Đang tải... (xem toàn văn)
Tính gầ đúng đạo hàm tích phân
Chương TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN I TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM : Cho hàm y = f(x) bảng số x xo x1 x2 xn y yo y1 y2 yn Để tính gần đạo hàm, ta xấp xỉ hàm đa thức nội suy Lagrange Ln(x) Ta có f / ( x ) ≈ L/n ( x ) f / / ( x ) ≈ L/n/ ( x ) TH baûng có điểm nút : x y x0 y0 x1 y1 h = x1- x0 y0 = f(x0) y1 = f(x1) = f(x0+h) Đa thức nội suy Lagrange ( x − x0 ) ( x − x1 ) Ln ( x ) = y0 + y1 ( x0 − x1 ) ( x1 − x0 ) ( x − x0 ) ( x − x1 ) = y1 − y0 h h Do với x ∈ [x0, x1] ta coù y1 − y0 f ( x0 + h) − f ( x0 ) f '( x ) ≈ = h h Công thức sai phân tiến : f ( x + h) − f ( x ) f '( x0 ) ≈ h Công thức sai phân lùi : y1 − y0 f '( x1 ) ≈ h Thay x1 baèng x0 f ( x ) − f ( x − h) f '( x0 ) ≈ h Công thức sai số : M2 h ∆= với M2 = max | f "( x ) | x∈[ x0 , x1 ] Ví dụ : Cho hàm f(x) = ln x Tính Xấp xỉ f’(1.8) sai số với h = 0.1, 0.01, 0.001 giải Ta có f '(1.8) ≈ f "( x ) = − x Sai soá f (1.8 + h) − f (1.8) h ⇒ M2 = max | f "( x ) |= 1.8 h ∆= 2(1.8)2 h f’(1.8) ∆ 0.1 0.540672212 0.016 0.01 0.554018037 0.16x10-2 0.001 0.555401292 0.16x10-3 TH bảng có điểm nút cách : x y x0 x1 x2 y0 y1 y2 h = x2 - x1 = x1 - x0 y0 = f(x0) y1 = f(x1) = f(x0+h) y2 = f(x2) = f(x0+2h) Đa thức noäi suy Lagrange ( x − x0 )( x − x2 ) ( x − x0 )( x − x1 ) ( x − x1 )( x − x2 ) Ln ( x ) = y0 + y1 + y2 ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) ( x2 − x0 )( x2 − x1 ) = ( x − x0 )( x − x1 ) 2h y2 − ( x − x0 )( x − x2 ) h y1 + ( x − x1 )( x − x2 ) 2h y0 Do với x ∈ [x0, x2] ta coù f '( x ) ≈ f "( x ) ≈ ( x − x0 ) 2h ( y2 − y1 ) + ( y2 − y1 + y0 ) h2 ( x − x1 ) 2h ( y2 + y0 ) + ( x − x2 ) 2h ( y0 − y1 ) Suy đạo hàm cấp (−3y0 + y1 − y2 ) f '( x0 ) ≈ 2h ( y2 − y0 ) f '( x1 ) ≈ 2h ( y0 − y1 + 3y2 ) f '( x2 ) ≈ 2h Coâng thức thứ gọi công thức sai phân tiến −3 f ( x0 ) + f ( x0 + h) − f ( x0 + 2h) f '( x0 ) ≈ 2h Công thức thứ gọi công thức sai phân hướng tâm thường viết dạng (thay x1 = x0) f ( x + h) − f ( x − h) f '( x0 ) ≈ 2h Công thức thứ gọi công thức sai phân lùi thường viết dạng (thay x2 = x0) f ( x − h) − f ( x − h) + f ( x ) f '( x0 ) ≈ 2h Công thức sai số : M3 h ∆= với M3 = max | f "'( x ) | x∈[ x0 , x2 ] đạo hàm cấp f ''( x1 ) ≈ ( y2 − y1 + y0 ) h2 Thay x1 = x0 ta f ''( x0 ) ≈ f ( x + h) − f ( x ) + f ( x − h) h2 Công thức sai số : M4 h2 ∆= 12 với M4 = max | f (4) ( x ) | x∈[ x0 , x2 ] Ví dụ : Cho hàm f(x) = ln x – 2/x3 b Dùng công thức sai phân hướng tâm, tính xấp xỉ f’(3) với h = 0.1, 0.01, 0.001 c Tính xấp xỉ f”(3) với h = 0.1, 0.01, 0.001 giaûi f (3 + h) − f (3 − h) f '(3) ≈ 2h h f’(3) 0.1 0.407805936 0.01 0.407411385 0.001 0.407407442 f (3 + h) − f (3) + f (3 − h) f ''(3) ≈ h2 h f’’(3) 0.1 -0.210213236 0.01 -0.20987991 0.001 -0.2098756 II TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN : Cho hàm f(x) xác định khả tích [a,b] Ta cần tính gần tích phân : b I = ∫ f ( x )dx a Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn với bước h = (b-a)/n xo= a, x1 = x0 +h, , xk = x0 + kh, , xn = b Xấp xỉ f(x) đa thức nội suy Lagrange Đa thức Lagrange TH điểm cách (−1)n −k Ln ( x ) = q(q −1) (q − n)∑ yk k =0 k !(n − k )!( q − k ) x −a với q = h n b b (−1) q(q − 1) (q − n) I ≈ ∫ Ln ( x )dx =∑ ∫ yk dx k !(n − k )!(q − k ) k =0 a a n n n−k (−1)n − k q(q − 1) (q − n) (b − a) = ∑∫ dq yk k !(n − k )!(q − k ) n k =0 n n I ≈ I * = (b − a)∑ H k yk k =0 n (−1)n − k q(q − 1) (q − n) với H k = ∫ (q − k ) dq n k !(n − k )! Công thức gọi công thức Newton-cotes, hệ số Hk gọi hệ số cotes Hệ số cotes có tính chất sau : n ∑H k =0 k =1 H n−k = H k k = 0, n Công thức sai số : M n + 1h n + n ∫0 | q(q − 1) (q − n) | dq với n leû (n + 1)! ∆ = | I − I * |≤ Mn+ h n+ n (n + 2)! ∫ | q (q − 1) (q − n) | dq với n chaün Mn +1 = max | f ( n +1) ( x ) | vaø Mn + = max | f ( n + 2) ( x ) | x∈[ a ,b ] x∈[ a ,b ] Công thức hình thang : Xét n = 1, ta coù h= b-a I ≈ (b-a)(Hoyo + H1y1) 1 H = − ∫ (q − 1)dq = Vaäy ⇒ H1 = H = (b − a) (b − a) I≈ ( y0 + y1 ) = ( f (a) + f (b)) 2 Công thức sai số : M2 h3 M2 h3 ∆≤ ∫ | q(q − 1) | dq = 12 2! Công thức hình thang mở rộng : Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn [x0, x1], [x1, x2], , [xn-1, xn] Ta coù x2 xn x0 I= x1 x1 xn−1 ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + + ∫ f ( x )dx ( x1 − x0 ) ( xn − xn − ) ( x2 − x1 ) = ( y0 + y1 ) + ( y1 + y2 ) + + ( yn − + yn ) 2 h h h = ( y0 + y1 ) + ( y1 + y2 ) + + ( yn− + yn ) 2 Vaäy h I ≈ ( y0 + y1 + + yn− + yn ) Công thức sai soá : M2 h3 M2 h ∆≤n = (b − a) 12 12 Công thức Simpson : Xét n = 2, ta có h = (b-a)/2 I ≈ (b-a)(Hoyo + H1y1+H2y2) 1 H = ∫ (q − 1)(q − 2)dq = 40 H2 = H = H + H1 + H = ⇒ H1 = Vaäy ( b − a) I≈ ( y0 + y1 + y2 ) Công thức sai số : M4 h4 M4 h5 ∆≤ ∫ | q (q − 1)(q − 2) | dq = 90 4! Công thức Simpson mở rộng : Điều kiện n phải chẵn Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn [x0, x1], [x1, x2], , [xn-1, xn] ... -0.210213236 0.01 -0.20987991 0.001 -0.2098756 II TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN : Cho hàm f(x) xác định khả tích [a,b] Ta cần tính gần tích phân : b I = ∫ f ( x )dx a Ta phân hoạch đoạn [a,b] thành n đoạn với...I TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM : Cho hàm y = f(x) bảng số x xo x1 x2 xn y yo y1 y2 yn Để tính gần đạo hàm, ta xấp xỉ hàm đa thức nội suy Lagrange Ln(x) Ta có... | f (4) ( x ) | x∈[ x0 , x2 ] Ví dụ : Cho hàm f(x) = ln x – 2/x3 b Dùng công thức sai phân hướng tâm, tính xấp xỉ f’(3) với h = 0.1, 0.01, 0.001 c Tính xấp xỉ f”(3) với h = 0.1, 0.01, 0.001