Đang tải... (xem toàn văn)
Các vấn đề về đa thức
1 DINH NGHIA VA CAC PHEP TOAN 1.1 Định nghĩa đa thức : Cho ham s6 f: R-» R Ta gọi f đa thức : f =const (hằng số) tồn tai ne Z*,n21 số thực ay», a,, ,4, V6i a, #0 cho f(x)=a,x" +a,x" )+ +a,x +a, — —a, | a, gọi hệ số Trong a, #0 hệ số cao ; hệ số tự Dac biệt a, =1 goi la da thức chuẩn tắc hay monic _* Với a, #0 n bậc đa thức f(x) kí hiệu deg f = n Đặc biệt f =const deg f = | ® Đơi ta viết gọn: P(x) = Xà x hay viết ngược lại: =0 f(x) =P = bx! =b,x" ` 2+ +bx+b, bị #0, kav 1.2 Đa thức tập số : Cho f(x)= yx" ‘tax + 4a xta | Néu hệ số a, e3 kí hiệu reA|x] Nếu hệ số a, eQ kí hiệu: f cQ[xÌ Nếu hệ số a, e Z kí hiệu feZ[x] : 1.3 Các phép toán : Cho : f(x)=a,x"+a,x"'+ ta,\xta,; g(x)=b,x™+bx"' + 4b,x +b, Khi ta có phép tốn thơng thường : _„ f(x)+g(x) ; f(x)—gŒ) ; f(x)g(x) phép hợp f,g(x) = f(g (x)) ° Tir f(x), g(x) ta cé thé viết theo hình thức sau: £(x)=A,x* + A,x' FA, XA, | g(x)= Byx* +B,x*' + 4+B x +B | Với : k= max{n ;m} ; A, =0 a;, B, =0 b, ta CÓ : Thi: f(x)+g(x)=(A, +B, )x* +(A, £B, )x*" + +(A, +B,); cep Ox) gO) = cyx® +1 Ht Gay RF Coy Két qua: Cho f,geRIx] va deg f =n, degg =m Thì : deg(f +ø) < max {m ; n} ; degf.g =n+m; degfug = n.m 1.4 Đa thức sai phân : Cho f e R[x], degf =n, đa thức sai phân: -Dax Af =f(x+1-f(x) = Sia, (x4 i=, [xan = xr] i=0 có bậc 14 n—1 va s6 cao nhat 1a na, Từ ta có dãy đa thức sai phân giảm dần bậc A*f 1.5 Đa thức Trê-bư-sếp: T, (x) =1,T, (x)=x Cho T, (x) véi Lộ That (x)=2x7T,(x)—T,,(x),n>1: ‘Cu thé: T, (x) =1; 7, (x) =x T, (x) =2x?-1; T, (x) = 4x? —3x T, (x) = 8x4 —8x? 415 T, (x) = 16x5 — 20x? +5x, Đa thức Trê-bư-sếp T, Íx) có bậc n va cé sé cao nhat 1a 2°), Đôi ta xét n >] trởđi Kết quả: - (: T1, (cosœ)= cosnœ Ta chứng minh : quy nạp theo n>l.' Khi n=1:T, (cosa) =cosa Khi n =2:T, (cosa) = 2cos? œ —] = cos 2o Giả sử Tị (cosœ) = cos ko Thì : - T,„¡ (eosœ) =2cosœ.T, (cosœ)— T,_, (cosœ) _ =2c0sơ.coskơ —cos(k —1)œ | = cos(œ + kœ)+ cos(œ — kœ)— cos(k—1)œ =cos(k+l)œ | Do : T, (cosa) = cosna (2): $1, Vx €[-151] Vì |x||T,(x)|= 3) : |T,(x)|=1 "x =cosk—, n có n nghiệm k=0,1, , n-l =|cos nal phân biệt đoạn deg p.deg f = de +4 gp —› deg p = =4: vơ lí Vay: g(x) =f(f(x)) = x*+2px? +(p? +p+2q)x ˆ+p(2q+p)x+q(p+q+]) Bài tip 8: Cho đa thức lượng giác: Chứng minh : f(x)=cos4x +acos2x + bsin2x a) f(x) nhan giá trị dương âm với a, b._ b) Néu f(x)2-1, Vx thi a=b=0 Giai: a) Theo gia thiét : f(x) =cos4x +acos2x + bsin 2x Ta có : F(0)=1+a;f(2]=1~a Suy : r(0)+r(Z]=2>0 nên f(x) có giá trị dương T Tương tự : F(S) *t(-tt‡]=-a~I=>b~I>>0 Do đó: b=0 Nên f(x)>-1 = cos4x +acos2x >-1, Vx = 2t° +at20, Vte[-15 1] - Vậy: a=b=0, =a=(Q Bài tập : Xét hàm số P: ïR —›R thoả mãn _ Nếu Q(x) | (với t =cos2x) : đa thức với hệ số thực có bậc >2 P(Q(+x)) đa thức Chứng minh P(x) đa thức, 1] Giai: Xét đa thức Q(x)=x’ Từ giả thiết ta có P(x? ) đa thức Đặt P(x?) =a,x" +a, xe t Fax tay Hàm số (biến x) P(x”) hàm chẵn tren R Do a, =0, Vì lẻ e{0;1:2; :k}.- Từ suy P(x) đa thức [0;+œ) _ Tương tự xét Q(x)=—x”, ta P(x) đa thức (~œ; 0] Như tồn đa thức R(x) S(x) cho: =| R(x) x>0 (1) S(x) x R(x) =S(x) Vậy P(x) đa thức Bài tập 10: Tìm số tất đa thức P(x) bậc không lớn với hệ số _ nguyên Không âm thoả mãn điều kiện P(3)= 2000 Giải: Xét trường hợp bậc P(x)< I Giả sử : P(x)=ax+b (a,beN) P(3)=a.3+b = 2000 Suy : 0) P(3)=9a+3b+c = 2000 Ta CĨ: o