1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Từ năm 2017 mơn Tốn kỳ thi THPT Quốc gia chuyển từ thi tự luận thành thi trắc nghiệm nên đề thi có nhiều đổi cấu trúc là: - Tăng số lượng câu dễ - Đề thi có tính phân loại cao - Nội dung kiến thức bao phủ tồn chương trình lớp 12, xuất số dạng tốn chưa xuất thi tự luận trước đây, điển hình tốn tính tích phân chứa hàm ẩn Trong tốn trắc nghiệm dạng tính tích phân chứa hàm ẩn tơi thấy sách giáo khoa sách tham khảo đề cập chưa nhiều, tài liệu nêu phương pháp giải dạng tốn ít, học sinh thực gặp khó khăn, thường lúng túng gặp dạng toán Với hình thức thi trắc nghiệm nay, việc giải nhanh tốn u cầu hàng đầu người học Phương pháp giải nhanh toán giúp học sinh tiết kiệm thời gian làm bài, rèn luyện tư lực phát vấn đề Vì lí để giúp em có kỹ năng, kỹ xảo gặp tốn trắc nghiệm dạng tính tích phân chứa hàm ẩn trước bước vào kì thi quan trọng lớp 12 lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 12 giải nhanh toán trắc nghiệm dạng tính tích phân chứa hàm ẩn” 1.2 Mục đích nghiên cứu Giúp cho em học sinh lớp 12 có kỹ năng, kỹ xảo giải tốn tính tích phân chứa hàm ẩn nói chung, tốn tích phân nói riêng để em có chuẩn bị tốt kỳ thi quan trọng lớp 12 Những kiến thức đưa phải xác, có chọn lọc để phù hợp với khả tiếp thu học sinh, đảm bảo tính vừa sức tính sáng tạo học sinh, dựa kiến thức sách giáo khoa tài liệu tham khảo Giúp học sinh chủ động để giải tốt tập thuộc dạng đồng thời lựa chọn cách giải nhanh lúc làm thi trắc nghiệm 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các dạng tốn tính tích phân chứa hàm ẩn thường gặp kỳ thi lớp 12 đặc biệt kỳ thi THPT Quốc gia Phương pháp giải nhanh dạng, có ví dụ minh họa chọn lọc xếp theo hệ thống để học sinh bước vận dụng lý thuyết học vào giải yêu cầu từ đơn giản đến phức tạp Có tập để học sinh tự rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo nhà 1.4 Phương pháp nghiên cứu Đã sử dụng phương pháp để hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm cụ thể là: - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tập Giải tích 12 nâng cao, đề thi THPT Quốc gia mơn Tốn năm 2017; 2018, đề minh họa thi THPT Quốc gia Bộ giáo dục, đề thi thử THPT Quốc gia Sở giáo dục đào tạo tỉnh trường THPT nước năm 2017; 2018; 2019 Các đề thi học kỳ II lớp 12 năm học 2017-2018; 2018-2019 Sở giáo dục đào tạo nước - Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ, quan sát việc dạy học phần tập loại - Phương pháp thực nghiệm sư phạm - Phương pháp thống kê Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm a Các phương pháp tư toán học: Đặc biệt hóa; tổng quát hóa phương pháp quan trọng, thường xuyên sử dụng trình học tập mơn Tốn b Các tính chất tích phân Tính chất 1: b b a a kf ( x)dx  k � f ( x )dx � Tính chất 2: b b b a a a f ( x )dx �� g ( x)dx  f ( x) �g ( x) dx  � � Tính chất 3: b c b a a c f ( x)dx  � f ( x )dx  � f ( x )dx , � acb b Phương pháp tính tích phân - Phương pháp đổi biến số Định lí: Giả sử hàm số u  u  x  có đạo hàm liên tục đoạn  a; b cho  �u ( x ) � , x � a; b  Nếu f ( x)  g (u ( x))u '( x), x � a; b  , g  u  liên tục đoạn   ;   b u (b) a u (a ) f ( x )dx  � �g(u)du - Phương pháp tính tích phân phần Định lí: Nếu u  u  x  v  v  x  hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn  a; b , b b b udv  uv  � vdu � a a a 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong trình giảng dạy tơi thấy học sinh thường mắc khó khăn sau: - Học sinh cách liên hệ tích phân cần tính với tích phân cho trước đề chọn tích phân để xét - Học sinh lúng túng việc chọn phương pháp giải chọn phương pháp giải tối ưu để tìm phương án khoảng thời gian ngắn 2.3 Giải pháp thực để giải vấn đề Thực nội dung thông qua tiết học vào thời điểm sau em học xong Tích phân (Giải tích 12) Trong tiết học Giáo viên hướng dẫn để em tự tìm tòi phương pháp giải đồng thời có so sánh phương pháp với để học sinh nhận phương pháp tối ưu hơn, thời gian Sau tiết học có tập nhà để em luyện tập thêm kỹ năng, có theo dõi, kiểm tra, nhận xét đánh giá vào tiết học Tiết thứ nhất: Hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ giải toán dạng Tiết thứ hai: Hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ giải toán dạng Tiết thứ ba: Hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ giải toán dạng Tiết thứ tư: Hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ giải toán dạng Sau học xong cho học sinh làm kiểm tra 45 phút để lấy kết nội dung triển khai kỹ mà học sinh đạt Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Sử dụng định nghĩa, tính chất tích phân Phương pháp giải Bước 1: Sử dụng tính chất tích phân để phân tích tích phân cần tính theo tích phân cho tích phân đơn giản Bước 2: Thay giá trị tích phân cho tính giá trị tích phân đơn giản có liên quan suy giá trị tích phân cần tìm Bước 3: Chọn phương án Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho �f ( x)dx  2 1 g ( x) dx  1 Tính � I 1 A I  B I  C I   x  f ( x)  3g ( x) dx � 1 17 D I  11  1 Phân tích - Cận tích phân tốn khơng thay đổi - Sử dụng tính chất tính chất tích phân ta phân tích f ( x)dx ; tích phân I theo tích phân biết � 1 g ( x) dx � tích phân đơn 1 giản xdx � 1 Giải: 2 1 1 I� xdx  � f ( x )dx  � g ( x )dx  1 x2 17 Chọn phương án C  2-3.(-1) = 1 2 1  f ( x)  g ( x)dx  1, �  f ( x)  g ( x) dx  3 , Ví dụ 2: Cho � A 11 7 B  C f ( x)dx � D 16 Phân tích - Cận tích phân tốn khơng thay đổi - Sử dụng tính chất tính chất tích phân ta phân tích 2 1  f ( x)  g ( x) dx �  f ( x)  g ( x)dx theo tích phân tích phân � f ( x)dx � g  x  dx � - Xem hai tích phân f ( x)dx � g  x  dx � ẩn ta có hệ phương trình bậc hai ẩn Giải: f ( x)dx  a, Đặt � g( x )dx  b � 2 2 2 1 f ( x)dx 2 � g( x)dx  3a  2b  f ( x)  g ( x) dx  3� Ta có:  � 3  � f ( x )dx  � g( x)dx  2a  b  f ( x)  g ( x) dx  2� (1) (2) � a � 3a  2b  � � � � �� f ( x)dx   Chọn phương án B Từ (1) (2) ta có: � 11 �2a  b  3 � b � Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) liên tục  a; b , d f ( x)dx  � d a f ( x)dx  � (với b b a  d  b ) f ( x)dx � a A B C D 10  2 Phân tích - Cận tích phân tốn thay đổi - Sử dụng tính chất tích phân ta phân tích tích phân b f ( x)dx � d theo tích phân biết a f ( x)dx � d a f ( x)dx � b Giải: b d b a a d f ( x) dx  � f ( x )dx  � f ( x )dx  Ta có: � d d a b f ( x) dx  � f ( x) dx    � Chọn phương án A Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) liên tục  0;10 thỏa mãn 10 �f ( x)dx  7; 10 6 f ( x)dx  , � f ( x)dx  � f ( x)dx � A Phân tích B C D  3 - Cận tích phân tốn thay đổi - Sử dụng tính chất tích phân ta phân tích tích phân 10 10 0 f ( x)dx; � f  x  dx; � f ( x)dx �f ( x)dx theo tích phân � Giải: 10 Ta có: f ( x)dx  � f ( x) dx f ( x)dx  � �f ( x)dx  � � 10 6 2 10 10 6 f ( x )dx  � f ( x )dx    Chọn phương án C f ( x)dx  � f ( x)dx = � � Bài tập tự luyện Bài 1: Cho f ( x)dx  � 1 0 g ( x) dx  , �  f ( x)  g ( x) dx � A -3 B 12 D  4 C -8 Bài 2: Cho f ( x) , g ( x) hàm số liên tục  a; b với a  b , b f ( x)dx  � a b  f ( x)  g ( x) dx  Tính � a A I  1 B I b I � g ( x )dx a 13 C I 0 D I 1 Bài 3: Cho hàm số f  x  liên tục  1;3 F  x  nguyên hàm 11 f  x  đoạn  1;3 thỏa mãn F  1  2; F  3  Tính I  � � f  x   x� � �dx 1 A I  11 B Bài 4: Cho hàm số I C I  19 D I   5 f  x  dx  liên tục đoạn  1;9 thỏa mãn � f  x f  x  dx  Tính giá trị biểu thức � A P  B P  f ( x)dx  Bài 5: Cho � 2 A I  P� f  x  dx  � f  x  dx C P  10 D P   6 4 2 f  y  dy �f  t  dt  4 Tính I  � B I  C I  3 D I  5  7 Dạng 2: Sử dụng phương pháp đặc biệt hóa Phương pháp Bước 1: Đặc biệt hóa hàm số đặc biệt hóa đối số để tìm hàm số đơn giản thỏa mãn điều kiện đề Bước 2: Suy hàm số tích phân cần tính, thay vào tích phân tính Bước 3: Chọn phương án Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho f  x  dx  2018 Tính �  I � f  sin x  cos xdx A I  2018 B I  1009 D I  1009  8 C I  1008 Phân tích - Hàm số đơn giản thuận lợi cho việc giải tốn hàm đa thức - Vì đề có điều kiện f  x  hàm thỏa mãn điều kiện b f  x  dx  2018 � nên tồn hàm d c.dx  d � c(b  a)  d � c  - Nếu � Với a; b; c; d số, a �b ba a Giải: Cách 1: Chọn hàm số f ( x)    0 2018  2018 ( thỏa mãn đề bài) � f (sin x)  2018 1 I� f  sin x  cos x dx  � 2018.cos xdx  1009sin x   1009 Chọn phương án C Cách 2: Đặt t  sin x � dt  cos xdx � dt  cos xdx Đổi cận:  t 1 dt 1 f  t  � f  t  dt  2018  1009 Chọn phương án C Ta có: � 20 x Nhận xét - Đối với cách 1, học sinh chọn hàm số f  x  hàm thỏa mãn đề Từ kết hợp với sử dụng MTCT để tìm giá trị tích phân cần tìm cách nhanh chóng - Đối với cách 2, liên quan đến nhiều phép toán đặc biệt phép tốn có liên quan đến lượng giác học sinh hay lúng túng hay tính sai Ví dụ 2: Cho f ( x) hàm số chẵn có đạo hàm đoạn  6; 6 Biết 1 f (2 x)dx  Tính tích phân �f ( x)dx  � I �f ( x)dx 1 A I  B I  C I  11 D I  14  9 Phân tích - Hàm số f  x  đơn giản thuận lợi cho việc giải tốn hàm đa thức - Vì hàm số f ( x) thỏa mãn hai điều kiện �f ( x)dx  1 �f (2 x)dx  nên 1 hàm đa thức chẵn đơn giản: f ( x)  a; f ( x)  ax  b; f ( x)  ax  bx  c; hàm f ( x)  a thỏa mãn hai điều kiện Vậy ta chọn f  x  có dạng f ( x)  ax  b đơn giản Giải: Cách Chọn hàm số f ( x)  ax  b � f  2 x   4ax  b �2 �2 �2 2 f ( x ) dx  ax  b dx  a x dx  b dx    �� �� �� 3a  3b  � � �1 � � 1 � 1 1 � �3 �� �� 104 Ta có: �3 a  2b  � f (2 x)dx  � 4ax  b dx  �4a x dx  b dx  � �   � �� �� � � �1 �1 � 1 � a � 115 � 14 �� � f ( x)   x  115 14 42 � b � 42 6 � 115 � I  f ( x ) dx   x  dx  14 Chọn phương án D Vậy: � � � � 14 42 � � 1 1 Cách Vì f  x  hàm số chẵn nên f  2 x   f  x  3 1 f (2 x)dx  � f  x  dx  Xét J  � Đặt t  x � dt  2dx Đổi cận: x t Khi J  6 1 f  t  dt  � f  x  dx  � � f  x  dx  � 22 22 Vậy I  �f ( x)dx  1 1 f  x  dx    14 Chọn phương án D �f  x  dx  � Nhận xét - Đối với cách 1, học sinh định hướng cách giải nhanh Quy trình giải đơn giản dễ nhớ Học sinh vận dụng cách giải vào toán tương tự - Đối với cách 2, liên quan đến nhiều tính chất đòi hỏi kỹ giải tốn cao Ví dụ 3: Cho f ( x) hàm số có đạo hàm tập hợp � thỏa mãn f (3)  2 f (3 x  6) dx  Giá trị � A 3 Phân tích B 11 x f � ' ( x )dx 3 C D  10 - Hàm số f  x  đơn giản thuận lợi cho việc giải toán hàm đa thức - Trong hàm số đa thức hàm khơng thể thỏa mãn hai điều f (3x  6)dx  � kiện f (3)  nên ta chọn hàm số f  x  đơn giản có dạng f ( x)  ax  b Giải: Cách Chọn hàm số f ( x)  ax  b � f  3x    a(3x  6)  b 3a  b  �f (3)  � � �3 a  ab  � �2 �2 � �� Ta có: � f (3x  6)dx  � �a (3x  6)dx  b dx  � � � �� �� � � 3a  b  b4 � � �1 �1 0 2 x f ' ( x )dx  � x dx  3 Chọn phương án A � f ( x)  x  Vậy: � 3 3 3 Cách 2 f (3 x  6)dx Xét J  � Đặt t  3x  � dt  3dx Đổi cận: x t 3 0 0 1 f  t  dt  � f  x  dx  � � f  x  dx  Khi J  � 3 3 3 Xét I  x f � ' ( x)dx 3 ux du  dx � � � � v  f  x dv  f '  x  dx � � Đặt � Ta có: I  x f  x  0 3 � f  x  dx  f  3   3 Chọn phương án A 3 Nhận xét - Đối với cách 1, học sinh xác định cách giải Quy trình giải đơn giản dễ nhớ Học sinh vận dụng cách giải vào toán tương tự - Đối với cách 2, liên quan đến việc phải sử dụng nhiều phương pháp phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân phần đòi hỏi kỹ giải tốn cao Ví dụ 4: Cho f ( x) hàm số có đạo hàm liên tục � thỏa mãn điều kiện �f ' ( x)  f ( x)  � f (1)  f (2)  Tính tích phân I  �  � �dx x x2 � 1� A I   ln B I   ln C I  ln  D I  ln  11 Phân tích - Hàm số f  x  đơn giản thuận lợi cho việc giải toán hàm đa thức - Trong hàm số đa thức hàm khơng thể thỏa mãn hai điều kiện f (1)  f (2)  nên ta chọn hàm số f  x  đơn giản có dạng f ( x)  ax  b Giải: Cách Chọn hàm số f ( x)  ax  b a  b 1 a 3 �f (1)  � � �� �� � f ( x )  3x  2a  b  b  2 �f (2)  � � Ta có: � 2 2 �f ' ( x)  f ( x)  � �5 x  � �5 � �2 � I   dx   dx    dx  dx Do đó: � � � � � � � � 2� 2 � � � x x x x x x x x x � � � � � � � � 1 1 1� � � ln x  �  ln  Chọn phương án D x �1 � Cách 2 2 f '  x f  x dx dx Ta có: I  � dx  2�  � dx  �2 x x x x 1 � u  f  x � du  f '  x  dx � � � dx � � dv  v � � x � x � ' 2 f  x f '  x 1 � J   f  x  � dx   f    f  1  � dx x x x 1 f  x Xét J  � dx Đặt x 2 2 2 f '  x f '  x 12 dx dx �I � dx  2�  f    f  1  � dx  �2  ln x  f    f  1  x1 x x x x 1 1 1 1  ln      ln   ln  Chọn phương án D 2 2 Nhận xét - Đối với cách 1, cách làm đơn giản hơn, phép tốn đơn giản dẫn đến tiết kiệm thời gian lúc làm thi - Đối với cách 2, liên quan đến việc phải sử dụng nhiều phương pháp cơng thức, phép tính dài phức tạp đòi hỏi kỹ giải tốn cao Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x) liên tục � thỏa mãn f ( x)  f ( x )   cos x , x �� Tính I  3 �f ( x)dx  3 A I  6 B I  C I  2 D I   12 Phân tích Hàm số g  x    2cos x có hàm số chẵn g  x   g ( x) � Chọn f  x  g  x  f ( x) thỏa mãn f ( x)  f ( x)   cos x Giải: Chọn hàm số f ( x)  f ( x)  3 3 3  3  �f ( x)dx  �2 Ta có: I   cos x 2  cos xdx  Chọn phương án D � � �1 � Ví dụ 6: Cho hàm số f ( x) liên tục � ; �và thỏa mãn f ( x )  f � � 3x � � �x � f  x dx Tính tích phân I  � x A I B I C I D I Phân tích �1 � Nếu ta đặc biệt hóa đối số cách thay x f  x  thành f � � x x �� 1 �� �� f � �thành f  x  Do xem f  x  f � �là ẩn ta có hệ phương x x �� �� trình bậc hai ẩn Giải hệ phương trình tìm hàm số f  x  thỏa mãn đề Giải: Cách 1 �x � �� Ta có: f ( x)  f � � 3x (1) �1 � Thay x ta được: f � � f  x   x x x �� (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: � � �1 � �1 � �f ( x )  f �x � 3x �f ( x)  f �x � 3x � �� � �� � � � f  x   x � x �1 � �f �1 � f ( x)  � f ( x)  f � � � � � � x �x � x � �x � � 2 f  x �2 � �2 � dx  �   x �1  Chọn phương án B Do đó: I  �x dx  � �  1� x � �x � 1� 2 Cách �x � �x � �� �� Ta có f ( x)  f � � x � f  x   x  f � � � � f  x � I  � dx  � 3 x 1� 2� � 2 �1 �� �1 � f � �� 2 f � � x �x �� dx  3� dx  2�� � dx x � x 1 � 2 � 10 �1 � f�� 1 Xét J  ��x �dx Đặt t  � dt   dx  t dx � dx   dt x x t x 2 Đổi cận: x 2 t 2 2 f  t f  x �1� J  tf t  dt  dt  dx  I   Khi � 2� � � � x �t � t 2 2 2 � I  3� dx  I � I  � dx  Chọn phương án B 1 Nhận xét - Đối với cách 1, cách làm đơn giản dễ nhớ hơn, nhìn vào tốn tương tự học sinh định hướng phương pháp giải Phép tốn đơn giản dẫn đến tiết kiệm thời gian lúc làm thi - Đối với cách 2, liên quan đến việc phải sử dụng nhiều phương pháp cơng thức, phép tính dài phức tạp đòi hỏi kỹ giải tốn cao Ví dụ 7: Cho hàm số f ( x) liên tục �, thỏa mãn f ( x)  2018 f  x   x sin x Tính tích phân I   f ( x ) dx �   A 2 I 2019 B I 2019 C I 1009 D I 2018 Phân tích Nếu ta đặc biệt hóa đối số cách thay x  x f  x  thành f   x  f   x  thành f  x  Do xem f  x  f   x  ẩn ta có hệ phương trình bậc hai ẩn Giải hệ phương trình tìm hàm số f  x  thỏa mãn đề Giải: Ta có: f ( x)  2018 f  x   x sin x (1) Thay x  x ta được: f ( x)  2018 f   x   x sin x Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: � �f ( x)  2018 f  x   x sin x �  20182  1 f  x   2017 x sin x � f ( x)  x sin x � 2019 �f  x   2018 f ( x)  x sin x  2 x sin x dx  Do I  2019 � 2019   Chọn phương án A 11 Bài tập tự luyện Bài 1: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm � , thỏa mãn f (2)  16 f ( x)dx  � x �� x f ' � � dx Tính tích phân I  � �� A I  144 I  12 B C I  56 I  112  13 D Bài 2: Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn  0;3 , thỏa mãn f ( x)dx  � f ( x)dx  � f  x   dx Tính tích phân I  � 1 A I  B I  C I  D I  Bài 3: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 , thỏa mãn 1 x f  x  dx f ( x  1)dx  f (1)  Tính tích phân I  � � A I  1 B I  C I D I  �  �  ; Bài 4: Cho hàm số f ( x) liên tục � , thỏa mãn f ( x)  f   x   cos x �2 2� � Tính tích phân I   f  x  dx �   A I  2 2 I B C I D I  Bài 5: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 , thỏa mãn  x f ( x ) dx  Tính tích phân � I � f  cos x  sin xdx I  I  4 A B C I  D I  1 Bài 6: Cho hàm số f ( x) liên tục  3;7  , thỏa mãn f ( x)  f  10  x  f  x  dx  Tính tích phân � I  20 I � x f ( x) dx I  40 A B C Dạng 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số Phương pháp I  60 D I  80 b f  x  dx thích hợp tốn (thường tích phân phức tạp Xét tích phân I  � a hơn) ' Bước 1: Đặt t  u  x  � dt  u  x  dx Bước 2: Đổi cận: x t a u  a b u  b 12 I Bước 3: Biến đổi thành dạng u b �g  t  dt u a Bước 4: Liên hệ với tích phân cần tính, suy giá trị tích phân cần tính Bước 5: Trả lời phương án Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x) liên tục �, thỏa mãn f  3x   f  x   x với x �� f  x  dx  Giá trị � f ( x) dx � A B 10 C D 12  14 Phân tích - Khi đưa tốn này, giáo viên đặt vấn đề yêu cầu em thử giải theo phương pháp đặc biệt hóa - Sau thấy em gặp khó khăn khơng thể vượt qua tìm hàm số thỏa mãn điều kiện đề giáo viên giới thiệu cho em thêm kỹ khác đề cho phương trình hàm lấy tích phân hai vế kết hợp với phương pháp đổi biến số phương pháp phần để giải Giải: Ta có: 1 0 f (3 x)dx  � f  x  dx  � xdx   x � 4 Xét f (3 x)dx  Đặt t  x � dt  3dx � Đổi cận: x t 3 3 1  f (3 x ) dx  f t dt  f x dx � f  x  dx  12     Ta có � � � � 3 0 0 Mà 3 3 0 1 0 f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx � � f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx  12   � Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) liên tục �, thỏa mãn x f  sin x  cos xdx  Tính tích phân �  x  dx  �  f I � f ( x)dx A I  B I  C I  D I  10 Phân tích - Các tích phân cho trước có đặc điểm phức tạp tích phân cần tìm b - Các tích phân cho trước có dạng g  u  x   u  x  dx � ' nên nghĩ đến việc xét a tích phân cho trước sử dụng phương pháp đổi biến số 13 Giải: - Xét  x  dx  Đặt t  f � x x � t  x � 2tdt  dx   f 3 x �x  � t  Suy  � dx  2� f (t )2dt �  � f (t ) dt  � f ( x) dx �x  � t  x 1 1 - Xét Đặt t  sin x � dt  cos xdx  �x  � t  1 � Đổi cận: �  Suy  � f  sin x  cos xdx  � f (t )dt  � f ( x)dx x  �t 1 � 0 � Đổi cận: � 3 0 f ( x )dx  � f ( x)dx  � f ( x)dx  Chọn phương án C Vậy I  � Nhận xét Sử dụng phương pháp đổi biến số vào tích phân phức tạp có dạng b g  u  x   u  x  dx � ' đề a Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) liên tục �, thỏa mãn  f  tan x  dx  � 1 x f ( x) dx  Tính tích phân I  � f ( x)dx 1 �x A I  Giải: - Xét B I  C I  D I   dt t  tan x � tdt  (tan x  1)dx  (t  1)dt � dx  Đặt f tan x dx    � 1 t2  �x  � t  1 � f (t ) f ( x) Đổi cận: �  Suy  � f tan x dx  dt  dx   2 � � x  � t  t  x  � 0 � 1 f  x x f ( x) f ( x)dx  �2 dx  �2 dx    Chọn phương án B Vậy I  � x 1 x 1 0 Ví dụ 4: Cho hàm số y  f ( x) liên tục đoạn  0; a  , biết với x � 0; a  , ta có f ( x)  f ( x) f (a  x)  k ( với k số k  ) Tính tích phân a dx I � k  f ( x) A a I k B I a 2k C I ak D I  ak Giải: a dx - Xét I  � Đặt t  a  x � dt   dx k  f ( x) �x  � t  a �x  a � t  Đổi cận: � 14 a a dx dt  �  Suy I  � k  f ( x) k  f  a t a dt  k2 k f (t ) a f  x f (t )dt �I � dx � k (k  f (t)) k  k  f  x  � a a f  x  dx a k dx a � 2k I  � � � dx a � I  Chọn phương án B k  f  x  k  f ( x) 2k a Bài tập tự luyện f  x  1 xdx  Khi Bài 1: Cho � f  x  dx � A B C D 1  15 Bài 2: Cho hàm số y  f ( x) liên tục đoạn  0;1 , biết với x � 0;1 , ta có dx f ( x )  f ( x) f (1  x)  Tính I  �  f ( x) A I  I  B C I D I Bài 3: Cho hàm số y  f ( x) liên tục đoạn  0; a  , biết với x � 0; a  , a ta có f ( x)  A f  x  f (a  x )  Tính I  � 1 I  a B a I C dx f  x I  2a Bài 4: Cho hàm số f ( x) liên tục �, thỏa mãn e f  ln x  �x ln x e A D  I  a ln  a  1 tan x f  cos x  dx  � f  2x dx  Tính tích phân I  � x dx I  B I  C I  D I  Dạng 4: Sử dụng phương pháp tích phân phần Phương pháp Bước 1: Xét tích phân thích hợp Bước 2: Đặt u du từ tính du v Bước 3: Áp dụng cơng thức tích phân phần b b b udv  uv  vdu � a � a a Bước 4: Liên hệ với tích phân cần tính, suy giá trị tích phân cần tính Bước 5: Trả lời phương án Nhận xét b Tích phân có dạng g  x  f  x  dx � ' thường sử dụng phương pháp a ' u  g  x � � � �du  g  x  dx �� phần, cách đặt: � dv  f '  x  dx � v  f  x � 15 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục  0;1 thảo mãn 1 0 ' x� f  x  dx � �f  x   � �dx  f  1 Tính tích phân I  � I  2 A B I  C I  1 D I  Phân tích - Khi đưa toán này, giáo viên đặt vấn đề yêu cầu em thử giải theo phương pháp đặc biệt hóa dạng khơng ? - Sau thấy em gặp khó khăn khơng thể vượt qua tìm hàm số thỏa mãn điều kiện đề giáo viên định hướng để em nhận ' tích phân cho trước có chứa đạo hàm f  x  , dùng phương pháp phần biến đổi tích phân chứa hàm f  x  Giải: ' x� Xét � �f  x   � �dx  f  1 1 f  1  � x� x f �f  x   � �dx  � ' Ta có 0 ' 1 0 xdx  � x f '  x  dx   x  dx  � ux du  dx � � �� ' v  f  x dv  f  x  dx � � Đặt � 1 f  x  dx   f  1  I  � I  1 Chọn phương án C Ta f  1  x f  x   � Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục  1; 2  x  1 f  x  dx  a � ' f  x  dx theo a b  f (2) Tính tích phân I  � A I  b  a B I  a  b C I  a  b D I  a  b Phân tích ' - Tích phân cho trước có chứa đạo hàm f  x  , tích phân phải tìm khơng chứa đạo hàm b g  x  f '  x  dx nên sử dụng - Trong đề tích phân cho trước có dạng � a phương pháp tích phân phần biến đổi tích phân chứa hàm số f ( x) u  x 1 � cách đặt � ' �dv  f  x  dx Giải:  x  1 f '  x  dx  a Đặt Xét � u  x 1 du  dx � � �� � ' v  f  x dv  f  x  dx � � 2 2 f  x  dx  b  � f  x  dx  x  1 f  x  dx   x  1 f  x   � Ta có � 1 1 ' 16 2 1 �� f  x  dx  a � � f  x  dx  b  a Chọn phương án A  x  1 f '  x  dx  a � b  �  � � 0; Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục � , thỏa mãn � 2� �  f '  x  c os xdx  10 � f  x  sin xdx f (0)  Tính tích phân I  � 0 A I  13 B I  7 C I  D I  13 Phân tích Tích phân cho trước  f '  x  c os xdx � ' có chứa đạo hàm f  x  có dạng b g  x  f  x  dx , nên muốn biến đổi tích phân chứa hàm số � ' f ( x ) ta phải sử a � u  cos x � dụng phương pháp tích phân phần cách đặt � dv  f '  x  dx � Giải:  � du   sin xdx u  cos x � � � Xét � Đặt � � f '  x  c os xdx  10 v  f  x dv  f '  x  dx � �  Ta có: 10  � f '  x  c os xdx  cos x f  x    0   � f  x  sin xdx 10   f    � f  x  sin xdx � � f  x  sin xdx  10  f    13 Chọn phương án D   � � �� 0; �thỏa mãn f � � 0, Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục � � 4� �4 �   f  x  dx  � A   f  x  sin xdx   Tính tích phân � ' I  B I C  I� f  x  dx I  D I Phân tích Tích phân cho trước  f  x  sin xdx � ' ' có chứa đạo hàm f  x  có dạng b g  x  f  x  dx , nên muốn biến đổi tích phân chứa hàm số � ' f ( x ) ta phải sử a u  sin x � � ' �dv  f  x  dx dụng phương pháp tích phân phần cách đặt � 17 Giải: Xét  f '  x  sin xdx   �   Đặt u  sin x � �du  cos xdx �� � ' v  f  x dv  f  x  dx � �  f  x  sin xdx  sin x f  x  � Khi ' 0   2� f  x  cos xdx    sin f     4 � � sin f  f x cos xdx   f  x  cos xdx     �� � � �4 � 0  f  x  sin xdx   � � f  x  cos x  � ' 0  �  �  f  x  dx  �� �0 � � Ta có � � �f  x   f  x  cos x � �dx  0 �4 � f  x  cos xdx   � � �0  � f  x � �� f  x � �f  x   cos x � � � f  x   cos x �f  x   cos x � �dx  0   0  1 Do I  � f  x  dx  � cos xdx  sin x  Chọn phương án D 4 Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn f (1)  , ' � � �f  x  � �dx  A x f  x  dx  � Tích phân B 1 f  x  dx � C D  16 Phân tích x f  x  dx ta biến đổi tích phân có chứa f '  x  Tích phân cho trước � ' � để liên kết với tích phân � �f  x  � �dx  Như ta phải lựa chọn phương pháp � u  f  x � dv  3x dx � phần cách đặt � Giải: Xét x f  x  dx  � 1 �� x f  x  dx  x f  x  hay 3x f  x  dx  � Đặt � � u  f  x du  f '  x  dx � � � � � dv  x dx � vx � 1 1 ' � x f  x  dx �  f  1  � x f '  x  dx � � x3 f '  x  dx  1 0 0 18 �1 ' � �� �f  x  � �dx  �0 � Ta có �1 � x3 f ' x dx  1 ��   �0 �1 ' � �� �f  x  � �dx  �0 ' f '  x � �� �1 �f  x   x � �dx  0 � x f ' x dx  7 ��   �0 ' x 3dx   x  C Chọn f  x   7 x � f  x    � 7 Vì f (1)  � C  � f  x    x 4 1 �7 � f  x  dx  � dx  Chọn phương án A Vậy � � x � 4 � � 0 Bài tập tự luyện  cos x f '  x  dx Bài 1: Cho � sin x f  x  dx  f    Tính tích phân I  � 0 A I  B I  C I  D I  1 Bài 2: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục  1; 2 thỏa mãn f (2)  , ' � � �f  x  � �dx  A  x  1 � B f  x  dx   Tích phân  C  f  x  dx � 20 D 20 Bài 3: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn f (1)  , ' � � �f  x  � �dx  A 1 x f  x  dx  Tích phân � B f  x  dx � C D Bài 4: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn f    f  1  f  x  dx  Biết � A I   f '  x  cos   x  dx  � B I   I  f  x  dx Tính tích phân � C I  D I 3 Bài 5: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục  0;1 thỏa mãn f    Biết ' � � f x   � � �dx  30 A I 11 1 f  x  dx  x  1 f  x  dx   Tính tích phân I  � � 30 0 B I 30 C I 11 12 D I 11  17  30 2.4 Hiệu đề tài Qua thực tế giảng dạy lớp 12 việc giải nhanh tốn tính tích phân chứa hàm ẩn, thực theo tiến trình đề tài học sinh nắm kiến thức chắn, có hệ thống Nên gặp toán dạng em nhạy bén việc chọn phương pháp tính giải nhanh chóng, xác Tơi thử nghiệm lớp 12 năm học 2018-2019 với học lực trung bình hồn tồn với hai tiến trình khác nhau: 19 - Lớp 12 C2 tơi dạy theo tiến trình đề tài - Lớp 12 C3 dạy theo tiến trình khác Kết thu sau kiểm tra khảo sát với mức độ đề đề thi THPT Quốc gia năm trước thu kết sau: Lớp 12C2 12C3 Sỉ số 50 41 Giỏi 12% Khá 40% 25% Trung bình 43,8% 35% Yếu 4,2% 40% Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy việc xếp vấn đề, dạng toán theo hệ thống khơng riêng phần tích phân mà tất phần nói chung cần thiết Nó giúp cho học sinh nắm vấn đề rõ ràng hơn, không bị lúng việc lựa chọn phương pháp tối ưu, đặc biệt việc ôn tập để chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT Quốc gia tới Là người giáo viên để giảng dạy ngày có kết cao phải thường xuyên học hỏi, đúc rút kinh nghiệm cho thân để ngày nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ hiểu biết lĩnh vực khoa học để phục vụ cho việc giảng dạy 3.2 Kiến nghị Sáng kiến kinh nghiệm số kinh nghiệm nhỏ thân thu trình dạy phạm vi học sinh nhỏ hẹp Vì phát ưu nhược điểm chưa đầy đủ sâu sắc Rất mong góp ý phản hồi từ hội đồng khoa học ngành, đồng nghiệp ưu nhược điểm cách dạy nội dung để đề tài hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2019 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Tôi xin cam đoan SKKN ĐƠN VỊ viết, khơng chép người khác Người viết Trịnh Văn Thắng 20 21 ... chất tích phân Phương pháp giải Bước 1: Sử dụng tính chất tích phân để phân tích tích phân cần tính theo tích phân cho tích phân đơn giản Bước 2: Thay giá trị tích phân cho tính giá trị tích phân. .. Phân tích - Cận tích phân tốn khơng thay đổi - Sử dụng tính chất tính chất tích phân ta phân tích f ( x)dx ; tích phân I theo tích phân biết � 1 g ( x) dx � tích phân đơn 1 giản xdx � 1 Giải: ... tiết học Tiết thứ nhất: Hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ giải toán dạng Tiết thứ hai: Hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ giải toán dạng Tiết thứ ba: Hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ giải toán dạng