TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 MỤC LỤC PHẦN I KHỐI ĐA DIỆN .54 KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP 54 KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 54 2.1 Khái niệm hình đa diện 54 2.2 Khái niệm khối đa diện 54 HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU .55 3.1 Phép dời hình khơng gian .55 3.2 Hai hình .56 PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN 56 KHỐI ĐA DIỆN LỒI .56 5.1 Khối đa diện lồi 56 5.2 Khối đa diện .57 5.3 Một số kết quan trọng khối đa diện lồi 58 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 58 6.1 Thể tích khối chóp 58 6.2 Thể tích khối lăng trụ 58 6.3 Thể tích khối hộp chữ nhật 59 6.4 Thể tích khối lập phương .59 6.5 Tỉ số thể tích .59 6.6 Một số ý độ dài đường đặc biệt 59 CÁC CÔNG THỨC HÌNH PHẲNG 60 7.1 Hệ thức lượng tam giác 60 7.2 Các cơng thức tính diện tích 60 MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP THƯỜNG GẶP CÁC CƠNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN 63 PHẦN II MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU 64 MẶT NĨN TRỊN XOAY VÀ KHỐI NĨN .64 1.1 Mặt nón tròn xoay 64 1.2 Khối nón .64 1.3 Thiết diện cắt mặt phẳng .65 MẶT TRỤ TRÒN XOAY 65 2.1 Mặt trụ 65 2.2 Hình trụ tròn xoay khối trụ tròn xoay 65 MẶT CẦU – KHỐI CẦU 66 3.1 Mặt cầu .66 3.2 Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng .66 3.3 Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng 67 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 51 61 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.4 Đường kinh tuyến vĩ tuyến mặt cầu 67 MỘT SỐ DẠNG TỐN VÀ CƠNG THỨC GIẢI 68 4.1 Bài toán mặt nón 68 4.2 Một số dạng tốn cơng thức giải tốn mặt trụ .71 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CƠNG THỨC GIẢI BÀI TỐN MẶT CẦU 72 5.1 Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện .72 5.2 Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 75 5.3 Kỹ xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy 75 5.4 Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện .76 5.5 Tổng kết dạng tìm tâm bán kính mặt cầu .77 TỔNG HỢP CÁC CƠNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRỊN XOAY 78 6.1 Chỏm cầu 78 6.2 Hình trụ cụt 78 6.3 Hình nêm loại 79 6.4 Hình nêm loại 79 6.5 Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay 79 6.6 Diện tích Elip Thể tích khối tròn xoay sinh Elip 79 6.7 Diện tích hình vành khăn 79 6.8 Thể tích hình xuyến (phao) 79 PHẦN HỆ TRỤC TỌA ÐỘ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ .80 HỆ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN 80 1.1 Các khái niệm tính chất 80 1.2 Phương pháp giải số toán thường gặp .82 MẶT PHẲNG 82 2.1 Các khái niệm tính chất 82 2.2 Viết phương trình mặt phẳng 83 2.3 Vị trí tương đối hai mặt phẳng 85 2.4 Khoảng cách hình chiếu 85 2.5 Góc hai mặt phẳng .86 2.6 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu 86 ĐƯỜNG THẲNG 87 3.1 Phương trình đường thẳng 87 3.2 Vị trí tương đối 87 3.3 Góc không gian 90 3.4 Khoảng cách .90 3.5 Lập phương trình đường thẳng 91 3.6 Vị trí tương đối 94 3.7 Khoảng cách .94 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 52 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.8 Góc .95 MẶT CẦU 95 4.1 Phương trình mặt cầu 95 4.2 Giao mặt cầu mặt phẳng 96 4.3 Một số toán liên quan 96 MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN 99 5.1 Dạng 99 5.2 Dạng 99 5.3 Dạng 99 5.4 Dạng 99 5.5 Dạng 99 5.6 Dạng 99 5.7 Dạng 100 5.8 Dạng 100 5.9 Dạng 100 5.10 Dạng 10 100 PHẦN I KHỐI ĐA DIỆN KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHĨP  Khối lăng trụ (chóp) phần khơng gian giới hạn hình lăng trụ (chóp) kể hình lăng trụ (chóp) Khối chóp cụt phần khơng gian giới hạn hình chóp cụt kể hình chóp cụt  Điểm khơng thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) gọi điểm ngồi khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) Điểm thuộc khối lăng trụ khơng thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 53 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 chóp cụt) gọi điểm khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 2.1 Khái niệm hình đa diện  Hình đa diện (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất:  Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung  Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác  Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện 2.2 Khái niệm khối đa diện  Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện  Những điểm không thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm gọi miền khối đa diện  Mỗi hình đa diện chia điểm còn lại không gian thành hai miền không giao miền miền ngồi hình đa diện, có miền ngồi chứa hồn tồn đường thẳng Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 54 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU 3.1 Phép dời hình khơng gian Trong khơng gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M ' xác định gọi phép biến hình khơng gian Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm tùy ý * Một số phép dời hình khơng gian: r 3.1.1 Phép tịnh tiến theo vectơ v Nội dung Là phép biến hình biến điểm M thành M ' cho uuuuur r MM '  v 3.1.2 Phép đối xứng qua mặt phẳng P  Nội dung Là phép biến hình biến điểm thuộc nó, biến điểm M điểm M ' cho P  khơng thuộc Hình vẽ P  thành P  thành mặt phẳng trung trực MM ' Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng thành Hình vẽ P  P  biến hình H gọi mặt phẳng đối xứng H 3.1.3 Phép đối xứng qua tâm O Nội dung Là phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M ' cho O trung điểm MM ' Hình vẽ Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 55 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 H Nếu phép đối xứng tâm O biến hình thành   H O gọi tâm đối xứng 3.1.4 Phép đối xứng qua đường thẳng  (phép đối xứng trục  ) Nội dung Hình vẽ Là phép biến hình biến điểm thuộc đường thẳng  thành nó, biến điểm M khơng thuộc  thành điểm M ' cho  đường trung trực MM ' Nếu phép đối xứng trục  biến hình H thành   H  gọi trục đối xứng * Nhận xét:  Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình  Phép dời hình biến đa diện H H thành đa diện thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng  H ' , biến đỉnh, cạnh, mặt  H ' 3.2 Hai hình Hai hình đa diện gọi có phép dời hình biến hình thành hình PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nội dung Hình vẽ Nếu khối đa diện H  , H  H hợp hai khối đa diện     H1 H2 cho khơng có chung điểm ta nói chia khối đa diện H thành hai khối đa diện thể lắp ghép hai khối đa diện để khối đa diện H  H  và  H  , hay có H  với H KHỐI ĐA DIỆN LỒI 5.1 Khối đa diện lồi Một khối đa diện gọi khối đa diện lồi với hai điểm A B điểm đoạn AB thuộc khối Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 56 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Khối đa diện lồi Khối đa diện không lồi 5.2 Khối đa diện 5.2.1 Định nghĩa  Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:  Các mặt đa giác n cạnh  Mỗi đỉnh đỉnh chung p cạnh  Khối đa diện gọi khối đa diện loại 5.2.2 Định lí Chỉ có loại khối đa diện Đó loại  n, p  3;3 , loại  4;3 , loại  3;4 , loại  5;3 ,   3;5 loại Tùy theo số mặt chúng, khối đa diện có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt 5.2.3 Bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Khối đa diện Số Loại Số MPĐX Số Số cạn đỉnh mặt h Tứ diện  3;3 Khối lập phương 12  4;3 Bát diện 12  3;4 Mười hai mặt 20 30 12  5;3 15 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 57 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Hai mươi mặt 12 Chú ý: Giả sử khối đa diện loại Khi đó: 30  n, p  3;5 20 15 có Đ đỉnh, C cạnh M mặt pĐ  2C  nM 5.3 Một số kết quan trọng khối đa diện lồi 5.3.1 Kết Cho khối tứ diện Khi đó:  Các trọng tâm mặt đỉnh khối tứ diện đều;  Các trung điểm cạnh đỉnh khối bát diện (khối tám mặt đều) 5.3.2 Kết Tâm mặt khối lập phương đỉnh khối bát diện 5.3.3 Kết Tâm mặt khối bát diện đỉnh khối lập phương 5.3.4 Kết Hai đỉnh khối bát diện gọi hai đỉnh đối diện chúng không thuộc cạnh khối Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi đường chéo khối bát diện Khi đó:  Ba đường chéo cắt trung điểm đường  Ba đường chéo đơi vng góc với nhau;  Ba đường chéo THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 6.1 Thể tích khối chóp Nội dung V   Sđ�y Hình vẽ S h đ�y : Diện tích mặt đáy  h : Độ dài chiều cao khối chóp VS.ABCD  d S  S, ABCD   ABCD 6.2 Thể tích khối lăng trụ Nội dung Hình vẽ Sưu tầm biên tập: Trần Hồng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 58 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 V  Sđ�y h  Sđ�y : Diện tích mặt đáy  h : Chiều cao khối chóp Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cạnh bên 6.3 Thể tích khối hộp chữ nhật Nội dung Hình vẽ V  abc 6.4 Thể tích khối lập phương Nội dung Hình vẽ V  a3 6.5 Tỉ số thể tích Nội dung Hình vẽ VS A��� SA�SB �SC � BC  VS ABC SA SB SC S A ’ BC Thể tích hình chóp cụt ABC A��� V    h B  B�  BB � A B C ’ ’ B C � Với B, B , h diện tích hai đáy chiều cao 6.6 Một số ý độ dài đường đặc biệt  Đường chéo hình vng cạnh a a  Đường chéo hình lập phương cạnh a : a  Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a,b,c : a2  b2  c2 a  Đường cao tam giác cạnh a là: CÁC CƠNG THỨC HÌNH PHẲNG 7.1 Hệ thức lượng tam giác 7.1.1 Cho D ABC vuông A , đường cao AH Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 59 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 2  AB  AC  BC  AB  BH BC  AC  CH BC  AH BC  AB AC  AH  BH HC 1   2 AB AC  AH  AB  BC sinC  BC cosB  AC tanC  AC cot B 7.1.2 Cho D ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c độ dài trung tuyến ma , mb , mc bán kính đường tròn ngoại tiếp R ; bán kính đường tròn nội tiếp r nửa chu vi p  Định lí hàm số cosin: a2  b2  c2 - 2bc.cosA; b2  c2  a2  2ca.cosB; c2  a2  b2  2ab.cosC  Định lí hàm số sin: a b c    2R sin A sin B sinC  Độ dài trung tuyến: ma2  b2  c2 a2 c2  a2 b2 a2  b2 c2  ; mb2   ; mc2   4 7.2 Các cơng thức tính diện tích 7.2.1 Tam giác 1 S  a.ha  bh b  ch 2 c  1 S  bc sin A  ca.sin B  ab sinC 2   S abc 4R  S  pr     S  p pa pb pc  ABC vuông A :  ABC đều, cạnh a : S  AB.AC BC AH  2 AH  a a2 S , 7.2.2 Hình vng  S a ( a : cạnh hình vng) 7.2.3 Hình chữ nhật Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 60 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 r r a d Cho đường thẳng Nếu vectơ �0 có giá song song trùng với đường phẳng d r a  (a1;a2;a3) r a gọi vectơ phương đường phẳng d Kí hiệu: 3.1.1.2 Chú ý r r (k �0) VTCP d a d ka  VTCP uuur A , B  Nếu d qua hai điểm AB VTCP d r r a Ox  Trục có vectơ phương  i  (1;0;0) r r Oy a  Trục có vectơ phương  j  (0;1;0) r r a  Trục Oz có vectơ phương  k  (0;0;1) 3.1.2 Phương trình tham số đường thẳng M 0(x0;y0;z0) Phương trình tham số đường thẳng () qua điểm nhận r a  (a1;a2;a3) làm VTCP : z  a ( ) M0 M ( x, y , z ) y � x  x0  ta1 � () : � y  y0  ta2 � z  z0  ta3 �  t �R O x 3.1.3 Phương trình tắc đường thẳng M (x ;y ;z ) Phương trình tắc đường thẳng () qua điểm 0 0 nhận r a  (a1;a2;a3) () : làm VTCP x  x0 y  y0 z  z0   a1,a2,a3 �0 a1 a2 a3   3.2 Vị trí tương đối 3.2.1 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng  M a ()  () a n   n n a M a 3.2.1.1 Phương pháp hình học Định lý a M  a () Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 88 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Trong khơng gian ( Oxyz ) cho đường thẳng � x  x0  a1t (1) � () : � y  y0  a2t (2) � z  z0  a3t (3) � có VTCP r M (x ;y ;z ) a  (a1;a2;a3) qua 0 0 mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  có VTPT u r n  (A;B ;C ) Khi : rr ( D�۹�++� ) ( a ) a.n  Aa1 Ba2 Ca3 rr a.n = � �Aa1 + Ba2 + Ca3 = � �� ( D) / / ( a) � � � � �Ax0 + By0 + Cz0 �0 M �( P ) � �  rr a � �Aa1 + Ba2 + Ca3 = a.n = � �� ( D ) �( a ) � � � � �Ax0 + By0 + Cz0 = M �( P ) � �  Đặc biệt r u r (  )  (  ) � a n phương � a1 : a2 : a3  A : B : C 3.2.1.1 Phương pháp đại số Muốn tìm giao điểm M     a  n � �pt() � pt( ) ta giải hệ phương trình: � tìm x, y, z    1 ,  2 ,  3 vào phương trình mp  P  rút gọn dưa dạng: at  b  (*) Thế Suy ra: M x, y, z � mp ( P ) � pt ( *)  d cắt điểm có nghiệm t ( P) � pt ( *) vô nghiệm  d song song với  d nằm  P  � Pt  * có vô số nghiệm t r u r P �a  n d  vng góc phương 3.2.2 Vị trí tương đối hai đường thẳng M '  a  b M0  u 1 M M 0'   u' 2 2 M 0' M0 3.2.2.1 Phương pháp hình học Cho hai đường thẳng: 1 2  1 �  u 1 M0  u  u' 2 M 1  u' ' 2 r u qua M có vectơ phương r u qua N có vectơ phương r r r uuuur � r � �� u , u �  u �1 � �1 , MN � Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 89 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 r r r �� u , u �  ��1 � r � �r uuuur � � u , MN � � 1   //    � ��1  r r r � �� u , u ��1 � � �r r uuuur � u , u � MN  ��1 � 1  �  cắt r r uuuur ��� u MN 1 2 �1 ,u2 �  chéo 3.2.2.2 Phương pháp đại số � pt(1) � � pt( ) ( ) va ( 2 ) Muốn tìm giao điểm M ta giải hệ phương trình : � tìm x, y, z   M x, y, z � Suy ra: 3.2.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu �x  x  a t (1) � y  y  a � 2t (2) �z  z  a t (3) Cho đường thẳng d : � có tâm I (a;b;c) , bán kính R  S  : (x  a) mặt cầu  (y  b)2  (z  c)2  R 3.2.3.1 Phương pháp hình học  Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I uuuur r � IM a� � � h  d(I ,d)  r a mặt cầu  S đến đường thẳng d  Bước 2: So sánh d(I ,d) với bán kính R mặt cầu:    S Nếu d(I ,d)  R d khơng cắt  S Nếu d(I ,d)  R d tiếp xúc     S Nếu d(I ,d)  R d cắt hai điểm phân biệt M , N MN vng góc với đường kính (bán kính) mặt cầu 3.2.2.2 Phương pháp đại số  Thế theo  1 ,  2 ,  3 vào phương trình  S  rút gọn đưa phương trình bậc hai   t *  Nếu phương trình  Nếu phương trình ( *) vơ nghiệm d khơng cắt ( S )  * có nghiệm d tiếp xúc  S Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 90 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12  Nếu phương trình M, N  * có hai nghiệm d cắt  S hai điểm phân biệt Chú ý: Ðể tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d 3.3 Góc khơng gian 3.3.1 Góc hai mặt phẳng Nội dung Định lý ( Oxyz ) cho hai mặt phẳng ,  Trong khơng gian xác định phương trình : Hình vẽ ( ) : A1x  B1y  C 1z  D1  ( ) : A2x  B2y  C 2z  D2  Gọi  góc hai mặt phẳng ( ) & ( ) ta có cơng thức: cos  A1A2  B1B2  C 1C A12  B12  C 12 A22  B22  C 22 3.3.2 Góc đường thẳng mặt phẳng Nội dung x  x0 y  y0 z  z0 () :   a b c Cho đường thẳng mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  Hình vẽ Gọi  góc hai mặt phẳng () & ( ) ta có cơng thức: sin  Aa  Bb  Cc A2  B  C a2  b2  c2 3.3.3 Góc hai đường thẳng Nội dung Cho hai đường thẳng : Hình vẽ x  x0 y  y0 z  z0   a b c x  x0� y  y0� z  z0� (2) :   a' b' c' ( ) & (2) Gọi  góc hai mặt phẳng ta có (1) : cos  công thức: aa'  bb'  cc' a2  b2  c2 a'2  b'2  c'2 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 91 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 3.4 Khoảng cách 3.4.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nội dung Cho mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  điểm Hình vẽ M 0(x0;y0;z0) Khoảng cách từ điểm tính : d(M 0; )  M0 đến mặt phẳng ( ) Ax0  By0  Cz0  D A2  B  C 3.4.2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Nội dung M 0(x0;y0;z0) Cho đường thẳng () qua điểm r có VTCP u  (a;b;c) Khi khoảng cách từ điểm M đến () tính cơng thức: uuuuuur r � M 0M 1;u� � � d(M 1, )  r u 3.4.3 Khoảng cách đường thẳng chéo Nội dung Định lý:  Oxyz  cho hai đường thẳng Trong không gian chéo : r (1) co VT CP u  (a;b;c) va qua M 0(x0;y0;z0) ur (2) co VTCP u'  (a';b';c') va qua M 0' (x0' ;y0' ;z0' ) Hình vẽ Hình vẽ ( ) va ( 2 ) Khi khoảng cách tính r uu r uuuuuur � u, u '� M M ' � � 0 d(1, 2)  r uu r � u;u '� � � cơng thức 3.5 Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP 3.5.1 Dạng �x  x  a t � o (d) : �y  yo  a2t r �z  z  a t � o d qua điểm M 0(x0;y0;z0) có VTCP a  (a1;a2;a3) 3.5.2 Dạng ( t �R ) Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 92 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 uuur d qua hai điểm A, B : Một VTCP d AB 3.5.3 Dạng d qua điểm M 0(x0;y0;z0) song song với đường thẳng  cho trước: Vì d / /  nên VTCP  VTCP d 3.5.4 Dạng d qua điểm M 0(x0;y0;z0) vng góc với mặt phẳng   d P nên VTPT 3.5.5 Dạng P  P  cho trước: Vì VTCP d d giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) :  Cách 1: Tìm điểm VTCP � (P ) � � (Q )  Tìm toạ độ điểm A �d : cách giải hệ phương trình � (với việc chọn giá trị cho ẩn) r r r d :a  � nP , nQ � � �  Tìm VTCP  Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , viết phương trình đường thẳng qua hai điểm 3.5.6 Dạng d qua điểm M 0(x0;y0;z0) vng góc với hai đường thẳng d1,d2 : r r r a� ad ,ad � d  d1, d  d2 �1 � Vì nên VTCP d là: 3.5.7 Dạng d qua điểm M 0(x0;y0;z0) , vng góc cắt đường thẳng   Cách 1: � H � � �uuuuur r M H  u M Gọi H hình chiếu vng góc đường thẳng  Thì � M , H Khi đường thẳng d đường thẳng qua  Cách 2: Gọi P  mặt phẳng qua A vuông góc với d qua A chứa d Khi 3.5.8 Dạng   ; Q mặt phẳng     d � P �Q d qua điểm M 0(x0;y0;z0) cắt hai đường thẳng d1,d2 :  Cách 1: Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 93 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Gọi M �d1, M �d2 M 1, M Từ điều kiện M , M 1, M thẳng hàng ta tìm Từ suy phương trình đường thẳng d  Cách 2: Gọi  P   (M ,d ) ,  Q   (M ,d ) Khi d   P  � Q  Do đó, VTCP d r r r a� nP , nQ � � � chọn 3.5.9 Dạng d nằm mặt phẳng P  cắt hai đường thẳng   d1,d2 :   A  d1 � P , B  d2 � P Tìm giao điểm Khi d đường thẳng AB 3.5.10 Dạng 10 Viết phương trình mặt phẳng P        Q d, d chứa  mặt phẳng chứa  d P �Q Khi 3.5.11 Dạng 11 d đường vng góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau:  Cách 1: � MN  d1 � � MN  d2 M �d1, M �d2 Gọi Từ điều kiện � , ta tìm M , N Khi đó, d đường thẳng MN  Cách 2:  Vì d  d1 d  d2 r r r a� ad ,ad � � � nên VTCP d là:  Lập phương trình mặt phẳng P  chứa d d1, cách: d  Lấy điểm A P   Một VTPT r r r nP  � a,ad � � 1� là:  Tương tự lập phương trình mặt phẳng Q  chứa d d2 Khi     d P �Q 3.5.12 Dạng 12 d hình chiếu đường thẳng  lên mặt phẳng ( P ) ta Lập phương trình Q    P chứa  vng góc với mặt phẳng cách:  Lấy M � r r r Q P nQ  � a , nP � � �  Vì chứa  vng góc với nên mặt phẳng     Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 94 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 d   P  � Q   Khi 3.5.13 Dạng 13 d qua điểm M , vuông góc với d1 cắt d2 :  Cách 1: d MN  d1, Gọi N giao điểm d Từ điều kiện ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN  Cách 2:  Viết phương trình mặt phẳng P  d qua M vng góc với  Viết phương trình mặt phẳng Q  d chứa M  Khi     d P �Q 3.6 Vị trí tương đối 3.6.1 Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét VTTĐ hai đường thẳng, ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP điểm thuộc đường thẳng  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng 3.6.2 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Để xét VTTĐ đường thẳng mặt phẳng, ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP đường thẳng VTPT mặt phẳng  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt phẳng 3.6.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Để xét VTTĐ đường thẳng mặt cầu ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng bán kính  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt cầu 3.7 Khoảng cách 3.7.1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d  Cách 1: uuuuur r � � M � 0M ,a � d(M ,d)  r r M a Cho đường thẳng d qua có VTCP a  Cách 2: Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 95 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12  Tìm hình chiếu vng góc H M đường thẳng d   d M ,d  MH   Cách 3:  Gọi   N x; y; z �d Tính MN theo t (t tham số phương trình đường thẳng d)  Tìm t để MN nhỏ   d M ,d  MH  Khi N �H Do 3.7.2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo d2 qua điểm Chú ý: M2 có VTCP r a2 d1 d2 Biết d1 qua điểm M1 có VTCP r r uuuuuur � a M 1M �1,a2 � � d(d1,d2)  r r � a1,a2 � � � Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách r a1 , d1    d d với mặt phẳng chứa song song với 3.7.3 Khoảng cách hai đường thẳng song song Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng 3.7.4 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng  khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng 3.8 Góc 3.8.1 Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP r r a1,a2 d1, d2 r r a1,a2 song song với  r r a1.a2 r r cos a1,a2   r r a1 a2 Góc bù với góc là: 3.8.2 Góc đường thẳng mặt phẳng r  a  (a1;a2;a3) d Cho đường thẳng có VTCP mặt phẳng   Góc đường thẳng d mặt phẳng hình chiếu d'  ( ) sin d�, ( a ) = là:  r có VTPT n  (A;B;C ) góc đường thẳng d với Aa1 + Ba2 + Ca3 A + B + C a12 + a2 + a32 Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 96 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 MẶT CẦU 4.1 Phương trình mặt cầu 4.1.1 Phương trình tắc Phương trình mặt cầu  S   I a;b;c , tâm bán kính R là:  (S) : (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  R  1 Phương trình gọi phương trình tắc mặt cầu 2 2 Đặc biệt: Khi I �O (C ) : x  y  z  R 4.1.2 Phương trình tổng quát 2 2 2 Phương trình : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  với a  b  c  d  phương trình mặt cầu  S có tâm   I a;b;c , 2 bán kính R  a  b  c  d 4.2 Giao mặt cầu mặt phẳng   S Cho mặt phẳng ( ) mặt cầu có phương trình : ( ) : Ax  By  Cz  D  (S) : (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  R   S Gọi d(I ; ) khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng  S I ; R Cho mặt cầu mặt phẳng  P  P  � d  IH Gọi H hình chiếu vng góc I lên dR dR Mặt cầu mặt Mặt phẳng tiếp xúc mặt phẳng khơng có điểm P cầu: mặt phẳng tiếp chung diện mặt cầu H :   tiếp điểm 4.3 Một số toán liên quan 4.3.1 Dạng  S    d I , P  dR Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện đường tròn có tâm I � bán r  R  IH   I  a;b;c S : (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  R có tâm bán kính R 4.3.2 Dạng  S   I a;b;c có tâm qua điểm A bán kính R  I A 4.3.3 Dạng Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 97 kính TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12  S nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:  Tâm I trung điểm đoạn thẳng A B : xI   Bán kính 4.3.4 Dạng  S xA  xB ; yI  R  IA  yA  yB ; zI  zA  zB AB qua bốn điểm A, B,C , D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)  S  Giả sử phương trình mặt cầu có dạng:   x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  *   * ,  Thay toạ độ điểm A, B,C , D vào ta phương trình   S  Giải hệ phương trình đó, ta tìm a,b,c,d � Phương trình mặt cầu 4.3.5 Dạng  S qua ba điểm A, B,C có tâm I giải tương tự dạng 4.3.6 Dạng  S có tâm I tiếp xúc với mặt cầu nằm mặt phẳng T  P  cho trước cho trước:   T  Xác định tâm I bán kính R ' mặt cầu  Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu Chú ý:  S  (Xét hai trường hợp tiếp xúc ngoài)  S : x Với phương trình mặt cầu 2 với a  b  c  d  Đặc biệt: Cho hai mặt cầu  S có tâm   y2  z2  2ax  2by  2cz  d   I �;�;� a b c  bán kính R  a2  b2  c2  d  S  I , R  � S  , S  S1 I 1, R1  I 1I  R1  R2  I 1I  R1  R2 � S1 , S2  I 1I  R1  R2 � S1 , S2  I 1I  R1  R2 � S1 , S2 2         tiếp xúc     tiếp xúc Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 98 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12     cắt � S1 , S2 R1  R2  I 1I  R1  R2  tròn giao tuyến) 4.3.7 Dạng Viết phương trình mặt cầu trước bán kính mặt cầu 4.3.8 Dạng  S có tâm  theo đường tròn (đường I a;b;c  , tiếp xúc với mặt phẳng  P  cho    R d I; P       S I a;b;c P Viết phương trình mặt cầu có tâm , cắt mặt phẳng cho trước theo giao tuyến đường tròn thoả điều kiện  Đường tròn cho trước (bán kính diện tích chu vi) từ cơng thức diện tích đường tròn S   r chu vi đường tròn P  2 r ta tìm bán kính đường tròn giao tuyến r  Tính    d d I, P 2  Tính bán kính mặt cầu R  d  r  Kết luận phương trình mặt cầu 4.3.9 Dạng Viết phương trình mặt cầu   S tiếp xúc với đường thẳng  cho trước có      I a;b;c S R  d I , tâm cho trước đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu ta có 4.3.10 Dạng 10 Viết phương trình mặt cầu  M xo, yo, zo   S tiếp xúc với đường thẳng  tiếp điểm thuộc  có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước ta làm sau:  Viết phương trình mặt phẳng thẳng   Toạ độ tâm   I  P �  Bán kính mặt cầu P  nghiệm phương trình  R  IM  d I ,   Kết luận phương trình mặt cầu 4.3.10 Dạng 10 Viết phương trình mặt cầu điểm A, B thoả mãn điều kiện: qua điểm M vng góc với đường  S  S có tâm  I a;b;c  cắt đường thẳng  hai  Độ dài AB số  Tam giác IAB tam giác vuông  Tam giác IAB tam giác Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 99 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12   d I ,  IH Thì ta xác định cầu R tính sau: , IAB cân I nên HB  AB bán kính mặt 2  R  IH  HB  R IH sin45o R IH sin60o  4.3.11 Dạng 11 Tập hợp điểm mặt cầu Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất  Tìm hệ thức toạ độ x, y, z điểm M P  2 (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2  R hoặc: x  y  z  2ax  2by  2cz  d   Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có) 4.3.12 Dạng 12 Tìm tập hợp tâm mặt cầu � x  f (t) � y  g(t) � * � � z  h(t) I  Tìm toạ độ tâm , chẳng hạn: �     *  Khử t ta có phương trình tập hợp điểm  Tìm giới hạn quĩ tích (nếu có) MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHƠNG GIAN 5.1 Dạng      P M �P MA  MB Cho hai điểm A, B Tìm để Phương pháp  Nếu A B trái phía so với P   Nếu A B phía so với ? tìm B ' đối xứng B qua P     P  hai điểm A, B Tìm M � P để MA  MB max ? Cho Phương pháp  Nếu A B phía so với  Nếu A B trái phía so với   � M , A, B thẳng hàng � M  AB � P P  5.2 Dạng  P  P    � M , A, B thẳng hàng � M  AB � P tìm B ' đối xứng B qua P  � MA  MB '  AB ' Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 100 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 5.3 Dạng Cho điểm trình P   M xM ;yM ;zM  không thuộc trục mặt phẳng tọa độ Viết phương V qua M cắt tia Ox,Oy,Oz A, B,C cho O.ABC nhỏ nhất?  P  : 3xx Phương pháp  M 5.4 Dạng Viết phương trình mặt phẳng   P điểm M �d đến y z  1 3yM 3zM P  chứa đường thẳng d , cho khoảng cách từ lớn nhất? � QuaA ��d �r r uuuur r P : �u � � n  u , ud �  P  � d, AM � � � � � �   Phương pháp 5.5 Dạng Viết phương trình mặt phẳng Phương pháp P  qua A cách M khảng lớn ? � QuaA � uuuur  AM � P r P  : � �u n 5.6 Dạng     P P Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d , cho  khơng song song với d ) góc lớn lớn ? tạo với  ( � QuaA ��d �r r r r P : �u � � � n P   ud, u , ud � � � � � � �   Phương pháp 5.7 Dạng Cho   Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) song song với / / P  cách  khoảng nhỏ ? Phương pháp � QuaA �� � r d : �r u  u P d   �  Lấy A � , gọi A�là hình chiếu vng góc A 5.8 Dạng Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước nằm mặt phẳng  P  cho trước cho khoảng cách từ điểm ( AM không vuông góc với M cho trước đến d lớn P  ) ? Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 101 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Phương pháp � QuaA ��d � u r uuuur d : �r � � u d  n  P  , AM � � � � 5.9 Dạng Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A cho trước nằm mặt phẳng  P  cho trước cho khoảng cách từ điểm M ( AM khơng vng góc với Phương pháp P  ) ? � QuaA ��d � u r uuuur u r d : �r � � � � u n , AM , n d  P   P  � � � � � � 5.10 Dạng 10 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm cho trước đến d nhỏ  P  tạo với đường thẳng   cho trước, cho d nằm A�P  góc nhỏ (  cắt không vuông   P góc với )? Phương pháp � QuaA ��d � u r uuuur u r d : �r � � � � u n , AM , n d  P   P � � � � � � Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 102 ... thành hình gọi hình trụ tròn xoay, hay gọi tắt hình trụ Sưu tầm biên tập: Trần Hoàng Long – GV Chuyên Luyện Thi THPTQG – 0907822142Page 65 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12. .. 69 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12 Khi hình nón có: r  IA   Bán kính đáy:  Chiều cao: h  SI 2AM AB  3 Đường sinh: l  SA 4.1.4 Dạng Bài tốn hình nón cụt Khi cắt hình. .. 0907822142Page 78 TỔNG HỢP LÝ THUYẾT VÀ CƠNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC 12   � S   R h1  h2 � xq � h  h2 � � V   R �1 � � � � � � � 6.3 Hình nêm loại Nội dung V  Hình vẽ R tan 6.4 Hình nêm loại