Hệ phương trình có chứa tham số I-Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất một phương trình bậc hai Khi hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất một phương trình bậc hai ,ta có thể rút ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại ,khi đó trong hệ có một phương trình một ẩn có bậc nhỏ hơn bằng hai ,phương trình này có bao nhiêu nghiệm thì hệ có bấy nhiêu nghiệm Đê tìm điều kiện của tham số cho hệ phương trình có tập nghiệm thoả mãn tính chất nào đó ,ta có thể sử dụng hệ thức Viét hoặc đồ thị hàm số để tìm Bài 1 Cho hệ phương trình    −=− =− 12 3 2 mxyx yx A,tìm m để hệ có nghiệm B,Tìm m để hệ có hai ngiệm(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ) thoả mãn P = x 2 1 + x 2 2 + y 2 1 + y 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất Giải a- Hệ pt ⇔    =−+− −= 016 3 2 mxx xy Hệ có nghiệm ⇔ pt (2) có nghiệm ⇔ 010 , ≥−=∆ m ⇔ m 10 ≤ b- Theo Viét : + 1 x x 2 =6 , x 1 .x 2 =m-1 Nên p = (x 1 +x 2 ) 2 -2x 1 .x 2 +(x 1 -3) 2 +(x 2 -3) 2 =-4m+46 6 ≥ (m ≤ 10) 6 min =⇒ p khi m=10 Bài 2 Cho hệ phương trình ;    =+ =+ )2(53 )1(53 22 byx ayx a-Tìm a,b để hệ có nghiệm b-Tìm a để hệ có nghiệm với mọi b [ ] 2,1 −∈ c- Tìm b để hệ có nghiệm với mọi a [ ] 2,1 −∈ Giải a-Từ(1) 5 3xa y − =⇔ thay vào (2)ta có :24x 2 -6ax+a 2 -5b=0(3) Hệ có nghiệm ⇔ pt(3) c ó nghiệm ⇔ 012015 2, ≥+−=∆ ba ⇔ b 8 2 a ≥ b-Không có a thoả mãn vì với b =-1 hệ không có nghiệm c-Hệcó nghiệm với mọi a [ ] 2,1 −∈ ⇔ b ≥ max ) 8 ( 2 a ≥ mọi a [ ] 2,1 −∈ 2 1 ≥⇔ b Các bài tập tương tự 1- Giải và biện luận h ệ phương trình :    =+− =+ 22 22 xyx myx 2- Cho hệ phương trình :    =+ =− byax yx 14 22 a-Gi ải h ệ v ới a=0,25 ,b=0,5 b- Tìm a để hệ có nghiệm với mọi b 3- Cho hệ phương trình    =−+ =−+ 0 0 22 xyx aayx a- Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biệt b-hệ có hai nghiệm(x 1 ,y 1 )(x 2 ,y 2 )Chứng minh rằng (x 1 -x 2 ) 2 +(y 1 -y 2 ) 2 1 ≤ 4- Cho hệ phương trình:    =+ =+−− 2 012 2 yx mxyx a- Tìm m để hệ có hainghiệm phân biệt b-hệcó hai nghiệm(x 1 ,y 1 )(x 2 ,y 2 )Tìm mđể:(x 1 -x 2 ) 2 +(y 1 -y 2 ) 2 =4 5- Cho hệ phương trình:    −=− =− 12 3 2 mxyx yx a- Tìm m để hệ có nghiệm b- Tìm m để hệ có hai ngiệm(x 1 ,y 1 ),(x 2 ,y 2 ) thoả mãn P = x 2 1 + x 2 2 +y 1 +y 2 đạt giá trị nhỏ nhất 6-Tìm m để hệ cohainghiệm bằng nhau :    =−+− =+ 034 25 22 mymx yx 7- Cho hệ pt:    =− =+++ bxy byxyxa )( 22 có nghiệm với mọi b CMR:a=0 II-Hệ đối xứng loại một Hệ hai pt hai ẩn số gọi là hệ đối xứng loại một nếu đổi chỗ vị trí hai ẩn cho nhau thì mỗi phương trình của hệ không thay đổi Cách giải thông thường đặt s=x+y,p=xy(điều kiện s 2 p4 ≥ )Khi đó có hệ phương trình ẩn s,p lên để tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm ta giải hệ tìm được s,p theo tham số m rồi thay vào điều kiện trên giải bất phương trình tìm được giá trị của tham số . Đôi khi sử dụng cách đặt ẩn phụ khác để đưa về hệ đối xứng loại một ,khi đó tuỳ theo cách đặt ẩn phụ ,mà điều kiện của ẩn phụ cũng khác nhau Để tìm điều kiện cho hệ có nghiệm duy nhất có thể giải hệ phương trình rồi sử dụng điều kiện bắt buộc để hệ có nghiệm duy nhất hoặc có thể lợi dụng vào tính đối xứng của hai ẩn trong hệ để tìm điều kiện cần của tham số để hệ có nghiệm duy nhất .Sau đây là một số ví dụ minh hoạ Bài1-Chohệ phương trình:    =−+ −=−+ 44)(5 1 xyyx mxyyx Tìm m để hệ có nghiệm Giải Đặt s=x+y,p=xy(điều kiện s 2 p4 ≥ )Thay vào hệ phương trình và giải hệ ta có s=4m ,p=5m-1 Hệ có nghiệm ⇔ s 2 p4 ≥ ⇔ m 1 ≥ hoặc m 4 1 ≤ Bài 2- Chohệ phương trình:    =+ =++ myx mxyyx 22 Tìm m để hệ có nghiệm Giải Đặts=x+y,p=xy(điều kiện :s p4 2 ≥ )Khiđóhệphươngtrình:    =− =+ mps mps 2 2      +++= +−−= ⇔ 131 131 mmp ms hoặc      +−+= ++−= 131 131 mmp ms (với m 3 1 − ≥ ) Hệ có nghiệm ⇔ s 2 p4 ≥ ⇔     +−+≥++− +++≥+−− )131(4)131( )131(4)131 2 2 mmm mmm 0 ≥⇔ m (TMĐK) Bài 3- Tìm m để hệ có nghiệm :      −=+ =+ 23 44 22 myx myx Giải Đặt s=x 2 +y 2 ,p=x 22 y (ĐK:s,p )0 ≥ Khiđóhệpt ⇔    −=− = 232 2 mps ms ⇔      +− = = 2 23 2 mm p ms Hệcónghiệm ⇔      ≥ ≥ ≥ 0 0 4 2 p s ps    +≤≤ ≤≤ ⇔ 532 10 m m Bài 4- Tìm m để hệ có nghiệm :      =−+− =+ 414 yx myx Giải Đặtu= 4 − x ,v= 1 − y (đK:u,v 0 ≥ ,x 4 ≥ ,y 1 ≥ )Khiđóhệpt:    +=+ =+ 53 4 22 mvu vu      − = =+ ⇔ 2 321 4 m uv vu Hệcónghiệm u 0 ≥ ,v 0 ≥ ⇔      ≥+ ≥ ≥+ uvvu uv vu 4)( 0 0 2    ≥− −≥ ⇔ 0321 )321(216 m m 7 3 13 ≤≤⇔ m Bài 5- Tìm m để hệ có nghiệm :    =++ =+++ myxxy yxyx )1)(1( 8 22 Giải Đặtu=x(x+1),v=y(y+1)(ĐK :u 4 1 , 4 1 ≥≥ v )Khiđóhệ:    = =+ muv vu 8 nên u,v là nghiệm pt bậc hai: X 2 -8X +m=0 (u,v 4 1 ≥ )Hệ có nghiệm khi pt này có hai nghiệm lớn hơn bằng 4 1 ⇔ Hai đồ thị hai hàm số y=x 2 -8x và y=-m cắt nhau tại hai điểm có hoành độ 4 1 ≥ .Nên dựa vào đồ thị ta có giá trị m thoả mãn :-16 16 31 −≤≤ m Bài6- Tìm m để hệ có 3 nghiệm phân biệt    −=− =+ )( 1 33 yxmyx yx Giải Hệpt    =−++− =+ ⇔ omxyyxyx yx ))(( 1 22    =− =+ ⇔ 0 1 yx yx v    =−++ =+ 0 1 22 mxyyx yx ⇔          −= =+ == mxy yx yx 1 1 2 1 Hệ có ba nghiệm phân biệt khi    −= =+ mxy yx 1 1 có hai nghiệm phân biệt x ,y 2 1 ≠ ⇔ pt X 2 -X +1-m=0 có hai nghiệm phân biệt 2 1 ≠ ⇔ 034 〉−=∆ m 4 3 . >⇔ m (m= 4 3 ptcó nghiệm kép X=0,5) Bai7-Cho hệ phương trình :    +=+ +=++ mmyxxy mxyyx 2 )( 12 a-CMR : hệ có nghiệm với mọi giá trị của m b-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất Giải Đặt s=x+y , p=xy Khi đó hệ phương trình :    += +=+ mmsp mps 2 12           = +=    += = ⇔ )2( 1 )1( 1 mp ms mp ms a-Hệ (2) có mghiệm với mọi m (s p4 2 ≥ với mọi m) b-Hệ(2)luôn có nghiệm với mọi m ,nên hệ có nghiệm thì hệ (2)có nghiệm duy nhất ps 4 2 =⇔ mm 4)1( 2 =+⇔ 1 =⇔ m Với m=1 hệ (1)vô nghiệm ,hệ (2)có nghiệm duy nhất.Vậy m=1 Chú ý : Khi hệ pt tương đương với nhiều hệ khác thì ĐK cần để hệ có nghiệm duy nhất là một trong các hệ đó có nghiệm duy nhất ,từ đó tìm được ĐK của tham số ,thay giá trị của tham số tìm được vào hệ rồi giải hệ kiểm tra điều kiện đủ Bài8-Tìm mđể hệ pt      =−+−−+ +=+ 1)1(1 1 22 yxmyx xyyx có nghiệm duy nhất Giải * Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (y,x)cũng là nghiệm của hệ pt nên hệ có nghiệm duy nhất thì x=y, thay vào hệ pt giải ra ta có x=y=1và m=0 * Với m=0 hệ pt :      =−+ +=+ 11 1 22 yx xyyx ⇔    =+ =−+ 2 1 22 yx xyyx    =−+ =−+ ⇔ 22)( 1 2 xyyx xyyx           = = ⇔    = =+    −= =+ ⇔ 1 1 1 2 )( 1 0 y x xy yx VN xy yx Vậy :m=0 Chú ý : Để tìm điêu kiện cho hệ có nghiệm duy nhất có thể biến đổi hệ về dạng đơn giản hơn rồi tìm điều kiện bắt buộc để hệ có nghiệm duy nhất Hoặc lợi dụng tính đối xứng của hệ để tìm điều kiện cần của tham số để hệ có nghiệm duy nhất `Bài tập 1-cho hệ pt :    −−=+ +=+ 32 1 222 mmxyyx myx a-Giải hệ pt khi m=3 b-CMR :Hệ pt có nghiệm với mọi m 2- Cho hệ pt :    =+ +=++ mxyyx myxyx 22 1 a-Giải hệ pt khi m=2 b- Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) sao cho x>0,y>0 3- Cho hệ pt :    =++ +=++ myxyx mxyyx 22 6 22 a- Giải hệ khi m=-3 b- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 4- Tìm m để hệ :    −+=+ −=+ 32 12 222 mmyx myx có ngiệm(x,y)saocho:p= xy đạt giá trị nhỏ nhất 5- Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt :      =+ +=+ 4)( 22 2 22 yx myx 6- Cho hệ pt :    −=+ =+ 222 6 myx myx a- Giải hệ khi m=2 b- Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) sao cho F=xy+2x+2y đạt giá trị nhỏ nhất 7- Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt :    =+++ −=++ myxyx myxxy 222 65)2)(2( 22 8- Tìm m để hệ :    −=+ =++ myx mxyyx 23 22 có 4 nghiệm phân biệt 9- Giải biện luận hệ pt:    −=+ =++ myx mxyyx 23 22 10-Tìm m để hệ có nghiệm :      =+ =−+ myx mxyyx III-Hệ đối xứng loại hai +Hệ hai pt có hai ẩn gọi là hệ đối xứng loại hai nếu đổi chỗ ẩn x và y cho nhau thì pt này của hệ chuyển thành pt kia và ngược lại +Cách giải :Trừ từng vế của hai pt ,khi đó ta được pt tích dạng (x-y)f(x,y)=0 dựa vào pt này có thể giải được hệ +Để tìm ĐK cho hệ có nghiệm duy nhất cách làm như hệ đối xứng loại một Bài1-Chohệpt:      += += mxyy myxx 3 3 2 2 Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt Giải Trừ hai vế của của hai pt ta có :    += =− myxx yx 3 0 2 ⇔    = =−− yx myy 0)3( ⇔    +== == myx yx 3 0 Hệ có hai nghiệm phân biệt ⇔ m+3 30 −≠⇔≠ m Bài 2-Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất      +=− +=− xmyxy ymxyx 22 22 2 2 Giải Trừ hai vế của hai pt,ta có hệ:    +=− =+−+− ymxyx myxyx 22 2 0)133)(( )1( 2 22    +=− = ⇔ xmyxy yx hoặc )2( 2 0133 22    +=− =+−+ xmyxy myx Giải hệ (1) ta có x=y=0 v x=y=-m-1 Nên hệ có nghiệm duy nhất thì :-m-1=0 1 −=⇔ m khi đó hệ (2) vô nghiệm .Vậy m=-1 Bài 3- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :      −=+ −=+ )1( )1( 2 2 xmyxy ymxxy Giải Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (y,x) cũng là nghiệm của pt nên hệ có nghiệm duy nhấtthì x=y thay vào hệ có pt: 2x 0 2 =+− mmx có nghiệm duy nhất khi m=0 v m=8 Vớim=0hệlà:      =+ =+ 0 0 2 2 yxy xxy ⇔    = = 0 0 y x hoặc    =+ =+ 0)( 0 yxx xy (hệcóvôsốnghiệm) Với m=8 hệ:      −=+ −=+ )1(8 )1(8 2 2 xyxy yxxy 2 ==⇔ yx (hệ có nghiệm duy nhất) Vậy m=8 Bài 4- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :      =−++ =−++ mxy myx 61 61 Giải : Đ K :-1 6, ≤≤ yx Nếu (x,y)là nghiệm của hệ thì (5-x,5-y)cũng là nghiệm của hệ nên hệ có nghiệm duy nhất thì    −= −= yy xx 5 5 ⇔ x=y= 2 5 thay vào hệ ta có m= 14 Với m= 14 hệ pt: ⇔      =−++ =−++ 1461 1461 xy yx      =−+++−++ =−++ 1426161 1461 yyxx yx Mà 1426161 ≤−+++−++ yyxx dấu bằng xảy ra ⇔ x=y= 2 5 (thoả mãn hệ pt)Nên hệ có nghiệm duy nhất x=y= 2 5 Vậy m= 14 Bài5-Tìm m để hệ có nghiệm      =−++ =−++ mxy myx 21 21 Giải ĐK :x,y 2 ≥ Hệ ⇔      =−++ −−+=−−+ myx yyxx 21 2121 ⇔      =−++ −++ = −++ myx yyxx 21 )1( 21 3 21 3 Hàm số f(t)= 21 3 −++ tt nghịch biến trong khoảng (2,+ ∞ ) Nênpt(1) ⇔ x=ythay vào pt kia ta có pt: mxx =−++ 21 Hệcónghiệmkhiptnàycónghiệm ⇔ 3)21( 2 =−++≥≥ ≥ xxMinm x Vậy: 3 ≥ m Bài 6- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :      −+= −+= myyxy mxxyx 223 223 7 7 Giải Trừ haivế của hai pt ta có:      −+= =++−++− mxxyx myxxyyxyx 223 22 7 0))(6)(( ⇔ x=y=0 V )( )1(08 2 I myy yx    =+− = V )( 7 )2(0)(6 223 22 II myyxy myxxyyx      −+= =++−++ ĐK Cần : Hệ (I)không có nghiệm duy nhất x=y=0,nên hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất thì hệ (I)vô nghiệm )1(pt ⇔ vô nghiệm ⇔ , ∆ <0 m ⇔ >16 ĐK Đủ :Với m>16 khi đó pt (2) 06)6( 22 =+−+−+⇔ mxxyxy Là pt bậc hai ẩn y có 0)12(4)2(3 2 <−−−−=∆ mx với mọi m>16 nên pt(2) vô nghiệm ⇒ hệ (II) vô nghiệm và hệ (I) vô nghiệm Vậy :m>16 Bài tập 1- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất :      +=+ +=+ mxy myx 2 2 )1( )1( 2- Tìm m để các hệ pt sau có nghiệm duy n hất a-      +−= +−= mxxxy myyyx 4 4 32 232 b,      +=−+ +=−+ 11 11 mxy myx c,      =++ =++ mxy myx 2 2 2 2 d,      =−− =−− mxyy myxx 2 2 2 2 [...]... nghiệm Sử dụng phương pháp này ở những hệ mà trong đó mỗi phương trình hay bất phương trình có tập nghiệm là một hình (đường thẳng, đường tròn ,elíp ,parabôl…)hoặc một đồ thị hàm số ,khi giá trị của tham số thay đổi thì các hình đó cũng thay đổi ,dựa vào điều kiện sảy ra các vị trí tương đối của nó để biện luận tập nghiệm của hệ Tuỳ theo mỗi hệ ,có khi phải biến đổi mới có thể sử dụng được phương pháp... 2 2 2 2 2 2 cân bằng hệ số vế phải của hai pt rồi trừ hai vế của hai pt khử ẩn x khi đó ta có pt bậc hai ẩn t,giải pt đó tìm được t Cách 2:Cân bằng hệ số ẩn X 2 ở hai pt rồi trừ hai vế của hai pt khử ẩn x 2 ,rút x theo y ở pt mới thay vào pt còn lại ,quy đồng khử mẫu pt đó đưa về pt trùng phương giải được ẩn x Cách 3:Cân bằng hệ số tự do ở hai pt ,trừ hai vế của hai pt khử số hạng tự dota được pt có... đồng khử mẫu pt đó đưa về pt trùng phương giải được ẩn x Cách 3:Cân bằng hệ số tự do ở hai pt ,trừ hai vế của hai pt khử số hạng tự dota được pt có các hạng tử đẳng cấp bậc hai với ẩn x,y Với hệ có chứa tham số dựa vào các cách giải trên để biến đổi,song tuỳtheo mỗi hệ mà ĐK để hệcónghiệmcũng khác nhau 2 2  x (a + b t + c t ) = d   x (a + b t + c t ) = d Bài 1-CMR :Hệ pt sau có nghiệm với mọi m:... my + y 2 = m 1-Tìm m để hệ có nghiệm :   x 2 + (m − 1) xy + my 2 = m  3x 2 + 2 xy + y 2 = m 2-Tìm m để hệ có nghiệm :   x 2 + xy + y 2 = 2 V-Một số hệ khác 1-Hệ hai bất pt bậc hai có hai ẩn Ta xét hệ hai bất pt bậc hai có hai ẩn mà các hạng tử chứa ẩn đều là bậc hai ,cách tìm điều kiện để hệ có nghiệm có liên quan đến việc giải hệ đẳng cấp bậc hai 1− m  2 x + 2 xy − 7 y 2 ≥ (1)  Ví dụ 1- Tìm . Hệ phương trình có chứa tham số I-Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất một phương trình bậc hai Khi hệ phương trình gồm một phương trình. hệ phương trình ẩn s,p lên để tìm điều kiện của tham số để hệ có nghiệm ta giải hệ tìm được s,p theo tham số m rồi thay vào điều kiện trên giải bất phương