đề thi Học sinh giỏi lớp 12 Môn : Toán Thời gian: 150 phút Bài 1: ( 4 điểm ) 1. Cho hàm số 1 1 2 + = x xx y Tìm A và B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số sao cho khoảng cách giữa A và B là nhỏ nhất. 2. Tính tích phân ++ = 1 0 1)1( n nn xx dx I ( n = 1; 2;) Bài 2: ( 4 điểm ) 1. Tìm m để phơng trình sau có nghiệm 04 1 2 1 2 2 2 2 =+ + + x x m x x 2. Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất mxx =+ 3 22 11 Bài 3: ( 4 điểm ) 1. Giải phơng trình: ( ) ( ) xxxxtgx cos3sin5cos2sin13 +=++ 2. Giải bất phơng trình: 357272 2 <+++++ xxxxx Bài 4: ( 4 điểm ) 1. Chứng minh rằng: Trong mọi ABC ta đều có: ( )( )( ) 2 33 sin1sin1sin1 eCBA <+++ 2. Giải phơng trình: 23 542 3 log 2 2 2 3 ++= ++ ++ xx xx xx Bài 5: ( 4 điểm ) Cho hình lập phơng ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 cạnh a. Trên AA 1 lấy M, trên BC lấy N. Sao cho đờng thẳng qua M ; N cắt D 1 C 1 tại I. Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN. đáp án và thang điểm đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán Bài Nội dung Điểm Bài I 4,0 I.1 Do đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x = 1 làm tiệm cận đứng. Nên giả sử điểm A(x 0 ; y 0 ) và điểm B(x 1 ; y 1 ) là hai điểm nằm ở hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số. Thì sẽ có một điểm có hoành độ nhỏ hơn 1 còn điểm kia có hoành độ lớn hơn 1. Giả sử x 0 <1 còn x 1 >1. Đặt: += = bx ax 1 1 1 0 a>0; b>0 2 01 2 01 2 )()( yyxxAB += = 2 0 2 0 1 2 1 2 ) 11 1 11 1 ()11( + + + + a xx b xx ba = 22 ) 1 1 1 1()( a a b bba ++++++ = 22 )()( ab ba baba + ++++ = 222 ) 1 1()()( ab baba ++++ = ]) 1 1(1[)( 22 ab ba +++ = 2884.8288 4 8 ) 12 2(4) 1 . 2 11(4]) 1 1(1[)( 2222 22 +=+++= ++=++++++ Cosi Cosi ab ab ba ab ab ba ba ab ab ba 288 + AB dấu bằng xảy ra: 4 2 1 4 8 0 == = >= ba ab ab ba Vậy 2 điểm cần tìm là: +++ + 4 44 4 44 2 2 1 1; 2 1 1);2 2 1 1; 2 1 1( BA 0,5 0,5 0,5 0,5 I.2 Có I= ++ + = ++ + = ++ 1 0 1 0 1 0 0 0 )1( 1)1(11)1( )1( 1)1( n nn n n nn nn nn n nn xx dxx x dx xx dxxx xx dx xét J= + 1 0 1 n n x dx Đặt : = + = dvdx x u n n 1 1 Ta có : = += xv xxdu n nn 1 1 1 )1( 0,5 0,5 0,5 Do đó: J= ++ + + 1 0 1 0 1)1(1 n nn n n n xx dxx x x (2) thay (2) vào (1) ta đợc I= n n nn nn n n nn n n n x x xx dxx xx dxx x x 2 1 11)1(1)1(1 1 0 1 0 1 0 1 0 = + = ++ ++ + + Vậy I= n 2 1 0,5 Bài II 4,0 II.1 Đặt u x x = + 2 1 2 (1) ta đi tìm điều kiện của u. từ (1) ta có: ux 2 - 2x + u =0 (1) u= 0 khi x= 0 với u 0. Do (1) luôn có nghiệm ' =1- u 2 1||0 u Vậy nếu u x x = + 2 1 2 1|| u Khi đó phơng trình đã cho trở thành: u 2 - mu + 4 = 0 ( 2) với 1|| u . Phơng trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (2) có nghiệm thoả mãn 1|| u Xét f(u) = u 2 - mx + 4. Ta xét 2 trờng hợp: + Trờng hợp 1: pt(2) có hai nghiệm u 1 ; u 2 (u 1 u 2 ) đều thuộc [-1;1] xảy ra điều đó khi và chỉ khi: 1 2 1 0)1(. 0)1(. 0 s fa fa + 1 2 1 05 05 016 2 m m m m 22 5 5 4|| m m m m Không có m + Trờng hợp 1: pt(2) có 1 nghiệm thuộc khoảng [-1;1] còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;1] Xảy ra điều đó khi và chỉ khi 0)5)(5(0)1().1( + mmff 5;5 mm Vậy với | m | 5 thì phơng trình đã cho có nghiệm. 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 BàiIII 4,0 III.1 Điều kiện + 0cos 1 0 01 x tgx Cosx tgx Chia cả 2 vế của phơng trình cho cosx 0 ta đợc )3(5)2(13 +=++ tgxtgxtgx (1) Đặt 2 101 utgxutgx =+=+ và tgx+2 = u 2 +1 tgx+3 = u 2 + 2 Thì (1) trở thành 3u(u 2 + 1)= 5 ( u 2 +2) 20)53)(2( 2 ==++ uuuu Với u=2 ta đợc tgtgxtgx ===+ 321 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 III.2 x= )( Zkk + với là cung mà tg = 3 Xét xxxxxxf 7272)( 2 +++++= Tập xác định 0 7 0 07 0 + x x x x x Có f(x)= 0x Với >>+ + + + + + 02 72 )72(2 72 1 2 1 2 xx x xx f(x) là hàm số đồng biến Mặt khác ta có 35 12 29 2 2 = f Vì vậy f(x) < 35 2 ) 12 29 ( < x Vậy nghiệm của bất phơng trình là ;0[ x )) 12 29 ( 2 0,25 0,5 0,5 0,25 BàiIV 4,0 IV.1 VI.2 Trớc hết ta chứng minh: ln(1+x) 0x Với x Xét f(x)= ln(1+x)-x với 0 x Có f(x)= biến nghịch f(x) 0x Với + = + 0 1 1 1 1 x x x hay ln(1+x) 0 =+ 0)01ln(x ln(1+x) 0x Với x Vì A, B, C là 3 góc của 1 tam giác nên sin A >0; sinB >0; sinC > 0 Nên: Ln ( 1+ sin A) < sin A (1) Ln ( 1+ sin B) < sin B (2) Ln ( 1+ sin C) < sin C (3) Cộng vế với vế của (1) (2) (3) ta đợc Ln ( 1+ sin A) + Ln (1+ sin B)+ Ln ( 1+ sin C) < sin A + sin B + sin C Ln [(1+ sin A)(1+ sin B)(1+ sin C)] <e sin A + sin B + sin C ( a ) Mặt khác trong tam giác ta luôn có: sin A + sin B + sin C) 2 33 Từ đó từ a, ta có (1+ sin A)(1+ sin B)(1+ sin C) 2 33 e Tập xác định R: phơng trình đã cho tơng đơng với 23 3 )23()3( log23 3 542 log 2 2 22 3 2 1 2 2 3 ++= ++ +++++ ++= ++ ++ xx xx xxxx xx xx xx 23 3 23 1log 2 2 2 3 ++= ++ ++ + xx xx xx + Nếu: x< -2; x > - 1 thì VP = x 2 +3x+2 > 0 còn > ++ ++ + 1 3 )23( 1 2 2 xx xx 0 3 23 1log 2 2 3 > ++ ++ + xx xx Vậy VT <0. Vậy phơng trình 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 vô nghiệm với );1()2;( + x + Nếu - 2 < x < -1 Thì VP = x 2 + 3x +2 < 0 còn < ++ ++ + 1 3 )23( 1 2 2 xx xx 0 3 23 1log 2 2 3 < ++ ++ + xx xx . Vậy VT >0. Vậy phơng trình vô nghiệm với )1;2( x + Nếu x=-2 ta có VP = 0 còn VT = 01log 342 324 log 33 == + + Vậy x= -1 là nghiệm Vậy phơng trình có 2 nghiệm x=-2; x=-1. 0,5 0,5 0,5 Bài V 4,0 + Giả sử ta có M ICBCNAA = 11 ; 1 DMN cho sao gọi I là hình chiếu vuông góc của I lên DC .=> I I // AM. đặt : AM = x; BN = y ( x > 0; BN = y ) Ta có : MN 2 = AM 2 + AN 2 ( * ) ( vì tam giác MAN vuông góc tại A) áp dụng Pitago cho tam giác vuông ABN có: AN 2 = AB 2 + BN 2 = a 2 +y 2 Thay vào (*) ta đợc MN 2 = AM 2 + AN 2 = a 2 + x 2 + y 2 . Mặt khác: Do I I // AM. Nên theo Talet: NA NI AM II '' = (a) nhng IC // AB => NB NC NA NI = ' Thay vào (a) ta đợc: )( ' yxaxyaxxyay y ay x a N NC AM II +== == B (b) Mặt khác MN 2 =a 2 + x 2 + y 2 ta có: MN 2 =a 2 + x 2 + y 2 = a 2 + x 2 + y 2 + 2xy-2xy= (x+y) 2 -2xy + a 2 Theo ( b ) thì : MN 2 = (x + y) 2 -2axy+ a 2 = [( x + y)-a] 2 Do x>0; y>0 theo bất đẳng thức Cô si: ayxyxayxyxaxyyx 4)(4)()(22 2 +=>+++=+ => x+y-a 4a-a=3a aayxMN 3)( += Vậy MN nhỏ nhất bằng 3a Dấu bằng xảy ra khi x=y khi đó ta có: x.y= a(x+y) <=> x 2 = 2ax => x=2a. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 M D 1 I C 1 A 1 B 1 N D I C A B . tại I. Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN. đáp án và thang điểm đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán Bài Nội dung Điểm Bài I 4,0 I.1 Do đồ thị hàm. đề thi Học sinh giỏi lớp 12 Môn : Toán Thời gian: 150 phút Bài 1: ( 4 điểm ) 1. Cho hàm số 1 1 2 + = x xx y Tìm A và B thuộc hai nhánh khác nhau