Phụ lục Phụ lục 3A1 VÍ DỤ MINH HỌA BIỂU DIỄN HÌNH HỌC TÍN HIỆU VDPL3A.1: Xét tập tín hiệu hình PL3A1.a Có hàm trực chuẩn sở φ1 ( t ) để biểu diễn chúng Năng lượng tín hiệu cho bởi: ∞ −∞ ∫ s (t)dt = V Tb = E = E [joules] Hàm trực chuẩn cho bởi: φ1 (t) = s1 (t) s (t) = E1 V Tb Hệ số tương quan ρ = ∫ Tb khơng chuẩn hóa φ ( t ) là: s ( t ) s1 ( t ) dt = −1 thể s ( t ) = −s1 ( t ) Vì vậy, hàm sở E ' φ'2 (t) = s (t) s (t) + s1 (t) − ρφ1 (t) = =0 E E s2 ( t ) s1 (t) Tb Tb a) Tập tín hiệu φ1 ( t ) t t - 1/ Tb t Tb s2 ( t ) − E s1 (t) E φ1 ( t ) c) Khơng gian tín hiệu b)Các hàm trực chuẩn Hình PL3A.1 a) Tập tín hiệu; b) Các hàm trực chuẩn c) Khơng gian tín hiệu Hàm trực chuẩn sở φ1 ( t ) hình PL3A.1b Với φ1 ( t ) , hai tín hiệu biểu diễn: s1 (t) = Eφ1 (t) s (t) = − Eφ1 (t) -267- Phụ lục Biểu diễn hình học hai tín hiệu s1 ( t ) s ( t ) hình PL3A.1c, khoảng cách hai tín hiệu d 21 = E VDPL3A.2: Tập tín hiệu xét trường hợp cho hình PL3A2.a Đây trường hợp đặc biệt hai tín hiệu trực giao với có lượng V 2Tb = E (joules) Hàm trực chuẩn sở trực giao là: φ1 (t) = s1 (t) E1 Hệ số tương quan ρ là: ρ= Tb ∫ s1 (t)s (t) dt = E hai tín hiệu cho trực giao với Theo φ'2 = s1 ( t ) s ( t ) biểu diễn là: s2 ( t ) E = φ2 ( t ) Vì vậy, tín hiệu s1 (t) = Eφ1 (t) s (t) = E φ2 (t) s2 ( t ) s1 (t) Tb Tb φ2 ( t ) φ1 ( t ) φ2 ( t ) 1/ Tb E 1/ Tb Tb −1/ Tb s2 ( t ) Tb s1 ( t ) φ1 ( t ) E Hình PL3A.2 Minh họa: Tín hiệu; hàm trực chuẩn; khơng gian tín hiệu Về mặt hình học, hàm trực giao chuẩn sở φ1 ( t ) φ2 ( t ) cho hình PL3A2.b khơng gian tín hiệu cho hình PL3A2.c Khoảng cách hai tín hiệu tính sau: -268- Phụ lục d 21 = E + E = 2E = E So sánh VDPL3A.2 với VDPL3A.1, cho thấy lượng bit máy phát giống Tuy nhiên, tín hiệu hình PL3A.2 gần phía cuối máy thu, với xuất tạp âm, ta hy vọng phân biệt tín hiệu gửi Ta xem xét biểu diễn định lượng cho trường hợp VDPL3A.3: phát triển VDPL3A.1 VDPL3A.2 (là tổng quát hóa hai trường hợp trên) Tập tín hiệu cho hình PL3A.3, tín hiệu có lượng E = V 2Tb Hàm trực chuẩn sở φ1 ( t ) = s1 ( t ) E Hệ số tương quan ρ phụ thuộc vào tham số α cho bởi: ρ= Tb 2α s (t)s1 (t)dt −  V α − V (Tb − α )  = −1 ∫ E V Tb Tb Ta kiểm tra: α = ρ = −1 ; α = Tb ρ = mong đợi Hàm trực giao chuẩn sở thứ hai là: φ2 (t) = E(1 − ρ2 ) [s (t) − ρs (t)] Để biểu diễn hình học, ta xét trường hợp α = Tb , ρ = − Cũng vậy, ta có φ1 ( t ) = s1 ( t ) E , hàm trực giao chuẩn sở thứ hai cho bởi: φ2 (t) = 3V Tb   s (t) − s (t)  Hai hàm trực chuẩn sở hình PL3A3.b Biểu diễn hình học s1 ( t ) s ( t ) cho hình PL3A3.c Chú ý rằng, hệ số để biểu diễn s ( t ) là: s 21 = − E E Do s 221 + s 222 = E , tín hiệu s ( t ) cách gốc tọa độ E Tổng quát, α thay đổi từ đến Tb , hàm φ2 ( t ) thay đổi Tuy nhiên, với φ2 ( t ) tín hiệu s ( t ) cách s 22 = gốc tọa độ khoảng E Quỹ đạo s ( t ) cho hình PL3A3.c Chú ý α tăng, ρ tăng, khoảng cách hai tín hiệu giảm -269- Phụ lục s1 ( t ) V V t Tb / 3Tb 1/ Tb α φ2 ( t ) φ1 ( t ) s2 ( t ) Tb Tb t 0 t Tb -V a) Tập tín hiệu s2 ( t )  E 3E  ,  −    t −1/ 3Tb b) Các hàm trực giao φ2 ( t, α ) α= Tb Tb t ăng , p E =0 s1 ( t ) (− E,0 ) ( E ,0 ) φ1 ( t ) c) Biểu diễn khơng gian tín hiệu Hình PL3A.3 Minh họa: Tín hiệu, hàm trực chuẩn, khơng gian tín hiệu VDPL3A.4: Xét tập tín hiệu hình PL3A4.a Năng lượng tín hiệu E = V 2Tb joules Ta có: φ1 (t) = ρ= s1 (t) E Tb Tb /   s (t)s1 (t)dt = ∫  Vt Vdt = ∫ 0 E E  Tb  φ2 (t) = s 21 =  s1 (t)    s (t)  E − ρ E  = E s (t) − s1 (t)      3  1 −   4 E; 2 s 22 = E Khoảng cách hai tín hiệu là: -270- Phụ lục 2      E     Tb  d 21 =  ∫ [s (t) − s1 (t)] dt  =   E  −  +              2 ( = E 2− ) = (2 − 3) E Các hàm trực chuẩn vẽ hình PL3A4.b, biểu diễn khơng gian tín hiệu minh họa hình PL3A4,c s1 ( t ) s2 ( t ) 3V V t Tb Tb / Tb t a) Tập tín hiệu φ1 ( t ) φ2 ( t ) φ2 ( t ) Tb 1/ Tb s2 ( t )  3E E  ,     s1 ( t ) Tb t Tb 0 − t Tb / ( E, ) φ1 ( t ) Tb c) Biểu diễn khơng gian tín hiệu b) Các hàm trực giao Hình PL3A.4 Minh họa: Tín hiệu, hàm trực chuẩn, khơng gian tín hiệu VDPL3A.5: Xét trường hợp hai tín hiệu hình sin có tần số khác pha s1 (t) = E cos(2πf c t) Tb s (t) = E cos(2πf c t+θ) Tb Chọn f c = k , k số nguyên Cách chọn có nghĩa hai hàm sin ( 2πf c t ) 2Tb cos ( 2πf c t ) trực giao khoảng thời gian Tb Năng lượng tín hiệu là: E1 = E ∫ Tb cos (2πf c t)dt = E = E Tb Hàm trực chuẩn là: -271- Phụ lục φ1 (t) = s1 (t) = cos(2πf c t) Tb E Tại đây, ta viết s ( t ) sau: s (t) = (     Ecosθ  cos(2πf c t)  + − E sin θ  sin(2πf c t)   Tb   Tb  ) ( ) Do hàm sin ( 2πf c t ) trực giao với hàm cos ( 2πf c t ) khoảng thời gian ( 0, Tb ) , nên hàm trực giao chuẩn sở thứ hai ta chọn là: φ2 (t) = sin(2πf c t) Tb Vì s ( t ) = s 21φ1 ( t ) + s 22φ2 ( t ) , nên cách kiểm tra, ta có s 21 = Ecosθ; s 22 = − E sin θ Cuối cùng, khơng gian tín hiệu cho hình PL3A5 θ = 3π / φ2 ( t ) ρ=0 s2 ( t ) E θ=π s1 ( t ) φ1 ( t ) locus of s ( t ) as θ ρ = −1 varies from to 2π θ = π/2 ρ=0 Hình PL3A5 Biểu diễn khơng gian tín hiệu -272- Phụ lục Phụ lục 3A2 MÁY THU TỐI ƯU ĐỐI VỚI TÍN HIỆU NHỊ PHÂN TRONG MÔI TRƯỜNG KÊNH AWGN MÁY THU TỐI ƯU Trong khoảng thời gian bit ( k − 1) Tb ; kTb  đó, tạp âm ảnh hưởng đến tín hiệu thu Nếu xét tín hiệu khoảng thời gian bit đầu tiên, tín hiệu thu r ( t ) = si ( t ) + n ( t ) , s1 ( t ) + n ( t ) , = s ( t ) + n ( t ) , ≤ t Tb bit "0" đợc phát (3A.1) bit "1" đợc phát Trong ú: coi ng b thi gian phát/thu (biết xác thời điểm bắt đầu bit); máy thu phải biết xác hai tín hiệu s1 ( t ) s ( t ) ; biết trước xác suất tiên nghiệm (xác suất phát bit “0” “1”) Để có máy thu tối ưu, trước hết, ta khai triển r ( t ) thành dạng chuỗi sử dụng hàm trực giao φ1 ( t ) , φ2 ( t ) , φ3 ( t ) Như đề cập, hai hàm trực chuẩn φ1 ( t ) & φ2 ( t ) chọn để biểu diễn xác tín hiệu s1 ( t ) s ( t ) Lưu ý rằng, s1 ( t ) s ( t ) xác định φ1 ( t ) & φ2 ( t ) theo thủ tục Gram-Schmidt Phần lại chọn để hồn thành tập trực giao Tín hiệu r ( t ) khoảng thời gian [ 0; Tb ] biểu diễn sau: r ( t ) = si ( t ) + n ( t ) , ≤ t ≤ Tb = si1φ1 ( t ) + si2 φ2 ( t )  +  n1φ1 ( t ) + n φ2 ( t ) + n 3φ3 ( t ) + n φ4 ( t ) + . si ( t ) n( t) (3A.2) = ( si1 + n1 ) φ1 ( t ) + ( si2 + n ) φ2 ( t ) + n 3φ3 ( t ) + n φ4 ( t ) + = r1φ1 ( t ) + r2 φ2 ( t ) + r3φ3 ( t ) + r4 φ4 ( t ) + rj = ∫ r ( t ) φ j ( t ) dt Tb r1 = si1 + n1 r2 = si2 + n r3 = n (3A.3) r4 = n Đặc biết ý rj , j = 3, 4, khơng phụ thuộc vào việc tín hiệu s1 ( t ) hay s ( t ) N0 (phương sai tạp âm) Giá trị trung bình r1 , r2 tương ứng si1 si2 Với rj , j > có trung phát, r1 , r2 , r3 , r4 , biến ngẫu nhiên Gausơ có phương sai bình khơng (trung bình tạp âm) -273- Phụ lục Tại đây, dựa vào việc quan trắc biến ngẫu nhiên r1 , r2 , r3 , r4 , để định tín hiệu phát Trước hết ta phải có tiêu chuẩn định tối ưu, tiêu chuẩn chọn cho giảm thiểu xác suất lỗi định ℜ1 ℜ2 ℜ1 Hình 3A.1 Khơng gian quan trắc vùng định Để rút máy thu mà giảm thiểu xác suất lỗi, ta xét quan trắc r = {r1 , r2 , r3, } Nếu ta xét n thành phần chúng tạo nên không gian quan trắc n chiều mà ta phải phân nhỏ thành vùng định để giảm thiểu xác suất lỗi Điều minh họa hình 3A.1 Xác suất lỗi biểu diễn sau: Pr [ lỗi ] = Pr ( định "0" & phát "1") ( định "1" & ph¸t "0")  ( 3A.4) Vì hai kiện l loi tr tng h nhau, nờn: Pr [lỗi] = Pr [ D ,1T ] + Pr [1D , 0T ] = Pr [ 0D |1T ] Pr [1T ] + Pr [1D | 0T ] Pr [ 0T ] (3A.5) Tại ta xét đại lượng Pr [ 0D |1T ] Quyết định bit dựa vào quan trắc r có rơi vào miền ℜ1 khơng Do đó, xác suất bit “0” định phát bit “1” với xác suất r rơi vào miền ℜ1 phát bit “1” Xác suất cho độ lớn hàm mật độ xác suất có điều kiện miền ℜ1 , nghĩa là: Pr [ 0D |1T ] = ∫ f ( r |1T ) dr (3A.6) ℜ1 Do Pr [ lỗi ] = P2 f ( r |1T ) dr + P1 ∫ f ( r | 0T ) dr ℜ1 = P2 ∫ ℜ−ℜ2 ℜ2 f ( r |1T ) dr + P1 ∫ f ( r | 0T ) dr ℜ2 = P2 ∫ f ( r |1T ) dr + ∫  P1f ( r | 0T ) − P2 f ( r |1T )  dr ℜ ℜ2 -274- (3A.7) Phụ lục Lỗi phụ thuộc vào cách phân chia miền quan trắc Từ biểu thức xác suất lỗi, ta thấy r làm cho tích phân P1f ( r 0T ) − P2f ( r 1T ) có giá trị âm ℜ2 xác suất lỗi giảm thiểu Vì vậy, quy tắc định xác suất lỗi nhỏ biểu diễn là: P1f ( r | 0T ) − P2 f ( r |1T ) ≥  P1f ( r | 0T ) − P2 f ( r |1T ) < 0T P1 P2 (3A.9) f ( r |1T ) thường gọi tỷ lệ khả giống Máy thu thực f ( r | 0T ) tính tốn tỷ số so sánh kết với ngưỡng tiền định (ngưỡng xác định xác suất tiên nghiệm) Ta xét hàm mật độ xác suất có điều kiện f ( r |1T ) f ( r | 0T ) Do thành phần r1 , r2 , r3 , biến ngẫu nhiên Gauss độc lập thống kê, nên chúng viết dạng tích nhiều hàm mật độ xác suất riêng biêt sau: f ( r |1T ) = f ( r1 |1T ) f ( r2 |1T ) f ( r3 |1T ) f ( r4 |1T ) f ( rj |1T ) (3A.10) f ( r | 0T ) = f ( r1 | 0T ) f ( r2 | 0T ) f ( r3 | 0T ) f ( r4 | 0T ) f ( rj | 0T ) (3A.11) hay − f ( r | 0T ) = ( πN ) f ( r |1T ) = ( πN ) −  ( r − s 21 )2   ( r2 − s 22 )2  − exp  −  ( πN ) exp  −  f ( r3 |1T ) f ( r4 |1T ) N  N0     ( r − s11 )2   ( r2 − s12 )2  − exp  −  ( πN ) exp  −  f ( r3 |1T ) f ( r4 |1T ) N  N0    rj2 Chú ý f ( rj |1T ) = f ( rj | 0T ) = e N0 với j > Do đó, chúng loại bỏ πN công thức tỷ số khả giống (3A.9) Vì vậy, quy tắc định trở thành: 2 exp  − ( r1 − s 21 ) / N  exp  − ( r2 − s 22 ) / N      2 exp  − ( r1 − s11 ) / N  exp  − ( r2 − s 21 ) / N      1T > < 0T P1 P2 (3A.12) Để đơn giản biểu thức, lấy loga tự nhiên hai (3A.12) Kết là, quy tắc định: ( r1 − s11 ) + ( r2 − s 21 ) 2 1T > < 0T  P1    P2  ( r1 − s21 ) + ( r2 − s22 ) + N ln  (3A.13) Quy tắc có biểu diễn hình học thú vị Đại lượng ( r1 − s11 ) + ( r2 − s12 ) bình phương khoảng cách từ hình chiếu ( r1 , r2 ) tín hiệu thu r ( t ) lên tín hiệu phát phát s1 ( t ) -275- Phụ lục Tương tự ( r1 − s 21 ) + ( r2 − s 22 ) bình phương khoảng cách từ ( r1 , r2 ) lên s ( t ) Trường hợp đặc biệt P1 = P2 , quy tắc định là: ( r1 − s11 ) + ( r2 − s 21 ) 1T > < 0T ( r1 − s 21 ) + ( r2 − s 22 ) (3A.14) Thực chất, biểu thức hàm ý rằng, máy thu tối ưu cần phải xác định khoảng cách từ r ( t ) đến s1 ( t ) s ( t ) , sau chọn si ( t ) mà r ( t ) gần Trường hợp tổng quát P1 ≠ P2 miền định xác định đường thẳng vng góc với đường thẳng nối s1 ( t ) s ( t ) Nó dịch phía s ( t ) P1 > P2 dịch phía s1 ( t ) P1 < P2 , minh họa hình 3A.2 φ2 ( t ) r2 S2 ( t ) ( s21 ,s 22 ) d2 ( s11 ,s12 ) d1 ( r1 , r2 ) S1 ( t ) φ1 ( t ) r1 Hình 3A.2: Các miền định xác định đường thẳng vng góc với đường thẳng nối s1 ( t ) s ( t ) CẤU TRÚC MÁY THU TỐI ƯU Để xác định xác suất lỗi nhỏ trường hợp bit “0” bit “1” phát, ta cần xác định r1 , r2 sau dùng (3A.13) để đưa định Vì vậy, cấu trúc máy thu cho hình 3A.3 Quá trình nhân r ( t ) với φ1 ( t ) lấy tích phân khoảng thời gian bit phép toán tương quan đó, cấu hình máy thu gọi cấu hình máy thu tương quan Do thời điểm cuối bit, tích phân trở giá trị ban đầu, nên máy thu thông thường gọi máy thu tích hợp phân tách Quy tắc định viết lại sau: ( r1 − s11 ) + ( r2 − s 21 ) 2 + N lnP1 1T > < 0T ( r1 − s21 ) + ( r2 − s 22 ) + N 0lnP1 -276- (3A.15) Phụ lục ∫ (•)dt π ( T cos 2πf c t + φˆ ) k ∑( ) n =1 ( sin 2πf c t + φˆ ) ∫ (•)dt T Hình 3C.16: Vòng khóa pha PLL khơng trực tiếp định để ước tính pha sóng mang tín hiệu PAM hay BPSK Vòng nhân pha Vòng nhân pha vòng khơng trực tiếp định (xét chuỗi tin biến ngẫu nhiên) dùng phổ biến thực tế để khơi phục pha sóng mang từ tín hiệu sóng mang bị khử hai băng tín hiệu PAM (hay BPSK) Biểu thức tín hiệu vào: Để mơ tả hoạt động nó, ta xét ước tính pha sóng mang cho tín hiệu PAM điều chế số có dạng s(t) = A(t) cos ( 2πf c t + φ ) (3C.50) đó: A(t) mang thơng tin số Lưu ý E[s(t)] = E[A(t)] =0 mức tín hiệu đối xứng qua khơng Vì vậy, giá trị trung bình s(t) khơng tạo thành phần tần số quán pha tần số kể sóng mang ⇒ cần phải tạo thành phần sóng mang Tạo thành phần sóng mang khơng điều chế từ tín hiệu thu: Phương pháp tạo sóng mang từ tín hiệu thu lấy bình phương tín hiệu, tạo tần số 2fc, sau dùng để điều khiển PLL (PLL điều chỉnh theo 2fc) Sơ đồ khối minh hoạ cho phương pháp c cho hỡnh 3C.17 s(t) Bộ nhân đôi tín hiệu vào s (t) (ì 2) Bộ lọc thông băng đợc chỉnh đến 2fc cos ( 4f c t + 2φ ) e(t) Bé läc vßng ( sin 4πf c t + 2φˆ ( sin 2πf c t + Đầu đa đến giải điều chế quán ) ) VCO ữ2 Hỡnh 3C.17: Khụi phc súng mang dùng thiết bị nhân hai -320- v(t) Phụ lục Tín hiệu lấy bình phương s (t) = A (t) cos ( 2πf c t + φ ) = A (t) + A (t) cos ( 4πfc t + 2φ ) 2 (3C.51) Vì điều chế trình ngẫu nhiên dừng tuần hoàn (cyclostationary stochastic process), nên giá trị kỳ vọng s2(t) E s (t)  = 1 E  A (t)  + E  A (t)  cos ( 4πf c t + 2φ ) 2 (3C.52) ⇒ Vì vậy, ta tạo công suất tần số 2fc Nếu tín hiệu đầu nhân pha cho qua lọc thông băng (được chỉnh theo thành phần tần số bội hai phương trình (3C.51)), giá trị trung bình tín hiệu đầu lọc tín hiệu sin có tần số 2fc, pha 2φ biên độ E  A (t)  H(2f c ) H(2f c ) độ  lợi lọc tần số f=2fc Vì vậy, lấy bình phương tín hiệu vào tạo thành phần tuần hồn từ tín hiệu vào s(t) Kết là, lấy bình phương tín hiệu s(t), ta khử dấu tin (±) A(t) ⇒ nhận thành phần tần số quán pha tần số hai Thành phần tần số 2fc dùng để điều khiển PLL Ước tính phương sai lỗi pha: Việc lấy bình phương dẫn đến làm gia tăng tập âm, nghĩa làm tăng mức công suất tạp âm đầu vào PLL làm tăng phương sai lỗi Chi tiết hơn, ta coi tín hiệu vào lấy bình phương s(t) + n(t), s(t) cho (3C.50) n(t) thể cho trình tạp âm Gausơ cộng thơng băng Lấy bình phương tín hiệu s(t) + n(t), ta y(t) = s (t) + 2s(t)n(t) + n (t) (3C.53) s2(t) thành phần tín hiệu mong muốn hai thành phần lại tích tín hiệu nhân với tạp âm tạp âm nhân với tạp âm Bằng cách tính hàm tự tương quan mật độ phổ công suất hai thành phần tạp âm này, cho thấy chúng có phổ cơng suất nằm băng tần trung tâm 2fc Nên, tín hiệu lọc thơng băng có băng thơng Bbp trung tâm 2fc gồm thành phần tín hiệu sin mong muốn để điều khiển PLL thành phần tạp âm Vì băng thơng vòng thiết kế nhỏ đáng kể so với băng thông Bbp lọc thơng băng, nên tồn phổ tạp âm tín hiệu vào PLL lấy xấp xỉ số độ rộng băng thơng vòng Từ việc lấy xấp xỉ này, cho phép ta biểu diễn đơn giản phương sai lỗi pha σφ2ˆ = γ LSL (3C.54) SL gọi tổn thất nhân pha (squaring loss) cho  Bbp  2Beq SL = 1 + γL          −1 (3C.55) -321- Phụ lục Vì SL