Các dạng bài tập cơ bản về biến đổi vectơ Dạng I:Chứng minh hai vectơ cùng phơng, hai vectơ bằng nhau. a)- Hai vectơ đợc gọi là cùng phơng nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. - Vectơ b cùng phơng với vectơ a ( a O ) khi và chỉ khi co số k sao cho b =k a b)Hai vectơ bằng nhau: a = b a , b cùng hớng và a = b -Chứng tỏ hai vectơ cùng hớng -Độ dài hai vectơ bằng nhau VD1: Cho tam giác ABC Gọi M,N lần lợt là trung điểm hai cạnh AB và AC. a) Tìm các vectơ lần lợt cùng phơng với MN và MB b) Tìm các vectơ lần lợt cùng hớng với MN và AB c) Tìm các vectơ ngợc hớng với CN VD2: Cho hình thoi ABCD .Các đẳng thức sau đây đúng hay sai?vì sao? a) AB = AD b) AB = CD c) AD = BC d) AD = BC VD3: Cho tam giác ABC .Từ trung điểm M,N của các cạnh AB,AC vẽ ME BC, NF BC.CMR: ME = NF VD4: Cho tam giác ABC cân tại A,trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho D không trùng với A và B ,trên tia đối của tia CA lấy một điểm E sao cho BD= CE ,DE cắt BC tại F. CMR: DF = FE Dạng II:Chứng minh hai điểm trùng nhau. C1: A B AB = O C2: A B IA = IB (Với I tuỳ ý) Note: -G là trọng tâm của tam giác ABC GA + GB + GC = O -G là trọng tâm của tam giác ABC OA + OB + OC = OG (Với O tuỳ ý) VD1: Cho tam giác ABC và tam giác ABC.CMR: Điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm là : 'AA + 'BB + 'CC = O . HD: - Gọi G và G lần lợt là trọng tâm của tam giac ABC và ABC ta có: 'AA + 'BB + 'CC = AG + 'GG + '' AG + BG + 'GG + '' BG + CG + 'GG + ''CG =3 'GG (vì GA + GB + GC = O , '' AG + '' BG + ''CG = O ). -G G 'GG = O Vậy: Điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm là : 'AA + 'BB + 'CC = O . VD2: Cho tam giác ABC .Gọi A là điểm đối xứng với A qua B,B là điểm đối xứng với B qua C,C là điểm đối xứng với C qua A.CMR: Hai tam giác ABC và ABC có cùng trọng tâm G. HD: - Gọi G và G lần lợt là trọng tâm của tam giac ABC và ABC ta có: 'AA + 'BB + 'CC = AG + 'GG + '' AG + BG + 'GG + '' BG + CG + 'GG + ''CG =3 'GG -Mà: 'AA + 'BB + 'CC =2( AB + BC + CA )= O 'GG = O G G Hai tam giác ABC và ABC có cùng trọng tâm G. Dạng III:Chứng minh một đẳng thức về véctơ - Các cách thờng sử dụng: Biến đổi tơng đơng,biến đổi vế phức tạp thành vế đơn giản ,biến đổi bắc cầu . - Kiến thức liên quan: +Sử dụng quy tắc ba điểm: Với ba điểm M,N,P bất kì ta có MN + NP = MP +Sử dụng quy tắc hình bình hành: Nếu OABC là Hình bình hành thì ta có OA + OC = OB + Sử dụng quy tắc về hiệu vectơ:Nếu AB là một vectơ đã cho thì ta có AB = OB - OA +Sử dụng tính chất trung điểm: . M là trung điểm đoạn thẳng AB MA + MB = O . M là trung điểm đoạn thẳng AB OA + OB =2 OM (Với O là điểm tuỳ ý) +Sử dụng tính chất trọng tâm: .G là trọng tâm của tam giác ABC GA + GB + GC = O .G là trọng tâm của tam giác ABC OA + OB + OC = OG (Với O là điểm tuỳ ý) VD1: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì ;I,J lần lợt là trung điểm của AB và CD . a)CMR: AC + BD = 2 IJ b)Gọi O là trung điểm của IJ .CMR: OA + OB + OC + OD = O c)M là điểm bất kì.CMR: MA + MB + MC + MD =4 MO HD: a) AC = AI + IJ + JC , BD = BI + IJ + JD AC + BD = 2 IJ (Vì I,J là trung điểm của AB ,CD) b) OA + OB =2 OI , OC + OD =2 OJ OA + OB + OC + OD = O (Vì O là trung điểm IJ) c) OA + OB + OC + OD = O MA - MO + MB - MO + MC - MO + MD - MO = O MA + MB + MC + MD =4 MO VD2: Cho tam giác ABC .Gọi G,H,O lần lợt là trọng tâm,trực tâm,tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giac;AD là đờng kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác.CMR: a)Tứ giác HBDC là hình bình hành. b) HA + HB + HC = 2 HO c) OA + OB + OC = OH d) O,G.H thẳng hàng. HD: a)DC AC,BH AC DC//BH;DB AB,CH AB DB// CH HBDC là HBH b)+Gọi A là trung điểm của BC HA = 2 OA' (Vì AO là đờng trung bình của AHD) mà HB + HC = 2 'HA HA + HB + HC = 2 HO + HA + HB + HC = 2 HO OA - OH + OB - OH + OC - OH =-2 OH OA + OB + OC = OH VD3: Cho tam giác ABC .Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B qua G . a)CMR: AH = 3 2 AC - 3 1 AB CH =- 3 1 AB - 3 1 AC b)Gọi M là trung điểm của BC .CMR: MH = 6 1 AC - 6 5 AB HD: a)G là trung điểm của HB AH + AB =2 AG AH =2 AG - AB = 3 2 AC - 3 1 AB (1) Vì AG = 3 1 AB + 3 1 AC (1) CH = AH - AC =- 3 1 AB - 3 1 AC b) M là trung điểm của BC MH = 2 1 ( BH + CH )= 2 1 ( AH - AB + CH )= 6 1 AC - 6 5 AB Dạng IV:Biểu thị một véctơ qua hai vectơ không cùng phơng.Chứng minh ba điểm thẳng hàng. - Cho a và b là hai véc tơ không cùng phơng. Với mọi vectơ x ta có x =m a +n b (m,n R) - Ba điểm A,B,C thẳng hàng AB =k AC (k 0) - Ba điểm A,B,C thẳng hàng OC = m OA +n OB với m+n =1 VD1: Cho tam giác ABC .Lấy các điểm M,N,P sao cho MB = 3 MC , NA +3 NC = O , PA + PB = O . a)Biểu diễn các vectơ AP , NA , AM theo các vectơ AB và AC b) Biểu diễn các vectơ MP , MN theo các vectơ AB và AC c)CMR:M,N,P thẳng hàng. HD: a) PA + PB = O AP = 2 1 AB ; NA +3 NC = O NA = 4 3 AC ; MB = 3 MC AM = 2 3 AC - 2 1 AB b) MP = AP - AM = AB - 2 3 AC (1) ; MN = NA - AM = 2 1 AB - 4 3 AC (2) c)Từ (1), (2) MP =2 MN M,N,P thẳng hàng. VD2: Cho tam giác ABC .Gọi I là điểm trên BC kéo dài và IB = 3IC . a) Tính vectơ AI theo các vectơ AB và AC b)Gọi J,K lần lợt là những điểm trên cạnh AC,AB sao cho JA= 2JC,KB=3KA. Tính JK theo AB và AC c)Tính BC theo AI và JK HD: a)gt IB =3 IC AB - AI =3( AC - AI ) AI =- 2 1 AB + 2 3 AC (1) b) gt AJ = 3 2 AC , AK = 4 1 AB JK = AK - AJ = 4 1 AB - 3 2 AC (2) c) (1), (2) BC = AC - AB =-10 AI -24 JK VD3: Cho tam giác ABC.Gọi I,J là hai điểm xác định bởi IA = 2 IB , 3 JA +2 JC = O a)Tính IJ theo AB và AC . b)CMR: GB = 3 2 AB - 3 1 AC c)Đờng thẳng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. HD: a) IA = 2 IB AI =2 AB ;3 JA +2 JC = O AJ = 5 2 AC IJ =-2 AB + 5 2 AC (1) b)Gọi M là trung điểm của AC BM = 2 1 ( BA + BC ) GB =- 3 1 ( BA + BC )= 3 2 AB - 3 1 AC c) IA = 2 IB IB = BA IG =- AB - GB IG =- 3 5 AB + 3 1 AC (2). Từ (1), (2) 5 IJ =6 IG I,J,G thẳng hàng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. Dạng V: Xác định một điểm thoả mãn một hệ thức về vectơ. Cho:O, a khi đo tồn tại duy nhất một diểm M sao cho OM =k a (k không đổi) VD1:Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì.CMR: a = MA + MB - 2 MC không phụ thuộc vào vị chí điểm M.Dựng điểm D sao cho CD = a . HD: + a = MA + MB - 2 MC = AB -2 AC = CB + CA =2 CI (I là trung điểm của AB) + CD = a CD =2 CI D là đỉnh thứ t của hbh ACBD. VD2: Cho hai hình bình hành ABCD. Dựng các điểm M,N thoả mãn: a) MA - MB - MC = AD ; b) NC + ND - NA = AB + AD - AC ; HD: a) MA - MB - MC = AD CM = AB + AD = AC M đối xứng với A qua C. b) NC + ND - NA = AB + AD - AC AD + NC = O CN = AD N là đỉnh thứ t của hbh DACN. Dạng VI:Tìm quỹ tích. + OM = a với O có định và a không đổi thì tập hợp điểm M là đờng tròn tâm O bán kính a . + MA = MB với A,B cố định thì tập hợp điểm M là đờng trung trực của AB. + OM =k a với O cố định , a không đổi ,k R thì tập hợp điểm M là đờng thẳng đi qua O và có phơng cùng phơng với vectơ a . + OM =k OA với O,A cố định, k R thì tập hợp điểm M là đờng thẳng OA. VD1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoả mãn : a) MA + MB = MA - MB b) MA + MB = MA + MC c) MA + MB = k( MB - MC );k R HD: a) MA + MB = MA - MB 2 MI = BA (với I là trung điểm của AB) MI= 2 1 AB.Vậy tập hợp điểm M là đờng tròn tâm I bkán kính 2 1 AB. b) MA + MB = MA + MC 2 MI = 2 MJ (với J là trung điểm của AC) MI=MJ. Vậy tập hợp điểm M là đờng trung trực của IJ. c) MA + MB = k( MB - MC ) MI = 2 1 k CB . Vậy tập hợp điểm M là đờng thẳng đi qua I và song song với BC VD2: Cho tứ giác ABCD. a)Xác định điểm O sao cho : OB +4 OC =2 OD . b)Tìm tập hợp điểm M thoả mãn hệ thức MB + 4 MC -2 MD = 3 MA HD: a) OB +4 OC =2 OD 3 OB =2 BD -4 BC =2 CD -2 BC =4 CI OB = 3 4 CI (I là tđ của BD) O là đỉnh thứ t của hbh BIEO với E xác định bởi IE = 3 4 CI . b) MB + 4 MC -2 MD = 3 MA 3 MO + OB +4 OC -2 OD = 3 MA 3 MO = 3 MA MO=MA. Vậy tập hợp điểm M là đờng trung trực của đoạn OA. Bài tập làm thêm A.Tự luận: 1. Cho bốn điểm M,N,P,Q bất kì .CM các đẳng thức sau: a) PQ + NP + MN = MQ b) NP + MN = QP + MQ c) MN + PQ = MQ + PN 2. Cho sáu điểm A,B,C,D,E,F . CMR: a) AD + BE + CF = AE + BF + CD b) AB + CD = AD + CB 3. Cho tứ giác ABCD .Gọi I,J lần lợt là trung điểm của AB,CD;O là trung điểm của IJ. CMR: OA + OB + OC + OD = O 4.Cho tứ giác ABCD .Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB,CD. CMR: 2 MN = AC + BD = AD + BC 5.Cho tam giác ABC .Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ , CARS. CMR: RJ + IQ + PS = O . 6.Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. a)CMR: OA + OB + OC + OD + OE + OF = O . b)Gọi M,N,P,Q lần lợt là trung điểm của AB,CD,AF,DE. CMR: MN = PQ . 7.Cho tam giác ABC và hai điểm I,F cho bởi: IA +3 IC = O ; FA +2 FB +3 FC = O . CMR:I,F,B thẳng hàng. 8. Cho tam giác ABC Trên BC lấy điểm D sao cho BD = 5 3 BC ,gọi E là điểm thoả mãn: 4 EA +2 EB +3 EC = O . a)Tính ED theo EB và EC . b)CMR: A,E,D thẳng hàng. 9. Cho tam giác ABC .Gọi G,H,O lần lợt là trọng tâm,trực tâm,tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giac;AA là đờng kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác.CMR: a) HB + HC = 'HA b) HA + HB + HC = 2 HO c) O,G.H thẳng hàng. 10.Cho tứ giác ABCD .Gọi M,N,P,Q lần lợt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA. CMR: Hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm. 11.Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. a) Dựng các điểm M,N sao cho EM = BD , FN = BD . b) CMR: CD = MN 12.Cho tam giác ABC. Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA - MB + MC = O . 13.Cho tam giác ABC. a)Tìm điểm I thoả mãn: 2 IA + IB = O . b)Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: 2 MA + MB = MA + MB + MC 14.Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3 BI và F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC. a) Tính AI , AF theo AB , AC . b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính AG theo AI , AF . 15.Cho tam giác ABC. Xác định vị chí điểm M sao cho: MA + MB +2 MC = O 16. Cho tam giác ABC. a) Xác định vị chí điểm M sao cho: MA +2 MB = O b) Xác định vị chí điểm N sao cho: NA + 2 NB = CB 17. Cho tam giác ABC cố định và điểm M di động. CMR: a) MA +4 MB -5 MC không phụ thuộc vào vị chí điểm M. b) MA +2 MB -3 MC không phụ thuộc vào vị chí điểm M. 18. Cho tam giác ABC. a)Gọi P là điểm đối xứng của B qua C. Tính AP theo AB , AC b)Gọi Q và R là hai điểm xác định bởi : AQ = 2 1 AC và AR = 3 1 AB . Tính RP , RQ theo AB , AC c)CMR: P, Q, R thẳng hàng. B.Trắc nghiệm: 1.Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I, K lần lợt là trung điểm của BC, CD. Hệ thức nào dới đây là đúng? A. AI + AK =2 AC B. AI + AK = AB + AD C. AI + AK = IK D. AI + AK = 2 3 AC 2.Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác và H là điểm đối xứng của B qua G. Hệ thức nào sau đây là đúng? A. AH = 3 1 AC - 2 1 AB B. AH = 3 1 AC - 3 2 AB C. AH = 3 2 AC - 3 1 AB D. AH = 3 2 AC + 3 1 AB 3.Cho tam giác ABC, có thể xác định bao nhiêu vectơ có điểm đầu và điểm cuối là A, B, C? A. 3 B. 6 C. 4 D. 9 4.Cho bốn điểm A, B, C, D. Câu nào sau đây đúng? A. AB - DC = AD - BC B. AB + CD = DA - BC C. AB + AD = CD + CB D. AD + BC = AC + DB 5.Cho hình vuông ABCD. Câu nào sau đây đúng? A. AB = BC B. AB = CD C. AC = DB D. AC = DB 6.cho tam giác vuông cân ABC có AB=AC=a.Độ dài của AB + AC bằng bao nhiêu? A. a 2 B. a 2 2 C. 2a D. a 7)Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4.Véctơ CB + AB có độ dài là? A. 2 B. 2 13 C. 4 D. 13 8)Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a.H là trung điểm của cạnh BC. Vectơ CA - HC có độ dài bằng bao nhiêu? A. 2 a B. 2 3a C. 3 32a D. 2 7a 9) Cho tam giác ABC vuông tại A.G là trọng tâm của tam giác, BC=12. Vectơ GB + GC có độ dài bằng bao nhiêu? A. 2 B. 2 3 C. 8 D. 4 10).Cho bốn điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lợt là trung điểm của các đoạn thẳng AB và CD. Trong các đẳng thức sau đẳng thức nào sai? A. AB + CD =2 IJ B. AC + BD =2 IJ C. AD + BC =2 IJ D. 2 IJ + DB + CA = O 11) Cho tam giác ABC và điểm I sao cho IA = 2 IB . Đẳng thức nao sau đây đúng? A. CI = 3 1 CA - 3 2 CB B. CI = 3 1 CA + 3 2 CB C. CI =- 3 1 CA - 3 2 CB D. CI =- CA +2 CB 12) Cho tam giác ABC và điểm I sao cho IA + 2 IB = O . Đẳng thức nao sau đây đúng? A. CI = 3 1 CA - 3 2 CB B. CI = 3 1 CA + 3 2 CB C. CI =- 3 1 CA - 3 2 CB D. CI =- CA +2 CB 14)Cho tam giác ABC với G là trọng tâm . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. AG = 3 2 CA - 3 1 CB B. AG = 3 2 CA + 3 1 CB C. AG = 3 1 CA - 3 2 CB D. AG =- 3 2 CA + 3 1 CB 15) Cho tam giác ABC với G là trọng tâm . Đẳng thức nào sau đây đúng? A. CG = 3 1 CA + 3 1 CB B. CG = 3 2 CA + 3 2 CB C. CG = 3 1 CA - 3 1 CB D. CG = 3 2 CA - 3 2 CB 16) Cho các mệnh đề sau: a) Hai véctơ đối nhau thì cùng hớng và có độ dài bằng nhau. b) Hai véctơ đối nhau thì có giá trùng nhau. c) Hai véctơ đối nhau thì cùng phơng và có độ dài bằng nhau. d) Hai véctơ cùng phơng và có độ dài bằng nhau thì đối nhau. Hỏi có mấy mệnh đề đúng? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 17)Cho hình chữ nhật ABCD. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng? A. AB = CD B. BC = DA C. AC = BD D. AD = BC 18)Cho tam giác đều ABC với đờng cao AH. Đẳng thức nào dới đây đúng? A. HB = HC B. AC =2 HC C. AH = 2 3 BC D. AB = AC 19)Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và Cvới AB=2a, CB=5a. Độ dài vectơ AC bằng bao nhiêu? A. 7a B. 3a C. 2 5a D. 10a 2 20)Cho hình thang ABCD với hai cạnh đáy là AB=3a, CD=6a. Khi đó AB + CD bằng bao nhiêu? A. 9a B. 3a C. -3a D. 0 21)Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Khi đó AC + BD bằng bao nhiêu? A. 2a 2 B. 2a C. a D. 0 22)Cho ba điểm bất kì A,B,C. Đẳng thức nào dới đây đúng? A. AB = CB - CA B. BC = AB - AC C. AC - CB = BA D. CA - CB = AB 23)Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Giá trị AB - CA bằng bao nhiêu? A. 2a B. a C. a 3 D. 2 3a 24)Cho hai tam giác ABC và ABC lần lợt có trọng tâm là G và G. Đẳng thức nào dới đây là sai? A. 3 'GG = 'AA + 'BB + 'CC B. 3 'GG = 'AB + 'BC + 'CA C. 3 'GG = 'AC + 'BA + 'CB D. 3 'GG = AA' + 'BB + 'CC 25)Cho điểm B nằm giũa hai điểm A và C, với AB=2a và AC=6a. Đẳng thức nào dới đây đúng? A. BC = AB B. BC = -2 AB C. BC = 4 AB D. BC = -2 BA 26)Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Nếu AB =-3 AC thì đẳng thức nào dới đây đúng? A. BC =4 AC B. BC =-4 AC C. BC =2 AC D. BC =-2 AC 27)Điều kiện nào dới đây là điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AB? A. OA=OB B. OA = OB C. AO = BO D. OA + OB = O 28)Nếu G là trọng tâm tam giấc A, B, C thì đẳng thức nào dới đây đúng? A. AG = 2 1 AB + 2 1 AC B. AG = 3 1 AB + 3 1 AC C. AG = 2 3 AB + 2 3 AC D. AG = 3 2 AB + 3 2 AC 29)Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và I là trung điểm của AM. Đẳng thức nào dới dây đúng? A. IA + IB + IC = O B. - IA + IB + IC = O C. IA + IB - IC = O D. 2 IA + IB + IC = O 30) . đổi vectơ Dạng I:Chứng minh hai vectơ cùng phơng, hai vectơ bằng nhau. a)- Hai vectơ đợc gọi là cùng phơng nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. - Vectơ. O , PA + PB = O . a)Biểu diễn các vectơ AP , NA , AM theo các vectơ AB và AC b) Biểu diễn các vectơ MP , MN theo các vectơ AB và AC c)CMR:M,N,P thẳng hàng.