VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC AA 2 = VÀO GIẢI TOÁN Trong chương I, Đại số 9, hằng đẳng thức AA 2 = có nhiều vận dụng trong các bài tập từ đơn giản đến phức tạp. Tuy nhiên, khi gặp dạng toán này, nhiều em thường lúng túng, ngay cả học sinh giỏi cũng gặp nhiều sai sót trong khi trình bày lời giải. Qua bài viết này tôi nêu một số loại toán thường gặp có thể vận dụng hai dạng biến đổi căn thức cơ bản sau đây: Đưa ra ngoài dấu căn AA 2 = = A nếu A ≥ 0 - A nếu A < 0 Đưa vào dấu căn: A B = BA 2 nếu A ≥ 0 - BA 2 nếu A < 0 Loại 1: Biển đổi đơn giản căn thức bậc hai Ví dụ 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn yx2yx9 224 = = 3x 2 y nếu y ≥ 0 - 3x 2 y nếu y < 0 Ví dụ 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn y2x = yx2 2 nếu x ≥ 0 - yx2 2 nếu x < 0 Một số em thường nhầm ở trường hợp thứ hai Loại 2: Tính giá trị của một biểu thức Ví dụ 1: Tính 728 − Giải 728 − = 2 )17(1727 −=+− = 1717 −=− (vì )017 >− Có thể đặt 7ba728 +=− với các số nguyên a, b rồi bình phương hai vế để tính a, b? Tương tự, hãy tính 19992200022002 −+ Ví dụ 2: Tính giá trị của A = 3x - 1 - 9124 2 +− xx với x = 1999 Giải A = 3x - 1 - 3213)32( 2 −−−=− xxx Với x = 1999 thì 2x - 3 > 0 nên A = 3x - 1 - (2x - 3) = x + 2 Lúc đó A có giá trị là 1999 + 2 = 2001 Lê Trọng Châu – ST&GT Loại 3: Rút gọn một biểu thức Ví dụ 1: Rút gọn B = 53243 −−− xx Giải: Điều kiện x ≥ 3 5 . Biến đổi B = 153)153(153353 2 −−=−−=+−−− xxxx Nếu 0153 ≥−− x hay 2153 ≥≥− xhayx thì 15x3B −−= Nếu 153 −− x < 0 hay x < 2 thì B = 1 - 53 − x Vậy B = 153 −− x nếu x ≥ 2 1 - 53 − x nếu 3 5 ≤ x ≥ 2 Có thể đặt B = a + b 53 − x với các số nguyên a, b rồi tính a, b? Ví dụ 2: Rút gọn C = 2 44 2 − ++ x xx Giải: C = 2 2 2 )2( 2 − + = − + x x x x (đk: x ≠ ± 2) Lập bảng khử dấu giá trị tuyệt đối x -2 0 2 + x -(x + 2) 0 x + 2 2 x + 2 2 − x - x - 2 0 - x - 2 -2 x - 2 Từ đó tính được 1 nếu x < -2 C = -1 nếu -2 < x < 0 1x 2x − + nếu x ≥ 0 và x ≠ 2 Có thể đưa mẫu số 2 − x vào trong dấu căn? Loại 4: Chứng minh một đẳng thức Ví dụ 1: Chứng minh 2 (*)2632 +=+ Giải: Biến đổi vế trái: 348)32(4322 +=+=+ = 2 )26(21226 +=++ = 2626 += Vậy: 26322 +=+ Có thể biến đổi )13(23242 +=+ hoặc bình phương của hai vế của (*)? Ví dụ 2: Chứng minh 2116116 =−−+ Đặt vế trái là A, ta có: 2 Lê Trọng Châu – ST&GT 11212112122 −−+= A = 22 )111()111( −−+ = 2111111 =−−+ Có thể tính A 2 ? Loại 5: Giải phương trình Ví dụ: Giải phương trình: 3366322 =−+++−+− xxxx Giải: Điều kiện x ≥ 3. Biến đổi vế trái thành 93631323 +−+−++−+− xxxx = 2 )33()13( 2 +−++− xx = 3313 +−++− xx = 3313 +−++− xx = 4 + 2 43 ≥− x Loại 6: Tìm giá trị của biến thoả mãn điều kiện cho trước Ví dụ: Cho M = 4x - 1 - .4129 2 +− xx Tìm x để M = 3 Giải: M = 4x - 1 - 2314)23( 2 −−−=− xxx Xét dấu của 3x - 2 ta tính được M = x + 1 nếu x ≥ 3 2 7x - 3 nếu x < 3 2 + Với x ≥ 3 2 thì M = 3 ⇔ x + 1 = 3 ⇔ x = 2: Thích hợp + Với x < 3 2 thì M = 3 ⇔ 7x - 3 = 3 ⇔ x = 7 6 : Loại vì không thoả mãn x < 3 2 Vậy: M = 3 khi x = 2. Có ⇔ thể viết 4x - 1 = 4129 2 +− xx rồi bình phương hai vế? Loại 7: Tìm cực trị của một biểu thức Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của D = 9124441 22 +−++− xxxx Giải: D = 9124441 22 +−++− xxxx = 22 )32()21( −+− xx = 232213221 =−+−≥−+− xxxx Đẳng thức xảy ra ⇔ (1 - 2x) (2x - 3) ≥ 0 Lập bảng xét dấu 3 Lê Trọng Châu – ST&GT x 2 1 2 3 1 - 2x + 0 - - 2x - 3 - - 0 + (1 - 2x)(2x - 3) - 0 + 0 - (1 - 2x) (2x - 3) ≥ 0 ⇔ 2 3 2 1 ≤≤ x Vậy: GTNN D = 2 ⇔ 2 3 2 1 ≤≤ x Các bài tập ở các ví dụ trên có thể còn nhiều cách giải khác, trong phạm vi bài viết này, chỉ xin trình bày cách giải có thể vận dụng bằng đẳng thức AA = 2 và gợi ý một vài cách khác. Mong rằng các em có thể củng cố, khắc sâu và vận dụng thành thạo, linh hoạt khi gặp các dạng toán biến đổi biểu thức có dấu căn. 4