Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008 2009 Môn: Toán lớp 8. Thời gian làm bài 120 phút . Câu 1: (2,5 điểm) Cho A = 96 6113 2 2 + + xx xx a. Tìm giá trị của x để A = 0 b. Tìm x Z để A nhận giá trị nguyên. Câu 2: (3,5 điểm) a. Chứng minh rằng a, b, x, y thì (ax + by) 2 (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ). Dấu bằng xảy ra khi nào? b. Cho 2x 2 + 3y 2 = 1.Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2x+3y c. Cho 0 < a, b, c < 2. Tìm a, b, c biết: a(2 - b) = 1; b(2 - c) = 1; c(2 - a) = 1 Câu 3: (3,0 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (â=90 0 ). Trên cạnh AB lấy điểm M (M A; M B). Kẻ BD vuông góc với CM, BD cắt CA tại E. Chứng minh: a. EB.ED = EA.EC b. Góc ADE = 45 0 . c. BD.BE + CA.CE = BC 2 Câu 4: (1,0 điểm) Cho điểm M ở trong góc x0y. Một đờng thẳng d đi qua điểm M cắt 0x và 0y tại A và B (A 0; B 0). Chứng minh: MBMA SS 00 11 + không phụ thuộc vào vị trí đờng thẳng d (trong đó S là diện tích của tam giác). .Hết. Đáp án và biểu điểm Câu Nội dung Điểm câu 1 a A= 2 )3( )23)(3( x xx Điều kiện để A xác định là x 3 Để A = 0 thì (x - 3)(3x - 2) = 0 hay x 3 = 0 hoặc 3x 2 = 0 Vậy x = 3 hoặc x = 3 2 đối chiếu với điều kiện A xác định thì x = 3 (loại). x = 3 2 (thỏa mạn) Vậy x = 3 2 thì A = 0 1,0 0.5 b A = 3 23 x x = 3 + 3 7 x Vì x Z nên x 3 Z Vậy để A Z thì x 3 = (7) = = = = 73 73 13 13 x x x x Vậy x = 4; x = 2; x = 10; x = -4 0.5 0.5 Câu 2 a (ax + by) 2 (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) a 2 x 2 + b 2 y 2 + 2axby a 2 x 2 + a 2 y 2 + b 2 x 2 + b 2 y 2 a 2 y 2 2 axby + b 2 x 2 0 (ay bx) 2 0 a, x, b, y Dấu = xảy ra khi: ay = bx hay a x = b y 1,0 0,5 b (2x + 3y) 2 = ( 2 . 2 x + 3 . 3 y) 2 ( 2 2 + 3 2 ) [ ( 2 x) 2 + ( 3 y) 2 ] (áp dụng kết quả câu a) Hay (2x + 3 y) 2 5(2x 2 + 3y 2 ) = 5 Hay - 5 2x + 3y 5 Vậy giá trị lớn nhất của 2x + 3y là 5 khi x = y = 5 1 Giá trị nhỏ nhất của 2x + 3y là - 5 khi x = y = - 5 1 0.75 0.25 c Từ giả thiết ta có a(2 b)b(2 c)c(2 a) = 1 Hay a(2 a)b(2 b)c(2 c) = 1 (vì 0 < a, b, c < 2 nên các thừa số trên đều dơng) Theo BĐT Cosi ta có: a +(2 a) 2 )2( aa hay a(2- a) 1 Tơng tự b(2 - b) 1 c(2 - c) 1 a(2 b)b(2 c)c(2 a) 1 để dấu bằng xảy ra thì: a = 2 a; b = 2 b; c = 2 c Hay a = b = c =1 1,0 Câu 3 a AEB ~ DEC (Vì là 2 tam giác vuông có chung góc E) Nên ED EA = EC EB vậy EB. ED= EA. EC C H M A B D E 1,0 b Từ EB. ED= EA. EC ta có EC ED = EB EA và Góc E chung nên tam giác EDA đồng dạng với tam giác ECB. Nên Góc ADE = góc C ( mà góc C = 45 0 ) Vậy góc ADE = 45 0 1,0 c Ta có M là trực tâm của tam giác ECB. Gọi H là giao điểm của EM và CB nên EH CB Tơng tự câu a ta có: BD. BE = BH. BC CA. CE = CH. CB Vậy BD. BE + CA. CE = BC(CH + BH) = BC 2 1,0 Câu 4 d x A I M O B y Kẻ MI// OB (I OA). Vậy điểm I xác định hay S OMI là không đổi. Ta có OAB OMB S S = BA BM mà BA BM = OA OI (do IM//OB) mà OA OI = MOA MOI S S 1,0 nªn ta cã OAB OMB S S = MOA MOI S S hay OMAOMB OMAOMB SS SS + . = S OMI OMAOMB OMAOMB SS SS . + = OMI S 1 ⇒ OMA S 1 + OMB S 1 = OMI S 1 (kh«ng ®æi) Mäi c¸ch gi¶i ®óng ®Òu cho ®iÓm tèi ®a. Gi¸o viªn ra ®Ò: Lª V¨n TuÊn. Trêng THCS B¹ch Liªu . chung nên tam giác EDA đồng dạng với tam giác ECB. Nên Góc ADE = góc C ( mà góc C = 45 0 ) Vậy góc ADE = 45 0 1,0 c Ta có M là trực tâm của tam giác ECB. Gọi. BD vuông góc với CM, BD cắt CA tại E. Chứng minh: a. EB.ED = EA.EC b. Góc ADE = 45 0 . c. BD.BE + CA.CE = BC 2 Câu 4: (1,0 điểm) Cho điểm M ở trong góc