ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH KHOA TỐN − TIN Nguyễn Sĩ Trung TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP TP Hồ Chí Minh - 2011 Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số thứ tự Rn 1.2 Bổ đề Zorn 1.3 Chuẩn đơn điệu − Chuẩn đơn điệu ngặt 1.4 Một số chuẩn đơn điệu chuẩn đơn điệu ngặt 1.5 Hàm tăng - Hàm tăng ngặt - Hàm tăng mạnh 1.6 Hàm xếp thành phần sort (x) 1.7 Tập mức − Tập mức ngặt − Đường mức 1.8 Tập Rp − bán compact 1.9 Tập Rp −compact 1.10 Hàm nửa liên tục 1.11 Hàm Rp −nửa liên tục 1.12 Siêu phẳng tựa 1.13 Diện tập lồi đa diện 1.14 Định lí đối ngẫu cho tốn quy hoạch tuyến tính 1.15 Thuật toán giải toán quy hoạch lồi Frank− Wolfe 1.16 Thuật toán giải toán quy hoạch lồi Rosen, Murtagh − Sargen 10 Bài toán tối ưu đa mục tiêu 12 2.1 Bài toán thực tế−Mơ hình tốn học 12 2.2 Giới thiệu toán tối ưu đa mục tiêu 15 2.3 Lớp toán tối ưu đa mục tiêu tổng quát 15 2.4 Phương án hữu hiệu−Tập phương án hữu hiệu−Tập điểm không bị trội 16 2.5 Một số tính chất tập phương án hữu hiệu 17 2.6 Tập điểm không bị trội ổn định 19 Một số toán liên quan 21 3.1 Bài toán tối ưu có trọng số 21 3.2 Bài toán tối ưu ε−ràng buộc 23 3.3 Bài toán Benson 26 3.4 Bài tốn điểm lí tưởng 28 3.5 Bài tốn điểm lí tưởng có trọng số 29 3.6 Bài tốn tối ưu có thứ tự ưu tiên 31 3.7 Bài toán “thứ tự từ điển” 31 3.8 Bài toán “thứ tự cực đại” 34 3.9 Bài toán thứ tự “lex−max” 35 Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính 40 4.1 Một số định nghĩa liên quan 42 4.2 Cơ sở tối ưu−Cơ sở hữu hiệu−Hai sở liền kề 43 4.3 Biến sở không hữu hiệu 43 4.4 Thuật toán tìm sở hữu hiệu 43 4.5 Tính chất hình học tập phương án hữu hiệu 52 Lời cảm ơn Trong trình nghiên cứu thực luận văn, em cố gắng nỗ lực Để hồn thành tốt luận văn này, em nhận động viên, giúp đỡ tận tình gia đình, thầy bạn bè Nhân đây, em xin gửi lời cảm ơn Đầu tiên, em chân thành cảm ơn thầy cô Khoa Toán – Tin trường đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh, tận tình giảng dạy suốt năm học vừa qua để em có kiến thức ngày hôm mà kết luận văn phần thể Đặc biệt, em chân thành cảm ơn TS Trịnh Công Diệu Thầy người giảng dạy kiến thức tảng bước đầu hướng dẫn em nghiên cứu khoa học Tiếp xúc với thầy, em học hỏi cách thức làm việc, tính cẩn thận nghiên cứu tốn học bổ ích sống Thầy gieo cho em niềm thích thú tìm hiểu, nghiên cứu sâu mơn Tốn Ứng Dụng Em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn em động viên, khích lệ tinh thần, giúp em có thêm niềm tin sức mạnh thời gian qua Tuy nhiên, thời gian điều kiện nghiên cứu có hạn nên dù cố gắng khó tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn để luận văn em hoàn thiện Lời nói đầu Lý thuyết tối ưu ngành toán học phát triển mạnh, ngày có nhiều ứng dụng quan trọng lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, công nghệ quản lý đại Cuộc cách mạng công nghệ thông tin tạo điều kiện thuận lợi chưa có để ứng dụng tối ưu hóa cách rộng rãi thiết thực Ngược lại nêu lên nhiều vấn đề mới, quan trọng: khoa học kỹ thuật, công nghệ, quản lý, xử lý tốt không sử dụng cơng cụ tư tưởng tối ưu hóa Quy hoạch tuyến tính phận có nhiều ứng dụng thực tiễn tối ưu hoá Năm 1939 xem năm đánh dấu đời quy hoạch tuyến tính nói riêng quy hoạch tốn học nói chung Tuy nhiên thực tiễn thường gặp vấn đề, cần cân nhắc, so sánh nhiều mục đích khác Các mục tiêu thường xung đột, hạn chế lẫn Do đó, để tìm lựa chọn phù hợp với yêu cầu đề không đơn giản Vì vậy, nhu cầu phát triển nghiên cứu lớp toán tối ưu đa mục tiêu đời Cùng với phát triển nó, nhà toán học đạt nhiều kết quan trọng ý nghĩa to lớn nhiều lĩnh vực khác thực tiễn Mục đích luận văn trình bày kiến thức toán tối ưu đa mục tiêu, cách nhìn nhận khái niệm tối ưu tối ưu đa mục tiêu Luận văn bao gồm chương: • Chương I: Trình bày số kiến thức chuẩn bị • Chương II: Giới thiệu chung tốn tối ưu đa mục tiêu thơng qua vài tốn thực tiễn mơ hình tốn học • Chương III: Thơng qua tốn phụ liên quan, hiểu rõ thêm toán tối ưu đa mục tiêu lựa chọn phương án • Chương IV: Chương đề cập đến trường hợp đặc biệt có vai trò quan trọng lớp tốn tối ưu đa mục tiêu Đó tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số thứ tự Rn Trong không gian Rn (n ≥ 2), cho hai vectơ x = (x1 , , xn ) y = (y1 , , yn ) Ta viết: y xi ≤ yi , ∀i = 1, , n • x • x ≤ y xi ≤ yi , ∀i = 1, , n tồn i0 cho xi0 < yi0 • x < y xi < yi , ∀i = 1, , n • x ≤lex y x = y hay xk < yk k = {1 ≤ i ≤ n : xi = yi } • x ≤M O y max |xi | ≤ max |yi | 1≤i≤n 1≤i≤n Ta có kí hiệu sau: 1.2 • Rn = {x ∈ Rn : x • Rn≥ = {x ∈ Rn : x ≥ 0} • Rn> = {x ∈ Rn : x > 0} • Cho X ⊂ Rn , ta kí hiệu X c = Rn \X 0} Bổ đề Zorn Cho S tập thứ tự Nếu tập thứ tự toàn phần S có chặn S có phần tử tối tiểu 1.3 Chuẩn đơn điệu − Chuẩn đơn điệu ngặt Trong không gian định chuẩn (Rn , ), cho x1 = (x11 , , x1n ) x2 = (x21 , , x21 ) Ta nói chuẩn là: • Chuẩn đơn điệu thỏa mãn hai điều kiện sau: Nếu |x1k | ≤ |x2k | , ∀k = 1, n x1 ≤ x2 Nếu |x1k | < |x2k | , ∀k = 1, n x1 < x2 • Chuẩn đơn điệu ngặt |x1k | ≤ |x2k | , ∀k = 1, n có i0 để x1i0 ≤ x2i0 x1 < x2 1.4 Một số chuẩn đơn điệu chuẩn đơn điệu ngặt Với ≤ p < +∞, chuẩn lp chuẩn đơn điệu ngặt: p n x p |xk | p = , ∀x = (x1 , , xn ) ∈ Rp k=1 Chuẩn l∞ chuẩn đơn điệu: x 1.5 ∞ = max |xk | , ∀x = (x1 , , xn ) ∈ Rp 1≤k≤n Hàm tăng - Hàm tăng ngặt - Hàm tăng mạnh Ta nói hàm sR : Rn → R (n ≥ 2) là: • Tăng ∀x, y ∈ Rn : x • Tăng ngặt ∀x, y ∈ Rn : x < y sR (x) < sR (y) • Tăng mạnh ∀x, y ∈ Rn : x ≤ y sR (x) ≤ sR (y) y sR (x) sR (y) Hàm xếp thành phần sort (x) 1.6 Cho x (x1 , , xn ) ∈ Rn Ta định nghĩa hàm sort (x) = (sort1 (x) , , sortn (x)) thoả mãn sort1 (x) ≥ ≥ sortn (x) sort1 (x) , , sortn (x) ∈ {x1 , , xn } Từ định nghĩa, ta suy sort1 (x) = maxni=1 xi Tập mức − Tập mức ngặt − Đường mức 1.7 Cho X ⊂ Rn , f : Rn → R x0 ∈ X Ta kí hiệu: • L≤ (f (x0 )) = {x ∈ X : f (x) ≤ f (x0 )} tập mức hàm f x0 • L< (f (x0 )) = {x ∈ X : f (x) < f (x0 )} tập mức ngặt hàm f x0 • L= (f (x0 )) = {x ∈ X : f (x) = f (x0 )} đường mức hàm f x0 1.8 Tập Rp − bán compact Tập Y ⊂ Rp gọi Rp −bán compact với phủ mở M có dạng c y i − Rp 1.9 : y i ∈ Rp , i ∈ I ta có phủ hữu hạn Tập Rp −compact Tập Y ⊂ Rp gọi Rp −compact với y ∈ Y , ta có y − Rp Y tập compact 1.10 Hàm nửa liên tục Cho X ⊂ Rn , f : X → R x0 ∈ X Hàm f gọi nửa liên tục x0 ∈ X lim f (x) ≥ f (x0 ) x∈M,x→x0 1.11 Hàm Rp −nửa liên tục Hàm f : Rn → Rp gọi Rp −nửa liên tục với y ∈ Rp ta có f −1 y − Rp tập đóng Bổ đề 1.1 Cho f : Rn → Rp với f = (f1 , , fp ) Khi đó, f Rp −nửa liên tục fi hàm nửa liên tục với i = 1, , p 1.12 Siêu phẳng tựa Cho tập lồi X ⊂ Rn x0 thuộc biên X Ta nói siêu phẳng H = {x ∈ Rn : a, x = b} siêu phẳng tựa X x0 {x0 } ∈ H X, X H ta có hai điều sau: • X ⊂ {x ∈ Rn : a, x ≤ b} • X ⊂ {x ∈ Rn : a, x ≥ b} 1.13 Diện tập lồi đa diện Cho tập lồi đa diện X ⊂ Rn Diện X giao X với siêu phẳng tựa X 1.14 Định lí đối ngẫu cho tốn quy hoạch tuyến tính Cho tốn quy hoạch tuyến tính (I) tốn đối ngẫu (II) (I)    cT x → (II)   x ∈ X = x ∈ Rn : Ax = b    bT u → max   u ∈ D = u ∈ Rm : AT u Định lí 1.1 Đối ngẫu yếu: ∀x ∈ X, ∀u ∈ D :bT u ≤ cT x c Nếu (I) có hàm mục tiêu khơng bị chặn (II) có tập phương án rỗng ngược lại Đối ngẫu mạnh: Nếu X = ∅ D = ∅ (I) (II) có phương án tối ưu Khi đó, ta có giá trị tối ưu hai tốn 1.15 Thuật toán giải toán quy hoạch lồi Frank− Wolfe Cho toán quy hoạch lồi có dạng: (I)    minx∈M f (x)   M = {x ∈ Rn : Ax ≥ b} A ∈ Mm×n (R), b ∈ Rm cho trước f : Rn → R hàm lồi Với giả thiết nêu bên dưới, tốn (I) có phương án tối ưu ta tìm phương án tối ưu x∗ với sai số ε chấp nhận cách xây dựng dãy phương án (xn ) ⊂ M thỏa mãn x∗ ∈ {xn } (nếu dãy phương án hữu hạn) limn→+∞ xn = x∗ (nếu dãy phương án vô hạn) Hàm f (x) khả vi liên tục Rn Với x ∈ M cố định, hàm g (z) = f (x) , z bị chặn M Dữ liệu đầu vào: hàm lồi f : Rn → R , A ∈ Mm×n (R) , b ∈ Rm ε > sai số chấp nhận Giải thuật: • Bước 1: tìm x0 ∈ M cách giải hệ phương trình Ax = b Sang bước • Bước 2: giả sử có xn (n ≥ 0) Giải toán f (xn ) , x − xn để tìm phương x∈M án tối ưu yn Sang bước • Bước 3: 4.2 Cơ sở tối ưu−Cơ sở hữu hiệu−Hai sở liền kề Trong trường hợp toán tối ưu đa mục tiêu trở thành tốn quy hoạch tuyến tính, sở B gọi sở tối ưu x = A−1 B b, phương án tối ưu Trong trường hợp tổng quát, sở B gọi sở hữu hiệu sở tối ưu toán LP (λ) với λ ∈ Rp> Hai sở B B gọi liền kề tập hợp B\B B \B có phần tử 4.3 Biến sở không hữu hiệu Cho B sở hữu hiệu Biến xj với j ∈ N gọi biến không sở hữu hiệu B ∃λ ∈ Rp> : λT C N λT rj = rj cột C N tương ứng với xj 4.4 Thuật tốn tìm sở hữu hiệu Thuật tốn • Dữ liệu đầu vào: A, b, C • Giải thuật: – Bước 1: S := ∅, EB := ∅, eT = (1, 1, , 1) ∈ Rp ∗ Nếu có sở B phương án sở x0 tương ứng sang bước Ngược lại, giải tốn quy hoạch tuyến tính:     eT z →    Ax + Ip z = b       x ∈ X, z ∈ Rp ∗ Nếu tốn có hàm mục tiêu khơng bị chặn dừng thuật tốn 43 ∗ Nếu tốn có phương án tối ưu (x0 , z ) với z = sang bước – Bước 2: Giải tốn quy hoạch tuyến tính:     uT b + wT Cx0 →    uT A + w T C       u ∈ Rm , w ∈ Rp , w e ∗ Nếu tốn vơ nghiệm dừng thuật tốn ∗ Nếu tốn có phương án tối ưu (u∗ , w∗ ) sang bước – Bước 3: Giải toán quy hoạch tuyến tính:     (w∗ )T Cx →    Ax = b       x ∈ Rn tìm sở tối ưu B toán S := {B} Sang bước – Bước 4: Trong S = ∅ thực hiện: −1 ∗ Lấy B ∈ S A := A−1 B A, b := AB b, C N , S := S\ {B}, EB = EB {B} N := {1, , n} \ {B}, EN := N ∗ Với j ∈ J, toán eT v : C N y − δrj + Ip v = 0; v ∈ Rp , y ∈ Rn−m , δ ∈ R vô nghiệm EN := EN \ {j} ∗ Với j ∈ EN , với i ∈ B, B = (B\ {i}) B sở chấp nhận S := S • {B } Dữ liệu xuất: tập tất phương án hữu hiệu EB Cơ sở lí thuyết thuật tốn 44 {j}∈ / EB S Định lí 4.2 Cho tốn quy hoạch tuyến tính sau:    c, x →   x ∈ X = x ∈ Rn : Ax = b Giả sử điểm O (0, , 0) khơng điểm cực biên X Khi đó, phương án sở x ∈ X phương án tối ưu C N ≥ Mệnh đề 4.1 Cho B sở hữu hiệu Khi đó, tồn biến khơng sở hữu hiệu B Chứng minh Vì B sở hữu hiệu nên tồn λ > để B sở tối ưu LP (λ) hay λT C N Mặt khác, giả sử tốn tối ưu tuyến tính đa mục tiêu khơng có phương án tối ưu nên với cột r C N tồn phần tử âm Suy với cột r C N tồn phần tử dương Từ ta có tồn λ ∈ Rp> để I = i ∈ N : (λ )T ri < = ∅ ri cột C N Khi với i ∈ I, ta xét hàm số: ϕi : R → R ϕi (t) → tλT + (1 − t) (λ )T ri Vì (λ )T ri < ϕi (1) = λT ri ≥ nên tồn ti ∈ [0, 1] cho ϕi (ti ) = ϕi (t) ≥ 0,∀t ∈ [ti , 1] Đặt t∗ = max {ti : i ∈ I}, λ∗ = t∗ λ + (1 − t∗ ) λ , ta có: (λ∗ )T ri ≥ 0, ∀i ∈ I có j ∈ I ⊂ N để (λ∗ )T rj = Mặt khác, với i ∈ N \I, ta lại có (λ )T ri , λT ri ≥ nên (λ∗ )T ri ≥ Vậy ta tìm λ∗ ∈ Rp> thỏa mãn (λ∗ )T C N tồn j ∈ N để (λ∗ )T rj = với rj cột C N hay B, tồn biến không sở hữu hiệu Định lí 4.3 Cho B sở hữu hiệu xj biến không sở Khi đó, xj 45 biến khơng sở hữu hiệu B toán sau có giá trị tối ưu 0:     eT v → max    C N z − δrj + Ip v =       z, v, δ Chứng minh Theo định nghĩa biến không sở hữu hiệu, ta có xj biến khơng sở hữu hiệu B tồn λ ∈ Rp> để λT C N λT rj = (chú ý λ ∈ Rp> thỏa mãn hai điều kiện kλ với k > 0), có nghĩa tốn (I)    0T λ →        CN T λ  T   − (rj ) λ ≥       λ e có phương án tối ưu hay tập phương án khác rỗng Khi đó, tốn đối ngẫu (I) là:     eT v → max    (II) C N z − δrj + Ip v + Ip t =       z ∈ Rn−m , δ ∈ R , v ∈ Rp (II) có giá trị tối ưu Định lí 4.4 Cho B sở hữu hiệu xj biến khơng sở hữu hiệu B Khi đó, sở B liền kề với B thỏa mãn B \B = {j} sở hữu hiệu Chứng minh Do xj biến không sở hữu hiệu B nên tồn λ ∈ Rp> để λT C N λT rj = với rj cột C N ứng với xj Lấy B sở liền kề với B thỏa mãn B \B = {j} Xét toán LP (λ) ta có: • Tại B: vectơ ước lượng λT C N • Tại B : λT rj = nên ta có vectơ ước lượng λT C N tỏ B sở tối ưu LP (λ) 46 Điều chứng Vậy B sở hữu hiệu Ví dụ 4.1 Trong khơng gian R3 , giải toán tối ưu đa mục tiêu sau: (I)                        −1 −2    −1   −1   x1        x2  →     x3 x2 ≤ x1 − x2 + x3 ≤ x1 , x2 , x3 ≥ Các bảng bên trình bày theo mẫu sau: xB • C A −CB xB b Ta viết lại (I) sau: (I)                          −1 −2    −1   −1   x1        x2  →     x3 x1 + x2 + x4 =                     •  x1 + x2 ≤                     •  x2 + x5 = x1 − x + x3 + x6 = xk ≥ 0, ∀k = 1, Bước 1: Một sở (I) B = {4, 5, 6} với phương án sở tương ứng x0 = (0, 0, 0, 1, 2, 4), S := {B}, EB := ∅ 47 • Bước 2: tốn quy hoạch tuyến tính:    u1 + 2u2 + 4u3 →           1 0          uT   + wT 0           −1 0        w e   0 0  −1 −2    −1 0   −1 0       có phương án tối ưu (u∗ )T = (2, 0, 0) (w∗ )T = (1, 1, 1) • Bước 3: Với phương án sở đầu vào x0 , tốn quy hoạch tuyến tính:    −x1 − 2x2 + x3 →         x1 + x2 + x4 =    x2 + x5 =       x1 − x2 + x3 + x6 =        xk ≥ 0, ∀k = 1, có phương án tối ưu x1 = (0, 1, 0, 0, 1, 5) sở tối ưu tương ứng B = {2, 5, 6} S := {B } • Bước 4: – Vòng lặp 1: chọn B = {2, 5, 6}, EN := N := {1, 3, 4},S := ∅, EB := {B } c1 c2 c3 x2 x5 x6 -1 1 -1 0 2 0 -1 0 0 -1 1 48 0 0 0 1 ∗ Với j = 1: toán    v1 + v2 + v3 → max         y1 + 2y3 − δ + v1 =    −y1 + 2y2 + δ + v2 =       y1 − y2 − δ + v3 =        δ, yk , vk ≥ 0, ∀k = 1, có giá trị tối ưu ∗ Với j = 3: toán    v1 + v2 + v3 → max         y1 + 2y3 − 2δ + v1 =    −y1 + 2y2 + v2 =       y1 − y2 + v3 =        δ, yk , vk ≥ 0, ∀k = 1, có giá trị tối ưu ∗ Với j = 4: toán    v1 + v2 + v3 → max         y1 + 2y3 + v1 =    −y1 + 2y2 − 2δ + v2 =       y1 − y2 + δ + v3 =        δ, yk , vk ≥ 0, ∀k = 1, có hàm mục tiêu khơng bị chặn nên EN := {1, 3} ∗ Với j ∈ N , i ∈ B (j, i) ∈ {(1, 5) ; (1, 6) ; (3, 2) ; (3, 5)}: sở B tương ứng không sở chấp nhận ∗ Với j = 1, i = 2: B := {1, 5, 6} sở chấp nhận ta có 49 B2 ∈ /S EB nên S := {B } ∗ Với j = 3, i = 6: B := {2, 5, 3} sở chấp nhận ta có B3 ∈ /S EB nên S := {B , B } – Vòng lặp 2: chọn B = {1, 5, 6} ứng với x2 = (1, 0, 0, 0, 2, 3), S := {B }, EB := {B , B }, EN := N := {2, 3, 4} c1 c2 c3 x1 x5 x6 -1 -1 1 -2 -1 -1 0 0 1 -1 0 0 0 1 -1 ∗ Với j = 2, toán    v1 + v2 + v3 → max         −y1 + y3 + δ + v1 =    y1 + 2y2 + y3 − δ + v2 =       −y1 − y2 − y3 + δ + v3 =        δ, yk , vk ≥ 0, ∀k = 1, có giá trị tối ưu ∗ Với j = 3, toán    v1 + v2 + v3 → max         −y1 + y3 − δ + v1 =    y1 + 2y2 + y3 − δ + v2 =       −y1 − y2 − y3 + δ + v3 =        δ, yk , vk ≥ 0, ∀k = 1, có hàm mục tiêu khơng bị chặn nên EN := {1, 4} 50 ∗ Với j = 4, toán    v1 + v2 + v3 → max         −y1 + y3 + v1 =    y1 + 2y2 + y3 − 2δ + v2 =       −y1 − y2 − y3 + δ + v3 =        δ, yk , vk ≥ 0, ∀k = 1, có hàm mục tiêu không bị chặn nên EN := {2} ∗ Với j = 2, i ∈ {5, 6} sở B tương ứng không sở hữu hiệu ∗ Với j = 2, i = 1: ta nhận lại sở B ∈ S EB – Vòng lặp 3: chọn sở B = {2, 5, 3} ứng với x3 = (0, 1, 5, 0, 1, 0), S := ∅, EB := {B , B , B }, EN := N := {1, 4, 6} c1 c2 c3 x2 x5 x3 -3 0 0 1 -2 0 -2 -2 1 0 0 1 -1 -10 ∗ Với j = 1: toán    v1 + v2 + v3 → max         y1 + 2y2 − δ + v1 =    5y1 − 2y2 − 2y3 − 5δ + v2 =       −3y1 + y2 + y3 + 3δ + v3 =        δ, yk , vk ≥ 0, ∀k = 1, có giá trị tối ưu 51 ∗ Với j = 4: toán    v1 + v2 + v3 → max         y1 + 2y2 − 2δ + v1 =    5y1 − 2y2 − 2y3 + 2δ + v2 =       −3y1 + y2 + y3 − δ + v3 =        δ, yk , vk ≥ 0, ∀k = 1, có hàm mục tiêu khơng bị chặn nên EN := {1, 6} ∗ Với j = 6: toán    v1 + v2 + v3 → max         y1 + 2y2 + v1 =    5y1 − 2y2 − 2y3 + 2δ + v2 =       −3y1 + y2 + y3 − 1δ + v3 =        δ, yk , vk ≥ 0, ∀k = 1, có giá trị tối ưu ∗ Với j ∈ N , i ∈ B (j, i) ∈ {(1, 2) ; (1, 5) ; (1, 3) ; (6, 2) ; (6, 5)}: sở B tương ứng không sở tối ưu ∗ Với j = 6, i = 3: ta nhận lại B = {2, 5, 6} – Do S = ∅ nên thuật tốn kết thúc Ta có phương án hữu hiệu toán ban đầu: y = (0, 1, 0), y = (1, 0, 0) y = (0, 1, 5) 4.5 Tính chất hình học tập phương án hữu hiệu Mệnh đề 4.2 Cho x0 ∈ X Khi đó, x0 ∈ XE x thuộc biên X Chứng minh 52 • Nếu tồn λ ∈ Rp> để λT Cx = γ với x ∈ X theo Định lí 4.1, x ∈ X phương án tối ưu toán LP (λ) phương án hữu hiệu Suy X = XE Tuy nhiên, X chứa siêu phẳng λT Cx = γ : x ∈ Rn nên ta có X trùng với biên X Vậy ta có điều phải chứng minh • Ngược lại, x0 ∈ XE nên tồn λ ∈ Rp> để x0 phương án tối ưu LP (λ) nên x0 thuộc biên X Mệnh đề 4.3 Nếu B1 B2 hai sở tối ưu toán LP (λ) với λ ∈ Rp> ∀α ∈ [0, 1] : α (xB1 , 0) + (1 − α) (xB2 , 0) ∈ XE đó, (xB1 , 0) (xB2 , 0) hai phương án tối ưu LP (λ) ứng với B1 B2 Chứng minh Lấy x = α (xB1 , 0) + (1 − α) (xB2 , 0) với α ∈ [0, 1] Khi đó, ta có x ∈ X X tập lồi (xB1 , 0) , (xB2 , 0) ∈ X Do (xB1 , 0) (xB2 , 0) hai phương án tối ưu LP (λ) nên x phương án tối ưu LP (λ) Theo Định lí 4.1, ta có x ∈ XE Vậy ta có điều phải chứng minh Định lí 4.5 Cho F diện X ∅ = XE = X Khi tồn x ∈ XE x thuộc phần tương đối F F ⊂ XE Chứng minh Theo định lí biểu diễn tập lồi đa diện x thuộc phần tương đối F nên tồn điểm cực biên x1 , , xk phương cực biên d1 , , dl F cho: k l αi xi + x= i=1 µi di i=1 k αi = µi > 0, ∀i = 1, , l Do x ∈ XE nên tồn λ ∈ Rp> để x với αi ∈ (0, 1) , i=1 phương án tối ưu LP (λ) Từ suy λT Cdi ≥ 0, ∀i = 1, , l Giả sử có điểm cực biên xj F không phương án tối ưu LP (λ) Khi ta có: k λT Cx0 = l αλT Cxi + i=1 k µi λT Cdi i=1 αλT Cx0 = λT Cx0 > i=1 53 Điều chứng tỏ điểm cực biên F phương án tối ưu LP (λ) Suy λT Cdi = 0, ∀i = 1, , l Mặt khác, theo định lí biểu diễn tập lồi đa diện ta có điểm F phương án tối ưu LP (λ) nên F ⊂ XE Định lí 4.6 Giả sử ∅ = XE = X Khi đó, XE tập liên thơng Từ suy YN tập liên thông Chứng minh Theo Định lí 4.5, ta cần xét trường hợp hai điểm thuộc XE lấy hai điểm cực biên X Lấy x1 , x2 ∈ XE gọi B1 , B2 hai sở hữu hiệu ứng với x1 , x2 Khi đó, tồn λ1 , λ2 ∈ Rp> để B1 , B2 sở tối ưu toán LP (λ1 ) LP (λ2 ) Ta đặt λ (α) = αλ1 + (1 − α) λ2 hàm T T C (α) = α (λ1 ) C + (1 − α) (λ2 ) C với α ∈ [0, 1] Giả sử với α ∈ [0, 1] đó, ta có sở tối ưu B toán LP (λ (α)) Tại B, ta có hai trường hợp sau: • T Nếu (λ2 ) C N ta ln có B sở tối ưu toán LP (λ (α )) với α ∈ [0, α] C N (α ) T 0, ∀α ∈ [0, α] dù (λ1 ) C N hay có cột ri C N T để (λ1 ) ri < • T Nếu có cột ri C N để (λ2 ) ri < C N (α) T T nên (λ1 ) ri ≥ Đặt T I = i ∈ N : (λ1 ) ri ≥ > (λ2 ) ri = ∅ và: T ∗ α = max i∈I − (λ2 ) ri (λ1 )T ri − (λ2 )T ri ∈ (0, α] Từ suy B sở tối ưu toán LP (λ (α )) với α ∈ [α∗ , α] C N (α ) 0, ∀α ∈ [α∗ , α] Vì vậy, hai trường hợp ta xây dựng toán mới, sở tối ưu B toán mà B sở tối ưu Do đó, với α = ta có B sở tối ưu LP (λ (1)) Theo cách xây dựng trên, ta tìm dãy đơn điệu giảm số (α)n∈N ⊂ [0, 1] Mặt khác, sở tối ưu Bn toán LP (λ (αn )) ta có tương ứng 1−1 Bn với điểm cực biên X Mà số điểm cực biên X hữu hạn nên dãy (α)n∈N hữu hạn Khi đó, theo Mệnh đề 4.3 tất đoạn nối phương án tối ưu toán 54 LP (λ (αn )) chứa XE Vậy ta có XE liên thơng nên YN liên thơng hàm Cx hàm tuyến tính liên tục 55 Kết luận Thông qua phần trình bày, có nhìn tổng quan tốn tối ưu đa mục tiêu có cách nhìn nhận lựa chọn phương án (đặc biệt phương án hữu hiệu) tùy theo mục đích người sử dụng Ngồi ra, tốn tối ưu đa mục tiêu tuyến tính có thuật tốn tìm tất phương án hữu hiệu thơng qua tính chất hình học tập phương án hữu hiệu Bằng việc mở rộng việc nghiên cứu, ta giải toán thực tế thường gặp như: tốn phân cơng, tốn đường ngắn nhất, Tuy nhiên, hạn chết gặp phải tốn tối ưu đa mục tiêu có tập phương án khơng có đặc điểm bật, có phương pháp thơ sơ điều kiện chiều để tìm phương án hữu hiệu Qua đó, đề giải tốt tốn tối ưu đa mục tiêu khơng có đặc biệt ta phải cần đến nhiều kiến thức vượt khuôn khổ luận văn 56 Tài liệu tham khảo [1] Matthias Ehrgott Multicriteria Optimization Springer, second edition, 2005 [2] Trần Vũ Thiệu Giáo trình tối ưu tuyến tính Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2004 [3] Nguyễn Đức Nghĩa Tối ưu hóa−Quy hoạch tuyến tính rời rạc Nhà xuất Giáo Dục, tái lần thứ hai, 1999 [4] Hoàng Tụy Lí thuyết tối ưu Viện tốn học, Hà Nội, 2003 [5] Bùi Minh Trí Quy hoạch tốn học [6] Lê Hồn Hóa Phép tính vi tích phân khơng gian hữu hạn chiều Đại học Sư Phạm TP.HCM, 2005 [7] J.L.Kelly Tôpô đại cương Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội, 1973 57 ... I ∈ f (X) tốn tối ưu đa mục tiêu minf (x) có phương án tối ưu x∈X Sau đây, ta mở rộng cách nhìn nhận hàm mục tiêu tốn tối ưu đa mục tiêu Từ đó, ta xây dựng lớp toán tối ưu đa mục tiêu tổng quát... hàm mục tiêu ta nhận có loại toán tối ưu đa mục tiêu quan trọng sau: • Bài tốn tối ưu đa mục tiêu với hàm mục tiêu phân loại, mục đích lựa chọn phương án xác định tương đối rõ ràng • Bài tốn tối. .. 10 Bài toán tối ưu đa mục tiêu 12 2.1 Bài toán thực tế−Mơ hình tốn học 12 2.2 Giới thiệu toán tối ưu đa mục tiêu 15 2.3 Lớp toán tối ưu đa mục tiêu tổng quát