PHẦN I MỞ ĐẦU I.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán học khoa học ngành khoa học Học toán giúp thân học sinh rèn luyện khả tư duy, phát triển trí tuệ có cách giải vấn đề cách khoa học Tuy nhiên thực tế nhiều học sinh học cách máy móc, rập khn, biết giải tốn theo phương pháp có học sinh trở nên thụ động gặp toán khơng có khn mẫu định Trong chương trình nội dung mơn Tốn trường phổ thơng chia thành hai phần Đại số, Giải Tích phần Hình học Học sinh ln nghĩ hai nội dung hồn tồn khơng liên quan đến mà khơng nhận đại số giải tích hình học ln có mối liên hệ chặt chẽ với Vậy làm để học sinh có lực khá, giỏi thấy mối liên hệ để vận dụng tốt vào giải toán đại số học sinh cảm thấy hứng thú Đó câu hỏi mà nhiều giáo viên quan tâm Trong hai năm gần đây, sau chuyển môn tốn từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đề thi THPT Quốc Gia mơn Tốn có mở rộng rõ rệt Đề thi có nhiều câu hỏi hay, lạ, yêu cầu học sinh phải thật hiểu vận dụng kiến thức Học sinh muốn đạt điểm khá, giỏi kì thi THPT Quốc Gia cần giải tốt câu vận dụng thấp vận dụng cao có đề thi nội dung số phức nằm chương trình Giải Tích nội dung hay quan tâm Phần nhiều học sinh giải tốn số phức phần vận dụng cao ln biến đổi theo cơng thức giải tích, việc biến đổi dài dễ gây nhầm lẫn tốn nhiều thời gian Bên cạnh nhiều tốn số phức lạ nên học sinh thường lúng túng khơng biết giải Từ vấn đề lựa chọn đề tài: “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải toán số phức phương pháp hình học” II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Giúp học sinh hình thành tư logic, hệ thống tư sáng tạo - Hình thành kĩ giải tốn số phức phương pháp hình học III.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu: - Chương IV chương trình Giải tích lớp 12 Nâng cao - Khách thể: Học sinh lớp 12A4; năm học 2018- 2019 Trường THPT Lê Lợi Phạm vi nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu toán số phức vận dụng thấp, vận dụng cao giải phương pháp hình học hiệu IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết Thu thập, nghiên cứu hệ thống lại tài liệu có liên quan đến đề tài để làm sở nghiên cứu Phương pháp thực nghiệm sư phạm - Tiến hành dạy học mơn Tốn nội dung Giải Tích 12 lớp khách thể nghiên cứu - Khảo sát tính khả thi hiệu thực đề tài Phương pháp phân tích, đánh giá kết quả, thống kê xử lí số liệu Sử dụng cơng thức tốn thống kê để xử lí số liệu thu thập nhằm đánh giá kết thực nghiệm Phương pháp viết báo cáo khoa học PHẦN II NỘI DUNG SÁNG KIẾN I.CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN Lý thuyết số phức 1.1.Định nghĩa số phức - Một số phức biểu thức có dạng a + bi , a b số i = −1 thực i thỏa mãn Kí hiệu số phức z viết z = a +bi - i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực b gọi phần ảo số phức Tập hợp số phức kí hiệu 1.2 Modul số phức £ z = a + bi ( a, b ∈ R ) - Modul số phức kí hiệu - Một số tính chất modul số phức: + Với số phức z; z ' , ta có: ; z + z' = z+ z' z + z' ≤ z + z' + Với số phức , ta có: ; I.3 Biểu diễn hình học số phức - Mặt phẳng phức có Ox trục thực Oy trục ảo - Mỗi số phức z = x + yi ( x, y ∈ R ) biểu diễn điểm M Gọi M điểm biểu diễn số phức + ( x; y ) Khi đó: z đối xứng qua trục thực z1 = x + yi uuuuu r MN = uuuu r MN = ( x '− x; y '− y ) ; Khi đó: + Hai điểm biểu diễn số phức z z2 = x '+ y ' i uuuu r OM = x + y + Modul số phức z - z' z' = ( z ≠ 0) z z z z ' = z z ' z; z ' z = a + b2 z ; N điểm biểu diễn số phức ( x '− x ) + ( y '− y ) +  x + x' y + y' ;  ÷   +Trung điểm I đoạn thẳng MN có tọa độ - Ý nghĩa hình học phép cộng trừ hai số phức: Nhận xét 1:Cho hai số phức biểu diễn N Khi đó: z1 = x + yi uuuu r uuur uuur z1 + z2 = OM + ON = OQ có điểm biểu diễn M; z2 = x '+ y ' i có điểm uuur OQ = z1 + z2 uuuu r uuur uuuur uuuur z1 − z2 = OM − ON = NM NM , biểu diễn số phức Các lý thuyết hình học phẳng 2.1.Đường thẳng Trong mặtr phẳng Oxy cho đường thẳng d r z1 − z2 uuuur NM = z1 − z2 n≠0 - Vectơ có giá vng góc với đường thẳng d gọi véc tơ pháp tuyến đường thẳng d r r u≠0 - Vectơ có giá song song trùng với đường thẳng d gọi véc tơ phươngr đườngr thẳng d r - Nếu n = ( a; b ) u = ( b; − a ) u = ( −b; a ) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: M ( x0 ; y0 ) điểm Khoảng cách từ M đến d kí hiệu : d ( M; d ) = ( x − a) + ( y − b) = R xác định a + b2 - Cho đường tròn tâm ax + by0 + c công thức: 2.2.Đường tròn d ( I; d ) ax + by + c = I ( a; b ) , bán kính R Khi phương trình đường tròn - Cho đường tròn (C) đường thẳng d cắt đường tròn (C) điểm A, B, Khi ta ln có: +Nếu H trung điểm AB R = IH + + AB IH ⊥ AB A H I B 2.3 Elip - Trong mặt phẳng Oxy, tập hợp điểm M có tổng khoảng cách tới điểm E, F cố định số 2a không đổi đường Elip có tiêu điểm E, F có độ dài tiêu cự EF = 2c ; trục dài 2a; trục nhỏ 2b b = a2 − c2 - Phương trình chinh tắc: x2 y2 + =1 a b2 - 3.Các kiến thức vectơ - Cho điểm A, B, C ta cóuucác quy tắc sau: ur uuur uuur AB + BC = AC Quy tắc cộng điểm: uuur uuur uuur Quy tắc trừ - : AB − AC = CB Cho hình bình hành ABCD, ta có: r r a; b uuur uuur uuur AB + AD = AC rr r r r r a.b = a b c os a; b ( ) Tích vơ hướng vectơ : II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Trong năm học trước, q trình dạy học sinh lớp 12 ơn thi THPTQG dùng phương pháp khảo sát thực tế từ học sinh trình dạy học thân đồng nghiệp nội dung số phức mức độ vận dụng thấp, vận dụng cao, thân thấy học sinh gặp trở ngại sau: - Học sinh biến đổi theo phương pháp giải tích dài, nhiều thời gian Có nhiều tốn tìm GTLN, GTNN sử dụng bất đẳng thức làm học sinh cảm thấy khó khăn từ dẫn đến học sinh ngại làm tập Có tốn học sinh đâu, biến đổi mày mò, khơng có hướng cụ thể Học sinh chưa có phương pháp cụ thể cho toán số phức làm theo phương pháp hình học Từ vấn đề trên, áp dụng vào trình dạy học năm học 2018 – 2019, tơi có số biện pháp khắc phục sau: - Ôn tập, rèn luyện kĩ toán vectơ, toán hình học phẳng thành thục - Xây dựng hệ thống toán gốc để áp dụng vào giải toán số phức - Hướng dẫn nhận dạng tốn sử dụng phương pháp hình học - Phân chia dạng toán xây dựng bước thực giải toán III GIẢI PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Để hướng dẫn học sinh giải tốt toán số phức vận dụng thấp, vận dụng cao dựa vào phương pháp hình học trước hết cần chia hệ thống tập thành dạng: - - Bài tốn tìm quỹ tích điểm biểu diễn số phức Bài tốn tìm số phức thỏa mãn u cầu liên quan đến hình học phẳng Bài tốn tìm GTLN, GTNN modul số phức Tìm tập hợp điểm số phức thỏa mãn điều kiện Bài tốn tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức số toán mà học sinh cần phải nắm vững Đây xem số tốn để giải toán số phức phức tạp Phương pháp: Bước 1: Nhận dạng giả thiết cho để chuyển sang đối tượng hình học - Nếu tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng có dạng: - z − z1 = z − z2 z − z0 = R - Nếu số phức z thỏa mãn: tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm đường tròn tâm I biểu diễn số phức z0, bán kính R z − c + z + c = 2a Nếu giả thiết có ; a; c số cho trước tập hợp điểm biểu diễn số phức elip có độ dài trục lớn 2a - Nếu tốn khơng có dạng sử dụng tính chất modun số phức đưa dạng quen thuộc Bước 2: Chuyển giả thiết cho sang khái niệm hình học - - Cho số phức z1; z2 phức z thỏa mãn trung trực AB - - z − z1 = z − z2 Khi ta có: MA = MB, hay M thuộc đường Nếu điểm M biểu diễn số phức z; A biểu điễn số phức cho trước hay - có điểm biểu diễn A, B, điểm M biểu diễn số MA = a tức M thuộc đường tròn tâm A, bán kính R=a MA + MB = 2a z0 z − z0 = a ( a > ) Nếu M thuộc đường Elip có tiêu điểm A, B độ dài trục lớn 2a Trong trường hợp toán xuất số phức có liên quan đến số phức cũ, tìm cách biểu diễn số phức qua số phức cũ chuyển giả thiết sang khái niệm hình học Bước 3: Tím mối quan hệ yêu cầu đề với giả thiết cho kết luận 1.1 Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng z − + 2i = z − + i Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn: a Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z b Tìm tập hợp điểm N biểu diễn số phức W = z −i Lời giải z = − 2i ⇒ A ( 3; −2 ) a Gọi A điểm biểu diễn số phức z = − i ⇒ B ( 1; −1) Gọi B điểm biểu diễn số phức Theo ta có : MA = MB nên tập hợp điểm M nằm đường thẳng d đường thẳng trung trực đoạn thẳng AB Ta có uuu r r AB = ( −2;1) ⇒ n = ( −2;1) , trung điểm AB 3  I  2; − ÷ 2  −2 x + y + : 11 =0 Vậy tập hợp điểm M nằm đường thẳng d có phương trình b w = z−i ⇔ z = w +i Thay vào giả thiết ta có: w + i − + 2i = w + i − + i ⇔ w − + 3i = w − + 2i ⇒ Tập hợp điểm N thuộc đường thẳng với ∆ C ( 3; −3) ; D ( 1; −2 ) Đường thẳng ∆ ∆ có r n = ( −2;1) ; đường trung trực đoạn CD , trung điểm CD  −5  K  2; ÷   5 13  −2 ( x − ) + 1 y + ÷ = ⇔ −2 x + y + = 2  Phương trình là: Bài Tìm tập hợp điểm A biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: a iz − 3i − = iz − i − b z − + 2i z −1+ i = 1− i 1+ i Lời giải iz − 3i − = iz − i − ⇔ z − − a ⇒ = z − − ⇔ z − + 2i = z − + i i i Tập hợp điểm A biểu diễn số phức z nằm đường trung trực MN, với M ( 3; ) ; N ( 1; −1) Đường thẳng trung trực MN có r vtpt n ( −2; −3 ) ; qua điểm I  1  2; ÷  2 2x + 3y − Vậy tập hợp điểm A nằm đường thẳng có phương trình: 11 =0 z − + 2i z −1 + i z − + 2i z −1+ i = ⇔ = ⇔ z − + 2i = z − + i 1− i 1+ i 1− i 1+ i b M ( 3; ) ; Vậy tập hợp điểm A nằm đường đường trung trực MN, với 2x + y − N ( 1; −1) có phương trình là: Nhận xét 11 = Đối với hình thức giả thiết có dạng z − z1 = z − z2 w1 = w chưa có dạng , ta cần sử dụng tính chất modul số phức nêu để biến đổi 1.2 Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường tròn Bài Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn: z − 3i + = ( + i ) z + ( z − 1) 3i + 5i = iz − 2i + = b a a Gọi A điểm biểu diễn số phức c Lời giải z0 = −2 + 3i Gọi M điểm biểu diễn số phức z Theo MA = nên M nằm đường tròn tâm A (-2; 3); R = iz − 2i + = ⇔ z −2−i = i iz − 2i + = ⇔ b Vậy tập hợp điểm M nằm đường tròn tâm ( + 2i ) z − ( z + 1) 3i + 5i c ⇔ ( − i ) z + 2i = 1− i I ( 2;1) ; R = = ⇔ ( − i ) z + 2i = 6 − i ⇔ z −1+ i = MK = hay Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z nằm đường tròn tâm K ( 1; −1) ; R = z + 3i − = Bài Cho số phức z thỏa mãn: số phức w = 2z + i w = 2z + i ⇔ z = Hãy tìm quỹ tích điểm biểu diễn w −i Lời giải Thay vào giả thiết ta có: w-i w − i + 6i − + 3i − = ⇔ = ⇔ w − + 5i = 2 I ( 4; −5 ) ; R = Vậy tập hợp điểm biểu diễn w thuộc đường tròn tâm 1.3.Quỹ tích điểm đường Elip Bài (Toán học tuổi trẻ , số 478, năm 2017).Cho số phức z thỏa mãn: z+2 + z−2 =5 Tìm tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z Lời giải Gọi điểm M biểu diễn số phức z , điểm A biểu diễn số phức diễn số phức z = −2 Khi ta có: MA + MB = Vậy tập hợp điểm M nằm đường ( E) z=2 ; điểm B biểu 2a = có tiêu điểm A, B độ dài trục lớn lớn 1.4 Bài tập tự luyện z =2 Cho số phức z thỏa mãn w = − 2i + ( − i ) z Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức đường tròn Tính bán kính R đường tròn A 20 20 B C D z − + 3i = 2i − − z Cho số phức z thỏa mãn phức là? A Một đường tròn Tập hợp điểm biểu diễn số B Một đường thẳng C Một Elip D.Hình khác z =2 Cho số phức z thỏa mãn w = ( − i ) z + 2i Tập hợp điểm biểu diễn số phức đường tròn có bán kính là? A - 2 B C D Các tốn tìm yếu tố liên quan đến số phức 2.1 Phương pháp Bước Chuyển kiện tốn sang khái niệm hình học Thông thường ta gặp kiện đường tròn, đường thẳng , véc tơ… Có thể tốn chưa có dấu hiệu hình học, qua phép biến đổi đại số đưa phương trình đường tròn, đường thẳng……Phần đề cập rõ ràng phần tập Bước 2: Chuyển yêu cầu đề yếu tố hình học: - - Nếu đề yêu cầu tính modun số phức ta chuyển độ dài đoạn thẳng, số số phức ta chuyển tương giao đường thẳng đường thẳng đường tròn, hai đường tròn Trong chuyển yêu cầu đề sang yếu tố hình học cần ý đến việc có xuất số phức ? Nếu có, ta thường tìm mối quan hệ yếu tố cũ chuyển sang yếu tố hình học Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giả thiết u cầu tốn: - Để tìm mối quan hệ trước hết cần thực vẽ hình - Chú ý đến tam giác vuông, cân, - Mối quan hệ đường tròn dây cung 2.2.Bài tập Bài (Đề minh họa Sở giáo dục đào tạo Thanh hóa) Cho số phức z − + 2i = thỏa mãn: z1 − z2 = Tìm modul số phức Lời giải Cách 1: Sử dụng phương pháp đại số Gọi số phức Chứng minh rằng: Thật vậy: Giả sử 2 w1 + w + w1 -w = w + w 2 w1 = x + yi; w = a + bi ( x; y; a; b ∈ R ) w1 + w + w1 -w = ( x + a ) + ( y + b ) + ( x − a ) + ( y − b ) ) w = z1 + z2 − + 4i   w1 = w =    w1 − w = ( , z2 w1 = z1 − + 2i; w = z2 − + 2i Theo giả thiết ta có: Ta có: z1 ( ) 2 = x + a + y + b = w1 + w 2 2 ⇒ w1 + w = 2.25 + 2.25 − 82 = Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học Gọi điểm A, B biểu diễn số phức Khi A, B nằm đường tròn tâm z1; z2 I ( 1; −2 ) ; R = zF = Gọi F trung điểm AB, F điểm biểu diễn số phức z1 + z2 Khi w = zF − + 4i = ( z F − + 2i ) w = z F − + 2i = IF Bước 3: Áp dụng định lí pitago vào tam giác IFB có có: IF = AB = ⇒ FB = ta w =6 Vậy Nhận xét: Qua hai cách giải ta thấy tốn dùng hình học nhanh, không nhiều thời gian vào việc suy nghĩ tiết kiệm nhiều thời gian làm thi 2 w1 + w + w1 -w = w1 + w Bài 2: Trong mặt phẳng phức xét điểm A, B biểu diễn số phức ( + 3i ) z Ta có: z uuur uuu r uuu r AB = OB − OA = 3iz = z OB = ( + 3i ) z = 10 z ; ; OA + AB = OB SOAB = , Biết diện tích tam giác OAB Tính modun số phức z Lời giải OA = z Khi đó, 2 nên tam giác ABC vuông A 1 AB AO = z z = ⇒ z = ⇔ z = 2 z +1 = z − i Bài Có số phức thỏa mãn A B C D.2 Lời giải z −2−i = Phân tích tốn: Nhìn vào giả thiết ta thấy tâp hợp điểm biểu diễn số phức z thuộc đường tròn đường thẳng Bài tốn u cầu số số phức thỏa mãn yêu cầu nên ta cần tìm vị trí tương đối đường thảng đường tròn 10 z = x + yi ( x, y ∈ R ) Gọi ( có điểm biểu diễn ) M ( x; y ) w = ( z − 2i ) zi + − 4i =  x + ( y − ) i   ( x − yi ) i + ( − 4i )  Khi đó: =  x + ( y − ) i  ( y + ) + ( x − ) i  = x ( y + ) − ( y + ) ( x − ) +  x ( x − ) + ( y + ) ( y − )  i Vì phần ảo số thực khơng dương nên ta có: x ( x − 4) + ( y + 2) ( y − 2) ≤ ⇔ x2 + y − 4x − ≤ ⇒ tập hợp M thuộc hình tròn tâm I ( 2; ) ; R = 2 (như hình vẽ) z − + z + z − z ≥ ⇔ 2x − + y ≥ ⇔ x − + y ≥  x + y − ≥ x ≥ 2,y ≥  x − y − ≥ x ≥ 2,y ≤  ⇔ - x + y ≥ x ≤ 2,y ≥ - x − y ≥ x ≤ 2,y ≤ ⇒ Tập hợp điểm M nằm ngồi hình vng ABCO với ( hình vẽ) ( S ( H ) = S(C ) − S ABCO = π 2 Vậy ) −( 2) 2 A ( 2; ) ; B ( 4; ) ; C ( 2; −2 ) = 8π − Diện tích gần đáp án B II.3 Bài tập tự luyện 2z −1 = z + 1+ i Tính modul tất số phức z thỏa mãn , đồng thời điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ thuộc đường tròn tâm A B C I ( 1;1) ; R = D.3 14 Gọi (H) tập biểu diễn tập hợp số phức z mặt phẳng Oxy để 2z − z ≤ , số phức z có phần thực khơng âm Tính diện tích hình (H) ? 3π π π π B C D.6 3.(Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An – lần 4) Cho số phức z thỏa mãn A w = ( + i ) z + − 3i z + − i = z + − 3i Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức đường tròn Bán kính đường tròn thuộc khoảng sau đây? ( 1; ) ( 3; ) ( 2;3) ( 0;1) A B C D Các tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ modul số phức Các toán liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ modul số phức câu hỏi khó Để giải tốn này, ngồi phương pháp đại số phương pháp lượng giác hóa phương pháp hình học công cụ mạnh để học giải tốn nhanh chóng Trong hệ thống tập ta thường chia thành dạng sử dụng hình học cụ thể sau: + Mối quan hệ điểm đường thẳng + Mối quan hệ điểm , đường thẳng, đường tròn, hai đường tròn + Mối quan hệ điểm Elip 3.1 Phương pháp chung Bước Chuyển kiện toán sang khái niệm hình học Thơng thường ta gặp kiện đường tròn, đường thẳng , véc tơ… + Có thể tốn chưa có dấu hiệu hình hoc, qua phép biến đổi đại số đưa phương trình đường tròn, đường thẳng……Phần đề cập rõ ràng phần tập Bước 2: Chuyển yêu cầu đề yếu tố hình học: - Nếu đề u cầu tính modun số phức ta chuyển độ dài đoạn thẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cần ý xuất số phức cần chuyển số phức cũ sang số phức để chuyển sang yếu tố hình học tránh nhầm lẫn Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giả thiết yêu cầu tốn: - Để tìm mối quan hệ này, cần thực vẽ hình quan sát - Sử dụng toán gốc - Cần ý kết hợp bất đẳng thức Bunhia 2.Các toán sử dụng mối quan hệ điểm đường thẳng 3.2.1 Các tốn hình học Bài toán Cho đường thẳng d điểm M nằm ngồi d Tìm N thuộc d cho khoảng cách MN ngắn 15 Lời giải Gọi N hình chiếu điểm M d N1 Gọi điểm thuộc d Xét tam giác vng MNN1 MN ≤ MN1 , ta có: Vậy MN ngắn N hình chiếu MN = d ( M ; d ) M d hay Bài toán Cho đường thẳng d điểm A, B Tìm M thuộc d cho MA + MB nhỏ trường hợp sau: a A, B khác phiá so với d b A, B phía so với đường thẳng d Lời giải a Lấy M’ thuộc d Ta có: M ' A + M ' B ≥ AB Dấu “=” xảy A, M’, B thẳng hàng Vậy MA + MB nhỏ M giao điểm AB d b Lấy A’ đối xứng với A qua d Lấy M’ thuộc d, đó: M ' A + M ' B = M ' A '+ M ' B ≥ A ' B Dấu “=” xảy M’ giao điểm A’B đường thẳng d Vậy MA + MB nhỏ M giao điểm AB d 3.2.2 Bài tập z + − 2i = z − 4i Bài Cho số phức z w thỏa mãn: ; w = iz + Giá trị nhỏ w A ? 2 B 2 C.2 D 2 Lời giải w = iz + ⇔ z = w -1 i Khi ta có: 16 z + − 2i = z − 4i ⇔ w -1 w -1 + − 2i = − 4i ⇔ w + + 2i = w + i i Gọi M điểm biểu diễn số phức w ⇒ M nằm đường trung trực AB với A ( −1; −2 ) ; B ( −3;0 ) Phương trình đường trung trực AB là: x − y +1 = w nhỏ OM ngắn d ( O; d ) = OM = Theo toán OM ngắn 2 Đáp án A z = z − + 2i Bài Cho số phức z thỏa mãn: Giá trị nhỏ P = ( + 2i ) z + 11 + 2i là? A 5 2 B C D Lời giải w = ( + 2i ) z + 11 + 2i ⇔ z = Đặt w - 11 - 2i + 2i z = z − + 2i ⇔ z = z − + 2i ⇔ z = z − − 2i ⇒ w - 11 - 2i w - 11 - 2i w - 11 - 2i w - 11 - 2i + - 4i = − − 2i ⇔ = + 2i + 2i + 2i + 2i ⇔ w − 11 − 2i = w − − 6i Gọi M điểm biểu diễn w, ta thấy tập hợp điểm M nằm đường trung trực d AB A ( 11; ) ; B ( 8; ) 17 uuu r r AB = ( −3; ) ⇒ n d = ( −3; ) , trung điểm Phương trình đường thẳng d :  19  I  ;4÷   25  19  −3  x − ÷ + ( y − ) = ⇔ − x + y − =0 2  P = ( + 2i ) z + 11 + 2i đạt GTNN OM ngắn , : OM = d ( o; d ) = OM = −25 +3 2 = Đáp án D Bài (Đề thi thử THPTQG - Trường THPT Lê Quý Đôn Hà Nội – 2018) z − 2i = z + Trong tập số phức cho số phức z thỏa mãn: Tìm GTNN biểu P = z + 2i + z − + 9i thức Lời giải Gọi M, A, B điểm biểu diễn số phức z; ⇒ A ( 0; ) ; B ( −2; ) z = 2i; z = −2 Theo giả thiết ta có MA = MB , nên M thuộc đường trung trực AB Phương trình đường thẳng d đường trung trực AB là: 1( x + 1) + 1( y − 1) = ⇔ x + y = Gọi điểm C, D điểm biểu diễn số phức z = −2i; z = − 9i ⇒ C ( 0; −2 ) ; D ( 5; −9 ) P = MC + MD Khi Nhận thấy C, D phía so với d nên theo toán P đạt giá trị nhỏ C’D ( C’ đối xứng với C qua d) Xác định C’ đối xứng với C qua d, ta có C’ (2; 0) Pmin = C ' D = ( − 2) + ( −9 ) = 10 Vậy 3.3 Các toán liên quan đến đường tròn 3.3.1.Các tốn hình học ( C) Bài toán Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn trí điểm M, N cho OM ngắn ON dài Lời giải có tâm A Tìm ( C) vị 18 Lấy điểm M thuộc đường tròn ta thấy OM + MA ≥ OA ⇔ OM ≥ OA − MA OM = OA − R Vậy Dấu “=” xảy M giao điểm đường thẳng OA đường tròn, M nằm đoạn OA OM − MA ≤ OA ⇔ OM ≤ OA + R OM max = OA + R Vậy Dấu “=” xảy M giao điểm đường thẳng OA đường tròn, M nằm ngồi đoạn OA Bài tốn Cho đường tròn a.Tìm b Tìm ( C) ( C) có tâm A đường thẳng ∆ vị trí điểm M cho khoảng cách từ M đến vị trí điểm N cho khoảng cách từ N đến Lời giải d ( I; ∆) ≤ R d ( M , ∆) a.- Nếu đường thẳng đường tròn - Nếu ( C) d ( I; ∆) > R ∆ ∆ ngắn dài ngắn tức M giao điểm , gọi N’ điểm (C) , K hình chiếu điểm A d ta ln có: N ' A + N ' K ≥ AK ⇔ N ' K ≥ AK − AN ' = AK − R Dấu “=” xảy A, N’, K thẳng hàng N’ nằm AK Vậy vị trí điểm M giao điểm đường thẳng AK đường tròn (C ), M nằm AK N ' K − AN ≤ AK ⇔ N ' K ≤ AN + AK b.Xét tam giác N’AK ta có: Dấu “=” xảy A, N’, K thẳng hàng N’ nằm AK Vậy vị trí điểm N giao điểm đường thẳng AK đường tròn (C ), N ngồi AK 19 Bài tốn Cho đường tròn (C) tâm A, điểm B, C cố định cho M điểm thuộc đường tròn Tìm giá trị nhỏ Lời giải uuur uuur AB = −k AC P = MB + MC uuur uuur uuu r uuur uuur MB = MB = MA + AB = MA2 + AB + 2.MA AB ( ) uuuu r2 uuur uuur k MC = k MC = k MA + AC ( ) uuur uuur = k MA2 + k AC + 2k MA.AC uuur uuu r uuur MB + k MC = + k MA2 + AB + k AC + MA AB + k AC ( ) = ( + k ) MA ( ) + AB + k AC Mặt khác áp dụng bất đẳng thức bunhia ta có: 1   MB + MC = MB + k MC ≤ 1 + ÷ MB + k MC = k  k  ( MB + MC ≤ (1+ k ) R 2 ) ( + k ) MA 2 + AB + k AC + AB + k AC Pmin = MB + MC = ( 1+ k ) R 2 + AB + k AC Vậy 3.3.2 Bài tập Bài 1: (Toán học tuổi trẻ số 491- năm 2018) Cho số phức z thỏa mãn: z − + 2i = Khi A.20 w = z +1+ i B có modul lớn bao nhiêu? C Lời giải D 20 w = z + + i ⇔ z = w −1 − i Thay vào giả thiết, ta có: w − − i − + 2i = ⇔ w − + i = Gọi M điểm biểu diễn số phức w ⇒ M thuộc đường tròn tâm I ( 2; −1) ; R = w max = OI + R = Theo toán Vậy đáp án B Bài 2: Xét số phức z2 − − i = 2 z1 − − z1 + i = z1 thỏa mãn: số phức Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z1 − z Gọi số phức thỏa mãn: Nhận xét: Từ giả thiết thứ ta thấy tập hợp điểm biểu diễn nên khả sử dụng phương pháp hình học Lời giải z1 = x + yi ( x, y ∈ R ) z2 z2 đường tròn z1 − − z1 + i = ⇔ ( x − ) + y − x − ( y + 1) = ⇔ x + y − = 2 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức Tập hợp điểm N biểu diễn số phức tròn tâm Ta có I ( 4;1) ; R = P = MN 2 z1 z2 nằm đường thẳng thỏa mãn d : 2x + y −1 = z2 − − i = nằm đường , P nhỏ MN ngắn 21 2.4 + − MN = d ( I ; d ) − R = − 5= 5 Theo toán , MN ngắn Bài 3:(Đề thi thử Sở Phú thọ lần – 2019) Giả sử z số phức thỏa mãn iz − − i = P = z − − i + z + + 8i Tìm giá trị lớn 18 15 B.3 A iz − − i = ⇔ 15 C Lời giải iz − − i = ⇔ z − + 2i = i D Gọi M điểm biểu diễn số phức z Vì z − + 2i = nên tập hợp điểm M nằm đường tròn tâm Gọi A, B điểm biểu diễn số phức z = + i; z = −5 − 8i ⇒ A ( 4;1) ; B ( −5; −8 ) I ( 1; −2 ) ; R = uu r uur IA = ( 3;3) ; IB = ( −6; −6 ) nên Vì Theo tốn ta có: uur uu r IB = −2 IA 2MA2 + MB = 3MI + IA2 + IB = 3R + IA2 = 3.9 + ( + ) = 135 ( ) P = MA + MB = 2MA + MB ≤ 2MA2 + MB = 3.135 = Vậy Pmax = Vậy đáp án D Bài Cho số phức P = z1 + z2 A 5−2 z1 ; z2 thỏa mãn z1 − = iz2 − = Tìm giá trị nhỏ B 4− C −3 D +3 Lời giải z1 Gọi M điểm biểu diễn số phức ⇒ M thuộc đường tròn tập thỏa mãn I ( 4; ) ; R1 = z1 − = 22 iz2 − = ⇔ z2 + 2i = ⇔ −2 z2 − 4i = Gọi N điểm biểu diễn số phức −2z2 ⇒ P = z1 + z2 = z1 − ( −2 z2 ) = MN N thuộc đường tròn tâm J ( 0; −4 ) ; R2 = Ta có MN = IJ − R1 − R2 = − Đáp án C 3.4 Các toán liên quan đến Elip z1; z2 Bài (Thi thử THPTQG Hoàng Văn Thụ - 2019) Cho số phức thỏa mãn P = z1 − z2 z1 − + z1 + = z1 − + z1 + = 10 Tìm giá trị lớn biểu thức A.7 B 20 C 14 D 10 Nhận xét: Nhận dạng đặc điểm để sử dụng phương pháp hình học : z1 − + z1 + = z1 − + z1 + = 10 , ta thấy có phương trình Elip Lời giải Gọi M, N hai điểm biểu z1; z2 diễn số phức Gọi A, B, C, D điểm biểu diễn số phức z = 3; z = −3; z = 4; z = −4 Khi ta có: MA + MB = NC + ND = 10 ⇒ Tập hợp điểm M nằm hai Elip có tâm O trục lớn độ dài trục lớn 10 ⇒ Điểm M, N nằm hai vị trí M1 M2 P = z1 − z2 = MN ≤ 10 23 Vậy Pmax = 10 Đáp án D z +1− i + z − + i = Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn Tìm giá trị lớn P = z − + 4i z +1− i + z − + i = Nhận xét: biến đổi giả thiết có hình thức giống phương trình Elip Vì ta cần Lời giải z + − i + z − + i = ⇔ ( z − 1) + ( − i ) + ( z − 1) − ( − i ) = z −1 2−i w= ⇔ z −1 z −1 +1 + −1 = 2−i 2−i w +1 + w −1 = Đặt , phương trình trở thành: Gọi M điểm biểu diễn số phức w , suy tập hợp điểm M thuộc E lip có tâm O, độ dài trục lớn P = z − + 4i = ( − i ) w − + 4i = w − + i   P = w − + i ≤ ( w + −2 + i ) =  + 5÷ =8   Vậy Pmax = 3.5 Bài tập tự luyện z =1 1.(Đề thi thử THPTQG Tiền Giang – 2019) Cho số phức z thỏa mãn: Tìm P = 1+ z + 1− z giá trị lớn 2.(Đề thi thử Quy Nhơn – Bình Định lần 2) Cho số phức z1 + z2 = + 6i A z1 − z2 = 5+3 26 Cho số phức z1 B C 2 z1 − − z1 + i = thỏa mãn A P = z1 + z2 34 + số phức thỏa mãn z2 D z2 − − i = thỏa mãn P = z1 − z2 Tìm giá trị nhỏ Pmin = Tìm giá trị lớn biểu thức z1 ; z2 Pmin = B Pmin = Pmin = C D 24 Cho số phức z z =1 thỏa mãn M, m Gọi P = z +1 + z −1 biểu thức Khi đó: M = 5, m = A M = 5, m = B M = 5, m = C giá trị lớn giá trị nhỏ M = 10, m = D IV HIỆU QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Tôi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy năm học 2018 – 2019 lớp 12A4 trường THPT Lê Lợi Qua đó, so với lớp đối chứng 12A6 chưa áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, nhận thấy học sinh lớp 12A4 giải toán số phức linh hoạt học sinh lớp 12A6 cách rõ rệt: - Học sinh thành thạo tốn quỹ tích - Học sinh có nhiều cách giải khác cho toán số phức, tăng tính linh hoạt việc giải giả thiết phức tạp - Học sinh chủ động việc định hướng giải oán phức tạp Kết cụ thể : Lớp Tốt Khá Trung bình Yếu lớp thực nghiệm 25 13 Tổng: 40 em (62,5%) (32,5%) (5%) lớp đối chứng 15 17 Tổng: 40 em (37,5%) (42,5%) (20%) Đối với thân, áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào thực tế giảng dạy thấy hiệu ôn tập tốt Học sinh chủ động, tích việc phát vấn đề giúp cho tiết dạy có hiệu tốt Ngoài sáng kiến kinh nghiệm tổ chuyên môn đánh giá tốt, thiết thực đồng ý triển khai vận dụng năm học tới nhằm góp phần nâng cao tính chủ động, tích cực học sinh việc dạy học mơn Tốn Đồng thời sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia Như vậy, Sáng kiến kinh nghiệm mang lại hiệu tích cực thiết thực cho người dạy người học Đáp ứng nhu cầu đổi phương pháp dạy học nhằm phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh, nâng cao chất lượng giáo dục PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Qua việc nghiến cứu, triển khai vận dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, rút số học kinh nghiệm sau: - Trong giảng dạy cần thường xun tìm tòi, đưa giải pháp dạy học, cách tiếp cận vấn đề mới, nhằm tạo hứng phú học sinh 25 - Cần kết hợp hình học giải tích đại số cách hợp lí, điều giúp học sinh hiểu rõ mối quan hệ phat triển khả tư duy, sáng tạo Khi sử dụng nội dung cần đặc biệt ý đến đối tượng học sinh cho phù hợp, đưa nội dung q khó cho học sinh làm học sinh nan chí, hứng thú - Đề tài thực độc lập riêng cá nhân tơi nên chắn mang tính chủ quan khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong đề tài mau chóng phổ biến, đồng chí, đồng nghiệp góp ý chân thành để tơi hồn thiện ứng dụng trình dạy học tốt Phát huy tốt tính tư duy, sáng tạo cho học sinh Tơi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Hồng Thị Thúy 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên ) – Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) Trần Phương Dung – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng , ,Giải tích 12 nâng cao, Xuất năm 2008, Nhà xuất giáo dục Việt Nam Nguyễn Đăng Ái, Chuyên đề Số phức ứng dụng 27 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả : Hoàng Thị Thúy Chức vụ đơn vị công tác:Giáo viên trường THPT Lê Lợi T T Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Vập dụng phương pháp vectơ Cấp Tỉnh giải tốn tính khoảng cách hình học không gian Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) C Năm học đánh giá xếp loại 2015 - 2016 28 ... phức - Hướng dẫn nhận dạng tốn sử dụng phương pháp hình học - Phân chia dạng toán xây dựng bước thực giải toán III GIẢI PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Để hướng dẫn học sinh giải tốt toán số phức vận dụng... modul số phức Tìm tập hợp điểm số phức thỏa mãn điều kiện Bài tốn tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức số toán mà học sinh cần phải nắm vững Đây xem số tốn để giải toán số phức phức tạp Phương pháp: ... năm học 2018 – 2019 lớp 12A4 trường THPT Lê Lợi Qua đó, so với lớp đối chứng 12A6 chưa áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, nhận thấy học sinh lớp 12A4 giải toán số phức linh hoạt học sinh lớp 12A6