LOGO TOÁN RỜI RẠC CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM I Tập hợp tập hợp Biểu diễn tập hợp máy tính Các phép tốn tập hợp tính chất liên quan Tập hợp tích Descartes II Nguyên lý cộng Nguyên lý nhân Nguyên lý chuồng bồ câu III.Hoán vị, tổ hợp chỉnh hợp Cơng thức nhị thức Newton IV Hốn vị tổ hợp lặp TẬP HỢP Khái niệm Quan hệ tập hợp Các cách xác định tập hợp Tập hợp tập hợp (Tập hợp lũy thừa) KHÁI NIỆM Định nghĩa tập hợp: • Một tụ tập vơ hạn hay hữu hạn đối tượng có tính chất chung gọi tập hợp • Các đối tượng tập hợp gọi phần tử tập hợp • Tập hợp thường gọi vắn tắt tập KHÁI NIỆM Ví dụ: R tập số thực Z tập số nguyên N tập số tự nhiên Ghi chú: x ∈ A để x phần tử tập A x ∉ A để x phần tử tập A ∅ (tập rỗng): tập khơng chứa phần tử QUAN HỆ GIỮA CÁC TẬP HỢP Tập hợp nhau: Hai tập hợp A B gọi chúng có phần tử, tức phần tử thuộc A phần tử thuộc B ngược lại Kí hiệu: A=B Ví dụ: {1, 3, 5} {3, 5, 1} Tập con: Tập A gọi tập tập B phần tử A phần tử B Kí hiệu: A ⊆ B Nhận xét: (A ⊆ B) ⇔ ∀x (x∈ A → x ∈ B) QUAN HỆ GIỮA CÁC TẬP HỢP Ví dụ: Tập số nguyên dương lẻ nhỏ 10 tập tập số nguyên dương nhỏ 10 Ghi chú: Khi muốn nhấn mạnh tập A tập tập B A≠B, ta viết A⊂B nói A tập thật B Nhận xét: o Nếu A⊆B B⊆A A=B o Tập rỗng tập hợp o Mọi tập hợp tập CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH TẬP HỢP Liệt kê phần tử Một tập hợp xác định cách liệt kê tất phần tử Chúng ta dùng ký hiệu tất phần tử tập hợp liệt kê hai dấu móc Ví dụ: o V = {a, e, i o, u} o O = {1,3, 5, 7, 9} o N = {0, 1, 2, 3, …} o Z = {…., 0, 1, 2, 3, …} CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH TẬP HỢP Chỉ thuộc tính đặc trưng phần tử Một tập hợp xác định cách rõ thuộc tính đặc trưng phần tử Cách viết: A={x∈U| p(x)} (A ={x∈U:p(x)}) hay vắn tắt A={x| p(x)} (A ={x: p(x)}) Ví dụ:  V = {x | x nguyên âm}  O = {x | x số nguyên dương nhỏ 10}  A = {x | x = 2n, n∈N }  B = {n∈N | n số nguyên tố} CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH TẬP HỢP Cách xác định tập hợp dạng ảnh tập hợp khác Cách viết: A={f(x)| x∈B} (A ={f(x): x∈B}) Ví dụ:  A = {(2n+1)| n∈N}  B = {2x| x∈R} 10 CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON n ( a + b) = ∑ C a n k =0 k n n−k n b = ∑C a b k k =0 k n k n −k = = Cn0 a n + Cn1 a n−1b + + Cnk a n−k b k + + Cnnb n Tính chất: - Số số hạng công thức n+1 - Tổng số mũ a b số hạng luôn số mũ nhị thức: k+n-k= n - Số hạng tổng quát nhị thức là: Tk +1 = Cnk a n−k b k - Các hệ số nhị thức cách hai số hạn đầu cuối 49 CƠNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON Một số khai triển hay sử dụng: n 2n = (1 + 1)n = ∑ Cnk = Cn0 + Cn1 + + Cnn k =0 n (1 − x) n = ∑ (−1) k Cnk x k = Cn0 x − Cn1 x1 + + (−1) n Cnn x n k =0 50 CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON Ví dụ: ( x + y ) = C60 x y + C61 x1 y + C62 x y + C63 x y + +C64 x y + C65 x y1 + C66 x y = = y + xy + 15 x y + 20 x y + 15 x y + x y + x 3 5 Ví dụ: Tìm hệ số x khai triển (x -2) ( x − 2)5 = ∑ C5k ( x ) k (−2)5−k k =0 ( x2 )k = ⇒ k = Khi k = hệ số x : C52 (−2)5−2 = −80 51 HOÁN VỊ LẶP a Định nghĩa: Cho n đối tượng, có ni đối tượng loại i giống hệt (i =1,2,…,k) n1+ n2,…+ nk= n Mỗi cách xếp có thứ tự n đối tượng cho gọi hoán vị lặp n b Cơng thức: Số hốn vị n đối tượng, có n1 đối tượng giống thuộc loại 1, n! n1!n2 ! nk ! n2 đối tượng giống thuộc loại 2, …, nk đối tượng giống thuộc loại k, (n1+ n2,…+ nk= n) 52 HỐN VỊ LẶP Ví dụ: Có chuỗi ký tự khác nhận cách xếp lại ký tự chuỗi: “YAMAHAM” Số ký tự có chuỗi là: n=7 Có ký tự ‘A’ Có ký tự ‘M’ Có ký tự ‘Y’ Có ký tự ‘H’ Do số chuỗi có 7! = 420 3!2!1!1! 53 Khai triển mở rộng nhị thức Newton (a1 + a2 + + ak ) = n  n  n1 n2 nk  a1 a2 ak ∑ n1 + n2 + + nk = n  n1 , , nk  với số nguyên không âm n1,n2,…,nk thoả n1+n2+…+nk = n, ký hiệu  n  n!   =  n1 , n2 , , nk  n1!n2 ! nk ! 54 Khai triển mở rộng nhị thức Newton   Ví dụ: Tìmhệsốcủa trongkhaitriển   Vậy hệ số cần tìm:   == 55 TỔ HỢP LẶP a Định nghĩa: Mỗi cách chọn k vật từ n loại vật khác (trong loại vật chọn lại nhiều lần) gọi tổ hợp lặp chập k n Số tổ hợp lặp chập k n ký hiệu K k n 56 TỔ HỢP LẶP b Công thức: K =C k n k n + k −1 Ví dụ: Có loại nón A, B, C An mua nón Hỏi An có cách chọn? Ta có cách chọn tổ hợp lặp chập Số cách chọn: K =C 3+ −1 =C =6 (Cụ thể AA, AB, AC, BB, BC, CC) 57 TỔ HỢP LẶP c Hệ quả: Số nghiệm nguyên không âm (x1,x2,…,xn) (mỗi xi ngun khơng âm) phương trình x1+ x2+…+ xn= k K =C k n k n + k −1 Số cách chia k vật đồng chất vào n hộp phân biệt số tổ hợp lặp chập k n K =C k n k n + k −1 58 TỔ HỢP LẶP   Bài 17: Phương trình X+Y+Z+T= 20 có nghiệm ngun không âm ? Lời giải : Chọn 20 phần tử từ tập có loại, cho có X phần tử loại 1, Y phần tử loại , có Z phần tử loại 3, có T phần tử loại Vì số nghiệm tổ hợp lặp chập 20 phần tử bằng: =>Cách giải nhanh tốn tìm nghiệm ngun khơng âm: x+y+z+t = n 59 TỔ HỢP LẶP Ví dụ: Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình x + x + x + x = 20 (1) Thỏa điều kiện x ≤ 3; x ≥ 2; x > (∗) Giải: Ta viết điều kiện cho thành x ≤ 3; x ≥ 2; x ≥ Xét điều kiện sau: x ≥ 2; x ≥ x ≥ 4; x ≥ 2; x ≥ (∗∗) (∗∗∗) Gọi p, q, r số nghiệm nguyên không âm phương trình (1) thỏa điều kiện (*), (**), (***) Ta có: p=q–r 60 TỔ HỢP LẶP Ví dụ: Trước hết ta tìm q Đặt x ’ = x ; x ’ = x – 2; x ’ = x - 5; x ’ = x 1 2 3 4 Phương trình (1) trở thành x ’+ x ’ + x ’ + x ’ = 13 (2) Số nghiệm nguyên không âm phương trình (1) thỏa điều kiện (**) số nghiệm ngun khơng âm phương trình (2) q= K =C 13 13 4+13−1 =C 13 16 61 TỔ HỢP LẶP Ví dụ: Tương tự, ta có: r = K =C 9 4+9−1 =C 12 ⇒ p = q − r = C − C = 560 − 220 = 340 13 16 12 Vậy số nghiệm ngun khơng âm phương trình (1) thỏa điều kiện (*) 340 62 LOGO Hết ... b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} B×A ={(a, 1), (a, 2) , (b, 1), (b, 2) , (c, 1), (c, 2) } A =A×A={(1, 1), (1, 2) , (2, 1), (2, 2) } Nhận xét: A×B ≠ B×A 23 TÍCH DESCARTES Định nghĩa 2: Tích Descartes... A2, …, An , ký hiệu A1×A2×…×An , tập hợp gồm tất n phần tử (a1, a2, …, an) ai∈ Ai với i=1, 2, …n A1×A2×…×An= {(a1, a2, …, an)| ∈Ai với i=1 ,2, …n} Ví dụ: Cho A={0, 1}, B = {1, 2} , C ={0, 1, 2} ... (0,1,1), (0,1 ,2) , (0 ,2, 0), (0 ,2, 1), (0 ,2, 2), (1,1,0), (1,1,1), (1,1 ,2) } 24 TÍCH DESCARTES Ghi  Lũy thừa bậc Descartes (hay bình phương Descartes) tập A định nghĩa tích Descartes A với A: A2 = A 