Bài BT hố chiều Một hạt khối lượng m bị nhốt giếng vuông chiều sâu vô hạn bề rộng a t = 5a hàm song chuẩn hóa hạt là: ψ ( x, 0) =   π x   π x  1 + cos  a ÷ sin  a ÷      a/ Tìm hàm song thời điểm t = t0 b/ Tìm lượng trung bình t = t = t0 c/ Tìm xác suất tìm hạt phần bên trái giếng( Nghĩa miền ≤ x ≤ a / t = t0) Giải a/ Hàm sóng thời điểm t khai triễn theo hàm trạng thái dừng: ψ ( x, t ) = ∑ cnψ n ( x, t ) = ∑ cnψ n ( x).e n Trong ψ ( x) = i − E n t h n  nπ x  sin  ÷ a  a    π x   π x  1 + cos  a ÷ sin  a ÷     n  2 πx   2π x  πx  2π x  ⇔ ψ ( x, 0) = sin  sin  sin  sin  ÷+ ÷= ÷+ ÷ = c1.ψ ( x) + c2 ψ ( x) 5a 5a a a  a   a   a   a  Từ đó, hàm song thời điểm t = có dạng: ψ ( x, 0) = ∑ cnψ n ( x) = Như vậy, hàm song thời điểm t = t0 là: ψ ( x, t ) = ⇔ ψ ( x, t ) = c1 ψ ( x)e 5a = − iπ h ma t + c2 ψ ( x)e − i π h.4 ma t0 = ∑ψ n =1,2, n ( x).e i − En t h 5a = ∑ψ n =1,2, n ( x).e iπ h −  π x  − ma t0  2π x  − sin  + sin  ÷e ÷e 5a 5a  a   a  i π h2 n t h ma i 2π h t0 ma i 2π h  − iπ h2 t0 − t0  π x   π x  ma + e ma c os  e ÷ sin  ÷  a    a   2 b/ Năng lượng trung bình hạt khơng phụ thuộc thời gian có dạng: 4π h2 E1 + E = 5 5ma n n n c/ Xác suất tìm hạt miền ≤ x ≤ a / t = t0 : E = ∑ w n E n = ∑ cn (t ) E n = ∑ cn (0) E n = a /2 P= ∫ iπ h  π x  − ma2 t0  2π x  − ψ ( x, t0 ) dx = sin  + sin  ÷e ÷e 5a 5a  a   a  i 2π h t0 ma iπ h i 2π h a /2 − t0   3π ht0    − ma t0 πx  π x   π x  πx πx ma = +e c os  e ÷ sin  ÷= ∫ sin ( a ) 1 + cos ( a ) + 2cos( a )cos  2ma ÷dx 5a   a    a  5a =  3π ht0  16 + cos  ÷ 15π  2ma  BT hàm vật chất Bài : Hàm sóng electron nguyên tử hidro trạng thái có dạng: r − φ (r ) = Ae a , đó: a = 0,529.10-10 m bán kính quỹ đạo Bo thứ a/ Dùng điều kiện chuẩn hóa hàm song xác định A b/ Xác định r để mật độ xác suất tìm hạt theo bán kính có giá trị lớn ∞ a/ ĐK chẩn hóa hàm song: ∫ ψ (r ) dV = 4π A ∫ e 2 − 2r a r dr = (1) ∞ Đặt α = −α r ý rằng: I (α ) = ∫ e dr = α a ∞ ∞ dI d 2I 2a a −α r −α r = − e rdr = − = e r dr = = = Khi đó: dα dα ∫ ∫0 α2 α Thế vào (1) ta tìm được: A = π a3 b/ Xác suất tìm hạt thể tích dV bao quanh điểm r, ϕ ,θ π 2π 0 dw(r ,θ , ϕ ) = ψ (r ) dV = ψ ( r ) r dr.∫ sin θ d θ ∫ dϕ = 4π A2 e 2 2r − a Trong đó: ρ (r ) = 4π A e r = e a3 2r − a − 2r a r dr = ρ ( r ) dr r mật độ xác suất theo bán kính r d ρ 8r − 2ar ρ ( r ) = e a− r = ⇒ r = a Giá trị r xác định theo phương trình: dr a Bài Hạt chuyển động giếng chiều có chiều rộng a, thành giếng cao vơ hạn mơ tả theo hàm sóng ψ n (x) = A.sin nπ x a 1/ a/ Dùng hệ thức bất định ước lượng lượng thấp b/ Tính giá trị trung bình x px 2/ Hạt trạng thái n = a/ Xác định vị trí mà mật độ xác suất tìm thấy hạt lớn b/ Tính xác suất tìm thấy hạt có vị trí nằm khoảng a / ≤ x ≤ a / nπ x  2nπ x  A2 a ĐK chuẩn hóa: ∫ ψ n ( x) dx = A ∫ sin a dx = A ∫ 1 − cos a dx = ⇔ = ⇒ A = / a 1/  0  a a a b/ Tính giá trị trung bình ∞ ∞ a  nπ x  x = ∫ ψ ( x ) xψ ( x)dx = ∫ x sin  ÷dx = a −∞  a  −∞ ∧ * a d ih ih a  nπ x    nπ x    2nπ x   2nπ x  px = ∫ψ ( x ) px ψ ( x )dx = ∫ sin  sin  cos  ÷ −ih sin  ÷ dx = − ÷dx = ÷ =0 ∫ a a dx a n π a n π n π a        0   0 a a ∧ * ∞ ∧ x = ∫ ψ * ( x ) x ψ ( x)dx = −∞ a ∞ ∞  nπ x   nπ x    x sin  ÷dx = ∫ x 1 − cos  ÷dx ∫ a −∞ a −∞   a   a  a2 a2  2π nx   a  ⇒x = − x d  sin  ÷÷ = − 2 2π n ∫0   a   2π n a + ∆x = ( x − x) = x − ( x ) 2 2/ ψ (x) = A.sin 2π x a a2   = 1 − 2 ÷ 12  π n  2π x   4π x    ÷ = A 1 − cos  ÷ 2  a   a  4π x a  a 3a   4π x  = (2k + 1)π ⇒ x = (2k + 1) =  ;  Để ψ (x) max cos  ÷ = −1 ⇔ a 4   a  a /2 a /2 a /2   4π x   2  2π x  1 − cos  b/ w = ∫ ψ (x) dx = A ∫ sin  ÷dx = A ÷dx  ∫ a /4   a   a  a /4 a /4 * 2 a/ B/ph mơdun h/s tỉ lệ với m/độ x/suất tìm hạt: ψ (x) = ψ ψ = A sin  w= A    a∫/4 a /2  a  4π x   A  dx − ∫ cos  ( a / − a / ) − ÷dx  = 4π  a    a /4  a /2   a a    π  A2 a   4π ÷  ÷÷ =  sin  ÷− sin  ÷÷ = 4    a ÷  a ÷÷ ÷        Bài tập Những đại lượng học (năng lượng, hình chiếu xung lượng, hình chiếu mơmen xung lượng bình phương mơmen xung lượng) bảo toàn hạt chuyển động a Trường U(z) = a.z (a = const) b Trường biến thiên U(z) = a(t).z Giải a/ trường U(z) = a.z (a = const) ∧ ∧ ∧ ∧ px2 + p 2y + pz2 p2 H = T +U = + az = + az 2m 2m ∧ ∧ ∧ ∧ + δ px = δ p y = δ p z = δt δt δt ∧ ∧ ∧ + δ Lx = δ Ly = δ Lz = δt δt δt ∧ ∧ δ L2 = 0; δt ∧ Xét δ H = 0; d H = nên H tích phân chuyển động δt dt 64 70 48    ∧2  ∧ ∧ ∧  ∧  d p p i i i  ∧     x =  H ; px  =  x + az ; px  =  px2 ; px  + a  z ; px   Xét px : δ px = ;   h  2m  dt h  h  2m    δt     ∧ ∧ ∧ ∧   xét  z ; px ψ = z px ψ − px zψ = z (−ih ∧  ∧ ∧  δψ δ δψ   δψ ) − ih zψ = −i h z −z =0 δx δx δx ÷  δx  ∧ ∧ d px = nên px tích phân chuyển động dt 64 70 48    ∧2  ∧ ∧ ∧  ∧  d p p ∧ i i i      y =  H ; p y  =  y + az ; p y  =  p y2 ; p y  + a  z ; p y    Xét p y : δ p y = ;   h 2m  dt h  h  2m     δt     ∧ ∧ ∧ ∧   xét  z ; p y ψ = z p y ψ − p y zψ = z (−ih ∧  ∧ ∧   δψ δψ δ δψ  ) − ih zψ = −ih z −z ÷= δy δy δy  δy ∧ ∧ d p y = nên p y tích phân chuyển động dt 64 70 48    ∧2  ∧ ∧ ∧  ∧  d p i p i  ∧   z =  z + az ; pz  =  pz2 ; pz  + a  z ; pz    Xét pz : δ pz = ;   h  2m  dt h  2m    δt     ∧ ∧ δψ  ∧  δψ δ zψ   δψ  ∧  − −ψ − z xét  z ; pz ψ = ih z ÷ = ih z ÷ = ihψ ≠ Vậy pz khơng bảo tồn δz     δz δz   δz ∧ ∧ ∧ ∧  Xét Lz : d Lz = δ Lz + i  H ; Lz  ;  dt δ t h  ∧ ∧ Với Lz = x p y − y px không phụ thuộc tường minh vào thời gian nên δ Lz = δt ∧   ∧ ∧ ∧ ∧ ∧   ∧2 ∧  ∧ ∧  p  ∧    ∧  2 p ; L + a z ; L = p + p + p ; L + a Với  H ; Lz  =  + az ; L z  = z z x y z z     2m   z ; L z  2m 2m         ∧ ∧ ∧     ∧2 ∧   ∧2 ∧   ∧2 ∧    ∧  = p ; L + p ; L + p ; L + a  x z   y z   z z   z ; L z  2m         14 43 14 43 0    ∧ ∧    ∧    ∧ ∧   ∧   ∧    ∧     ∧  2 2 2 2 Xét  pz ; L z  =  pz ; xp y − ypx  =  pz ; xp y  −  pz ; ypx  =   pz ; x  p y + x  pz ; p y   −  pz ; y  px − y  pz ; px   =            ∧    z ; L z  =  z; xp y − ypx  =  z; xp y  + [ z; − ypx ] = −  xp y ; z  − [ ypx ; z ] Xét = − x  p y ; z  − [ x; z ] p y + y [ p x ; z ] + [ y; z ] p x = ∧    ∧ ∧ ∧ ∧  Vậy  H ; Lz  = δ Lz = ⇒ d Lz = Vậy Lz bảo toàn   δt dt b Trường biến thiên U(z) = a(t).z ∧ ∧ ∧ Xét d H = δ H = z δ a ≠ nên H khơng bảo tồn dt δt δt 64 70 48   ∧   ∧ ∧ ∧ ∧ ∧  ∧  d p p i i i  ∧     x =  H ; px  =  x + az ; px  =  px2 ; px  +  az ; px   Xét px : δ px = ;   h  2m  dt h  h  2m    δt     ∧ ∧ ∧ δψ δ δψ   δψ   −z =0 xét  az ; px ψ = az px ψ − px zψ = az (−ih ) − ih azψ = −iha  z δx δx δx ÷    δx  ∧ ∧ ∧ ∧ d px = nên px tích phân chuyển động dt 64 70 48 ∧     ∧ ∧ ∧ ∧ ∧  ∧  d p p ∧ i i i      y =  H ; p y  =  y + az ; p y  =  p y2 ; p y  +  az ; p y    Xét p y : δ p y = ;   h 2m  dt h  h  2m     δt     ∧ ∧ ∧  δψ δψ δ δψ    −z xét  az ; p y ψ = az p y ψ − p y azψ = az (−ih ) − ih azψ = −iha  z ÷= δy δy δy    δy ∧ ∧ ∧ d py dt ∧ = nên p y tích phân chuyển động 64 70 48    ∧2  ∧ ∧ ∧  ∧  d p i p i  ∧   z =  z + az ; pz  =  pz2 ; pz  +  az ; pz    Xét pz : δ pz = ;   h  2m  dt h  2m    δt     ∧ δψ  ∧  δψ δ azψ   δψ   − − aψ − az xét  az ; pz ψ = ih az ÷ = ih az ÷ = ihaψ ≠ Vậy pz khơng bảo tồn δz  δz     δz  δz ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧  Xét Lz : d Lz = δ Lz + i  H ; Lz  ; Với Lz = x p y − y px ko phụ thuộc tường minh vào thời gian nên  dt δ t h  ∧ ∧ δ Lz =0 δt  ∧2  ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧  ∧  ∧2 ∧   ∧ ∧  p     2 p ; L + az ; L = p + p + p ; L + az ; L Với  H ; Lz  =  + az ; L z  = z z x y z z z     2m 2m     2m            ∧   ∧2 ∧   ∧2 ∧   ∧2 ∧     = p ; L + p ; L + p ; L + az ; L  x z   y z   z z   z 2m     43    14 43 14 0    ∧ ∧     ∧       ∧ ∧     ∧     ∧    ∧      ∧ 2 2 2 2 Xét  pz ; L z  =  pz ; xp y − ypx  =  pz ; xp y  −  pz ; ypx  =   pz ; x  p y + x  pz ; p y   −  pz ; y  px − y  pz ; px   =          Xét  az ; L z  =  az; xp y − ypx  =  az; xp y  + [ az; − ypx ] = −  xp y ;a z  − [ ypx ;a z ] ∧   = − x  p y ;a z  − [ x;a z ] p y + y [ p x ;a z ] + [ y;a z ] px = ∧ ∧ ∧ ∧ ∧  Vậy  H ; Lz  = δ Lz = ⇒ d Lz = Vậy Lz bảo toàn   δt dt Bài tập Chứng tỏ trị trung bình xung lượng trạng thái dừng có phổ gián đoạn nhận giá trị r ∧ r * p = ψ ( r Ta có: ∫ ) pψ (r ) dV (1) V r r r ∧  dr i  ∧ ∧ ∧ ∧  dr dr mi  ∧ ∧ ∧ ∧  p=m = m +  H r − r H ÷÷ =0⇒ p =  H r− r H ÷ dt  dt h   dt h  ∧ r r Hạt tr/ thái dừng: Hψ (r , t) = Eψ (r , t) ∧ (2) Thế (2) vào (1): p = ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧  mi mi  * ∧ ∧  * * ψ H r − r H ψ dV = ψ H r ψ dV − ψ r H ψ dV    ÷ ∫ h V∫  h V∫  V  ∧ ∧ ∧ ∧ * * ∧ Vì H tốn tử Hécmít: ∫ψ H r ψ dV = ∫ (Hψ ) rψ dV V V Bài tập Xđ giá trị trung bình động lượng tuyến tính hình chiếu Px đc mơ tả hàm sóng sau a/ eikx b/ coskx c/ e−α x ∧ Ta có: px = −ih ∧ a/ p = ∫ψ * px ψ dx ∫ψ *ψ dx = d dx ∫e ( −i h   d ψ * p ψ dx ∫ cos(kx)  −ih dx cos(kx)  dx ∫ ∫ cos(kx)sin(kx)dx = ih ∫ cos(kx)d [ cos(kx)] = p= = = −i h k ∫ψ *ψ dx ∫ cos (kx)dx ∫ cos (kx)dx ∫ cos (kx)dx ∧ b/ d ikx e )dx ∫ dx = k h dx = k h − ikx ikx ∫ e e dx ∫ dx − ikx x Vì Tử số: I1 = ∫ cos(kx)d [ cos(kx) ] = Mẫu số: I = ∞ ∫e −∞ ikx d eikx  = ∞ ∞ ∞ −∞ 0 ∞ 2 ikx 2ikx ∫ cos (kx)dx = 2∫ cos (kx)dx = 2∫ ( e ) dx = 2∫ e dx = 2 2ikx e 2ik ∞ = 1 [ − 1] = − ≠ ik ik c/ ∧ p= ∫ψ * px ψ dx ∫ψ *ψ dx = ∫e −α x d −α x   2 −2α x  −ih dx e  dx xe −2α x dx xe −2α x dx   ∫d e ∫ ∫ = −ih.(−2α ) = 2α ih −2α x = 2α ih − =0 ÷ −2α x −2α x α π e dx e dx e dx   ∫ ∫ ∫ 2α ( ) ⇒ p= ∧ ∧ ∧ ∧ ∧  mi   mi  ∧ * * E  ∫ (ψ )* r ψ dV − ∫ψ * rψ dV  =  ∫ (Hψ ) r ψ dV − ∫ψ r H ψ dV  = h V V V  h V  Bài tập Chứng tỏ trạng thái dừng xác suất tìm hạt, mật độ dòng xác suất tìm hạt vị trí khơng phụ thuộc vào thời gian Giải r r i Ta có: ψ ( r , t) = ψ (r ) e − hE t r n * ρ = ψ ( r , t) không phụ thuộc vào thời gian r * j= ur ih ih ( ψ∇ψ * −ψ * ∇ψ ) = ( ψ rr*∇ψ rr −ψ rr∇ψ rr ) = J rr 2m m Không phụ thuộc rõ vào thời gian Bài tập Hạt tự hạt có xung lượng lượng giả sử hạt chuyển động trục Ox dựa vào biểu thức toán tử lượng xung lượng hạt, tìm hàm sóng cho chuyển động? Giải h2 ∂ r r − i Ent Ta có: H = T + V với V = ⇒ H = − với ψ ( r , t) = ψ ( r ) e h 2m ∂r ∧ ∧ r r h2 ∂ ∂2 2m ψ ( x ) = E ψ ( x ) ⇔ ψ n ( x) + Eψ ( x) = (1) Vậy Hψ ( r , t) = Eψ ( r , t) ⇔ Hψ (x) = Eψ ( x) ⇔ − n 2 2m ∂r ∂x h − ikx ikx Nghiệm (1): ψ n ( x) = e + e Vì hạt chuyển động dọc Õ nên cần lấy hàm theo chiều chiều dương ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ⇒ ψ n ( x ) = eikx Vậy suy ra: ψ (x, t) = ψ (x) e n i − En t h Vậy nghiệm tổng quát: ψ (x, t) = = eikx e i − En t h =e E t  i kx −− n  h   =e  k h2  i  kx −− t m   +∞ ∫ Cψ k k (x) dk Với Ck biên độ bó sóng −∞ Bài tập Tìm số cực đại electron nguyên tử có số lượng tử sau: 1/ n,l,m 2/ n,l 3/ n GIẢI Trạng thái electron nguyên tử xác định số lượng tử n, l, m, m s Trong ms = +1/2; -1/2 m = 0, ±1, ±2,… l=0,1,2,… n = 1,2,3,… a/ Các electron có số lượng tử n, l m số electron cực đại ( phụ thuộc vào m s ) b/ Khi Các electron có số lượng tử n, l số electron ccuwcj đại 2(2l+1) phụ thuộc vào m ms c/ Ứng với giá trị n l có n giá trị( l = 0, 1, 2,…., n -1) số electron n =l  + (2n − 1)  n ÷ = 2n 2  ∑ 2(2l + 1) =2(1 + + + + 2n − 1) =  l =0 Bài tập 10 Xác định mức lượng hạt trạng thái s (l = 0) giếng đối xứng xuyên tâm U (r )   −U r ≤ a = 0 r > a Giải LT1: CHUYỂN ĐỘNG TRONG THẾ XUN TÂM 1/ Tốn tử mơ men xung lượng ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ L x = y pz − z p y  ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧  ∧ L = r x p ⇒ L y = z p x − x p z ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ L z = x p z − z p x  ∧ a/ Hàm riêng, trị riêng tốn tử hình chiếu mơ men xung lượng trục z( L z ): ∧ * Phần phụ thuộc ϕ : Lz = − ih∂ ∂ϕ ∧ - Phương trình trị riêng: L z ψ = L z ψ ⇒ − i Lz ϕ ih∂ ∂ψ i = Lz ψ ⇔ = L z ∂ϕ ⇒ ψ (ϕ ) = C.e h ∂ϕ ψ h i i Điều kiện đơn trị hàm sóng: ψ (ϕ ) = ψ (ϕ + 2π ) ⇔ C.e h L ϕ = C.e hL (ϕ + 2π ) i L 2π L 2π L 2π L 2π L 2π e h = c os z + i sin z = ⇔ c os z =1⇒ z = 2mπ ⇒ L z = mh; m = 0, ±1, ±2, z z z h h - Hàm riêng: ψ (ϕ ) = C.e i Lz ϕ h h h = C eimϕ − imϕ imϕ ĐK chuẩn hóa hàm sóng: C ∫ e e dϕ =1 ⇔ C 2ϕ = ⇒ C = 2π Vậy hàm riêng: ψ (ϕ ) = ∧ eimϕ 2π ∧ 2/ Hàm riêng, trị riêng toán tử bình phương mơ men xung lượng ( L2 ): L2 θϕ = − h2 ∆θϕ với: ∆θϕ = ∂ ∂ ∂2 (sin θ )+ sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ - Hàm riêng: - Trị riêng: L2 = h2l (l + 1) l=0, 1, 2, … 3/ Cách trình bày theo giáo trình Xét hạt có khối lượng m0 c/động khơng gian tác dụng V(x,y,z0 viết r V (r ) Người ta gọi xuyên tâmrlà phụ thuộc khoảng cách r tới gốc tọa dộ O V(x, y, z) ≡ V(r ) = V(r) uu r h2 H = − V + V (r ) Toán tử lượng hạt c/động trường xuyên tâm là: 2m0 Pt trị riêng lượng hạt có dạng (xét tọa độ cầu): ∧ Hu En (1) (r , θ , ϕ ) = EnuEn (r ,θ , ϕ ) (2) Trong u E (r , θ , ϕ ) hàm riêng ứng với trị riêng lượng En Sau đơn giản ta kí hiệu u E un n n Trong tọa độ cầu: ∧ H ∧ h2  δ δ h2 δ δ L2 θϕ  =− ( r ) + ∆ + V ( r ) = − ( r ) + + V (r ) θϕ  2m0  r δ r δ r r 2m0 r δ r δ r 2m0r  ∧ (3) Tốn tử mơ men động lượng tọa độ cầu: L2 θϕ = − h2 ∆θϕ Bây ta ý toán tử H giao hoán với toán tử bình phương mơ men động lượng L với tốn tử Lz hình chiếu mơ men động lượng lên trục Oz Thực biểu thức (3) toán tử L ta thấy số hạng thứ số hạng thứ (chỉ chứa r giao hoán với giao hốn với Lz H tổng số ba số hạng giao hoán với L2 Lz giao hốn với tốn tử Ba toán tử H, L2 Lz giao hốn với nên chúng có chung hàm riêng un (r , θ , ϕ ) Nhưng ta phải rõ hàm riêng ứng với trị riêng L2 Lz muốn ta phải them số l, m Biết Hàm riêng(chung0 L2 Lz hàm cầu ta viết biểu thức u sau: unlm (r, θ , ϕ ) = Rnl (r )Yl m (θ , ϕ ) (4) Trong Rnl( r) hàm r mà dạng ta xác định nhờ thay biểu thức u vào phương trình (2) ( ý Rnl ( r) laf hamf C( r) biểu thức hàm riêng unl cảu L2 Lz ∧   2 h δ δ L − (r )+ + V (r )  × Rnl (r )Yl m (θ , ϕ ) = En Rnl (r )Yl m (θ , ϕ )  2m0 r δ r  δ r 2mr   R nl (r ) = E n R nl ( r ) (5) Giải phương trình ta tìm Rnl( r) sau thay vào (4) ta tìm unlm tức hàm sóng trạng thái có l ( l + 1) h hình chiếu mơmen động lượng trục Oz mh Ba số nguyên n,l, m gọi ba lượng tử số đặc trưng cho trạng thái mà ta xét LT2 TRONG TRƯỜNG THẾ XUYÊN TÂM - PHẦN PHỤ THUỘC r CỦA HÀM SÓNG Bây ta xét kỹ dạng hàm sóng R nl (r ) phần phụ thuộc vào r hàm sóng X nl (6) r δ δ X δ   X δ X  δ  δ X  δ 2X d2X ) = r − + −X + r = = ý rằng: (r = r δr δ r r r δ r   r r δ r ÷ δ r  r δ r r dr   r δ r  d X  2m0 l (l + 1)  +  ( En − V ) − X = (7) Thay vào (5) ta có: dr r   h Ta giả thiết r → V (r ) → ∞ chậm 1/r2(nếu khơng hạt rơi vào tâm) nghĩa r 2V (r ) → r → Khi hàm sóng R hữu hạn tồn khơng gian kể điểm r = Do hàm sóng X = rR Đặt R nl (r ) = phải r = X(0) = (8) Pt (7) Có dạng going pt schrodinger chuyển động đường thẳng xuất phát từ trường thế: Vl (r ) = V ( r ) + h2 l ( L + 1) 2m0 r Số hạng thứ hai coi lượng li tâm Như toán chuyển động trường dẫn đến toán chuyển động chiều đường thẳng, với điều kiện X = r = d (Rr)  2m0 l (l + 1)  +  ( En − V ) − Rr = Ta tìm nghiệm pt r nhỏ Viết lại pt (7) với R: dr r   h l (l + 1) Trong dấu móc, số hạng khác bỏ qua so với Khai triển phương trình ta có: r2 d 2 dR (r ) − l(l+ 1) R = dr dr Ta tìm nghiệm dạng (khi r nhỏ): R = const.rs thay vào phương trình trên: s(s+1)const.rs –l(l+1) const.rs=0 Hay s(s+1) = l(l+1) có hai giá trị s thỏa mãn phương trình trên, là: s = l; s = -l -1 Giá trị thứ hai không thõa mãn điều kiện biên cho nghiệm R → ∞ r → Vậy ta có R ≈ const r l (9) Chú ý biểu thức R r không phụ thuộc vào dạng V( r), miễn dẫn tới vô cực (khi r → ) chậm 1/r2 LT3: `PHƯƠNG TRÌNH SĨNG TƯƠNG ĐỐI TÍNH ĐỐI VỚI HẠT SPIN KHƠNG Ta xét hạt vi mơ có vận tốc nhỏ nhiều lần vận tốc ánh sáng Phương trình Schrodinger  δψ  h2 ih = − ∇ + U ( x) ψ ( x) (1) δ t  2m  Nhận cách sử dụng nguyên lí tương ứng dạng toán tử , thay hàm Hamilton p2 (2) H= + U ( x) 2m δ ur Các đại lượng toán tử tương ứng: E → ih ; p → −ih∇ (3) δt Đối với trường hợp hạt chuyển động với vận tốc so sánh với vận tốc ánh sáng, ta cần phải xuất phát từ từ hệ thức tương đối tính lượng xung lượng Trong trường hợp hạt chuyển động tự do, hệ thức có dạng uur E = c p + m c (4) Nếu thay (4) tốn tử (3), ta phương trình sóng tương đối tính hạt chuyển dộng tự h2 δ 2ψ (5) Phương trình gọi phương trình Klein – Gordon =  h2∇ − m c ψ ( x) 2 c δt Trong giới hạn phi tương đối tính coi vận tốc ánh ánh sáng vô lớn so với vận tốc hạt ( c → ∞ ), phương trình Klein – Gordon lại cuyển thành phương trình Schrodinger Thật vậy, lí thuyết tương đối lí thuyết phi tương đối, gốc tính lượng khác mc2, nên ta sử dụng biến đổi unita: r r  imc  ψ ( r; t) = ψ '(r ; t) exp  − t (6)  h  Trong chuyển động phi tương đối tính lượng tồn phần hạt nhỏ so với lượng tĩnh, nghĩa δψ ' ih ≈ E 'ψ '