Cỏc bi tõp tng hp v nõng cao hc kỡ 1 lp 8 Bài 7: Cho một góc nhọn xOy và một đờng thẳng d cắt Ox tại I, cắt Oy tại J; A và B là hai điểm thuộc đoạn thẳng IJ. Tìm một điểm M trên Ox và một điểm N trên Oy sao cho tổng MA + MN + NB nhỏ nhất. Bài 8: Chứng minh rằng giao điểm của các đờng trung trực của các đoạn thẳng MA, MB nằm trên một đờng thẳng cố định không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên d. Bài 9: Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A. Kẻ đờng cao AH, D và E theo thứ tự là hình đói xứng của H qua các đơng thẳng AB, AC. Chứng minh rằng: a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng. b) Tứ giác BCED là hình thang vuông. c) DHE = 90 0 . d) DE = 2AH. (Để học tốt hình học 8) V. Các bài toán về hình bình hành - đối xứng tâm Bài toán 1: (Bài toán cơ bản) Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm F,E lần lợt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. Chứng minh rằng: AF = CE. Nhận xét 1: Chúng ta dễ dàng nhận thấy tứ giác EBFD là hình bình hành. Khi đó ta có bài toán sau: Bài 1.1: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. Chứng minh rằng: DE = BF. Nhận xét 2: Và nếu gọi M, N lần lợt là giao điểm của CE, AF với BD ta cũng nhận đợc tứ giác AMCN là hình bình hành. Do vậy nếu gọi O là giao điểm của AC và BD, chúng ta sẽ có O là trung điểm cuae EF và MN. Từ đó ta có các bài toán sau: Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. Chứng minh rằng: AE = CF. Bài 1.3: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. Chứng minh rằng các đờng thẳng AC, BD, EF đồng quy. Bài 1.4: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt Trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. AF và CE cắt BD lần Lợt tại N, M. Chứng minh rằng các đoạn thẳng MN và BD cắt nhau tại trung điểm chung. Nhận xét 3: Ta cũng nhận ra rằng đã có MB = DN, do vậy nếu muốn có MB = MN = DN thì E, F trở thành trung điểm của các cạnh AB, DC. Khi đó ta có bài toán sau: Bài 1.5: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt là trung điểm các cạnh AB, DC. AF và CE cắt BD lần lợt tại N, M. Chứng minh rằng: MB = MN = DN.(Bài 78 - SBT) Nhận xét 4: Trở lại bài toán 1.3, nếu gọi I là giao điểm của AM và BC, K là giao điểm của CN và AD, ta nhận đ ợc tứ giác AICK là hình bình hành. Từ đó ta có bài toán sau: A D B CE F A D B CE F N M A D B CE F N M A D B C E F Bài 1.6: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. AF và CE cắt BD lần lợt tại N, M. AM cắt BC tại I, CN cắt AD tại K. Chứng minh rằng các đờng thẳng AC, BD, EF, IK đồng qui. (Bài 84 - SBT) Bài toán 2(Bài toán cơ bản): Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đờng thẳng xy chỉ có một điểm chung A với hình bình hành. Gọi BB', CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ từ B, C, D đến đờng thẳng xy. Chứng minh rằng BB' + DD' = CC' (Bài 85 - SBT) Nhận xét 1: Chúng ta cũng nhận ra rằng O ' là trung điểm của AC ' và B'D'. Suy ra AD ' = B ' C ' . Từ đó ta có bài toán sau: Bài 1.1 : Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đờng thẳng xy chỉ có một điểm chung A với hình bình hành. Gọi BB', CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ từ B, C, D đến đờng thẳng xy. Chứng minh rằng AD ' = B ' C ' . Nhận xét 2: Ta cũng nhận ra rằng CC' AC. Giúp ta đến với các bài toán hay và khó sau: Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đờng thẳng xy chỉ có một điểm chung A với hình bình hành. Gọi BB', CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ từ B, C, D đến đờng thẳng xy. Chứng minh rằng BB' + CC ' + DD' 2AC. Bài 1.3: Cho hình bình hành ABCD. Đờng thẳng xy quay quanh A và chỉ có một điểm chung A với hình bình hành. Gọi BB', CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ từ B, C, D đến đờng thẳng xy. Xác định vị trí của đờng thẳng xy để tổng BB' + CC ' + DD' đạt giá trị lớn nhất. Nhận xét 3: Thử vẽ trờng hợp đờng thẳng xy qua A và cắt đoạn thẳng OB ta nhận ra rằng DD' - BB' = CC ' = 2OO ' . Do vậy giúp ta đến với các bài toán hay và khó sau: Bài 1.4: Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đờng thẳng xy chỉ có một điểm chung A với hình bình hành. Gọi BB', CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ từ B, C, D đến đờng thẳng xy. Chứng minh rằng ' BB' = DD' CC= . Nhận xét 4: Di chuyển đờng thẳng xy để đờng thẳng xy Không có điểm chung với hình bình. Gọi AA ' , BB', CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ từ A, B, C, D đến đờng thẳng xy, chắc hẳn chúng ta cũng nhận ra rằng ta có AA ' + CC' = BB' + DD'. Từ đó ta có bài toán sau: Bài 1.5: Cho hình bình hành ABCD và đờng thẳng xy Không có điểm chung với hình bình. Gọi AA ' , BB', CC', DD' là các đờng vuông góc vẽ từ A, B, C, D đến đờng thẳng xy. Tìm mối liên hệ giữa AA ' , BB', CC', DD'. 1. Chuyên đề : Đa thức Bi 1: Tinh gi tri cua biờu thc a. A = 4 3 2 17 17 17 20x x x x + + tại x = 16. b. B = 5 4 3 2 15 16 29 13x x x x x + + tại x = 14. c. C = 14 13 12 11 2 10 10 10 . 10 10 10x x x x x x + + + + tại x = 9 d. D = 15 14 13 12 2 8 8 8 . 8 8 5x x x x x x + + + tại x = 7. Bi 2: Tinh gi tri cua biờu thc: a. M = 1 1 1 650 4 4 2 . .3 315 651 105 651 315.651 105 + 2 N O M A D B CE F I K y O A C D B x D' C' B' O' C' O A C D B x y D' B' O' O A C D B x y A' B' C' D' O' b. N = 1 3 546 1 4 2 . . 547 211 547 211 547.211 Bi 3: Tinh gi tri cua biờu thc: a. A = ( ) ( ) 3 2 2 2 3 3 x x y y x y + v i x = 2; 1y = . b. M.N vii 2x = . Bit rằng :M = 2 2 3 5x x + + ; N = 2 3x x + . Bi 4: Tinh gi tri cua biờu thc, biờt x = y + 5: a. ( ) ( ) 2 2 2 65x x y y xy+ + + b. ( ) 2 2 75x y y x+ + Bi 5: Tinh gi tri cua biờu thc: ( ) ( ) 2 1 1x y y xy x y+ biờt x+ y = -p, xy = q B i 6: tính giá trị của biểu thức: a. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x a x b x b x c x c x a ab bc ca x + + = + + ; biờt rng 2x = a + b + c b. ( ) 2 2 2 2 4bc b c a p p a+ + = ; biết rằng a + b + c = 2p bài 7: a. Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. chứng minh rằng ab 2 chia hết cho 3. b. Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số 1. hỏi tích ab có chia hết cho 3 không? Vì sao? Baứi 8: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với: ( ) ( ) M a a b a c= + + ; ( ) ( ) N b b c b a= + + ; ( ) ( ) P c c a c b= + + Baứi 9: Cho biểu thức: M = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x a x b x b x c x c x a x + + + . Tính M theo a, b, c, biết rằng 1 1 1 2 2 2 x a b c= + + . Bài 10: Cho các biểu thức: A = 15x 23y ; B = 2x + 3y . chứng minh rằng nếu x, y là các số nguyên và A chia hết cho13 tòi B chia hết cho 13. Ngợc lại nếu B chia hết cho 13 thì A cũng chia hết cho 13. Bài 11: Cho các biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y a. Rút gọn biểu thức 7A 2B. b. Chứng minh rằng: nếu các số nguyên x, y thoả mãn 5x + 2y chia hết cho 17 thì 9x + 7y cũng chia hết cho 17. Baứi 12: Chứng minh rằng: a. 7 9 13 81 27 9 chia hết cho 405. b. 2 1 2 12 11 n n+ + + chia hết cho 133. Baứi 13: Cho dãy số 1, 3, 6 , 10, 15, , ( ) 1 2 n n + , Chứng minh rằng tổng của hai số liên tiếp trong dãy số bao giờ cũng là một số nguyên. 2. Chuyên đề: Biển đổi biểu thức nguyên I. Một số hằng đẳng thức cơ bản 1. (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 ; (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca ; 2 1 2 n (a a . a )+ + + = = + + + + + + + + + + + + 2 2 2 1 2 n 1 2 1 3 1 n 2 3 2 n n 1 n a a . a 2(a a a a . a a a a . a a . a a ) ; 2. (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 = a 3 b 3 3ab(a b); (a b) 4 = a 4 4a 3 b + 6a 2 b 2 4ab 3 + b 4 ; 3. a 2 b 2 = (a b)(a + b) ; a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) ; a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b + a n 3 b 2 + + ab n 2 + b n 1 ) ; 4. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) a 5 + b 5 = (a + b)(a 4 a 3 b + a 2 b 2 ab 3 + b 5 ) ; 3 a 2k + 1 + b 2k + 1 = (a + b)(a 2k a 2k 1 b + a 2k 2 b 2 + a 2 b 2k 2 ab 2k 1 + b 2k ) ; II. Bảng các hệ số trong khai triển (a + b) n Tam giác Pascal Đỉnh 1 Dòng 1 (n = 1) 1 1 Dòng 2 (n = 2) 1 2 1 Dòng 3 (n = 3) 1 3 3 1 Dòng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1 Dòng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1 Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 đợc thành lập từ dòng k (k 1), chẳng hạn ở dòng 2 ta có 2 = 1 + 1, ở dòng 3 ta có 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ở dòng 4 ta có 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Khai triển (x + y) n thành tổng thì các hệ số của các hạng tử là các số trong dòng thứ n của bảng trên. Ngời ta gọi bảng trên là tam giác Pascal, nó thờng đợc sử dụng khi n không quá lớn. Chẳng hạn, với n = 4 thì : (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 và với n = 5 thì : (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 10ab 4 + b 5 II. Các ví dụ Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức sau : A = (x + y + z) 3 (x + y z) 3 (y + z x) 3 (z + x y) 3 . Lời giải A = [(x + y) + z] 3 [(x + y) z] 3 [z (x y)] 3 [z + (x y)] 3 = [(x + y) 3 + 3(x + y) 2 z + 3(x + y)z 2 + z 3 ] [(x + y) 3 3(x + y) 2 z + 3(x + y)z 2 z 3 ] [z 3 3z 2 (x y) + 3z(x y) 2 (x y) 3 ] [z 3 + 3z 2 (x y) + 3z(x y) 2 + (x y) 3 ] = 6(x + y) 2 z 6z(x y) 2 = 24xyz Ví dụ 2. Cho x + y = a, xy = b (a 2 4b). Tính giá trị của các biểu thức sau : a) x 2 + y 2 ; b) x 3 + y 3 ; c) x 4 + y 4 ; d) x 5 + y 5 Lời giải a) x 2 + y 2 = (x + y) 2 2xy = a 2 2b b) x 3 + y 3 = (x + y) 3 3xy(x + y) = a 3 3ab c) x 4 + y 4 = (x 2 + y 2 ) 2 2x 2 y 2 = (a 2 2b) 2 2b 2 = a 4 4a 2 b + 2b 2 d) (x 2 + y 2 )(x 3 + y 3 ) = x 5 + x 2 y 3 + x 3 y 2 + y 5 = (x 5 + y 5 ) + x 2 y 2 (x + y) Hay : (a 2 2b)(a 3 3ab) = (x 5 + y 5 ) + ab 2 x 5 + y 5 = a 5 5a 3 b + 5ab 2 Chú ý : a 6 + b 6 = (a 2 ) 3 + (b 2 ) 3 = (a 3 ) 2 + (b 3 ) 2 a 7 + b 7 = (a 3 + b 3 )(a 4 + b 4 ) a 3 b 3 (a + b) = (a 2 + b 2 )(a 5 + b 5 ) a 2 b 2 (a 3 + b 3 ) Ví dụ 3. Chứng minh các hằng đẳng thức : a) a 3 + b 3 + c 3 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca) ; b) (a + b + c) 3 a 3 b 3 c 3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lời giải a) a 3 + b 3 + c 3 3abc = (a + b) 3 + c 3 3abc 3a 2 b 3ab 2 = (a + b + c)[(a + b) 2 (a + b)c + c 2 ] 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b) 2 (a + b)c + c 2 3ab] = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca) b) (a + b + c) 3 a 3 b 3 c 3 = [(a + b + c) 3 a 3 ] (b 3 + c 3 ) = (b + c)[(a + b + c) 2 + (a + b + c)a + a 2 ] (b + c)(b 2 bc + c 2 ) = (b + c)(3a 2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) Ví dụ 4. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 2(x 5 + y 5 + z 5 ) = 5xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) Lời giải Vì x + y + z = 0 nên x + y = z (x + y) 3 = z 3 Hay x 3 + y 3 + 3xy(x + y) = z 3 3xyz = x 3 + y 3 + z 3 Do đó : 3xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) = (x 3 + y 3 + z 3 )(x 2 + y 2 + z 2 ) = x 5 + y 5 + z 5 + x 3 (y 2 + z 2 ) + y 3 (z 2 + x 2 ) + z 3 (x 2 + y 2 ) 4 Mà x 2 + y 2 = (x + y) 2 2xy = z 2 2xy (vì x + y = z). Tơng tự : y 2 + z 2 = x 2 2yz ; z 2 + x 2 = y 2 2zx. Vì vậy : 3xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) = x 5 + y 5 + z 5 + x 3 (x 2 2yz) + y 3 (y 2 2zx) + z 3 (z 3 2xy) = 2(x 5 + y 5 + z 5 ) 2xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) Suy ra : 2(x 5 + y 5 + z 5 ) = 5xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) (đpcm) Bài tập: 1. Cho a + b + c = 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 14. Tính giá trị của biểu thức : A = a 4 + b 4 + c 4 . 2. Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức : B = (x 1) 2007 + y 2008 + (z + 1) 2009 . 3. Cho a 2 b 2 = 4c 2 . Chứng minh rằng : (5a 3b + 8c)(5a 3b 8c) = (3a 5b) 2 . 4. Chứng minh rằng nếu: 5. (x y) 2 + (y z) 2 + (z x) 2 = (x + y 2z) 2 + (y + z 2x) 2 + (z + x 2y) 2 thì x = y = z. 6. a) Chứng minh rằng nếu (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (ax + by) 2 và x, y khác 0 thì a b x y = . b) Chứng minh rằng nếu (a 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) = (ax + by + cz) 2 và x, y, z khác 0 thì a b c x y z = = . 7. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : a) 5(x 3 + y 3 + z 3 )(x 2 + y 2 + z 2 ) = 6(x 5 + y 5 + z 5 ) ; b) x 7 + y 7 + z 7 = 7xyz(x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) ; c) 10(x 7 + y 7 + z 7 ) = 7(x 2 + y 2 + z 2 )(x 5 + y 5 + z 5 ). 8. Chứng minh các hằng đằng thức sau : a) (a + b + c) 2 + a 2 + b 2 + c 2 = (a + b) 2 + (b + c) 2 + (c + a) 2 ; b) x 4 + y 4 + (x + y) 4 = 2(x 2 + xy + y 2 ) 2 . 9. Cho các số a, b, c, d thỏa mãn a 2 + b 2 + (a + b) 2 = c 2 + d 2 + (c + d) 2 . Chứng minh rằng : a 4 + b 4 + (a + b) 4 = c 4 + d 4 + (c + d) 4 10. Cho a 2 + b 2 + c 2 = a 3 + b 3 + c 3 = 1. Tính giá trị của biểu thức : C = a 2 + b 9 + c 1945 . 11. Hai số a, b lần lợt thỏa mãn các hệ thức sau : a 3 3a 2 + 5a 17 = 0 và b 3 3b 2 + 5b + 11 = 0. Hãy tính : D = a + b. 12. Cho a 3 3ab 2 = 19 và b 3 3a 2 b = 98. Hãy tính : E = a 2 + b 2 . 13. Cho x + y = a + b và x 2 + y 2 = a 2 + b 2 . Tính giá trị của các biểu thức sau : a) x 3 + y 3 ; b) x 4 + y 4 ; c) x 5 + y 5 ; d) x 6 + y 6 ; e) x 7 + y 7 ; f) x 8 + y 8 ; g) x 2008 + y 2008 . 3. Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử I- Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác: Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 5 6 d, 13 36 , 3 8 4 e, 3 18 , 8 7 f, 5 24 ,3 16 5 h, 8 30 7 , 2 5 12 k, 6 7 20 a x x x x b x x x x c x x x x g x x x x i x x x x + + + + + + + + + 5 II- Phơng pháp thêm và bớt cùng một hạng tử 1) Dạng 1 : 2) Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phơng: A 2 B 2 = (A B)(A + B) III- Phơng pháp đổi biến IV- Phơng pháp xét giá trị riêng Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại. Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: Giải a, Giả sử thay x bởi y thì P = 2 2 ( ) ( ) 0y y z y z y + = Nh vậy P chứa thừa số x y Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi(ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh bởi các biến x, y, z). Do đó nếu P đã chúa thùa số x y thì cũng chúa thừa số y z, z x. Vậy P phải có dạng P = k(x y)(y z)(z x).Ta thấy k phải là hằng số(không chúa biến) vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x y)(y z)(z x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 ta đợc k = -1 Vậy P =- (x y)(y z)(z x) = (x y)(y z)(x - z) Các bài toán Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( )( )M a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b = + + + + + + + + + 2 2 2 ( ) ( ) ( )N a m a b m b c m c abc= + + , với 2m = a+ b + c. B i 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 2 2 ) ( )( ) . ) ( 2 ) (2 ) . ) ( ) ( ) ( ). ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( 1). ) ( ) ( ) ( ) . ) ( a A a b c ab bc ca abc b B a a b b a b c C ab a b bc b c ac a c d D a b a b b c b c c a c a e E a c b b a c c b a abc abc f f a b c b c a c a b g G a b a b = + + + + = + + = + + + = + + + + + = + + + = + + = 2 2 2 2 4 4 4 ) ( ) ( ). ) ( ) ( ) ( ). b c b c a c c a h H a b c b c a c a b + + = + + V-Phong pháp hệ số bất định B i 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 4 3 2 4 3 2 2 2 4 3 2 4 ) 6 12 14 3 ) 4 4 5 2 1 ) 3 22 11 37 7 10 ) 7 14 7 1 ) 8 63 a A x x x x b B x x x x c C x xy x y y d D x x x x e E x x = + + = + + + + = + + + + + = + + = + 6 4 3 2 2 2 2 2 2 1, 6 7 6 1 2,( )( ) ( ) x x x x x y z x y z xy yz zx + + + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 , P = ( ) ( ) ( ) , Q = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) a x y z y z x z x y b a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b + + + + + + + + + + + 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( )( )x y z y z x z x y k x y y z z x + + = Bài tập: Ví dụ . Phân tích biểu thức sau thành nhân tử : A = x 3 3(a 2 + b 2 )x + 2(a 3 + b 3 ) Lời giải Đặt S = a + b và P = ab, thì a 2 + b 2 = 2 S 2P- ; a 3 + b 3 = 3 S 3SP- . Vì vậy : A = x 3 3( 2 S 2P- )x + 2( 3 S 3SP- ) = 3 3 2 3 (x S ) (3S x 3S ) (6Px 6SP)- - - + - = 2 2 2 (x S)(x Sx S ) 3S (x S) 6P(x S)- + + - - + - = 2 2 (x S)(x Sx 2S 6P)- + - + = (x a b)[x 2 + (a + b)x 2(a + b) 2 + 6ab] = (x a b)[x 2 + (a + b)x 2(a 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x 3 + 4x 2 29x + 24 ; b) x 4 + 6x 3 + 7x 2 6x + 1 ; c) (x 2 x + 2) 2 + (x 2) 2 ; d) 6x 5 + 15x 4 + 20x 3 + 15x 2 + 6x + 1 ; e) x 6 + 3x 5 + 4x 4 + 4x 3 + 4x 2 + 3x + 1. f) x 8 + x 4 + 1; g) x 10 + x 5 + 1 ; h) x 12 + 1 ; i) (x + y + z) 3 x 3 y 3 z 3 ; k) (x + y + z) 5 x 5 y 5 z 5 . I- Rỳt gn biu thỳc v tớnh gia str nu cú Câu 1. 4 n+1 -3.4 n = ? Câu 2. ( ) 2 8 8 5 5 6 .3 .2 6 6 1- - =? Câu 3. Đa thức 2 9 3 4 ? 4 x x+ + = Câu 4. 6x 3 -9x 2 Câu 5. 3xy 2 +6xyz=? Câu 6. 4x 2 -1 =? Câu 7. a 4 -16=? Câu 8. Giá trị của biểu thức x 3 -3x 2 +3x-1 tại x=10001 Câu 9. 3.4 n -4 n+1 = ? Câu 10. ( ) 6 4 4 3 7 6 .3 .2 6 6 1- - =? Câu 11. Đa thức 2 6 9 ?x x+ + = Câu 12. 6x 3 +9x 2 =? Câu 13. 3xy 2 -9xyz=? Câu 14. 4x 2 -9 =? bi toỏn Bài 1: Tính giá trị của biểu thức . P= 5 4 3 2 3 (x 2x y x y ) : x- + tại x=9876 ; y=9866. Bài 2: Tìm m để đa thức 2 3 2 x x 2x m+ + + chia hết cho đa thức x+1. Bài 3: Tìm x biết: x(2x+1) + (2x+1) = 0 Bài 4: Chứng minh rằng 4x 2 +4y 2 +4xy+ 2 > 0 với mọi x; y. Bài 5: Tính giá trị của biểu thức . P=x 2 (2x 3 +1)-2xy-(2x 5 -y 2 ) tại x=9876 ; y=9866. Bài 6: Tìm m để đa thức 3 2 x 3x x m- + - chia hết cho đa thức x+2 Bài 7: Tìm x biết: x(2x+1) - (2x+1) = 0 Bài 8: Cmr 4x-x 2 - 6 < 0 với mọi x. 4. Chuyên đề : Xác định đa thức * Định lí Beout (BêZu) và ứng dụng: 1) Định lí BêZu: 7 D trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng f(a) (giá trị của f(x) tại x = a): )()()()( afxqaxxf += (Beout, 1730 - 1783, nhà toán học Pháp) Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thừc f(x) thì f(x) chia hết cho x - a. áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử. Thực hiện nh sau: Bớc 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm của f(x) không. Bớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: )()()( xpaxxf = Để tìm p(x) thực hiện phép chia f(x) cho x - a. Bớc 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử nếu còn phân tích đợc. Sau đó viết kết quả cuối cùng cho hợp lí. Dạng 1: Tìm đa thức thơng bằng phơng pháp đồng nhất hệ số(phơng pháp hệ số bất định), phơng pháp giá trị riêng , thực hiện phép chia đa thức. *Phơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây : Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau: P(x) = Q(x) thì các hạng tử cùng bậc ở hai đa thức phải có hệ số phải có hệ số bằng nhau. Ví dụ: 32)( 2 += bxaxxP ; pxxxQ = 4)( 2 Nếu P(x) = Q(x) thì ta có: a = 1(hệ số của lũy thừa 2) 2b = - 4 (hệ số của lũy thừa bậc 1) - 3 = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do) *Phơng pháp2: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn deg P(x) > deg Q(x) Gọi thơng và d trong phép chia P(x) cho Q(x) lần lợt là M(x) và N(x) Khi đó ta có: )()().()( xNxMxQxP += (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I) Vì đẳng thức (I) đúng với mọi x nên ta cho x lấy một giá trị bất kì : = x ( là hằng số). Sau đó ta đi giải phơng trình hoặc hệ phơng trình để tìm các hệ số của các hạng tử trong các đa thức ( Đa thức thơng, đa thức chia, đa thức bị chia, số d). Ví dụ: Bài 1(Phần bài tập áp dụng) Gọi thơng của phép chia A(x) cho x + 1 là Q(x), ta có: )().1(263 232 xQxaxaxxa +=+ . Vỡ ng thc ỳng vi mi x nờn cho x = -1 ta dc: = = =++=++ 3 2 060263 22 a a aaaaa Vi a = -2 thỡ 4104)(,4664 223 +=+= xxxQxxxA Vi a = 3 thỡ 69)(,6699 223 =+= xxQxxxA *Phơng pháp 3:Thực hiện phép chia đa thức (nh SGK) Bài tập áp dụng B i 1: Cho a thc 2 3 2 ( ) 3 6 2 ( )A x a x ax x a a Q= + . Xác nh a sao cho A(x) chia ht cho x + 1. Bài 2: Phân tích đa thức 4 3 ( ) 2 4P x x x x= thành nhân tử, biết rằng một nhân tử có dạng: 2 2x dx+ + Bài 3: Với giá trị nào của a và b thì đa thức : bxaxx +++ 2 23 chia hết cho đa thức: 1 2 ++ xx . Hãy giải bài toán trên bằng nhiều cách khác nhau. Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: kxxxxxf +++= 234 219)( chia hết cho đa thức: 2)( 2 = xxxg . Bi 5: Tỡm tt c cỏc s t nhiờn k cho a thc: 152)( 23 ++= kkkf chia ht cho nh thc: 3)( += kkg . Bi 6: Vi giỏ tr no ca a v b thỡ a thc: baxxxxxf +++= 234 33)( chia ht cho a thc: 43)( 2 += xxxg . Bi 7: a) Xỏc nh cỏc giỏ tr ca a, b v c a thc: cbxaxxxP +++= 24 )( Chia ht cho 3 )3( x . b) Xỏc nh cỏc giỏ tr ca a, b a thc: 2376)( 234 +++= xaxxxxQ chia ht cho a thc bxxxM += 2 )( . c) Xỏc nh a, b axxxxP ++= 85)( 23 chia ht cho bxxxM ++= 2 )( . Bi 8: Hóy xỏc nh cỏc s a, b, c cú ng thc: ( hc tt i s 8) Bi 9: Xỏc nh hng s a sao cho: a) axx + 710 2 chia ht cho 32 x . b) 12 2 ++ axx chia cho 3 x d 4. c) 95 45 + xax chia ht cho 1 x . 8 ))()(( 23 cxbxaxcbxaxx =+ Bài 10: Xác định các hằng số a và b sao cho: a) baxx ++ 24 chia hết cho 1 2 +− xx . b) 505 23 −++ xbxax chia hết cho 103 2 ++ xx . c) 1 24 ++ bxax chia hết cho 2 )1( − x . d) 4 4 + x chia hết cho baxx ++ 2 . Bài 11: Tìm các hăng số a và b sao cho baxx ++ 3 chia cho 1 + x thì dư 7, chia cho 3 − x thì dư -5. Bài 12: Tìm các hằng số a, b, c sao cho cbxax ++ 23 chia hết cho 2 + x , chia cho 1 2 − x thì dư 5 + x . (Một số vấn đề phát triển Đại số 8) Bài 13: Cho đa thức: baxxxxxP ++−+= 234 )( và 2)( 2 −+= xxxQ . Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x). Bài 14: Xác định a và b sao cho đa thức 1)( 34 ++= bxaxxP chia hết cho đa thức 2 )1()( −= xxQ Bài 15: Cho các đa thức 237)( 234 +++−= xaxxxxP và bxxxQ +−= 2 )( . Xác định a và b để P(x) chia hết cho Q(x). (23 chuyên đề toán sơ cấp) Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn Phương pháp: Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n + 1 điểm 1321 ,,,, + n CCCC  ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng: )())(())(()()( 21212110 nn CxCxCxbCxCxbCxbbxP −−−++−−+−+=  Bằng cách thay thế x lần lượt bằng các giá trị 1321 ,,,, + n CCCC  vào biểu thức P(x) ta lần lượt tính được các hệ số n bbbb ,,,, 210  . Bµi tËp ¸p dông Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết: 9)2(,7)1(,25)0( −=== PPP . Giải Đặt )1()( 210 −++= xxbxbbxP (1) Thay x lần lượy bằng 0; 1; 2 vào (1) ta được: 11.2.2.18259 18257 25 22 11 0 =⇔+−=− −=⇔+= = bb bb b Vậy, đa thức cần tìm có dạng: 2519)()1(1825)( 2 +−=⇔−+−= xxxPxxxxP . Bài 2: Tìm đa thức bậc 3 P(x), biết: 1)3(,4)2(,12)1(,10)0( ==== PPPP Hướng dẫn: Đặt )2)(1()1()( 3210 −−+−++= xxxbxxbxbbxP (1) Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết khi chia P(x) cho )3(),2(),1( −−− xxx đều được dư bằng 6 và P(-1) = - 18. Hướng dẫn: Đặt )3)(2)(1()2)(1()1()( 3210 −−−+−−+−+= xxxbxxbxbbxP (1) Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn: )1(),12)(1()1()( 0)1( ++=−− =− xxxxPxP P a) Xác định P(x). b) Suy ra giá trị của tổng )(),12)(1(5.3.23.2.1 * NnnnnS ∈+++++=  . Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được : 36)2(5.3.2)1()2( 6)1(3.2.1)0()1( 0)0(0)1()0( ,0)2(0)2()1( =⇔=− =⇔=− =⇔=−− =−⇔=−−− PPP PPP PPP PPP Đặt )2)(1()1()1()1()1()1()( 43210 −−++−++++++= xxxxbxxxbxxbxbbxP (2) Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được: 9 2 1 )4)(3)(2)(1()3)(2)(1.(3)2)(1.(30 31.2.3.2.3.336 ,31.2.6 ,00 0 44 33 22 11 0 =++= =+= == == = bb bb bb bb b Vy, a thc cn tỡm cú dng: )2()1( 2 1 )2)(1()1( 2 1 )1()1(3)1(3)( 2 ++=+++++= xxxxxxxxxxxxxP (Tuyn chn bi thi HSG Toỏn THCS) Bi 5: cho a thc )0,,(,)( 2 ++= cbacbxaxxP . Cho bit 0632 =++ cba 1) Tớnh a, b, c theo )1(, 2 1 ),0( PPP . 2) Chng minh rng: )1(, 2 1 ),0( PPP khụng th cựng õm hoc cựng dng. Bi 6: Tỡm mt a thc bc hai, cho bit: 1985)2( 85)1( 19)0( = = = P P P 5. Chuyên đề: Biển đổi phân thức hữu tỉ Ví dụ 1. a) Chứng minh rằng phân số 3n 1 5n 2 + + là phân số tối giản nN ; b) Cho phân số 2 n 4 A n 5 + = + (nN). Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 2009 sao cho phân số A cha tối giản. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó. Lời giải a) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1) 3(5n + 2) 5(3n + 1) d hay 1 d d = 1. Vậy phân số 3n 1 5n 2 + + là phân số tối giản. b) Ta có 29 A n 5 n 5 = - + + . Để A cha tối giản thì phân số 29 n 5+ phải cha tối giản. Suy ra n + 5 phải chia hết cho một trong các ớc dơng lớn hơn 1 của 29. Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5 29 n + 5 =29k (k N) hay n=29k 5. Theo điều kiện đề bài thì 0 n = 29k 5 < 2009 1 k 69 hay k{1; 2; ; 69} Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài. Tổng của các số này là : 29(1 + 2 + + 69) 5.69 = 69690. Ví dụ 2. Cho a, b, c 0 và a + b + c 0 thỏa mãn điều kiện 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng : 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + . Lời giải 10 [...]... Câu 3: (2 điểm) a) Cho a, b là các số nguyên Chứng minh rằng nếu a chia cho 19 d 3, b chia cho 19 d 2 thì 2 2 a + b + ab chia hết cho 19 b) Chứng minh rằng tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là số chính phơng Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Các đờng cao AA, BB , CC cắt nhau tại H, gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC Trên tia HG lấy điểm O sao cho OG = 1 3 OH; AO... điểm) Cho a, b, c là ba số dơng Chứng minh rằng: Đề số 26 Câu 1: (2 điểm) Cho phân thức: A = x 4 + x3 x 2 2 x 2 x 4 + 2 x3 x 2 4 x 2 (với x Z) a) Rút gọn A b) Xác định x để A có giá trị nhỏ nhất Câu 2: (2 điểm) a) Cho x, y, z là các số nguyên khác 0 Chứng minh rằng nếu: x 2 yz = a ; y 2 zx = b ; z 2 xy = c Thì tổng ax + by + cz chia hết cho tổng a + b + c b) Cho đa thức f(x) khi chia cho x-2... x > 0) tính độ dài các cạnh của tam giác AEK theo a và x 4) Hãy chỉ ra vị trí của E sao cho độ dài EK ngắn nhất Bài 5: (1điểm) Cho x, y, z khác 0 thoả mãn: Tính N = 1 1 1 + + =0 xy yz zx x2 y2 z2 + + yz zx xy Đề số 6 Câu I: (5 điểm) Rút gọn các phân thức sau: 1) 2) x 1 + x + x 3 x 2 4 x +1 (a 1) 4 11( a 1) 2 + 30 3( a 1) 4 18( a 2 2a ) 3 Câu II: (4 điểm) 1) Cho a, b là các số nguyên, chứng... O Trên đờng chéo BD lấy các điểm M và N sao cho BM = MN = ND Các tia AM và AN cắt BC và CD ở P và Q C/m O là trọng tâm của tam giác APQ Bài 8: Cho hcn ABCD Kẻ AH vuông góc với BD Trung điểm của DH là I, nối AI và kẻ đờng vuông góc với AI tại I cắt cạnh BC tại K C/m K là trung điểm của cạnh BC Bài 9: Cho hcn ABCD, hai đờng chéo cắt nhau tại O Trên đờng chéo BD lấy điểm M sao cho BM = 1 BO Đờng 4 thẳng... + 2 cho B = x 2 + 1 Tìm x Z để A chia hết cho B 2002 2003 20 2 Phân tích đa thức thơng trong câu 1 thành nhân tử Câu II: (2điểm) 1 So sánh A và B biết: 2 4 8 16 A = 5 32 1 và B = 6(5 +1)(5 +1)(5 +1)(5 +1) 2 Chứng minh rằng: 1919 + 69 69 chia hết cho 44 Câu III: (2điểm) 1 Cho một tam giác có ba cạnh là a, b, c thoả mãn: (a + b + c) 2 = 3(ab + bc + ca) Hỏi tam giác đã cho là tam giác gì ? 2 Cho đa... 22499 9100 09 n số 0 n-2 số 9 là số chính phơng ( n 2 ) Đề số 15 Câu 1: (2 điểm) Cho a 3 4a 2 a + 4 P= 3 a 7a 2 + 14a 8 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên Câu 2: (2 điểm) a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phơng của chúng chia hết cho 3 b) Tìm các giá trị của x để biểu thức: P = ( x 1)( x + 2)( x + 3)( x + 6) có... 13 x + 42 18 2 b) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng; A= a b c + + 3 b+ca a+cb a+bc Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho hai cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lợt tại D và E Chứng minh: a) BD.CE = BC 2 4 b) DM, EM lần lợt là tia phân giác của các góc BDE và CED Câu 5: (1 điểm) Tìm tất cả các tam giác... rằng M là trung điểm của AD (500 - 42 - 43) *Bài 14: CHo tam giác ABC (Góc A < 900) Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các hình vuông ABDE, ACFG Gọi M là trung điểm của DF C/m tam giác MBC vuông cân (YTP76) Bài 15: Cho hình vuôngABCD Lấy các điểm E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AD, AB sao cho AE = AF Gọi H là hình chiếu của A trên BE Tính góc CHF Bài 16: CHo điểm M thuộc cạnh CD của hình vuông ABCD Tia... điểm) Tìm tất cả các số có ba chữ số sao cho tổng các nghịch đảo của các chữ số của mỗi số bằng 1 Đề số 27 Câu 1: (2 điểm) a) Cho y > x >0 và x 2 + y 2 10 = xy 3 Tính giá trị của biểu thức 31 M = xy x+y b) Rút gọn biểu thức 4 1 4 1 4 1 1 + 3 + 11 + 4 4 4 A= 4 1 4 1 4 1 2 + 4 + 12 + 4 4 4 Câu 2: (2 điểm) a) Giải phơng trình: x 4 4 x 3 19 x 2 + 106 x 120 = 0 b) Cho x4 y 4 1 +... của góc ABM cắt AD ở I C/m rằng BI 2MI Bài 17: Cho tam giác ABC Vẽ về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFG có tâm theo thức tự là M, N Gọi I, K lần lợt là trung điểm của EG, BC a/ C/m KMIN là hình vuông b/ Nếu tam giác ABC có BC côc định và đờng cao tơng ứng bằng h không đổi thì I chuyển động trên đờng nào (NCVPT 98) Bài toán 3(Bài toán cơ bản): Cho tam giác ABC cân tại A D là điểm trên cạnh . hình học 8) V. Các bài toán về hình bình hành - đối xứng tâm Bài toán 1: (Bài toán cơ bản) Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm F,E lần lợt trên các cạnh. cuae EF và MN. Từ đó ta có các bài toán sau: Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E, F lần lợt trên các cạnh AB, DC sao cho AE = CF. Chứng minh