PHÒNG GD&ĐT HUYỆN HẬU LỘC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 Mơn: Tốn - Lớp Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức: A = 2x  x  2x    x  5x  x   x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A nhận giá trị số nguyên Câu 2: (4 điểm) a) Giải phương trình: x2  5x  x2  x  2 2x 1 x 1 b) Giải phương trình: x6 – 7x3 – = Câu 3:( điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x20 + x +1 b) Tìm số nguyên x thỏa mãn hai bất phương trình: 3x  x 2x   x �  0,8   Câu (3 điểm) a) Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: y  xy  3x   b) Cho x, y thoả mãn xy �1 Chứng minh rằng: 1  � 2 1 x 1 y  xy Câu 5: (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao BD, CE cắt H a) Chứng minh ABD ACE b) Chứng minh BH.HD = CH.HE c) Nối D với E, cho biết BC = a, AB = AC = b Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a Hết -SBD…………………………….Họ tên thí sinh:…………………………… Chữ ký giám thị:…………………………………………………………… HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 MƠN TỐN 8: Thời gian 150 phút Câu Câu (4.0 điểm) Nội dung x  5x  x2  4x  a/ 2 2x 1 x 1 ĐKXĐ: x   1; x   2 x  4x 1 x  5x   1   0 x 1 2x 1 x  3x  x  3x    0 x 1 2x 1 � �1 �  x  3x   �  � �x  x  � �  x  3x    x    �  x  1  x    x    (1) Câu (3.0 điểm) Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 Giải phương trình (1) x =1 ; x = ; x = - 2/ (thỏa mãn ĐKXĐ) 2  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = 1;2;  3  0,25 b) Ta có x6 – 7x3 – = � (x3 + 1)(x3 – 8) = � (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = (*) Do x2 – x + = (x – )2 + >0 x2 + 2x + = (x + 1)2 + > với x nên (*) � (x + 1)(x – 2) = x  1 � �� x2 � Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = {- 1; 2} a) x20 + x +1 = x20-x2+x2+x+1 = x2(x18-1) +(x2+x+1) =x2(x9+1)(x9-1)+(x2+x+1) =x2(x9+1)(x3-1)(x6+x3+1)+(x2+x+1) =x2(x9+1)(x-1)(x2+x+1)(x6+x3+1)+(x2+x+1) =(x2+x+1)[x2(x9+1)(x-1)(x6+x3+1)+1] 3x  x �  0,8 b) Giải bất phương trình (1): 3x  x �  � 10 x4 ۳ 10 10 �x�۳ 12 x 12 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Giải bất phương trình (2):  2x   x   x 2x   x 1 x  13 �1 � 0 12 12 � x  13 Vì x nghiệm chung hai bất phương trình (1) (2) nên ta có x = 12 �1 Câu ( 3,0 điểm) 0,25 0,25 0,5 a) Ta có: y  xy  3x   � x  xy  y  x  x  (*) � ( x  y )  ( x  1)( x  2) 0,25 0,25 VT (*) số phương; VP (*) tích số nguyên liên tiếp nên phải có số x 1  x  1 � y  � � �� �� x20 x  2 � y  � � 0,25 Vậy có cặp số nguyên ( x; y )  (1;1) ( x; y )  (2; 2) b) 1  �  x  y  xy (1) 0,5 �1 �� 1 � ��  � �  ��0  x  xy � �  y  xy � � � x  y  x  y  x  y   x    xy    y    xy  2 0,25 0,25 �0 0,5  y  x   xy  1  2   x    y    xy  x �1; y �1 � xy �1 � xy  �0 ۳ Câu ( 6,0 điểm) 0,25 0,5 Vì � BĐT (2) ln � BĐT (1) (Dấu ‘’=’’ xảy x = y) a) A D E H Xét B ACE Góc A chung � ADB  � AEC  900 C ABD có: 2,0 � ABD ACE (g-g) b) Xét BHE CHD có : �  CDH �  900 BEH �  CHD � ( đối đỉnh) BHE � BHE CHD (g-g) BH HE �  CH HD Suy BH.HD = CH.HE 1,0 1,0 c) A D E Khi AB = AC = b ABC Suy DE // BC DE AD �  BC AC AD.BC  DE = AC B H F C 0,25đ cân A a Gọi giao điểm AH BC F  AF  BC, FB = FC = 2 DC BC BC.FC a  � DC  DBC FAC � = FC AC AC 2b AD.BC ( AC  DC ).BC  DE = = AC AC a a (2b  a ) (b  ).a = = 2b 2b b Lưu ý: - Bài hình học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm điểm - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ ...HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013- 2014 MƠN TỐN 8: Thời gian 150 phút Câu Câu (4.0 điểm) Nội dung x  5x  x2  4x  a/... ABC Suy DE // BC DE AD �  BC AC AD.BC  DE = AC B H F C 0,25đ cân A a Gọi giao điểm AH BC F  AF  BC, FB = FC = 2 DC BC BC.FC a  � DC  DBC FAC � = FC AC AC 2b AD.BC ( AC  DC ).BC  DE = =... x6 – 7x3 – = � (x3 + 1)(x3 – 8) = � (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)( x2 + 2x + 4) = (*) Do x2 – x + = (x – )2 + >0 x2 + 2x + = (x + 1)2 + > với x nên (*) � (x + 1)(x – 2) = x  1 � �� x2 � Vậy phương