Đang tải... (xem toàn văn)
ỵ ìï x + - ï ,x ¹ Cho hàm số f ( x) = ïí x ïï ,x = ïïỵ a / a) Tìm a để f liên tục x = 0; b) Với a vừa tìm được, tính f ( 0) có ìï sin2 x ïï ,x ¹ / f x = Cho hàm số ( ) í x Tính f ( x) , x Ỵ ¡ ïï a ,x = ïỵ ìï e- 1/ x- 1, x ¹ ï 10 Cho hàm số f ( x) = í ïï a ,x = ïỵ / a) Tính f ( 2) ; b) Tìm a để f liên tục x = ìï ïï x sin p , x ¹ 11 Cho hàm số f ( x) = í x ïï a ,x = ïỵ / a) Tìm a để f liên tục x = 0; b) Với a vừa tìm được, tính f ( 0) ổ x 2ữ 2x+1 ỗ ữ df f x = arctan f / ( x) biết f ( x) = ( 2x + 1) ỗ 12 a) Tính ( ) biết ( ) ; b) Tính ÷ ç 3- x èx ÷ ø / 13 a) Tính f ( x) biết f ( x) = ỉư x- / ỗp ữ x ữ f ; b) Tớnh ỗ bit f ( x) = ( tan x) ữ ỗ ữ arcsin( 1- 2x) ố4ứ x / 14 Tính f ( x) biết a) f ( x) = x b) f ( x) = x2 x ìï - 1+ ln x, x ³ ï f x = 15 Cho hàm số ( ) í Hàm f có khả vi ¡ khơng? Tại sao? ïï x - 2x , x < î 16 Cho hàm số f ( x) = x - ( x + a) Tìm a để f khả vi ¡ ìï 3- x2 ïï ,x £ ï 17 Cho hàm số f ( x) = í ïï a ,x > ïï ỵx / a) Tìm a để f liên tục x = 1; b) Với a vừa tìm được, tính f ( 1) / / 18 Cho f ( x) = x ln( x + 1) Tính f ( 0) ; ( 1) Bài 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số sin x ù a/ f ( x) = e - sin x - đoạn é ê0;pû ú ë ù b/ f ( x) = x + - x đoạn é ê ë- 2;1ú û x- ù c/ f ( x) = x2 x - đoạn é ê ë- 1;1ú û d/ f ( x) = x2 1- x đoạn é- 1;1ù ê ú ë û Bài 3: Áp dụng tính đơn điệu hàm số, chứng minh a/ ln( 1+ x) < x, " x > Từ suy ( 1+ x) x < e, " x > b/ 3arctan( 2x) > 6x - 8x , " x > d/ c/ ex + arccosx + x < 1, " x Ỵ ( 0,1) > 2, " x > x +1 Bài 4: Tìm đường tiệm cận t2 t2 et tet f x = x x + x + a/ x = ;y = b/ ( ) c/ x = ;y = t- t +2 t - t- Bài 5: a/ Cho hàm số f ( x) = 6ln( x + 2) - x Bằng cách lập bảng biến thiên hàm số f , chứng minh phương trình f ( x) = có hai nghiệm thực phân biệt b/ Khảo sát biến thiên tìm cực trị có f ( x) = x - x2 + x + x +3- x Và f ( x) = x- x4 thỏa phương trình x4 + ( x4 + 1) y ''+ 8x3y ' = 12x2 ( 1- y) Bài 6: a/ Chứng minh hàm số y = b/ c/ d/ y= cos( 2x) thỏa phương trình ( x + 2) y '''+ 3y ''- 8sin( 2x) = x +2 sin x f ( x) = thỏa ( x + 1) y ''+ 4xy '+ 2y + sin x = x +1 x xy '' + y ' =0 3/ thỏa pt y = arcsin ( x - 1) x ( e/ Chứng minh arcsin x + arccos x ) / = 0, " x Ỵ ( 0;1) Từ suy đẳng thức p arcsin x= - arccos x, " x Ỵ ( 0;1) / ỉ ÷ arctan x + arctan ÷ = 0, " x ¹ Từ suy ng thc f/ Chng minh ỗ ỗ ữ ỗ ữ xø è p arctan = - arctan x, " x ¹ x a/ f ( x) = ln( x - 4x) ; " x > Bài 7: Tính đạo hàm cấp n b/ Bài 1/ Tính f 3/ Tìm f ( 100) ( 6) ổử 1ữ ỗ ữ ỗ ữ, bit f ( x) = 1- x ỗ ố2ữ ứ ( 1) ( 10) 6/ Tính f ( 100) 2/ Tìm f ( 30) ( 1) biết f ( x) = x2 + x3 - 4x biết f ( x) = x + ln( - 2x) ( 3) , biết f ( x) = 4/ Tính f x ( x - 4) ( x - 3) c/ f ( x) = f ( x) = ( x2 + x) sin x x4 x2 - 5/ Tính f ( 0) , biết f ( x) = x ln( 1- x) ( 5) ( - 1) , biết f ( x) = ln( x Cho f ( x) = 3 - 4x) 2- x ( 20) f Tính ( 1) x3 - 16x ( 0) , biết f ( x) = ( x + 2) x + ( ) 9/ Cho f ( x) = ( x + 2x) sin ( px) Tính f ( 1) ( ) ( ) 10 Cho f ( x) = x - x Tính f ( 2) 11 Cho f ( x) = ( x cosx) Tính f ( p) 1÷ sin( px) ( ) ổử sin x ( ) ữ ỗ 12 Cho f ( x) = Tớnh f ỗ 13 Tớnh f ( 0) , biết f ( x) = ữ ỗ ữ ố2ứ x +1 1- x 8/ Tỡm f ( 20) 3 100 2 10 20 Bài 9: Khai triển Maclaurin hàm số, với phần dư Piano cosx 2x a/ f ( x) = đến số hạng chứa x5 b/ f ( x) = ( - x ) e đến số hạng chứa x2010 x +1 x +1 c/ f ( x) = đến số hạng x7 d/ f ( x) = ln( x - 5x + 6) đến x5 x +1 sin x ( k) e/ f ( x) = Hãy tính f ( 0) , k = 1,2,3,4 x- Bài 10: Tìm cơng thức Taylor sin( px) a/ f ( x) = x0 = đến số hạng chứa ( x - 1) x +1 cos( px) b/ f ( x) = điểm x0 = đến cấp 1- x c/ f ( x) = x + x0 = đến số hạng ( x - 3) Từ đó, tính gần f ( 3,01) Chương III Phép tính tích phân hàm biến Bài 1: Tính tích phân sau 1) ò arcsin xdx ò( 2x - 1) 2) 4) ò ( x + 2) ( ln x) e dx ò 5) òx 8) x + 2dx dx 10) ò sin x cos2 x ò ( 5- ò e sin xdx - x 18) 9)ò ) +¥ +¥ ò dx x2 ( x - 1) ò( x - 1) ln( x - 1) dx 22) ò ò (x 19) + 2) x + 1 1- x dx 23) ò ln x ( x + 1) e 26) 1 Xét hội tụ tích phân suy rộng 1 x + sin 1/ x ( ) dx 29) - ln x 27) ò dx 28) ò x +2 x 16) - 2x ò ( 1- x) e dx 20) ( x + 1) dx 25) ò ( x + 3) x - ò( x - 1) ln( x - 1) dx 0 x dx 2sin x + 3cosx ò 3- xdx x3 x + +¥ 15) dx 2sin x - 3cosx dx 3sin x - 2cosx 12) x ln( cosx) x3dx 14) ò x +1 24) 3/ dx - dt xđ0 +Ơ +Ơ t2 ( 1+ x2) ò 6) dx arcsin x dx x 1/ ò (e arctan x ò 11) lim 2x) e dx 3x - ¥ 21) x 1+ ln x sin x 17) 1 13) ò 3) 1+ 7xdx 3ln( x - 1) + x + 7) 1 ò òe x cosxdx - ¥ ỉ2- x ữdx ỗ + ũ ỗỗố2 + x2 + x ứữ ữ ữ +Ơ dx 1+ ln x x ( ln x) a dx Bài 2: 31) ò x + 1- dx 6 x + 1- +¥ x sin x 35) ò dx 36) ( x + 1) xdx 32) ò sinx 33) - e +¥ ln xdx ò x2 + 37) +¥ ò x2/ 3dx ò ln 1+ x2 30) ( ) x +1- dx 34) x3 ln x ò x3/ dx 38) +¥ ò 10 ò +¥ 1+ x - dx x2 ò x sin x dx 13 + sin x - 2cos3x dx x2 ( x + 1) sin x dx ò ( x + 1) +¥ 39) +¥ 40) ò x cosx (x + 2) +¥ dx 41) ò x4 + dx ( x2 + 2) ( x3 + 3) Bài 3: Tùy theo tham số a , xét hội tụ tích phân suy rộng sau ( ) ln + x x2 + x + 1- cosx 42) ò dx 43) ò dx 44) ò dx a a a x + x x 0 Bài 4: Tính độ dài cung phẳng (L) có phương trình ìï x = 3( t - sint) ï x ,0 £ t £ 2p a/ y = e + 1,0 £ x £ ln2 b/ í ïï y = 3( 1- cost) ïỵ c/ y = 2x ;0 £ x £ ln3 d/ y = 3x2 ln x;1 £ x £ e 24 +¥ Chương IV Hàm nhiều biến Bài 1: Tìm vi phân tồn phần hàm hai biến sau x x2 - y 1) C2 z ( x, y) = ln ; 2) C2 f ( x, y) = ( x - y) ey x + 2y ( ) 2 3/ C1 f ( x, y, z) = ln x + x + y + z 4/ C1 f ( x, y, z) = ( z + ln y + x + y2 ) 3x - 7z 5/ C1 z ( x, y) xác định pt 2x + 3y - 4z = ez Bài 2: Chứng minh hàm x +y z - zx/ y2 + y = a/ z ( x, y) = e x- y thỏa mãn zy/ x +x 2 x ¶z ¶2z - 4y = , " ( x, y) Ỵ ¡ ´ ( 0, +¥ b/ z ( x, y) = 1/ e thỏa phương trình ¶y ¶x2 2y c/ z ( x, y) = xy + d/ z ( x, y) = ln x / / thỏa phương trình z ( xzx + yzy ) = xy y ¶2z ¶2z + = thỏa pt ¶x2 ¶y2 x2 + y2 ) y ¶2z ¶ z - a = e/ z ( x, y) = , a ≠ , thỏa phương trình y - a2x2 ¶x2 ¶y2 f/ Cho hàm ẩn z ( x, y) xác định phương trình / / 2x2 - y2 + 3z2 + 4xz - 5yz + x + 14 = Tính zx ( - 1,2) ;zy ( - 1,2) biết z ( - 1,2) = g/ Cho hàm ẩn z = z ( x, y) xác định pt ( x + y) z + xy = xz / / Tính đhr zx , zy y k/ Cho hàm ẩn z = z ( x, y) xác định pt x2 + 3y2 + 2z2 - xz + 3yz + 5xy + 11 = / / Tính zx ( 2, - 3) ; zy ( 2, - 3) biết z ( 2, - 3) = / / h/ Cho hàm ẩn z = z ( x, y) xác định pt xyzexyz = Tính đhr zx , zy z- Bài 3: uuuur ¶f y Cho f ( x, y, z) = xyz + ( x + y) e Tính gradf ( M 0) r ( M 0) Biết M ( 1,0,2) ¶l r r l vec tơ dơn vị vec tơ a = ( 4,7,4) a/ 2 b/ Cho f ( x, y, z) = xy + 3x z - 2yz điểm M ( - 1,2,1) Tính đạo hàm theo hướng uuuur r ¶f r ( M 0) , biết l vec tơ đơn vị gradf ( M 0) ¶l Bài 4: Tìm cực trị hàm hai biến sau 1) z ( x, y) = 2( x3 + y3) - 6( x + y) - 3; 3) z ( x, y) = ex- y +1 - x + 2y4; 5) z ( x, y) = x + +y; x y 2) z ( x, y) = 2x - y + ln y ; x +y 4) z ( x, y) = x2 ( y - 1) - x ( y2 - 1) ; 6) z ( x, y) = ( 5x - 30y - 4) e2y - x 7) z ( x, y) = x3 + 3xy2 - 15x - 12y + 2010; 9) z ( x, y) = x3 - 3x2y + 4( y3 - y2 - y + 1) ; 11) z ( x, y) = x3 + y3 - 3x - 3y + 1; 8) z ( x, y) = xy + + ; x y 10) z ( x, y) = y x - y2 - x + 9y - 1; 12) z ( x, y) = ( x2 + 4) ( y2 + 3) - 2y ( 2x2 + 3) ; 13) z ( x, y) = x2y - ( x - 1) y2 - xy + 3; 14) z ( x, y) = ( x3 - 12x) y2 + y; Bài 5: Tìm cực trị b/ 2 z ( x, y) = 1- 2x - y với điều kiên x + y = z ( x, y) = + 3x - 2y với điều kiên 3x2 + 2y2 = c/ z ( x, y) = x2 + y2 + xy - 2( x + y) với điều kiên x + y - = d/ f ( x, y, z) = 4x + 7y - 4z + với điều kiên x2 + y2 + z2 - 16 = a/ e/ f ( x, y, z) = x + 2y + 3z với điều kiên x2 + y2 + 3z2 = f/ z ( x, y) = 2x2 - 3y với điều kiên 8x + 12y2 + = g/ z ( x, y) = 2x - 3y + với điều kiên 2x2 + 3y2 - = k/ Tìm tất điểm dừng hàm hai biến a) z ( x, y) = e ( - x2 +y2 Chương V Bài 1: ) ( 3x - 8y3) b) z ( x, y) = xy - x2- 4y Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học Trong mặt phẳng cho đường cong (C) có phương trình ( x - a) + ( y - b) = R Cmr 2 độ cong (C) điểm M Ỵ (C) số tỷ lệ nghịch với bán kính R Trong khơng gian ¡ , cho đường xoắn ốc (L) có pt x = R coswt; y = R sin wt ; z = t, t Ỵ ¡ Chứng minh độ cong điểm thuộc (L) số Cho đường tròn (T) có pt ( x - a) + ( y - b) = R Chứng minh tiếp tuyến 2 (T) điểm M ( x0, y0) có phương trình ( x0 - a) ( x - a) + ( y0 - b) ( y - b) = R x2 y2 + = Chứng minh tiếp tuyến (E) điểm a2 b2 xx yy có phương trình 02 + 02 = a b Cho elip (E) có pt M ( x0, y0) Trong khơng gian cho mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 = R Chứng minh tiếp diện (S) M ( x0,y0, z0) có pt x0x + y0y + z0z = R 10 x2 y2 z2 + + = Chứng minh tiếp diện a2 b2 c2 xx yy zz có phương trình 02 + 02 + 02 = a b c Cho mặt cầu (S) có phương trình (S) M ( x0, y0, z0) Bài 2: a/ Cho (L) có pt ( x - 2y) + 2x - y - = Tính độ cong (L) M ( 2,1) 2 b/ Cho (L) có pt x + 2y = x ( y + 4) Tính độ cong (L) M (2;- 1) x2 y2 c/ Tính độ cong elip (E): + = đỉnh thuộc trục nhỏ (E) d/ Tính độ cong (L) có pt x + 2y2 - 5xy + e( x- 1) y = điểm M ( 1,2) Ỵ (L ) x2 y2 + = 1( b > a > 0) Tính độ cong (E) điểm a2 b2 M ( x0, y0) Ỵ (E ) tùy ý Từ tìm điểm N Ỵ ( E ) cho độ cong C ( N ) nhỏ e/ Cho elip (E) có pt f/ Tìm độ cong (L) có pt y = ( 5x + 1) arcsin x điểm M ( 1; p) x +1 g/ Tìm độ cong (L) có pt ( 2x + y) + 2x - y + = M ( - 1;2) h/ Tính độ cong đường cong (L) có pt x = tet- 1;y = t 2;z = te2t- ìï x2 + y2 = ï k/ Cho (L) có pt í Tính độ cong (L) M - 1,2 2,3 Ỵ ( L ) ïï z = x + 2y ïỵ ìï x2 + y2 = ï l/ Cho (L) có pt í Tìm độ cong (L) M 1, 3,4 Ỵ ( L ) ïï z = x + 3y ïỵ ( ( ) ) Bài 3: 1/ Viết phương trình tiếp tuyến phương trình pháp diện đường cong không gian cho pt tham số sau điểm M ứng với tM = ỉ1 ổ et- pt ữ ữ ỗ ữ ữ x= ;y = arccosỗ ; z = t cos ỗ ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç t- èt - 1ø è2 ø 11 ìï x2 + y2 = ï b/ Cho đường cong (L) có phương trình í Viết phương trình tiếp tuyến ïï z = x + 3y ïỵ ( ) (L) M 1, 3,4 Ỵ ( L ) c/ Viết phương trình tiếp diện phương trình pháp tuyến mặt cong (S) không x- 2y+4z - = M ( 2,3,1) Ỵ ( S ) gian có phương trình ( 2x - y + z + 1) e d/ Viết phương trình tiếp diện pt pháp tuyến mặt cong (S) không gian có ex- 3y- 2z + z = M ( 4,2, - 1) Ỵ ( S ) phương trình 2x - 5y - 2z + e/ Viết phương trình tiếp tuyến phương trình pháp diện đường cong khơng gian có phương trình sau điểm M ứng với tM = æ pt ö ÷ x = ( - t) et- 2;y = ( t + 2) cos( t - 2) ;z = sinỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ t ố6 ø f/ Viết phương trình tiếp tuyến phương trình pháp diện điểm M ( 2;3;1) đường cong (L) có phương trình x = et- + 1;y = t + 2t;z = tet- g/ Viết phương trình tiếp tuyến phương trình pháp diện đường cong có pt: p e2- t điểm ứng với t = x = t sin ( pt) ;y = t cos ;z = t t- k/ Viết phương trình pháp tuyến phương trình tiep diện điểm M ( 0;1;1) mặt yé e2x - ln( y + x) ù + 3z2 = cong (S) có phương trình: ê ú ë û m/ Viết phương trình tiếp diện phương trình pháp mặt cong (S) có phương trình: ỉ x x - yử p ữ ữ arctanỗ = ỗ điểm M ( 2, - 1,3) Ỵ ( S ) ữ ỗ ữ y +z ố ø n/ Viết pt tiếp diện pt pháp tuyến điểm M ( 1;1;1) mặt cong (S) có pt : x2y + 4z2x - ln( x + y - z) = 12 ... = x + x0 = đến số hạng ( x - 3) Từ đó, tính gần f ( 3,01) Chương III Phép tính tích phân hàm biến Bài 1: Tính tích phân sau 1) ò arcsin xdx ò( 2x - 1) 2) 4) ò ( x + 2) ( ln x) e dx ò 5) òx 8)... điểm gián đoạn hàm số f ( x) = ê ê 2ú x sin( x - 1) ë û Chương II Phép tính vi phân hàm biến Bài / 1.Cho hàm số f ( x) = x - x a) Tính f ( 3) ; b) Xét khả vi f x = px / a) Tính f ( 0) ; b) Xét... ò( x - 1) ln( x - 1) dx 22) ò ò (x 19) + 2) x + 1 1- x dx 23) ò ln x ( x + 1) e 26) 1 Xét hội tụ tích phân suy rộng 1 x + sin 1/ x ( ) dx 29) - ln x 27) ò dx 28) ò x +2 x 16) - 2x ò ( 1- x) e dx