Đang tải... (xem toàn văn)
(Luận văn thạc sĩ) Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn đặc số chẵn(Luận văn thạc sĩ) Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn đặc số chẵn(Luận văn thạc sĩ) Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn đặc số chẵn(Luận văn thạc sĩ) Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn đặc số chẵn(Luận văn thạc sĩ) Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn đặc số chẵn(Luận văn thạc sĩ) Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn đặc số chẵn(Luận văn thạc sĩ) Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn đặc số chẵn(Luận văn thạc sĩ) Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn đặc số chẵn(Luận văn thạc sĩ) Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn đặc số chẵn(Luận văn thạc sĩ) Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn đặc số chẵn(Luận văn thạc sĩ) Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn đặc số chẵn(Luận văn thạc sĩ) Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn đặc số chẵn(Luận văn thạc sĩ) Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn đặc số chẵn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN VĂN VIỆT MỘT SỐ LỚP ĐA THỨC HOÁN VỊ TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN ĐẶC SỐ CHẴN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN VĂN VIỆT MỘT SỐ LỚP ĐA THỨC HOÁN VỊ TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN ĐẶC SỐ CHẴN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Mở đầu Chương Trường hữu hạn nhập mơn đa thức hốn vị 1.1 Trường hữu hạn 1.2 Một số tính chất đa thức hốn vị 1.3 Đa thức hoán vị modulo số tự nhiên 10 Chương Một số lớp đa thức hoán vị trường hữu hạn có đặc số chẵn 13 2.1 Trường đóng đại số 14 2.2 Một số lớp tam thức hoán vị trường hữu hạn đặc số chẵn 21 Kết luận kiến nghị 36 Tài liệu tham khảo 38 Mở đầu Đa thức hoán vị lĩnh vực nghiên cứu thú vị Chúng có ứng dụng lĩnh vực khác lý thuyết mã hóa, mật mã thiết kế tổ hợp Loại đa thức đơn giản đơn thức Một đơn thức xn hoán vị Fq gcd (n, q − 1) = Nhưng nhị thức tam thức tình khơng dễ dàng Chỉ có vài loại nhị thức hoán vị tam thức biết đến Chúng đặc biệt quan tâm đến lớp tam thức hoán vị trường hữu hạn với đặc số chẵn Chú ý rằng, khơng có nhị thức trường hữu hạn có đặc số chẵn Điều thúc đẩy chúng tơi tìm lớp tam thức hoán vị với hệ số tầm thường trường hữu hạn với đặc số chẵn Tuy nhiên, nay, số lớp tam thức hoán vị F2m biết đến Trong luận văn này, chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết năm lớp tam thức hoán vị trường hữu hạn có đặc số chẵn Nội dung luận văn trình bày thành hai chương: Chương 1: Trường hữu hạn nhập mơn đa thức hốn vị Trong chương này, chúng tơi trình bày cấu trúc số phần tử trường hữu hạn, số tính chất đa thức hốn vị trường hữu hạn đa thức hoán vị modulo số tự nhiên Chương 2: Một số lớp đa thức hốn vị trường hữu hạn có đặc số chẵn Chương chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn hoán vị đa thức số lớp tam thức hoán vị Đặc biệt chương chúng tơi trình bày lại chi tiết kết hai báo [4] R Gupta R Sharama, [3] C Ding, L Qu, Q Wang, J Yuan, P Yuan lớp tam thức hoán vị trường có đặc số chẵn Luận văn hồn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình GS TS Lê Thị Thanh Nhàn Em chân thành cảm ơn cô Lê Thị Thanh Nhàn tận tình hướng dẫn em triển khai đề tài luận văn Em chân thành cảm ơn thầy cô tổ Đại số, khoa Toán-Tin trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, người tận tình giảng dạy trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho em suốt trình học tập trường Vì thời gian kiến thức hạn chế nên thân cố gắng nhiều luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Em xin mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để luận văn em hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 05 năm 2019 Học viên Nguyễn Văn Việt Chương Trường hữu hạn nhập mơn đa thức hốn vị Để chuẩn bị cho việc trình bày đa thức hoán vị số lớp đa thức hoán vị trường hữu hạn có đặc số chẵn Chương 2, chương này, chúng tơi trình bày cấu trúc số phần tử trường hữu hạn, số tính chất đa thức hốn vị trường hữu hạn đa thức hoán vị modulo số tự nhiên 1.1 Trường hữu hạn Mục đích chương giới thiệu khái niệm trường hữu hạn làm rõ cấu trúc số phần tử trường hữu hạn Trường tập hợp T với hai phép toán cộng nhân cho hai phép toán kết hợp, giao hoán, phép nhân phân phối với phép cộng, T có phần thử 0, có phần tử đơn vị 1, phần tử a ∈ T có đối xứng −a ∈ T phần tử a ∈ T, a = có phần tử nghịch đảo a−1 ∈ T Chẳng hạn Z2 trường, vành Z4 không trường phần tử = ∈ Z4 khơng có phần tử nghịch đảo Tổng quát, Zn trường n nguyên tố Một số ví dụ trường vô hạn trường Q số hữu tỷ; trường R số thực; trường C số phức Định nghĩa 1.1.1 Trường hữu hạn trường có hữu hạn phần tử Chú ý 1.1.2 Với trường T , phần tử a ∈ T số nguyên n ta định nghĩa bội nguyên na sau: • na = n = 0, • na = a + + a (n hạng tử a) n > 0, • na = (−a) + + (−a) (−n hạng tử a) n < Định nghĩa 1.1.3 Giả sử T trường Nếu tồn số nguyên dương nhỏ n cho n1 = 0, phần tử đơn vị T , ta nói trường T có đặc số n Nếu khơng tồn số n ta nói trường T có đặc số Chẳng hạn, trường Z5 có đặc số Trường Q có đặc số 0, trường Zp có đặc số p (với số nguyên tố p) Mệnh đề 1.1.4 Đặc số trường T hữu hạn số nguyên tố Chứng minh Giả sử trường hữu hạn T có đặc số Khi đó, với số nguyên n > m ta có (n − m)1 = 0, tức n1 = m1 Vì T chứa tập {n1 | n ∈ Z} tập vơ hạn, vơ lý Do T phải có đặc số p > Giả sử p hợp số Khi p = mn với < m, n < p Ta có p1 = = mn1 = (m1)(m1) Do T trường nên (m1) = n1 = 0, vô lý Do p số nguyên tố Tiếp theo, cần nhắc lại số khái niệm không gian véc tơ Định nghĩa 1.1.5 Cho T trường Một tập V có trang bị phép tốn cơng với ánh xạ T × V → V (gọi phép nhân vô hướng) gọi không gian véc tơ trường T hay T khơng gian véc tơ phép cộng có tính chất giao hốn, kết hợp, có phần tử 0, phần tử V có đối xứng phép nhân vơ hướng thỏa mãn tính chất sau đây: với x, y ∈ T α, β ∈ V ta có: (i) Phân phối: (x + y)α = xα + yα x(α + β) = xα + xβ; (ii) Kết hợp: x(yα) = (xy)α; (iii) Unita: 1α = α Định nghĩa 1.1.6 Giả sử Theo Bổ đề ??, f3 (x) đa thức hoán vị F22m gcd(5, 2m − 1) = đa thức g3 (x) := x5 h3 (x)2 m −1 hốn vị µ2m +1 Giả sử m số lẻ Khi theo Bổ đề 2.2.2 ta có gcd(5, 2m − 1) = Theo Bổ đề 2.2.5, h3 (α) = với α ∈ µ2m +1 , g3 (µ2m +1 ) ⊆ µ2m +1 Với α ∈ µ2m +1 , ta biến đổi rút gọn g3 (α) dạng sau α + α4 + α5 g3 (α) = + α + α4 29 Theo g3 (x) tác động đơn ánh µ2m +1 x + x4 + x5 G3 (x) := + x + x4 tác động đơn ánh µ2m +1 Giả sử G3 (x) = G3 (y), x, y ∈ µ2m +1 Với x = y, từ biểu thức G3 (x), ta (x + x4 + x5 )(1 + y + y ) + (y + y + y )(1 + x + x4 ) = 0, tức là, (x5 + y ) + xy(x4 + y ) + x4 y (x + y) + (x4 + y ) + (x + y) = Suy (x5 + y ) = (x + y)5 + x2 y (x + y) + xy(x + y)3 Chia phương trình cho (x5 + y ) ta xy xy xy + ( ) + + ( ) + + = (x + y)4 x+y x+y (x + y)2 (x + y)2 xy m b = a2 = vào phương trình rút x+y x+y gọn, ta Thay a = (a + b)4 + a + b + a2 b2 + ab + = Lưu ý a b khơng thuộc F2m , a + b, ab ∈ F2m Tác động hàm vết T r1m (−) vào hai vế đẳng thức sử dụng tính chất tuyến tính hàm vết Bổ đề 2.1.9, ta T r1m ((a + b)4 ) + T r1m (a + b) + T r1m ((ab)2 ) + T r1m (ab) + = 30 Chú ý T r1m ((a + b)4 ) = T r1m (a + b) T r1m ((ab)2 ) = T r1m (ab) Vì từ đẳng thức ta suy = 0, điều mâu thuẫn Tiếp theo m số chẵn, theo Bổ đề 2.1.12 ta có 5|22m − 1, có nghĩa có hai số 2m − 2m + chia hết cho Nếu 5|2m − 1, theo Bổ đề ??, f3 (x) khơng đa thức hốn vị F2m Nếu 5|2m + 1, ta lấy mơt phần tử ξ ngun thủy bậc đơn vị Do ước 2m + nên ξ ∈ µ2m +1 , g3 (ξ) = (1 + ξ + ξ )2 m −1 = g3 (ξ ) m g3 (ξ ) = (1 + ξ + ξ )2 −1 = g3 (ξ ) Như vậy, g3 (x) khơng hốn vị µ2m +1 f3 (x) khơng hốn vị F22m Do ta có điều phải chứng minh Tiếp theo tập trung chứng minh Định lý D Đây kết thứ tư luận văn m m+2 Định lý 2.2.9 Đa thức f4 (x) := x3 + x3·2 + x2 −1 ∈ F22m đa thức hoán vị F22m m số lẻ m Chứng minh Đa thức f4 (x) viết f4 (x) = x3 h4 (x2 −1 ), f4 (x) := + x3 + x4 ∈ F22m [x] Theo Bổ đề ??, f4 (x) 31 ... 10 Chương Một số lớp đa thức hoán vị trường hữu hạn có đặc số chẵn 13 2.1 Trường đóng đại số 14 2.2 Một số lớp tam thức hoán vị trường hữu hạn đặc số chẵn ... hốn vị Trong chương này, chúng tơi trình bày cấu trúc số phần tử trường hữu hạn, số tính chất đa thức hốn vị trường hữu hạn đa thức hoán vị modulo số tự nhiên Chương 2: Một số lớp đa thức hốn vị. .. 2019 Học viên Nguyễn Văn Việt Chương Trường hữu hạn nhập mơn đa thức hốn vị Để chuẩn bị cho việc trình bày đa thức hoán vị số lớp đa thức hoán vị trường hữu hạn có đặc số chẵn Chương 2, chương