BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Đặng Ngọc Ánh LIÊN PHÂN SỐ VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PELL KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Đặng Ngọc Ánh LIÊN PHÂN SỐ VÀ ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PELL Chuyên ngành: Tốn đại số KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Duy Tân Hà Nội – Năm 2018 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn tới quý thầy tổ Đại số, khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo hội, điều kiện để em nghiên cứu hoàn thành đề tài khóa luận Đặc biệt, em gửi lời cảm ơn TS Nguyễn Duy Tân ln tận tình giúp đỡ, quan tâm, động viên suốt trình nghiên cứu Khơng có hướng dẫn nhiệt tình từ thầy, khóa luận có lẽ khó hồn thiện nên lần em xin chân thành cảm ơn thầy Khă nghiên cứu, trình bày em hạn chế nên khơng tránh khỏi sai sót Do em mong muốn nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để em hồn thiện đề tài nghiên cứu thân Trân trọng Hà Nội, ngày 02 tháng năm 2018 Tác giả khóa luận Đặng Ngọc Ánh LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Duy Tân khóa luận "Liên phân số ứng dụng giải phương trình Pell" không trùng với đề tài nghiên cứu khác Trong q trình hồn thành khóa luận, em có tham khảo tài liệu số nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 02 tháng năm 2018 Tác giả khóa luận Đặng Ngọc Ánh Mục lục Lời mở đầu 1 Liên phân số 1.1 Liên phân số hữu hạn 1.2 Liên phân số vô hạn 1.3 Liên phân số vơ hạn tuần hồn 14 1.4 Tính chất xấp xỉ tốt 25 Phương trình Pell 31 2.1 Phương trình Pell dương 31 2.2 Phương trình Pell âm √ Tính chẵn lẻ chu kỳ p với p nguyên tố 40 2.3 44 Kết luận chung 47 Tài liệu tham khảo 48 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Ngọc Ánh Lời mở đầu Có số cách để biểu diễn số thực, chẳng hạn cách thức quen thuộc dùng hệ thập phân Tuy nhiên nhiều trường hợp, biểu diễn liên phân số số thực cách biểu diễn tiện dụng "tự nhiên toán học" cách biểu diễn khác Liên phân số xuất lần tác phẩm toán học nhà toán học Ấn Độ Aryabhata kỉ thứ Đến năm 1653 thuật ngữ "Liên phân số" lần xuất sách Arithmetica infinitorum nhà toán học Oxford, John Wallis Mục tiêu khóa luận trình bày số tính chất ứng dụng liên phân số để tìm điều kiện có nghiệm nguyên phương trình Pell, dựa tài liệu tham khảo [1, 2, 3, 4] Khóa luận chia làm 02 chương Chương "Liên phân số liên tục" trình bày số định nghĩa, kiến thức dạng liên phân số: liên phân số hữu hạn, liên phân số vô hạn, liên phân số vô hạn tuần hoàn định lý xấp xỉ tốt Chương " Phương trình Pell" trình bày ứng dụng liên phân số để tìm điều kiện có nghiệm ngun phương trình Pell Hà Nội, ngày 02 tháng năm 2018 Tác giả khóa luận Đặng Ngọc Ánh Chương Liên phân số 1.1 Liên phân số hữu hạn Định nghĩa 1.1.1 Liên phân số đơn hữu hạn biểu thức có dạng: a0 + , a1 + a2 + · · · + an−1 + an a0 ∈ Z, ∈ N, với i = 1, , n Trong luận văn ta làm việc với liên phân số đơn sau ta nói liên phân số Ta kí hiệu liên phân số dạng [a0 , a1 , , an ] Định lý 1.1.2 Mọi liên phân số hữu hạn số hữu tỉ Ngược lại số hữu tỉ biểu diễn dạng liên phân số Chứng minh • Chiều thuận: Vì a0 ∈ Z ∈ N, với i = 1, , n nên Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Ngọc Ánh a0 + số hữu tỉ a1 + a2 + · · · + an−1 + an p số hữu tỉ (q > 0) Khi tồn q a0 , r0 ∈ Z thỏa mãn: • Chiều ngược lại: Xét p = q.a0 + r0 , ≤ r0 < q, p r0 = a0 + q q + Nếu r0 = hay p p = a0 , hay = [a0 ] q q + Nếu r0 = 0, p = a0 + q q r0 (1.1) Lặp lại trình trên, tồn a1 , r1 thỏa mãn q = r0 a1 + r1 , q r1 = a1 + r0 r0 ≤ r1 < r0 , (1.2) + Nếu r1 = cách thay (1.2) vào (1.1) ta có p = a0 + = [a0 , a1 ] q a1 q = a1 + r0 tiếp tục r0 r1 trình chia r0 cho r1 Rõ ràng số dư r0 , r1 , r2 , thu + Nếu r1 = 0, ta viết (1.2) dạng Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Ngọc Ánh dãy thỏa mãn: q > r0 > r1 > r2 > · · · ≥ 0, ri ∈ N, ∀i = 1, n Khi tồn số tự nhiên n đủ lớn cho rn = 0, trình chia kết thúc Ta thu r0 , q r1 , r0 p = a0 + q q = a1 + r0 rn−3 rn−1 = an−1 + , rn−2 rn−2 rn−2 = an + = an + 0, rn−1 rn−1 < r0 < q (1.3) < r1 < r0 (1.4) < rn−1 < rn−2 rn = Thay (1.4) vào(1.3) ta có p = an + q = a0 + q a + r0 r0 r1 (1.5) Tiếp tục thay phương trình vào (1.5) ta có p = a0 + q a1 + = [a0 , , an ] a2 + · · · + an−1 + Ví dụ 1.1.3 Phân số an 67 có biểu diễn dạng liên phân số 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Ngọc Ánh 67 = [2, 3, 4, 2], cụ thể 29 1 1 67 =2+ =2+ =2+ =2+ =2+ 1 29 29 29 3+ 3+ 3+ 9 4+ 2 Nhận xét 1.1.4 Việc biểu diễn số hữu tỉ dạng liên phân số theo thuật toán Tuy nhiên ta thay đổi số hạng cuối liên phân số p Giả sử = [a0 , a1 , , an ] q 1 p • Nếu an > = = [a0 , a1 , , an − 1, 1] an q (an − 1) + 1 = • Nếu an = an−1 + an−1 + an p = [a0 , a1 , , an−1 , 1] = [a0 , a1 , , an−2 , an−1 + 1] q Định nghĩa 1.1.5 Cho liên phân số hữu hạn [a0 , , an ], với m ≤ n ta gọi [a0 , , am ] giản phân thứ m liên phân số cho Định nghĩa 1.1.6 Cho dãy a0 , a1 , , an , thỏa mãn a0 ∈ Z, ∈ N, ∀i = 1, n Ta định nghĩa dãy số (pn ), (qn ) sau: p−1 = 1, p0 = a0 , pn = an pn−1 + pn−2 ; q−1 = 0, q0 = 1, qn = an qn−1 + qn−2 Nhận xét 1.1.7 Ta có qn > (qn ) dãy tăng với n ≥ Chứng minh Thật vậy, q0 = > q1 = a1 q0 +q−1 = a1 > Giả sử Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Ngọc Ánh (2) Ta có √ αn pn−1 + pn−2 αn qn−1 + qn−2 √ Pn + d pn−1 + pn−2 Qn √ = Pn + d qn−1 + qn−2 Qn √ (Pn + d)pn−1 + Qn pn−2 √ = (Pn + d)qn−1 + Qn qn−2 √ √ √ ⇒ d((Pn + d)qn−1 + qn−2 Qn ) = (Pn + d)pn−1 + Qn pn−2 √ √ ⇒ d(Pn qn−1 + qn−2 Qn ) + qn−1 d = dpn−1 + Pn pn−1 + Qn pn−2 d = [a0 , a1 , , an−1 , αn ] = Đồng hệ số hai vế đẳng thức ta có Pn qn−1 + qn−2 Qn = pn−1 (2.2) Pn pn−1 + Qn pn−2 = qn−1 d (2.3) Nhân hai vế (2.2) với pn−1 , (2.3) với qn−1 ta có (Pn qn−1 + qn−2 Qn )pn−1 = p2n−1 (2.4) (Pn pn−1 + Qn pn−2 )qn−1 = qn−1 d (2.5) Trừ vế (2.4) (2.5) ta có p2n−1 − dqn−1 = Qn (pn−1 qn−2 − pn−2 qn−1 ) = (−1)n Qn Bổ đề 2.1.5 Với Qn xác định Định lý 2.1.4 ta có (i) Qn = −1 vói n ∈ N; 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Ngọc Ánh (ii) Qn = n bội l, l chu kỳ liên √ phân số biểu diễn d Chứng minh i, Giả sử tồn n ∈ N thỏa mãn Qn = −1 Theo Định lý 2.1.4 ta có αn = −Pn − Ta có n = Q0 = Ta có √ √ d (2.6) √ √ d = [[ d], a1 , a2 , , al−1 , 2[ d]] αn hoàn toàn tuần hoàn với n ≥ Theo Định lý 1.3.18, αn thu gọn với n ≥ Kết hợp với (2.6) ta có −1 < −Pn + √ √ d < Pn + d < −1 √ d < − Điều vô lý nên giả sử sai, nghĩa Qn = −1 với n ∈ N √ ii, Nếu Qn = 1, theo Định lý 2.1.4 ta có αn = Pn + d Cộng hai vế bất phương trình ta thu • n = n bội l • n = 0, chứng minh i, ta có αn thu gọn Gọi αn liên hợp √ √ √ αn ta có −1 < αn = Pn − d < ⇒ d − < Pn < d Do √ √ √ Pn = [ d] αn = d + [ d] Mặt khác, αn+1 = 1 √ = α1 =√ αn − an d − [ d] Vậy n bội l Ngược lại, n bội l n = kl k ∈ N Theo Định 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Ngọc Ánh lý 1.3.18 √ √ √ d = [[ d], a1 , , al−1 , 2[ d]] √ √ √ ⇒ αkl = [2[ d], a1 , , al−1 ] = d + [ d] (theo (1.23)) α= (2.7) Mặt khác, theo Định lý 2.1.4 √ √ Pkl + d d Pkl αkl = = + Qkl Qkl Qkl (2.8) Từ (2.7) (2.8), đồng hệ số ta có Qkl = Qn = Bổ đề 2.1.6 Nếu (x, y) nghiệm ngun phương trình Pell có √ x dạng X − dY = ±1 giản phân d y Chứng minh Thật vậy, √ Do √ x y d−x dy − x2 √ d− = = = y y y(y d + x) y2 √ d+ x y < 2y √ x giản phân d (theo Định lý 1.4.5) y √ pn Định lý 2.1.7 Gọi l chu kỳ liên phân số biểu diễn d qn √ giản phân thứ n d Khi tất nghiệm nguyên dương phương trình Pell X − dY = (xk , yk ) =   (pkl−1 , qkl−1 ) l chẵn  (p2kl−1 , q2kl−1 ) l lẻ, k = 1, 2, 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Ngọc Ánh Nói riêng, nghiệm bé phương trình Pell X − dY = (x1 , y1 ) =   (pl−1 , ql−1 ) l chẵn  (p2l−1 , q2l−1 ) l lẻ Chứng minh Giả sử (x, y) nghiệm nguyên X − dY = √ x Khi Bổ đề 2.1.6, giản phân d Như tồn m ∈ N y pm−1 x = Vì gcd(x, y) = nên x = pm−1 , y = qm−1 Theo cho y qm−1 Định lý 2.1.4 ta có = x2 − dy = p2m−1 − dqm−1 = (−1)m Qm Theo Bổ đề 2.1.5 ta có Qm = −1, nên Qm = m chẵn Do m phải bội l m chẵn Như l chẵn m = kl, với k ∈ N Nếu l lẻ m = 2kl với k ∈ N Tức ta có   (pkl−1 , qkl−1 ) l chẵn (x, y) =  (p2kl−1 , q2kl−1 ) l lẻ Ngược lại, giả sử (x, y) =   (pkl−1 , qkl−1 ) l chẵn  (p2kl−1 , q2kl−1 ) l lẻ Đặt m = kl l chẵn m = 2kl l lẻ Khi x2 − dy = p2m−1 − dqm−1 = (−1)m Qm = 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Ngọc Ánh Như (x, y) nghiệm phương trình Pell X − dY = Ví dụ 2.1.8 • Xét phương trình Pell dương X − 5Y = Ta có √ = [2, 4], với chu kỳ lẻ l = Nghiệm nguyên dương bé phương trình (x1 , y1 ) = (p1 , q1 ) = (9, 4) Một số nghiệm nguyên dương khác X − 5Y = (x2 , y2 ) = (p3 , q3 ) = (161, 72); (x3 , y3 ) = (p5 , q5 ) = (2889, 1292) • Xét phương trình Pell dương X −7Y = Ta có √ = [2, 1, 1, 1, 4], với chu kỳ chẵn l = Nghiệm nguyên dương bé phương trình Pell (x1 , y1 ) = (p3 , q3 ) = (8, 3) Một số nghiệm nguyên dương khác X − 7Y = (x2 , y2 ) = (p7 , q7 ) = (127, 48), (x3 , y3 ) = (p11 , q11 ) = (2024, 765) Định lý 2.1.9 Phương trình Pell X − dY = có (x1 , y1 ) nghiệm nguyên dương bé Khi (a) Với số nguyên dương n ta có X + Y √ √ d = (x1 + y1 d)n nghiệm; (b) Với nghiệm (x, y) nguyên dương tồn số nguyên dương √ √ n thỏa mãn (x + y d) = (x1 + y1 d)n Chứng minh 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Ngọc Ánh (a) Ta có (X − Y √ √ d) = (X + Y √ d) = (x1 + y1 d)n √ = (x1 − y1 d)n Do √ (X + Y d)(X − Y √ √ √ d) = (x1 + y1 d)n (x1 − y1 d)n √ √ n = [(x1 + y1 d)(x1 − y1 d)] = x21 − dy12 n = 1n = (b) Giả sử (x, y) nghiệm nguyên dương phương trình √ Pell dương Đặt x1 + y1 d = ε, tồn số tự nhiên n thỏa mãn √ √ √ εn ≤ x + y d < εn+1 Đặt X + Y d = ε−n (x + y d) Ta có X, Y nguyên √ ε>X +Y d ≥ (2.9) Ta có √ (X + Y d) = X − Y √ √ √ d = (ε−n (x + y d)) = εn (x − y d) Do √ (X + Y d)(X − Y √ √ √ d) = ε−n (x + y d)εn (x − y d) = x2 − dy = 39 (2.10) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Giả sử ε > X + Y √ Đặng Ngọc Ánh d > Khi < ε−1 < (X + Y √ d)−1 = X − Y √ d + ε−1 > √ √ √  2Y d = (X + Y d) − (X − Y d) > − > Từ (2.9), (2.10) (2.11), ta có X +Y √ (2.11) d nghiệm nguyên dương phương trình Pell dương nhỏ ε Vì ε nghiệm bé dẫn đến mâu thuẫn Như vậy, ta có √ X +Y 2.2 √ √ d = (x + y d) = (x1 + y1 d)n Phương trình Pell âm √ pn giản Định lý 2.2.1 Gọi l chu kỳ liên phân số d q n √ phân thứ n d Phương trình Pell âm X − dY = −1 có nghiệm nguyên l lẻ Trong trường hợp l lẻ tất nghiệm nguyên dương phương trình X − dY = −1 cho (xk , yk ) = (pkl−1 , qkl−1 ), với k nguyên dương lẻ, k = 1, 3, Chứng minh Gọi (x, y) nghiệm nguyên dương phương trình √ x Pell âm X −dY = −1 Khi giản phân d (theo Bổ đề y x pm−1 2.1.6) Khi tồn m ∈ N thỏa mãn = (x = pm−1 , y = qm−1 ) y qm−1 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Ngọc Ánh Theo Định lý 2.1.4 ta có −1 = x2 − dy = p2m−1 − dqm−1 = (−1)m Qm Theo Bổ đề 2.1.5 ta có Qm = −1, nên Qm = m lẻ Vậy m bội l m lẻ nên l lẻ Như m = kl, với k l lẻ Ngược lại, giả sử l số lẻ Với k nguyên dương lẻ, theo Định lý 2.1.4 Bổ đề 2.1.5, ta có p2kl−1 − dqkl−1 = (−1)kl Qkl = −1 Vậy (pkl−1 , qkl−1 ) nghiệm phương trình Pell âm Ví dụ 2.2.2 • Xét phương trình Pell âm X − 5Y = −1 Ta có √ = [2, 4], với chu kỳ lẻ l = Phương trình Pell có nghiệm, cụ thể (x1 , y1 ) = (p0 , q0 ) = (2, 1) nghiệm nguyên bé Một số nghiệm nguyên dương khác phương trình (x2 , y2 ) = (p2 , q2 ) = (38, 17) (x3 , y3 ) = (p4 , q4 ) = (682, 305) (x4 , y4 ) = (p6 , q6 ) = (12238, 5473) • Xét phương trình Pell âm X −7Y = −1 Ta có √ = [2, 1, 1, 1, 4], với chu kỳ chẵn l = Phương trình Pell vơ nghiệm Bổ đề 2.2.3 Giả sử phương trình Pell âm X − dY = −1 có nghiệm √ √ √ nguyên dương bé x1 + y1 d Khi X1 + Y1 d = (x1 + y1 d)2 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Ngọc Ánh nghiệm nguyên dương bé phương trình Pell dương X −dY = √ √ Chứng minh Đặt x1 + y1 d = ε Khi X1 + Y1 d = ε2 Ta có √ √ √ X1 − Y1 d = X1 + Y1 d = (x1 − y1 d)2 √ √ √ √ ⇒ (X1 + Y1 d).(X1 − Y1 d) = (x1 + y1 d)2 (x1 − y1 d)2 = (−1)2 = √ Vậy X1 + Y1 d nghiệm nguyên dương phương trình Pell dương Giả sử tồn (x , y ) nghiệm nguyên dương phương trình √ √ Pell dương X − dY = thoả mãn x + y d < X1 + Y1 d = ε2 √ √ Đặt X2 + Y2 d = (x + y d)ε−1 Ta có X2 , Y2 nguyên dương √ X2 + Y2 d < ε Mặt khác, √ √ √ √ (X2 + Y2 d)(X2 − Y2 d) = (x + y d)ε−1 (x − y d)(−ε) = (x − dy ).(−1) = −1 √ Vậy X2 +Y2 d nghiệm nguyên dương phương trình Pell âm √ X2 +Y2 d < ε Điều mâu thuẫn với giả thiết ε nghiệm nguyên √ dương bé phương trình Pell âm Vì X1 + Y1 d = ε2 nghiệm nguyên dương bé Pell dương Định lý 2.2.4 Giả sử phương trình Pell X − dY = −1 có (x1 , y1 ) nghiệm nguyên dương bé Khi (a) Với số nguyên dương lẻ n ta có X + Y √ √ d = (x1 + y1 d)n nghiệm; (b) Với nghiệm nguyên dương (x, y) tồn số nguyên dương √ √ lẻ n lẻ thỏa mãn (x + y d) = (x1 + y1 d)n 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Ngọc Ánh Chứng minh (a) Ta có (X − Y √ √ d) = (X + Y √ d) = (x1 + y1 d)n √ = (x1 − y1 d)n Do √ (X + Y d)(X − Y √ √ √ d) = (x1 + y1 d)n (x1 − y1 d)n √ √ = [(x1 + y1 d)(x1 − y1 d)]n = x21 − dy12 n = (−1)n = (b) Giả sử (x, y) nghiệm nguyên dương phương trình √ Pell âm Khi tồn số tự nhiên lẻ n thỏa mãn εn ≤ x+y d < εn+2 √ √ Đặt X + Y d = ε−n (x + y d) Ta có X, Y nguyên ε2 > X + Y Giả sử ε2 > X + Y √ √ d ≥ (2.12) d > ta có √ √ √ √ d) = X − Y d = (ε−n (x + y d)) = (−1)n εn (x − y d) √ √ √ √ ⇒ (X + Y d)(X − Y d) = ε−n (x + y d)(−1)n εn (x − y d) (X + Y = (−1)n (x2 − dy ) = 43 (2.13) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vậy X + Y √ Đặng Ngọc Ánh d nghiệm phương trình Pell dương Mặt khác √ √ < ε−2 < (X + Y d)−1 = X − Y d <  √ √  2X = (X + Y d) + (X − Y d) > + ε−2 > 0; ⇒ √ √ √  2Y d = (X + Y d) − (X − Y d) > − > Từ (2.12), (2.13) (2.14) ta có X + Y √ (2.14) d nghiệm nguyên dương phương trình Pell dương nhỏ ε2 Điều mâu thuẫn với bổ √ √ √ đề Như vậy, ta có X +Y d = (x+y d) = (x1 +y1 d)n 2.3 Tính chẵn lẻ chu kỳ √ p với p nguyên tố Mệnh đề 2.3.1 Nếu q nguyên tố thỏa mãn q ≡ (mod 4) phương trình X − qY = −1 khơng có nghiệm ngun Chứng minh Vì q ≡ (mod 4) nên tồn số nguyên t thỏa mãn q = + 4t ⇒ q−1 = + 2t, số lẻ (2.15) Giả sử phương trình X − qY = −1, có nghiệm nguyên (x, y) Lấy đồng dư theo modulo q hai vế phương trình ta có x2 ≡ −1 (mod q) Kết hợp với (2.15) ta có x2 q−1 ≡ (−1) q−1 = (−1)1+2t = −1 (mod q) Mặt khác, theo định lý Fermat nhỏ, xq−1 ≡ (mod q) Suy −1 ≡ (mod q), mâu thuẫn Vậy phương trình X − qY = −1 với q ≡ 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Ngọc Ánh (mod 4) khơng có nghiệm ngun Hệ 2.3.2 Nếu q số nguyên tố thỏa mãn q ≡ (mod 4) √ biểu diễn liên phân số q có chu kỳ chẵn Chứng minh Theo Mệnh đề 2.3.1, phương trình X −qY = −1 khơng √ có nghiệm nguyên Do biểu diễn liên phân số q có chu kỳ chẵn theo Định lý 2.2.1 Ví dụ 2.3.3 √ √ √ √ √ = [2; 1, 1, 1, 4] chu kỳ 11 = [3; 3, 6] chu kỳ 19 = [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8] chu kỳ 23 = [4; 1, 3, 1, 8] chu kỳ 31 = [5; 1, 1, 3, 5, 3, 1, 1, 10] chu kỳ Chứng minh định lý sau lấy theo [2, Theorem 107] Định lý 2.3.4 Nếu p nguyên tố thỏa mãn p ≡ (mod 4) phương trình X − pY = −1 có nghiệm nguyên √ Chứng minh Gọi X1 + Y1 p nghiệm nguyên dương bé phương trình Pell dương X − pY = Khi X12 − = pY12 Nếu X1 chẵn X12 − lẻ Y1 lẻ Do Y12 ≡ (mod 4) −1 ≡ X12 − = pY12 ≡ p (mod 4), mâu thuẫn Vậy X1 lẻ Khi gcd(X1 − 1, X1 + 1) = Từ phương trình (X1 − 1)(X1 + 1) = pY12 , ta suy tồn x1 , y1 nguyên dương 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Ngọc Ánh cho X1 ± = 2x21 ; X1 ∓ = 2py12 ; Y1 = 2x1 y1 Từ ta suy ±1 = x21 − py12 Vì y1 < Y1 nên (x1 , y1 ) nghiệm nguyên dương phương trình Pell dương X − pY = Do ta phải có −1 = x21 − py12 , định lý chứng minh Hệ 2.3.5 Nếu q số nguyên tố thỏa mãn q ≡ (mod 4) √ biểu diễn liên phân số q có chu kỳ lẻ Chứng minh Theo Định lý 2.3.4, phương trình X − qY = −1 có √ nghiệm nguyên Do biểu diễn liên phân số q có chu kỳ lẻ theo Định lý 2.2.1 Ví dụ 2.3.6 √ √ √ √ √ √ = [2; 4] chu kỳ 13 = [3; 1, 1, 1, 1, 6] chu kỳ 17 = [4; 8] chu kỳ 29 = [5; 2, 1, 1, 2, 10] chu kỳ 37 = [6; 12] chu kỳ 41 = [6; 2, 2, 12] chu kỳ 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đặng Ngọc Ánh Kết luận chung Khóa luận đề cập đến vấn đề sau: (1) Liên phân số hữu hạn, cách biểu diễn số hữu tỉ dạng liên phân số (2) Liên phân số vô hạn, cách biểu diễu số vô tỉ dạng liên phân số (3) Liên phân số vô hạn tuần hồn (4) Tính chất xấp xỉ tốt (5) Điều kiện để phương trình Pell có nghiệm 47 Tài liệu tham khảo [1] J Booher, Continued fractions, Pell’s equation, and transcendental numbers, 2011, math.arizona.edu/ jeremy- booher/expos/continued_fractions.pdf [2] T Nagell, Introduction to number theory, Wiley, New York, 1951 [3] C D Olds, Continued fractions, Random House, New York 1963 [4] S and H Pell’s Yang, Continued equation, 2008 fractions available at www.math.uchicago.edu/ may/VIGRE/VIGRE2008/REUPapers 48 ... tục" trình bày số định nghĩa, kiến thức dạng liên phân số: liên phân số hữu hạn, liên phân số vô hạn, liên phân số vô hạn tuần hoàn định lý xấp xỉ tốt Chương " Phương trình Pell" trình bày ứng dụng. .. luận trình bày số tính chất ứng dụng liên phân số để tìm điều kiện có nghiệm nguyên phương trình Pell, dựa tài liệu tham khảo [1, 2, 3, 4] Khóa luận chia làm 02 chương Chương "Liên phân số liên. .. dụng liên phân số để tìm điều kiện có nghiệm ngun phương trình Pell Hà Nội, ngày 02 tháng năm 2018 Tác giả khóa luận Đặng Ngọc Ánh Chương Liên phân số 1.1 Liên phân số hữu hạn Định nghĩa 1.1.1 Liên