TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* HỒNG PHƯƠNG ANH NGHIỆM TỔNG QT CHO PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TỐN ************* HỒNG PHƯƠNG ANH NGHIỆM TỔNG QT CHO PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN BẰNG HÀ NỘI – 2018 Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời nói đầu Nghiệm suy rộng phương trình Monge-Ampere 1.1 Ánh xạ pháp 1.2 Tính chất ánh xạ pháp 1.3 Nghiệm suy rộng 15 1.4 Nghiệm nhớt 18 1.5 Nguyên lý cực đại 22 1.5.1 Nguyên lý cực đại Aleksandrov 24 1.5.2 Nguyên lý cực đại Aleksandrov-Bakelman- Pucci 25 1.5.3 Nguyên lý so sánh 31 Bài tốn Dirichlet phương trình Monge-Ampere 34 2.1 Bài toán Dirichlet 34 2.2 Bài tốn Dirichlet khơng 39 2.3 Nghiệm nhớt nghiệm suy rộng 47 2.4 Ellipsoid tích nhỏ 50 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Phương Anh Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Phương Anh Lời cảm ơn Để hồn thiện khóa luận em nhận giúp đỡ thầy cô khoa Tốn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy cô, đặc biệt TS.Trần Văn Bằng, người trực tiếp tận tình hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy cô trường ĐHSP Hà Nội tận tình dạy bảo em suốt trình học tập khoa Khóa luận chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Hồng Phương Anh Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Phương Anh Lời cam đoan Khóa luận hồn thành sau q trình tự tìm hiểu, nghiên cứu thân với hướng dẫn TS Trần Văn Bằng Khóa luận có tham khảo kết nghiên cứu nhà khoa học nước Em xin cam đoan kết khóa luận khơng chép từ khóa luận Em xin chịu hồn tồn trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Hoàng Phương Anh Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Phương Anh BẢNG KÍ HIỆU R Tập số thực Rn Khơng gian Euclide thực n chiều P(Rn ) Họ tất tập Rn x = (x1 , · · · , xn ) Phần tử Rn x21 + · · · + x2n |x| Chuẩn phần tử x, x·y Tích vơ hướng x y, BR (x0 ) Hình cầu mở tâm x0 ∈ Rn bán kính R A Bao đóng tập A dist(x, A) Khoảng cách từ điểm x đến tập A C k (Ω) Tập hàm khả vi liên tục đến cấp k Ω Du(x), D2 u(x) Gradient Hessian hàm u x ∆u(x) Laplace hàm u x ∂u(x) Ánh xạ pháp hay vi phân hàm u x χE (x) Hàm đặc trưng tập hợp E |E| Độ đo Lebesgue n chiều tập hợp E ⊂ Rn h.k.n Hầu khắp nơi n i=1 xi yi Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Phương Anh Lời nói đầu Phương trình Monge-Ampere phương trình có dạng det D2 u(x) = f (x), x ∈ Ω, Ω ⊂ Rn tập mở, f (x) hàm cho Phương trình phương trình phi tuyến, có vai trò quan trọng hình học nhiều lĩnh vực khác Vì phương trình nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới, xem [5] tài liệu Nhờ phát triển lý thuyết vi phân, lý thuyết phân bố, lý thuyết nghiệm nhớt, nhà toán học đạt nhiều kết tốt phương trình Monge-Ampere Trong khóa luận chúng tơi tìm hiểu khái niệm nghiệm suy rộng nghiệm nhớt phương trình Monge-Ampere, mối quan hệ chúng số tính chất định tính nguyên lý cực đại Alexandrov, Alexandrov-Bakelman-Pucci nguyên lý so sánh nghiệm; ứng dụng vào nghiên cứu toán Dirichlet hình học Nội dung khóa luận trình bày hai chương Chương trình bày khái niệm ánh xạ pháp hay vi phân số tính chất ánh xạ pháp; khái niệm nghiệm suy rộng, nghiệm nhớt phương trình MongeAmpere nguyên lí cực đại, nguyên lí so sánh Chương trình bày kết tồn nghiệm tốn Dirichlet phương trình Monge-Ampere, mối quan hệ nghiệm nhớt nghiệm suy rộng, tồn ellipsoid tích nhỏ chứa tập lồi Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Phương Anh Do trình độ có hạn nên khóa luận khơng tránh khỏi có thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để khóa luận hồn thiện Chương Nghiệm suy rộng phương trình Monge-Ampere Cho Ω tập mở Rn u : Ω → R hàm số xác định Ω Trong khóa luận sử dụng số kí hiệu quen thuộc sau đây: Với x = (x1 , · · · , xn ) ∈ Rn , chuẩn x xác định |x| = x21 + · · · + x2n biểu thức x · y = x y1 + · · · + x n yn tích vơ hướng véc tơ x, y ∈ Rn Tập hợp BR (x0 ) = {x ∈ Rn : |x − x0 | < R} hình cầu tâm x0 bán kính R Rn C k (Ω) khơng gian tất hàm có đạo hàm đến cấp k liên tục Ω, k = 0, 1, 2, · · · Khi k = ta thường viết đơn giản C (Ω) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Phương Anh Bước Với y ∈ Ω tồn dãy bị chặn vm ∈ F(µ, g) hội tụ tập compact Ω tới hàm w ∈ F(µ, g) cho w(y) = U (y), U cho (2.3) Theo Bước 1, lấy v0 ∈ F(µ, g) Nếu v ∈ F(µ, g), v ≤ W, với M W = 0, W ∈ C(Ω), W = g ∂Ω từ Định lý 2.1 Cố định, y ∈ Ω, từ định nghĩa U tồn dãy vm ∈ F(µ, g), m ≥ 1, cho vm (y) → U (y) m → ∞ Đặt v m = v0 ∨ v1 ∨ v2 ∨ ∨ vm Từ Bước 2, v m ∈ F(µ, g) vm (y) ≤ v m (y) ≤ U (y) hệ v m (y) → U (y) Chú ý |v m (x)| ≤ C1 với x ∈ Ω Vì ta giả thiết dãy ban đầu vm bị chặn bị chặn Ω, vm ≤ vm+1 với m = 1, 2, Vì vm lồi Ω nên theo Bổ đề 1.2, với K ⊂ Ω compact, vm Lipschitz K với số C(K, m) = sup{|p| : p ∈ ∂vm (K)} Chúng ta khẳng định C(K, m) bị chặn theo m Giả sử C1 p ∈ ∂vm (x0 ) với x0 ∈ K Từ (3.2.7), có |p| ≤ dist(K, ∂Ω) hay ta có khẳng định Vì vm đồng liên tục K bị chặn Ω Bởi Arzela-Ascoli tồn dãy vmj hội tụ tập compact Ω đến hàm số w xác định Ω, w(y) = U (y) Từ Bổ đề 1.7 ta có M w ≥ µ Bằng cách mở rộng w = g ∂Ω vmj (x) ≤ w(x) ≤ W (x) với x ∈ Ω ¯ Khi w ∈ F(µ, g) với j, nhận w ∈ C(Ω) ¯ Vì U ≤ W Ω ¯ nên U ∈ C(Ω) ¯ w ≤ U Ω Bước M U ≥ µ Ω Ta cần chứng minh M U ({xi }) ≥ 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Phương Anh với i = 1, , N Bởi E ⊂ Ω tập Borel có M U (E ∩ {xi }) M U (E) ≥ M U (E ∩ {x1 , , xN }) = i:xi ∈E n M U ({xi }) ≥ = = xi ∈E i:xi ∈E δxi (E) i=1 Chúng ta giả sử i = Từ Bước 3, tồn dãy vm ∈ F(µ, g), bị chặn đều, cho vm → w ∈ F(µ, g) tập compact Ω m → ∞ với w(x1 ) = U (x1 ) Ta có M w({x1 }) ≥ a1 Nếu p ∈ ∂w(x1 ), w(x) ≥ w(x1 ) + p.(x − x1 ) Ω U (x) ≥ U (x1 )+p.(x−x1 ), nghĩa p ∈ ∂U (x1 ) Vậy M U ({x1 }) = |∂U ({x1 })| ≥ |∂w({x1 })| ≥ a1 Bước M U ≤ µ Ω Đầu tiên chứng minh độ đo M U tập trung tập {x1 , , xN } Cho x0 ∈ Ω với x0 = xi , i = 1, , N, chọn r > cho |xi −x0 | > r với i = 1, , N Br (x0 ) ⊂ Ω Giải M v = Br (x0 ) với v = U ∂Br (x0 ), định nghĩa "Sự nâng U "   U (x ), x ∈ Ω, |x − x | ≥ r, 0 w(x) =  v(x), |x − x | ≤ r Ta có w ∈ F(µ, g) Thực vậy, w lồi, từ Bước 4, M U ≥ µ ≥ = M v Br (x0 ), theo nguyên lý so sánh, Định lý ¯ 1.5, v ≥ U Br (x0 ) Vì w ≥ U Ω Vì U ∈ C(Ω) ¯ Chúng ta kiểm tra M w ≥ µ Bước 3, rõ ràng w ∈ C(Ω) 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Anh Ω Lấy E ⊂ Ω tập Borel Ta viết E = (E ∩ Br (x0 )) ∪ (E ∩ Br (x0 )c ) Chú ý F ⊂ Ω ∩ Br (x0 )c , ∂w(F ) ⊇ ∂U (F ) Vì M w(E) = M w(E ∩ Br (x0 )) + M w(E ∩ Br (x0 )c ) ≥ + M U (E ∩ Br (x0 )c ) ≥ µ(E ∩ Br (x0 )c ) ≥ µ(E ∩ {x1 , xN }) = µ(E), Bước định nghĩa µ Do w ≤ U, w = v ≥ U Br (x0 ), nên M U = M v = Br (x0 ), Br (x0 ) ⊂ Ω hình cầu với Br (x0 ) ∩ {x1 , , xN } = ∅ Do E ⊂ Ω tập Borel với E ∩ {x1 , xN } = ∅, M U (E) = từ tính qui M U Nói cách khác M U tập trung tập {x1 , xN }, M U ≥ µ nên ta có N MU = λi δxi , i−1 với λi ≥ 1, i = 1, , N Chúng ta chứng tỏ λi = 1, với i = 1, , N Giả sử phản chứng λi > với i Khơng tính tổng quát, ta giả sử i = x1 = Nếu Br (0) ⊂ Ω hình cầu với B¯r (0) ∩ {x2 , , xN } = ∅, M U = λaδ0 hình cầu Br (0); r chọn sau Ta có |∂U ({0})| = λa > Vì ∂U ({0}) lồi, tồn hình cầu B (p0 ) ⊂ ∂U ({0}) Khi U (x) ≥ U (0) + p.x với p ∈ B (p0 ) x ∈ Ω Đặt V (x) = U (x) − p0 x Khi V (x) ≥ V (0) + (p − p0 ).x với x ∈ Ω 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Anh p ∈ B (p0 ) Với x ∈ Ω lấy p − p0 = x/|x| V (x) ≥ V (0) + |x| với x ∈ Ω Gọi α số cho V (0) − α âm gần 0, V¯ (x) = V (x) − α Chúng ta có V¯ (0) âm nhỏ, V¯ (x) ≥ V¯ (0) + |x| với x ∈ Ω Hơn ta chọn α cho V¯ (0) r=− thỏa mãn Br (0) ⊂ Ω B¯r (0) ∩ {x2 , , xN } = ∅ Khi V¯ (x) ≥ V¯ (0) + |x| ≥ với |x| ≥ r, tức {x ∈ Ω : V¯ (x) < 0} ⊂ Br (0) Đặt   V¯ (x) V¯ (x) ≥ 0, w(x) =  λ−1/n V¯ (x) V¯ (x) < Chú ý λ > 1, ta có λ−1/n V¯ (x) > V¯ (x) tập lồi {V¯ (x) < 0} Do hàm số w lồi Ω Chúng ta chứng minh M w ≥ µ Thực vậy, E ⊆ {V¯ (x) < 0}, ∂(λ−1/n V¯ )(E) ⊂ ∂w(E) Vì E ⊂ {V¯ (x) < 0}, 1 M w(E) ≥ M (λ−1/n V¯ )(E) = M V¯ (E) = M U (E) = aδ0 (E) λ λ ¯ ¯ Mặt khác, w = V tập {V ≥ 0}, ∂ V¯ (E) ⊂ ∂w(E) với E ⊂ {V¯ ≥ 0}, nên M w(E) ≥ M V¯ (E) = M U (E) ≥ µ(E) = i:xi ∈E = i=1:xi ∈E với E ⊂ {V¯ ≥ 0} V¯ (0) < Do với E ⊂ Ω, ta viết M w(E) = M w(E ∩{V¯ < 0})+M w(E ∩ {V¯ ≥ 0}) ≥ aδ0 (E ∩{V¯ < 0})+ ¯ ≥ 0}) = µ(E), i=1 δxi (E ∩{V nghĩa là, M w ≥ µ Ω Điều có nghĩa w ∈ F(µ, g¯), g¯ giá trị biên V¯ (x) = U (x) − p0 x − α Từ 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Anh định nghĩa U, V¯ (x) = U (x) − p0 x − α = sup{v(x) − p0 x − α : v ∈ F(µ, g)} Rõ ràng v (x) = v(x) − p0 x − α ∈ F(µ, g¯) v(x) ∈ F(µ, g) Do đó, V¯ (x) = sup{v (x) : v ∈ F(µ, g¯)}, w ∈ F(µ, g¯), ta nhận w(x) ≤ V¯ (x) với x ∈ Ω Đặc biệt, w(0) ≤ V¯ (0) nên λ−1/n V¯ (0) ≤ V¯ (0), V¯ (0) < ta nhận λ−1/n ≥ 1, mâu thuẫn λ > Điều hoàn thành chứng minh Bước định lý 2.3 Nghiệm nhớt nghiệm suy rộng Chúng ta chứng minh phần đảo Mệnh đề 1.1 ¯ với f > Ω ¯ Nếu u nghiệm Mệnh đề 2.1 Cho f ∈ C(Ω) nhớt phương trình det D2 u = f Ω, u nghiệm suy rộng M u = f Ω Chứng minh Giả sử < λ ≤ f (x) ≤ < η < λ/2, tồn ¯ Với x0 ∈ Ω Ω > cho f (x0 ) − η < f (x) < f (x0 ) + η với x ∈ B (x0 ) Giả sử uk ∈ C ∞ (∂B (x0 )) dãy cho 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Phương Anh max∂B (x0 ) |u(x) − uk (x)| ≤ 1/k, vk+ vk− nghiệm lồi det D2 vk± = f (x0 ) ± η, B (x0 ) vk± = uk ∂B (x0 ) ¯ (x0 )), Ta có v ± ∈ C (B (x0 )) ∩ C(B det D2 vk− < f (x) < det D2 v + , uk = vk± , B (x0 ) ∂B (x0 ) Theo Bổ đề 2.2 đây, vk+ (x) − 1 ¯ (x0 ) ≤ u(x) ≤ vk− (x) − với x ∈ B k k (2.6) Theo Định lý 2.2, gọi v± nghiệm suy rộng det D2 v ± = f (x0 ) ± η, B (x0 ) v ± = u, ∂B (x0 ) Áp dụng nguyên lý so sánh Định lý 1.5, ta có |v ∓ (x) − vk∓ (x)| ≤ 1/k cho k → ∞ (2.6) ta nhận ¯ (x0 ) v + (x) ≤ u(x) ≤ v − (x) với x ∈ B Từ Bổ đề 1.8 ta thu ∂v − (B (x0 )) ⊂ ∂u(B (x0 )) ⊂ ∂v + (B (x0 )) 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Anh |B (x0 )|(f (x0 )−η) ≤ |∂u(B (x0 )| = M u(B (x0 )) ≤ |B (x0 )|(f (x0 )+η) (2.7) Vì Q hình lập phương với đường kính diam(Q) < , C1 |Q| ≤ M u(Q) ≤ C2 |Q|, (2.8) với số dương C1 , C2 Nếu F ⊂ Ω tập có độ đo khơng, với δ > tồn dãy hình lập phương không giao Qj ⊂ Ω với diam(Qj ) < , F ⊂ ∪Qj , |Qj | < δ Áp dụng (2.8) ta thu M u(F ) < C2 δ Nghĩa là, M u liên tục cách tuyệt độ đo Lebessgue tồn h ∈ L1loc (Ω) cho M u(E) = E h(x)dx Chia (2.7) cho |B (x0 )| cho → ta nhận f (x0 ) − η ≤ h(x0 ) ≤ f (x0 ) + η với hầu hết x0 ∈ Ω với η đủ nhỏ Do M u có mật độ f ¯ nghiệm Bổ đề 2.2 Giả sử f ∈ C(Ω), f ≥ 0, u ∈ C(Ω) (nghiệm dưới) nhớt phương trình det D2 u = f Ω Giả ¯ nghiệm cổ điển lồi det D2 v ≥ (≤)g sử v ∈ C (Ω) ∩ C(Ω) Ω với g ∈ C(Ω) Nếu f < (>)g Ω, min(u − v) = min(u − v) ¯ Ω ∂Ω (max(u − v) = max(u − v)) ¯ Ω ∂Ω Chứng minh Dễ thấy Bổ đề từ Định nghĩa 1.4 Giả sử từ phản chứng minΩ¯ (u − v) < min∂Ω (u − v) Khi tồn x0 ∈ Ω cho (u − v)(x0 ) = minΩ¯ (u − v), u − v có cực tiểu địa phương x0 Vì u nghiệm nhớt det D2 u = f 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Phương Anh Ω nên g(x0 ) ≤ det D2 v(x0 ) ≤ f (x0 ), mâu thuẫn 2.4 Ellipsoid tích nhỏ Một Ellipsoid có tâm điểm x0 tập có dạng E(A, x0 ) = {x : A(x − x0 ), (x − x0 ) ≤ 1}, A ma trận cấp n × n, đối xứng xác định dương Thể tích E(A, x0 ) |E(A, x0 )| = √ ωn , det A ωn thể tích khối hình cầu đơn vị Rn Bổ đề 2.3 Cho S ⊂ Rn tập lồi bị chặn (a) Giả sử tồn x0 ∈ S cho BR (x0 ) ⊂ S xét lớp F0 tất Ellipsoid với tâm x0 chứa tập lồi S Khi F0 có Ellipsoid với thể tích nhỏ (b) Giả sử S có phần không rỗng xét lớp F1 tất Ellipsoid chứa tập lồi S Khi F1 có Ellipsoid với thể tích nhỏ Chứng minh (a) Cho E(A, x0 ) Ellipsoid chứa S, A = (aij ) Khi BR (x0 ) ⊂ E(A, x0 ) |aij | ≤ 50 R2 (2.9) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Anh Thực vậy, ξ vecto đơn vị, x = x0 + Rξ ∈ BR (x0 ) Do BR (x0 ) < S nên ta có Aξ, ξ ≤ , R2 ∀|ξ| = Từ ta có (2.9) Vì S ⊂ E nên |E(A, x0 )| ≥ |S| > Đặt K = {A ∈ Rn×n : S ⊂ E(A, x0 )}, α = inf √ A∈K ωn det A ωn → α det A → a0ij k −→ ∞ Với α > 0, tồn dãy Am = (am ij ) ∈ K cho √ k Theo (2.9) tồn dãy hội tụ am ij Ma trận A0 = (a0ij ) đối xứng A0 ≥ Vì α > nên det A0 > A0 xác định dương Ellipsoid muốn có E(A0 , x0 ) (b) Giả sử E(A, x1 ) Ellipsoid chứa S, A = (aij ) Do S có phần khơng rỗng nên tồn BR (x2 ) ⊂ S Khi BR (x2 ) ⊂ E(A, x1 ) Vì E(A, x1 ) Ellipsoid, nên BR (x1 ) ⊂ E(A, x1 ) trước có |aij | ≤ Nếu |x1 | → ∞, R |E(A, x1 )| → ∞ Do vậy, ta cần xét |x1 | ≤ M với M đủ lớn Đặt K = {(A; x1 ) : S ⊂ E(A, x1 ); |x1 | ≤ M } α = inf K |E(A, x1 )| > Nhờ tính compact ta lại nhận Ellipsoid tích nhỏ Định lý 2.3 Nếu Ω ⊂ Rn tập lồi bị chặn với phần không rỗng E Ellipsoid tích nhỏ chứa Ω có tâm 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Phương Anh trọng tâm Ω, αn E ⊂ Ω ⊂ E, αn = n−3/2 αE ảnh vị tự tỉ số α E với tâm vị tự tâm Ellipsoid Chứng minh Bằng cách sử dụng phép biến đổi afin giả thiết E hình cầu đơn vị với tâm gốc tọa độ, trọng tâm Ω Bằng cách quay trục tọa độ, giả thiết dist(0, ∂Ω) = σ = |x0 | với x0 = σe1 ∈ ∂Ω, σ > e1 vecto đơn vị trục x1 Vì Ω lồi, nên mặt phẳng x1 = σ siêu phẳng giá Ω x0 Tịnh tiến song song mặt phẳng x1 = σ theo hướng âm trục x1 , ta nhận mặt phẳng Π siêu phẳng giá Ω điểm P ∈ ∂Ω ∩ Π Π = {x1 = −µ} với µ > Xét lát cắt S = {x ∈ Ω : x1 = 0}, gọi Γ hình nón với đỉnh P , qua S chứa dải −µ ≤ x1 ≤ σ; xem 2.3 Trọng tâm Γ c(Γ ) = |Γ | xdx Γ Với −µ ≤ t ≤ σ, gọi St lát cắt Γ qua (t, 0, , 0) vng góc với trục x1 Lát cắt St thu cách co giãn S với tâm t+µ S Khi tính đơng dạng, area(St ) = điểm P, nghĩa St = µ n−1 t+µ area(S) Do vậy, c1 x1 -thành phần c(Γ ), S µ lấy tích phân lát cắt ta thu area(S) c1 = |Γ | σ t+µ t µ −µ 52 n−1 dt Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Phương Anh Vì Ω có trọng tâm 0, nên Γ ∩ Ω có trọng tâm bên phải S, nghĩa c1 > Do vậy, σ t+µ t µ −µ Hình 1.3: Định lý 2.3 53 n−1 dt > Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hồng Phương Anh Đổi biến tính tích phân ta suy σ ≥ µ n (2.10) Bây xét SB = {(x1 , x ) : −µ ≤ x1 ≤ σ, |x |2 ≤ − x21 }, Ellipsoid x21 |x |2 E0 = {(x1 , x ) : + ≤ 1}, a b µ < a < < b Chúng ta µ < √ , tồn n a b cho Ω ⊂ SB ⊂ E0 |E0 | < |B1 (0)| Điều mâu thuẫn với việc E Ellipsoid tích nhỏ Vậy µ ≥ √ Kết hợp n bất đẳng thức với (2.10) ta có σ ≥ 3/2 định lý chứng n minh Để chứng minh khẳng định ta cần SB ⊂ E0 Vì µ ≥ σ, có x21 |x |2 x21 − x21 + ≤ 2+ a2 b a b2 1 = 2+ − b a2 b2 1 ≤ 2+ − b a2 b µ2 − µ2 = 2+ a b2 Chúng ta có SB ⊂ E0 x21 µ2 µ2 − µ2 + ≤ 1, tương đương với b2 ≥ 2 a b a2 (1 − µ2 ) a2 − µ Ngoài ra, |E0 | = abn−1 |B1 (0)| |Ed < |B1 (0)| tương đương với 54 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Anh abn−1 < Khi ta chọn a b cho µ < a < < b, a2 (1 − µ2 ) < b2 < 2 a −µ 2/(n−1) a 2/(n−1) (2.11) a2 (1 − µ2 ) < Ta có a2 − µ2 − a2n/(n−1) (1 − 2 a −µ a µ ) > Xét hàm số f (t) = t − µ2 − tn/n−1 (1 − µ2 ) Ta có f (1) = n (1 − µ2 ) Giả thiết µ < √ tương đương với f (1) = − n−1 n f (1) < Do f (t) > với t < t gần Chọn t = a2 < 2/(n−1) a2 (1 − µ2 ) < ta chọn b2 > ta thu 2 a −µ a thỏa mãn (2.11) Điều chứng minh khẳng định định lý chứng minh 55 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Hoàng Phương Anh Kết luận Trên tồn nơi dung đề tài Nghiệm tổng qt phương trình Monge-Ampere Trong khóa luận tốt nghiệp tơi trình bày hiểu biết cách hệ thống, rõ ràng nghiệm suy rộng tốn Dirichlet phương trình Monge-Ampere Khóa luận đạt mục đích nhiệm vụ đề Tuy nhiên thời gian nghiên cứu hạn chế, khóa luận tơi khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý báu Thầy, Cô giáo bạn sinh viên để khóa luận đầy đủ hồn thiện Trước kết thúc khóa luận này, lần tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy, Cơ Khoa Tốn, đặc biệt Thầy giáo Trần Văn Bằng tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Tôi xin chân thành cảm ơn! 56 Tài liệu tham khảo [1] Trần Đức Vân, Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 [2] I J Bakelman, Convex analysis and nonlinear geometric elliptic equations, Springer, Berlin, 1994 [3] M G Crandall, H Ishii and P L Lions (1993), User’s guide to viscosity solutions of second order fully nonlinear partial differential equations, Bull Amer Math Soc [4] L C Evans, R F Gariepy, Measure theory and fine properties of functions, CRC, Boca Raton, 1992 [5] C E Gutiérrez, The Monge-Ampère equation, Second Edition, Birkhauser, 2016 [6] J W Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press, 1997 57 ... tốt nghiệp Đại học Hồng Phương Anh Lời nói đầu Phương trình Monge -Ampere phương trình có dạng det D2 u(x) = f (x), x ∈ Ω, Ω ⊂ Rn tập mở, f (x) hàm cho Phương trình phương trình phi tuyến, có vai... nghiệm suy rộng, nghiệm nhớt phương trình MongeAmpere ngun lí cực đại, ngun lí so sánh Chương trình bày kết tồn nghiệm toán Dirichlet phương trình Monge -Ampere, mối quan hệ nghiệm nhớt nghiệm suy rộng,... nhớt, nhà toán học đạt nhiều kết tốt phương trình Monge -Ampere Trong khóa luận chúng tơi tìm hiểu khái niệm nghiệm suy rộng nghiệm nhớt phương trình Monge -Ampere, mối quan hệ chúng số tính chất định