + = + + + + = + = = c) C = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 c, C = 2 3. 6 2 2 3 3 1 . 2 4 2 3. 3 1 3 1 . 3 1 = 3 1 . 3 1 3 1 . 3 1 3 1 2 + = + = + = + + = + = = d) D = ( ) ( ) ( ) ( ) baab bab a baa b abba bab a aba b = . = ( ) ( ) abbaab baab ab = . Dạng 3 : So sánh các căn bậc hai số học Giáo viên: ẹoaứn Vaờn Laừm Trửụứng THCS Vúnh Long Trang 7 Giáo án tự chọn Toán 9 Năm học: 2009-2010 Phơng pháp : Sử dụng định lý : Với hai số a, b 0, ta có : a < b < Các bài toán luyện tập 1)So sánh a) 157 + với 7 ; b) 112 + với 3 + 5 ; c) 263 với 15 ; d) 335 với 30 Giải : a) Ta có 7 9 3 và 15 16 4, do đó 7 15 7< = < = + < b) Ta có : 2 3 và 11 25 nên 2 11 3 5< < + < + c) Ta có : 26 25 5 3. 26 3.5 15> = > = , do đó 263 > 15 d) Ta có : 33 36 6 5. 33 5.6 5 33 30 5 33 30< = < < > 2)So sánh : a) 30 2 45 4 và 15 ; b) 5 3 và 3 5 Giải : a) Ta có : 30 2 45 30 2 49 30 2.7 4 16 15 4 4 4 > = = = > Vậy 30 2 45 15 4 > b) Giả sử : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 3 3 5 5 3 3 5 5 3 3 5 5 3 3 5 75 45 vậy 5 3 3 5 > > > > > > Giáo viên: ẹoaứn Vaờn Laừm Trửụứng THCS Vúnh Long Trang 8 Giáo án tự chọn Toán 9 Năm học: 2009-2010 Tuần thứ 03 Ngày soạn: 28/ 08/ 09 Ngày dạy: / 09/ 09 Tiết 3 - Đ1.Căn bậc hai căn thức bậc hai và hằng đẳng thức = | A| ( tiếp) Dạng 4 : Chứng minh đẳng thức Phơng pháp : Vận dụng định nghĩa căn bậc hai số học, định lý về so sánh căn bậc hai số học và hằng đẳng thức : + = = ax x ax 2 0 + Với hai số a, b không âm, ta có : a < b <=> < + = | A| = < 0A nếuA 0A nếuA để biến đổi vế trái thành vế phải hoặc vế phải thành vế trái, hoặc hai vế về cùng một biểu thức . Các bài toán luyện tập 1 )Chứng minh rằng : 3 ; 7 là các số vô tỉ. Giải : (Dùng phơng pháp phản chứng) Giả sử 3 là số hữu tỉ, 3 đợc biểu diễn dới dạng phân số tối giản n m , tức là 3 = n m => ( 2 )3 = 2 2 2 n m n m = => 3n 2 = m 2 (1) . Điều này chứng tỏ m 2 3. Giáo viên: ẹoaứn Vaờn Laừm Trửụứng THCS Vúnh Long Trang 9 Giáo án tự chọn Toán 9 Năm học: 2009-2010 Mà 3 là số nguyên tố, nên m 3. Vì m 3 (2) => m = 3m (m Z) => m 2 = (3m) 2 hay m 2 = 9m 2 (3) . Từ (1) và (3) => 3n 2 = 9m 2 => n 2 = 3m 2 , điều này chứng tỏ n 2 3. Mà 3 là số nguyên tố, nên n 3 (4). Từ (2) và (4) => phân số n m cha tối giản (vì m và n còn có ớc chung là 3). Điều này trái với giả thiết là n m tối giản . Vậy 3 là số vô tỉ. (Tơng tự ta chứng minh trờng hợp 7 ) 2) Cho a > 1. Chứng minh rằng : a) Nếu a > 1 thì a > b)Nếu a < 1 thì a < Giải : (áp dụng định lý : Với hai số a, b không âm, ta có : a < b <=> < ) a)Nếu a > 1 thì a > . Vì a > 1 => > 1 hay > 1. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức cho (vì > 0) Ta đợc a > (đpcm) b)Chứng minh tơng tự ta đợc : Nếu a < 1 thì a < . 3)Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số hữu tỉ dơng thỏa mãn điều kiện - = c thì , là các số hữu tỉ . Giải : Ta có : a b = () 2 () 2 = (- )(+ ) Mà - = c là số hữu tỉ (1) , nên + = số hữu tỉ (2) Từ (1) và (2) => , là các số hữu tỉ 4)Với n N, chứng minh đẳng thức : + = (n + 1) 2 n 2 . Giải : Vế trái : + = |n + 1| + |n| = n + 1 + n = 2n + 1 (1) Vế phải : (n + 1) 2 n 2 = n 2 + 2n + 1 n 2 = 2n + 1 (2) Từ (1) và (2) => + = (n + 1) 2 n 2 . Với n = 1 thì + = 4 1 Với n = 2 thì + = 9 4 . Với n = 7 thì + = 64 49 Dạng 5 : Giải các ph ơng trình sau : 2 2 2 2 a) x 4 x 2 b) x 2 x 3 9 c) 3x x x 2x 1 0 4 = + = + + + + + = Giáo viên: ẹoaứn Vaờn Laừm Trửụứng THCS Vúnh Long Trang 10 Giáo án tự chọn Toán 9 Năm học: 2009-2010 Giải : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 2 0 x 2 2 a) x 4 x 2 2 x 2 . x 2 x 2 0 x 4 x 2 x 2 x 2 . x 3 0 + = + + + = = + + = { } x 2 x 2 x 2 x 2 0 x 2 x 3 x 3 0 x 3 Vậy S 2 ; 3 = + = = = = = = b) 2 x 2 x 3 = ( ) 3 x 0 x 3 x 3 2 x 2 3 x 2 2 2 2 6x 11 x 2 9 6x x x 2 3 x + = + = = + + = + x 3 11 x 11 6 x 6 = = 11 Vậy S 6 = c) ( ) 2 9 3 32 2 2 3x x x 2x 1 0 x x 1 0 x x 1 0 4 2 2 + + + + + = + + + = + + + = ữ 3 3 x 0 x 0 2 x 2 x 1 0 x 1 0 + = + = + = + = Giáo viên: ẹoaứn Vaờn Laừm Trửụứng THCS Vúnh Long [...]... thức : x + y + z + 8 = 2+ 4+ 6 z 3 (1) +Điều kiện : x 1, y 2 , z 3 (0,5đ) (1) x 1 2 x 1 + 1 + y 2 4 y 2 + 4 + z 3 - 6 z 3 + 9 = 0 (0,5đ) (x 1 2 x 1 + 1) + (y 2 4 y 2 + 4) + (z 3 - 6 z 3 + 9) = 0 [( x 1 )2 2 x 1 + 1] + [( y 2 )2 4 y 2 + 22] + [( z 3 )2 - 6 z 3 + 32] = 0 ( x 1 - 1) 2 + ( y 2 - 2)2 + ( z 3 - 3)2 = 0 2 x 1 1 = 0 x 1 =1 x 1 = 1 x = 2 2 => y 2 ... tự chọn Toán 9 Năm học: 20 0 9- 2 010 Tuần thứ 04 Ngày soạn: 08/ 08/ 09 Ngày dạy: / 09/ 09 Tiết 4 - 1. Căn bậc hai căn thức bậc hai và hằng đẳng thức = | A| ( tiếp) Dạng 6 : Bài toán tìm cực trị Phơng pháp : Vận dụng |A| A Dấu = xảy ra A 0 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau : a) x 2 6 x + 9 + x 2 + 10 x + 25 b) x 2 + 4 x + 4 + x 2 2 x + 1 + x 2 14 x + 49 Giải : a) A = x 2 6 x + 9. .. { 0 ; 3 } b) 4x 2 + 4x + 1 9x2 = 0 ( 2x + 1) 2 ( 3x ) 2 = 0 2x + 1 = 3x x = 1 2x + 1 = 3x x = 1 x = 1 2x + 1 = 3x 5x = 1 5 Vậy S = { - ; 1 } Bài 4 (1 ) Chứng minh rằng : nếu x2 + y2 = 1 thì : - 2 x + y 2 Ta có : (x y)2 0 x2 + y2 2xy (0,25đ) Vì x2 + y2 = 1 => 2xy 1 => x2 + y2 + 2xy 1 + x2 + y2 (0,25đ) x2 + y2 + 2xy 1 + 1 (x + y)2 2 |x + y| (0,25đ) - 2 x2 + y2... + x 2 = 3 +Nếu x < 1 thì | x 1| + | x 2| = 3 (1 x) + ( 2 x) = 3 3 2x = 3 - 2x = 0 => x = 0 (thỏa) +Nếu 1 x 2 thì | x 1| + | x 2| = 3 (x 1) + (2 x) = 3 Trang Giáo viên: ẹoaứn Vaờn Laừm Trửụứng THCS Vúnh Long 12 Giáo án tự chọn Toán 9 Năm học: 20 0 9- 2 010 x 1 + 2 x = 3 => 0x = 4 (VN) +Nếu x > 2 thì | x 1| + | x 2| = 3 (x 1) + (x 2) = 3 x 1 + x 2 = 3 2x... 2 Dấu = xảy ra x 1 = 0 x = 1 x = 1 7 x 0 x 7 Vậy B đạt giá trị nhỏ nhất là 9 khi x = 1 III/Các bài toán kiểm tra : 1) Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa : Trang Giáo viên: ẹoaứn Vaờn Laừm Trửụứng THCS Vúnh Long 11 Giáo án tự chọn Toán 9 Năm học: 20 0 9- 2 010 a) x2 3x + 2 ; b) x2 + 4x + 5 2)Rút gọn biểu thức : a) 64a 2 + 2a (với a 0) ; b) 3 9a 6 6a3 (với mọi a) 3)Giải... phơng trình : a) x2 2x + 1 + x2 4x + 4 = 3 4x2 + 4x + 1 9x2 = 0 4) Chứng minh rằng nếu x2 + y2 = 1 thì : - 2 x + y 2 5)Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : x + y + z + 8 = 2+ 4+ 6 z 3 b) Hớng dẫn + lời giải Bài 1( 2đ) a) x2 3x + 2 có nghĩa x2 3x + 2 0 (x 1) (x 2) 0 Suy ra : x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 x 2 hoặc x 1 Hoặc x 2 0 x 2 x 2 0 x 2 Vậy với x 1 hoặc x 2 thì x 2 ... + 4x + 5 có nghĩa x2 + 4x + 5 = x2 + 4x + 4 + 1 = (x + 2)2 + 1 > 0 với mọi x Vậy x2 + 4x + 5 xác định với mọi x Bài 2 (2đ) a) 64a 2 + 2a = |8a| + 2a = 10 a (vì a 0) b) 3 9a 6 6a 3 (với mọi a) = 3.|3a3| - 6a3 Bài 3 (3đ) Giải phơng trình a) x 2 2x + 1 + x 2 4x + 4 = 3 ( x 1) 9a 3 6a 3 (nếu.a 0) (0,5đ) = 9a 3 6a 3 (nếu.a < 0) 3a 3 (nếu a 0) = 15 a 3 (nếu a < 0) 2 + ( x 2) 2 =3 x 1. .. x + 49 Giải : a) A = x 2 6 x + 9 + x 2 + 10 x + 25 = ( x 3) + ( x + 5) = x 3 + x +5 = 3 x + x +5 3 x + x +5 =8 2 Dấu = xảy ra khi 2 3 x 0 x 3 5 x 3 x 5+ 0 x 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 8 khi 5 x 3 b) B = x 2 + 4 x + 4 + x 2 2 x + 1 + x 2 14 x + 49 = ( x + 2) 2 + ( x 1) 2 + ( x 7) 2 = | x + 2| + | x 1| + | x 7| x + 2 + 0 + 7 x = 9 (Vận dụng kiến thức : |A| A A 0 ;... ( x 1 - 1) 2 + ( y 2 - 2)2 + ( z 3 - 3)2 = 0 2 x 1 1 = 0 x 1 =1 x 1 = 1 x = 2 2 => y 2 2 = 0 S y 2 = 2 y 2 = 4 y = 6 z 3 = 9 z = 12 z3 =3 z 3 3 2 = 0 ( ( ( ) ) ) Vậy x = 2 ; y = 6 và z = 12 Trang Giáo viên: ẹoaứn Vaờn Laừm Trửụứng THCS Vúnh Long 13 . án tự chọn Toán 9 Năm học: 20 0 9- 2 010 Ta viết : = = ax x ax 2 0 Ví dụ : Điền vào ô trống trong bảng sau m 12 1 1 2,25 1, 69 5 1 2 Giải : m 25 12 1 1 4 1. án tự chọn Toán 9 Năm học: 20 0 9- 2 010 Giải : a) ( ) ( ) 613 3 713 3 713 37 22 =+=+=+ b) ( ) ( ) 22 717 47 7 .1. 217 7 .4. 216 7287823 +=+=+=+ = 317 74 717 4 =+=+ Ví dụ