giáo viên: phạm xuân trinh. các dạng bài tập rút gọn biểu thức. I . Lý thuyết A. N hững hằng đẳng thức 1) (a+b) 2 = a 2 + 2ab +b 2 2)(a-b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 3)a 2 - b 2 = (a-b)(a+b) 4)a 2 + b 2 = (a+b) 2 - 2ab = (a-b) 2 + 2ab 5)(a+b) 3 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 + 3ab(a+b) 6)(a-b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - b 3 - 3ab(a-b) 7)a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 - ab + b 2 ) = (a+b) 3 - 3ab(a+b) 8)a 3 - b 3 = (a-b)(a 2 + ab + b 2 ) = (a-b) 3 + 3ab(a-b) 9)(a+b+c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca 10) (a+b+c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3(a+b)(b+c)(c+a) B. Các công thức biến đổi căn thức 1) 2 A A= 2) .AB A B= (với A 0 và B 0 ) 3) A A B B = ( với A 0 và B 0> ) 4) = 2 a b a b ( với B 0 ) 5) = 2 a b a b ( với A 0 và B 0 ) = 2 a b a b (với A 0 và B 0 ) 6) = 1A A B B b (với A.B 0 và B 0 ) 7) = A A B B B ( với B > 0 ) 8) ( ) = m 2 C A B C A b A B (với A 0 và A B 2 ) 9) ( ) = mC A B C A B A B (với A 0 , B 0 và A B ) II .bài tập áp dụng bài tập 1. Tính a, A = ( ) 2 1 1 15 6 5 120 2 4 2 + Trờng THCS Trực Phú TRực Ninh-Nam Định 1 gi¸o viªn: ph¹m xu©n trinh. b, B = ( ) 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 1 + + − + − + c) ( ) ( ) 4 15 5 3 4 15 + − − híng dÉn a, A = ( ) 2 1 1 15 6 5 120 2 4 2 + − − = ( ) 1 1 30 11 2 30 4.30 2 4 4 + − − = 11 30 30 11 30 2 2 2 2 + − − = b, B = ( ) 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 1 + + − + − + = ( ) 3 2 2 2 2 1 3 3 2 2+ + − − − + = 3 c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 15 5 3 4 15 5 3 4 15 4 15+ − − = − + − = ( ) 5 3 4 15 − + = ( ) ( ) 2 5 3 4 15− + = ( ) ( ) 8 2 15 4 15− + = 2 bµi tËp 2. TÝnh a) 2 (1 2)− e) E = 17 12 2 3 2 2 3 2 2− + − + + b) 3 2 2− f) F = 4 7 4 7+ − − c) 7 4 3+ g) G = 4 2 3 4 2 3− − + d) 2 3− h) H = 21 6 6 21 6 6+ + − híng dÉn a) = 2 1− v× 1 < 2 b) = 2 1− c) = 2+ 3 d) = 2 4 2 3 ( 3 1) 3 1 2 2 2 − − − = = e) E = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 2 1 2 1− + − + + = 3- 2 2 + 2 - 1 + 2 + 1 = 3 f) C¸ch 1 F = ( ) ( ) 2 2 7 1 7 1 8 2 7 8 2 7 2 2 2 2 + − + − − = − = 7 1 7 1 2 2 + − − = 2 C¸ch 2 : Ph¬ng ph¸p “ B×nh ph¬ng hai vÕ” Cã F > 0 . Nªn F 2 = 4 + 7 + 4 - 7 - 2 ( ) ( ) 4 7 4 7+ − = 8 - 2 16 7− = 2 ⇒ F = 2 g) C¸ch 1 G = 3 - 1 - ( 3 + 1 ) = -2 C¸ch 2 :Ph¬ng ph¸p “ B×nh ph¬ng hai vÕ” Chó ý : G < 0 h) Còng cã hai c¸ch nh trªn Trêng THCS Trùc Phó – TRùc Ninh-Nam §Þnh 2 giáo viên: phạm xuân trinh. Đáp số H = ( ) ( ) 2 2 3 3 2 3 3 2+ + = 6 2 bài tập 3 : Chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị là số nguyên . a) A = ( ) ( ) 57 3 6 38 6 57 3 6 38 6+ + + + b) B = 2 3 5 13 48 6 2 + + + c) C = 5 3 29 12 5 hớng dẫn a) A = ( ) ( ) 2 2 57 6 3 6 38 93 12 7 92 6 28 1+ + = + = Z b) B = 2 2 3 5 (2 3 1) 6 2 + + + = 2 3 4 2 3 6 2 + + = 2 2 3 1 6 2 + = + Z c) C = ( ) 2 5 3 2 5 3 5 6 2 5 1 = = Z bài tập 4 : So sánh A và 2B với A = 10 24 40 60+ + + B = 2 3 6 8 16 2 3 4 + + + + + + hớng dẫn Ta có A = ( ) ( ) 2 2 2 2 ( 2) 3 ( 5) 2 6 2 10 2 15 2 3 5 2 3 5+ + + + + = + + = + + B = ( ) ( ) 2 3 4 2 2 3 4 1 2 2 3 4 + + + + + = + + + Vậy 2B = 2 + 2 2 2 2 4= + + Suy ra A > 2B bài tập 5 : Rút gọn biẻu thức a) A = 2 3 5 3 6 3 + + b) B = 1 1 1 . 2 3 3 4 2008 2009 + + + + + + hớng dẫn Sử dụng phơng pháp trục căn thức a) A = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 3 3 6 3 2 5 3 2 6 3 5 6 5 3 6 3 5 3 5 3 6 3 6 3 + + + = + = + + + b) B = ( ) ( ) ( 2 3) 3 4 . 2008 2009 2009 2 + + + + + + = bài tập 6 : Tính Trờng THCS Trực Phú TRực Ninh-Nam Định 3 gi¸o viªn: ph¹m xu©n trinh. a) N = ( ) 2 1 2008 2009 2 2008− + b) M = 4 10 2 5 4 10 2 5− − − + − c) P = 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 + − + + + − − híng dÉn a) N = ( ) ( ) ( ) 2 1 2008 2008 1 2008 1 2008 1 2007− + = − + = b) Ph¬ng ph¸p “ B×nh ph¬ng hai vÕ” M 2 = 6 - 2 ( ) 2 5 5 1= − ⇒ M = 1 - 5 v× M < 0 c) Cã 2 ± ( ) 2 3 1 3 2 ± = P = 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 3 1 3 3 3 3 2 2 2 2   + − + − + = +  ÷  ÷ + − + −   + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3   + − + − +  ÷  ÷ + −   = 3 3 3 3 2 2 6   + + − =  ÷  ÷   bµi tËp 7 : CMR a) ( ) 1 1 1 1 . 2 3 2 4 3 1n n + + + + + < 2 víi n ≥ 1vµ n ∈ N b) 2 1 3 2 36 35 . 2 1 3 2 36 35 − − − + + + + + + < 5 12 híng dÉn a) Ta cã ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k k k k k k k k k k k        = = − = − +  ÷  ÷  ÷ ÷  ÷ + + + + +        = 1 1 1 1 1 2 1 1 1 k k k k k k       + − < −  ÷  ÷  ÷  ÷ + + +       ¸p dông víi k { } 1; 2;3; .; n∈ ta cã 1 1 2 1 2 2   < −  ÷   (1) 1 1 1 2 3 2 2 3   < −  ÷   (2) ……………………. ( ) 1 1 1 2 1 1n n n n   < −  ÷ + +   (n) Trêng THCS Trùc Phó – TRùc Ninh-Nam §Þnh 4 giáo viên: phạm xuân trinh. Cộng vế với vế n BĐT trên ta có ( ) 1 1 1 1 . 2 3 2 4 3 1n n + + + + + < 1 2 1 1n ữ + < 2. b) Xét biểu thức ( ) 1 1 n n n n + + + với n N * Vì (n+1) +n = 2n + 1 = ( ) ( ) 2 2 2 2 1 4 4 1 4 4 2 1n n n n n n n+ = + + > + = + ( ) 1 1 1 2 . 1 n n n n < + + + ( ) + + < + > + + + + < + + + 1 1 ( 2 0) 1 2 1 1 1 1 ( 1) 2 2 1 n n n n n n n n n n n n n n n n áp dụng BĐT với n { } 1;2; .;36 ta có 2 1 3 2 36 35 . 2 1 3 2 36 35 + + + + + + < + + + 1 1 1 1 1 1 . 2 1 2 2 2 2 2 3 2 35 2 36 = = 1 1 5 2 2.6 12 L u ý :Ta có thể dùng BĐT cô si (n+1) + n > 2 ( ) 1n n+ Tổng quát 2 1 3 2 1 1 1 . 2 1 3 2 ( 1) 2 1 n n n n n n + + + + + < + + + + + bài tập 8 : Rút gọn biểu thức a) A= + 6 5 4 3 45 30 5 3 1 a a a a với a < 1 3 b) B = + 2 4 1 2 1 m m m hớng dẫn a) A = ( ) ( ) + = = = 4 2 2 3 3 3 5 9 6 1 5 3 1 5 1 3 3 5 3 1 3 1 3 1 a a a a a a a a a vì 3a <1 nên 3a - 1 < 0 b) Điều kiện m 1 B = ( ) > = < 4 1 4 1 1 4( 1) m m m m bài tập 9 : Cho biểu thức A = + ữ ữ ữ + 1 1 2 : 1 1 1 a a a a a a a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A biết a = 4 +2 3 c) Tìm a để A < 0 . Trờng THCS Trực Phú TRực Ninh-Nam Định 5 giáo viên: phạm xuân trinh. hớng dẫn a) Điều kiện < 0 1a Khi đó ta có A = ( ) ( ) ( ) ữ ữ + ữ ữ + + 1 1 2 : 1 1 1 1 1 a a a a a a a A = + = + 1 1 1 : ( 1) ( 1)( 1) a a a a a a a a b) a = 4 +2 3 = ( ) + 2 2 1 A = + = + 2 2 2 2 2 1 c) Với < 0 1a thì A < 0 khi < < < 1 0 1 0 1 a a a a Kết hợp với điều kiện ta có A< 0 khi 0 < a < 1 bài tập 10 : Cho biểu thức P = 5 2 4 1 . 2 3 x x x x x + + + ữ ữ ữ + a) Rút gọn P b) Tìm x để P > 1 . hớng dẫn a) Điều kiện 0 4x Khi đó P = 3 3 2 4 4 . 2 3 2 x x x x x x x x x + + + = ữ ữ ữ ữ + b) Với 0 4x ta có P > 1 khi 4 4 2 1 1 0 0 2 2 2 x x x x x > > > 2 0 4x x < < Vậy P >1 khi 0 x < 4 . L u ý : Từ 4 1 4 2 2 x x x x > > ??? Nhiều học sinh kết luận x < 4 sai ??? bài tập 11 : Cho biểu thức A = 2 2 1 1 : 1 1 1 a a a a a a ữ ữ ữ + + với 0 1a a) Rút gọn A b) Tìm a để gia trị của a đạt GTLN . hớng dẫn Trờng THCS Trực Phú TRực Ninh-Nam Định 6 giáo viên: phạm xuân trinh. a) A = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 2 1 : . 1 1 1 1 1 1 a a a a a a a a a a a a a a a a + + + + ữ = ữ ữ ữ + + + = -(a- a +1) b) A = -(a- a +1) = - 2 1 ( ) 2 a - 3 3 4 4 A max = 3 4 khi 1 1 2 4 a a= = t/m. bài tập 12 : Cho biểu thức y = 2 2 1 1 x x x x x x x + + + + a) Rút gọn y. Tìm x để y = 2 b) Cho x > 1 . CMR y - y = 0 c) Tìm GTNN y. hớng dẫn a) Đkxđ x > 0 *A = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x + + + = + + + = ( ) 1 2 1 1x x x x x+ + = * y = 2 1 2 2 0 2 x x x x x x = = = = 2 4x x = = t/m. b) y = x- ( ) 1x x x= với x > 1 thì y > 0 do đó 0y y y y= = c) y = x - 2 1 1 1 2 4 4 x x = ữ y min = 1 1 1 4 2 4 x x = = t/m bài tập 13 : Cho biểu thức P = 1 1 : 1 1 1 x x x x x x x + ữ ữ ữ a) Rút gọn P b) Tìm P bết x = 1 4 c)Tìm x để P =3. hớng dẫn a) ĐKXĐ < 0 1x Trờng THCS Trực Phú TRực Ninh-Nam Định 7 giáo viên: phạm xuân trinh. Khi đó ta có P = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 . . 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x + + + ữ = ữ ữ ữ + = 2 x x L u ý : Nhiều học sinh thực hiện phép chia ở biểu thức 1 1 x x do đó bài toán trở nên phức tạp hơn. b) Với < 0 1x và x = 1 4 1 4 x = thay vào P ta có P = 2 x x = 1 2 2 6 1 4 = c) P =3 2 x x = 3 3x+ x -2 = 0 1 2 4 2 3 9 3 x x x x = = = = t /m bài tập 14 : Cho biểu thức P = 1 1 1 1 : 1 2 1 1 a a a a a ữ ữ ữ + + a) Rút gọn P b) Tìm a để P nhận giá trị nguyên . hớng dẫn a) Đkxđ 0 1a Khi đó ta có P = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 : : 2 1 1 1 1 1 2 1 a a a a a a a a a a a a a + = ữ + + + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 : 1 1 1 2 1 a a a a a a a a a a = + + + + b) Có P nhận giá trị nguyên thì 0 1a Nếu a = 0 có P = 0 là giá trị nguyên . Vậy a = 0 là giá trị t/m Nếu < 0 1a ta có a - 1 0a a+ > P > 0 . Lại có theo BĐT Côsi . P = 2 2 2 1 1 1 2 . 1 a a a a < = + Do đó 0 < P < 2 . mà P Z P =1 2 1 a a a + =1 3 5 7 5 3 1 0 2 2 a a a a + = = = KL : a = 0 hoặc a = 7 5 2 bài tập 15 : Cho biểu thức Trờng THCS Trực Phú TRực Ninh-Nam Định 8 giáo viên: phạm xuân trinh. P = : a b ab a b ab a ab b + ữ ữ + a) Rút gọn P b) Tìm a, b nguyên để P = 1 2 . hớng dẫn a) Đkxđ 0ab a b > Khi đó ta có P = ( ) ( ) ( ) ( ) . . a ab b b ab a a b a ab ab b ab ab a b ab ab ab b ab a ab ab ab a ab b + + + + = + + = ( ) ( ) . ab a b a b a b ab ab ab a b + + = b) Giả sử có a, b nguyên và 0ab a b > . khi đó P = 1 2 ( ) 1 2 2 a b a b ab ab + = + = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 2 4a b b a b = = (*) Do có a, b nguyên và 0ab a b > 2 2a b Nên từ (*) 2 1 2 4 a b = = hoặc 2 4 2 1 a b = = hoặc 2 1 2 4 a b = = hoặc 2 4 2 1 a b = = 3 6 a b = = hoặc 6 3 a b = = hoặc 1 2 a b = = (loại ) hoặc 2 1 a b = = (loại) KL : 3 6 a b = = hoặc 6 3 a b = = L u ý : Với ĐK 0ab a b > ta chỉ có thể dùng P 2 quy đồng . Nêú đặt nhân tử chung rồi chia tử cho mẫu là sai . bài tập 16 : Cho biểu thức Cho biểu thức A = 1 1 8 1 : 9 1 3 1 3 1 3 1 x x x x x x x + + ữ ữ ữ ữ + + a) Rút gọn biểu thức A . b) Tìm x để A < 1 . hớng dẫn a) Đkxđ 1 0 9 x Trờng THCS Trực Phú TRực Ninh-Nam Định 9 giáo viên: phạm xuân trinh. Khi đó ta có P = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 1 3 1 8 1 : 3 1 3 1 3 1 x x x x x x x x + + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 3 1 8 1 3 3 3 1 : . 3 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + = + + + + = ( ) ( ) ( ) 3 1 3 1 3 . 1 3 1 3 1 3 1 x x x x x x x x + + = + + b) Với 1 0 9 x .Ta có P < 1 3 3 1 1 1 0 0 3 1 0 3 1 3 1 3 1 x x x x x x < < < < 1 1 3 1 3 9 x x x < < < Kết hợp với điều kiện ta có P < 1 1 0 9 x < bài tập 17 : Cho biểu thức A = 2 3 2 4 1 1 1 1 1 a a a a + + a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm GTLN củu A . hớng dẫn a) Đkxđ 0 1a Ta có A = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a a a a a a a a a a a a a a + + + + + + + = + + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 a a a a a a a a a a a a + + + = = + + + + + + b) Với 0 1a . Ta có a 2 + a + 1 = 2 1 3 3 0 2 4 4 a + + > ữ Và A= 2 2 1 a a+ + nên A max (a 2 +a+1) min . Ta có (a 2 +a+1) min = 3 4 1 1 0 2 2 a a + = = kt/m Kl : không có giá trị của a để A max . bài tập 18 : Cho biểu thức P = 1 2 2 : 1 1 1 1 x x x x x x x x ữ ữ ữ ữ + + Với 0 1x a) Rút gọn P b) Tìm x để P < 0 . hớng dẫn a) Với 0 1x .Ta có Trờng THCS Trực Phú TRực Ninh-Nam Định 10 [...]... 1 Ta có P < 0 khi < 0 x 1 < 0 x < 1 x 1 Kết hợp với điều kiện ta có P < 0 khi 0 x < 1 bài tập 19 : Cho biểu thức x 1 2 x P = 1 + ữ: x + 1 ữ x 1 x x + x x 1 ữ 1 Với 0 x 1 ữ = a) Rút gọn P b) Tìm x nguyên để M = P - x nhận giá trị nguyên hớng dẫn a) Với 0 x 1 P= x + x +1 1 2 x : x 1 x +1 x ( x + 1) ( x + 1) x + x +1 1 2 x : = x 1 ( x + 1) x 1 x +1 ( ) ữ 1 ữ ữ 1... Ta có x = - y nên C = x + y + 1 y + x + 1 = x + x + 1 y + y + 1 = 1 a a 1 a a +1 a + 2 bài tập 21 : Cho biểu thức : A = a a a + a ữ: a 2 ữ a) Với những giá trị nào của a thì A xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Với những giá trị nguyên nào của a thì A có giá trị nguyên hớng dẫn a > 0 a) Đkxđ a 1 a 2 b) Khi đó ta có A = = ( ( )( a( ) ( a 1 a + a +1 ) a 1 ) : a + 2 = 2 a 2 )( ( )... Để A Z 8M a + 2 ) mà a + 2Z và a > 0 nên a + 2 > 2 a + 2 = 8 a = 6 Đối chiếu với điều kiện ta lấy a = 6 1 1 1 1 1 + bài tập 22 : Cho biểu thức : A= ữ: ữ+ 1- x 1 + x 1 x 1 + x 1 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3 c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất hớng dẫn a) Đkxđ 0 < x 1 1+ x 1 x 1 + x + 1 x ữ: ữ+ 1 Khi đó ta có A = 1 x 1+ x ữ . giáo viên: phạm xuân trinh. các dạng bài tập rút gọn biểu thức. I . Lý thuyết A. N hững hằng đẳng thức 1) (a+b) 2 = a 2 + 2ab. + + + + = + + + Vậy 2B = 2 + 2 2 2 2 4= + + Suy ra A > 2B bài tập 5 : Rút gọn biẻu thức a) A = 2 3 5 3 6 3 + + b) B = 1 1 1 . 2 3 3 4 2008 2009 +